2023-2024学年广东省茂名市化州市八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省茂名市化州市八年级（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知a>−2b则下列结论错误的是( )
A. a+2b>0B. a+1>−2b+1C. ab>−2D. −a<2b
2.如所示图形中，若PE=PF，能判断点P在∠EOF的平分线上的是( )
A. B.
C. D.
3.下列图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.不等式x+1≤3的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
5.下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是( )
A. 三个角的比为1：2：3B. 三条边满足关系a2=b2−c2
C. 三条边的比为1：2：3D. 三个角满足关系∠B+∠C=∠A
6.如图，将含45°的直角三角板ABC绕着点A顺时针旋转到△ADE处(点C，A，D在一条直线上)，则这次旋转的旋转角为( )
A. 45°
B. 90°
C. 135°
D. 180°
7.如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是( )
A. AD=CBB. ∠A=∠CC. BD=DBD. AB=CD
8.如图，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于D，连接AD，若∠CAD=20°，则∠B=( )
A. 20°
B. 30°
C. 35°
D. 40°
9.关于x的不等式组6−3x<02x≤a恰好有3个整数解，则a满足( )
A. a=10B. 10≤a<12C. 1010.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC.若点A，D，E在同一条直线上，AB=1，AC=3，则AD的长为( )
A. 3B. 2 2C. 2D. 3 2−1
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.不等式3x−1≥x+3的解集是______．
12.在△ABC中，∠C=100°，AC=BC，则∠A=______°.
13.已知点P(x,1)与点Q(−3,y)关于原点对称，则x+y=______．
14.如图，已知函数y=ax+b与函数y=kx−3的图象交于点P(4,−6)，则不等式ax+b≤kx−3的解集是______．
15.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，将△ABC沿AB方向平移AD的长度得到△DEF，已知EF=8，BE=3，CG=3.则图中阴影部分的面积______．
三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题5分)
解不等式：x+12+x−13≤1．
17.(本小题5分)
解不等式组4(x+1)≤7x+10x−518.(本小题7分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(−3,4)，B(−4,1)，C(−1,2)．
(1)点A关于原点O对称的点A′的坐标为______；
(2)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，其中点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1．
19.(本小题7分)
如图所示，AB=AE，AC=AD，∠BAD=∠EAC，∠C=50°，求∠D的大小．
20.(本小题9分)
如图，在△ABC中，∠ACB=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，连接AE.求证：AB=AE．
21.(本小题9分)
如图，在△ABC中，AB=AC=8cm．
(1)作AB的垂直平分线，交AC于点M，交AB于点N；
(2)在(1)的条件下，连接MB，若△MBC的周长是14cm，求BC的长．
22.(本小题9分)
“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，为了感受大自然，描绘大自然的美景，陈同学和李同学打算购买画笔与画板两种写生工具数量若干，已知购买2盒画笔和4个画板共需94元，购买4盒画笔和2个画板共需98元．
(1)购买一盒画笔和一个画板各需要多少元？
(2)陈同学和李同学商量，需要画笔盒数和画板个数总共为10，且购买这些写生工具的总费用不超过157元，请问最少购买画板多少个？
23.(本小题12分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE/​/BC，交BD的延长线于点E．
(1)求∠ADB的度数；
(2)求证：△ADE是等腰三角形．
24.(本小题12分)
如图，在△ABC中，∠B=∠C=30°，AD是BC边上的中线，作CD的垂直平分线MF交AC于F，交BC于M．
(1)求证：△ADF是等边三角形；
(2)若AB=12，求线段MF的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、不等式的两边都加2b，不等号的方向不变，得到a+2b>0，故此选项正确，不符合题意；
B、不等式的两边都加1，不等号的方向不变，得到a+1>−2b+1，故此选项正确，不符合题意；
C、不等式的两边都除以b，不知道b的符号，无法判定ab与−2的大小，故此选项错误，符合题意；
D、不等式的两边都先乘以−1，不等号的方向改变，得到−a<2b，故此选项正确，不符合题意．
故选：C．
根据不等式的性质：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
本题考查了不等式的基本性质，根据不等式的性质：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，可得答案，熟练掌握不等式的性质是关键．
2.【答案】D
【解析】解：∵到角两边的距离相等的点在角平分线上，
∴符合题意的是D．
故选：D．
根据到角两边的距离相等的点在角平分线上进行判断即可．
本题主要考查角平分线的性质，解答的关键是熟记到角两边的距离相等的点在角平分线上．
3.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：B．
根据中心对称图形的定义逐项判断即可．
本题主要考查了中心对称图形，解答本题的关键是掌握中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
4.【答案】A
【解析】解：∵x+1≤3，
∴x≤2．
表示在数轴上是：
故选：A．
先求出原不等式的解集，再根据解集即可求出结论．
本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能正确在数轴上表示不等式的解集是解此题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：A、三个角的比为1：2：3，设最小的角为x，则x+2x+3x=180°，x=30°，3x=90°，故正确；
B、三条边满足关系a2=b2−c2，故正确；
C、三条边的比为1：2：3，设三边分别为：k，2k，3k(k>0)，k2+(2k)2≠(3k)2，故错误；
D、三个角满足关系∠B+∠C=∠A，则∠A为90°，故正确．
故选C．
根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，排除错误答案．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可；若已知角，只要求得一个角为90°即可．
6.【答案】C
【解析】解：旋转角是∠BAD=180°−45°=135°．
故选：C．
根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，据此即可求解．
本题考查了图形的旋转，理解旋转角的定义是关键．
7.【答案】A
【解析】解：
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD=∠CDB=90°，
A.AD=CB，BD=DB，符合两直角三角形全等的判定定理HL，能推出Rt△ABD和Rt△CDB全等，故本选项符合题意；
B.∠A=∠C，∠ABD=∠CDB，BD=DB，符合两直角三角形全等的判定定理AAS，不是两直角三角形全等的判定定理HL，故本选项不符合题意；
C.∠ABD=∠CDB，BD=DB，不符合两直角三角形全等的判定定理，不能推出Rt△ABD和Rt△CDB全等，故本选项不符合题意；
D.AB=CD，∠ABD=∠CDB，BD=DB，符合两直角三角形全等的判定定理SAS，不是两直角三角形全等的判定定理HL，故本选项不符合题意；
故选：A．
根据两直角三角形全等的判定定理逐个判断即可．
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
8.【答案】C
【解析】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD=DB
∴∠B=∠DAB
∵∠C=90°，∠CAD=20°
∴∠B=(180°−∠C−∠CAD)÷2=35°
故选C
由已知条件，根据线段垂直平分线的性质得到线段及角相等，再利用直角三角形两锐角互余得到∠B=(180°−∠ADB)÷2答案可得．
本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；解决本题的关键是利用线段的垂直平分线性质得到相应的角相等，然后根据三角形的内角和求解．
9.【答案】B
【解析】解：由6−3x<0得：x>2，
由2x≤a得：x≤a2，
∵不等式组恰好有3个整数解，
∴不等式组的整数解为3、4、5，
∴5≤a2<6，解得10≤a<12，
故选：B．
先分别求出每一个不等式的解集，然后根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”并结合不等式组有3个整数解，得出关于a的不等式求解即可．
本题主要考查了解一元一次不等式组、不等式组的整数解等知识点，掌握“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答本题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，
∴∠ACE=90°，AC=CE=3，AB=DE=1，
∴AE= AC2+CE2= 32+32=3 2，
∴AD=AE−DE=3 2−1；
故选：D．
根据将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，可得∠ACE=90°，AC=CE=3，AB=DE=1，故AE= AC2+CE2=3 2，即得AD=AE−DE=3 2−1．
本题考查三角形的旋转问题，解题的关键是掌握旋转前后，对应边相等，对应角相等．
11.【答案】x≥2
【解析】解：3x−1≥x+3，
移项，得3x−x≥3+1，
合并同类项，得2x≥4，
系数化为1，得x≥2．
故答案为：x≥2．
不等式移项、合并同类项、化系数为1，即可求出不等式的解集．
本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．
12.【答案】40
【解析】解：∵∠C=100°，AC=BC，
∴∠A=∠B=12×(180°−100°)=40°，
故答案为：40．
根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
13.【答案】2
【解析】解：∵点P(x,1)与点Q(−3,y)关于原点对称，
∴x=3，y=−1，
∴x+y=3+(−1)=2，
故答案为：2．
根据平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于原点的对称点是(−x,−y)，即关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数．
此题主要考查了关于原点对称，解题的关键是掌握点的坐标变化规律．
14.【答案】x≤4
【解析】解：∵函数y=ax+b与函数y=kx−3的图象交于点P(4,−6)，
∴不等式ax+b≤kx−3的解集是x≤4．
故答案为x≤4．
直线y=ax+b落在直线y=kx−3下方的部分对应的x的取值范围即为所求．
本题主要考查一次函数和一元一次不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点(交点、原点等)，做到数形结合．
15.【答案】19.5
【解析】解：∵将△ABC沿AB方向平移AD的长度得到△DEF，
∴△DEF≌△ABC，
∵BC=EF=8，S△DEF=S△ABC，
∴S△ABC−S△DBG=S△DEF−S△DBG，
∴S梯形ACGD=S梯形BEFG，
∴BG=BC−CG=8−3=5，BE=3，
∴S梯形ACGD=S梯形BEFG=12(5+8)×3=19.5．
故答案为：19.5．
根据等腰三角形的性质及平移的性质，得到BG=5，根据梯形形的面积公式即可得解．
此题考查平移的性质，熟记等腰三角形的性质及平移的性质是解题的关键．
16.【答案】解：去分母得：3(x+1)+2(x−1)≤6，
去括号得：3x+3+2x−2≤6，
移项、合并同类项得：5x≤5，
系数化为1得：x≤1．
【解析】根据解一元一次不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1计算即可．
本题考查解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解答本题的关键．
17.【答案】解：解不等式4(x+1)≤7x+10，得：x≥−2，
解不等式x−5将不等式的解集表示在数轴上为：

∴不等式组的解集为：−2≤x<72．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，在数轴上表示出每个不等式的解集即可确定不等式组的解集．
本题主要考查解一元一次不等式组的基本技能，准确求出每个不等式的解集是解题的根本，将不等式解集表示在数轴上从而确定不等式组的解集是关键．
18.【答案】(3,−4)
【解析】解：(1)点A关于原点O对称的点A′的坐标为(3,−4)，
故答案为：(3,−4)；
(2)△A1B1C1如图所示．
(1)根据关于原点对称的坐标横纵坐标互为相反数即可知答案；
(2)根据关于x轴对称的坐标，横坐标相等，纵坐标互为相反数找出A1，B1，C1，再顺次连接即可．
本题考查作图—轴对称变换，点的坐标，旋转变换，解题的关键是掌握关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数．
19.【答案】解：∵∠BAD=∠EAC，
∴∠BAD+∠CAD=∠EAC+∠CAD，即∠BAC=∠EAD，
在△BAC与△EAD中，
AB=AE∠BAC=∠EADAC=AD，
∴△BAC≌△EAD(SAS)，
∴∠D=∠C=50°．
【解析】由∠BAD=∠EAC可得∠BAC=∠EAD，根据SAS可证△BAC≌△EAD，再根据全等三角形的性质即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
20.【答案】解：由旋转的性质可得BC=EC，∠DCE=∠ACB=30°，∠ACD=60°，
∴∠ACE=∠ACD−∠DCE=30°，
∴∠ACE=∠ACB=30°，
又∵AC=AC，
∴△ACE≌△ACB(SAS)，
∴AB=AE．
【解析】根据旋转前后对应角相等，对应线段相等得到BC=EC，∠DCE=∠ACB=30°，∠ACD=60°，进而推出∠ACE=∠ACB=30°，再证明△ACE≌△ACB，即可证明AB=AE．
本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，正确记忆相关知识点是解题关键．
21.【答案】解：(1)如图所示：
(2)∵MN是AB的垂直平分线，
∴AM=BM，
∵△MBC的周长是14cm，
∴MB+MC+BC=AM+CM+BC=AC+BC=14cm，
∵AC=8cm，
∴BC=6cm．
【解析】(1)利用线段垂直平分线的作法进而得出即可；
(2)由线段的垂直平分线的性质可得：AM=BM，从而将△MBC的周长转化为：AM+CM+BC，即AC+BC=14cm，依此可求BC．
此题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的作法与性质，熟记用尺规作线段垂直平分线及线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设购买一盒画笔需要x元，一个画板需要y元，
根据题意有2x+4y=944x+2y=98，
解得：x=17y=15．
答：购买一盒画笔需要17元，一个画板需要15元；
(2)设最少购买画板a个，则购买画笔(10−a)个，
根据题意有17(10−a)+15a≤157，
解得：a≥6.5，
∵根据题意可知a为整数，
∴最少购买画板7个．
【解析】(1)设购买一盒画笔需要x元，一个画板需要y元，根据题意可列出关于x，y的二元一次方程组，解出x，y的值即可；
(2)设最少购买画板a个，则购买画笔(10−a)个，根据题意可列出关于a的一元一次不等式，解出a的解集，结合其实际意义即得出答案．
本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用．理解题意，找出数量关系，列出等式和不等式是解题关键．
23.【答案】(1)解：∵AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠C=12(180°−∠BAC)=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=12∠ABC=36°，
∴∠ADB=∠C+∠DBC=72°+36°=108°；
(2)证明：∵AE//BC，
∴∠EAC=∠C=72°，
∵∠C=72°，∠DBC=36°，
∴∠ADE=∠CDB=180°−72°−36°=72°，
∴∠EAD=∠ADE，
∴AE=DE，
∴△ADE是等腰三角形．
【解析】(1)根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ABC的度数，由角平分线的定义求出∠DBC的度数，再根据三角形外角定理即可求出结果；
(2)由平行线的性质求得∠EAC=72°，由三角形内角和定理求得∠ADE=72，根据等腰三角形的判定即可证得结论．
本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质和判定是解决问题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵∠B=∠C=30°，
∴AB=AC，
∵AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠DAF=90°−∠C=60°，
∵MF垂直平分DC，
∴DF=CF，
∴∠C=∠FDC=30°，
∴∠ADF=60°，
∴∠AFD=60°，
∴∠DAF=∠ADF=∠AFD，
∴△ADF是等边三角形；
(2)解：∵△ADF是等边三角形，
∴AF=DF，
∵DF=CF，
∴AF=12AC=12AB=6，
∴DF=6，
∵∠FDM=30°，
∴MF=12DF=3．
【解析】(1)证出AD⊥BC，由等边三角形的判定可得出结论；
(2)求出AF=12AC=12AB=6，由直角三角形的性质可得出答案．
本题考查了等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．