2023-2024学年河南省开封市东苑中学八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省开封市东苑中学八年级（下）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列代数式是分式的是( )
A. x3B. yπC. x3−y2D. 1x−y
2.据报道，可见光的平均波长约为580纳米，已知1纳米=0.000000001米，则580纳米用科学记数法表示为( )
A. 58×10−6米B. 0.58×10−8米C. 5.8×10−8米D. 5.8×10−7米
3.如果关于x的分式方程2x−3=1−mx−3有增根，则m的值为( )
A. −3B. −2C. −1D. 3
4.若点A(−3,a)，B(−1,b)，C(2,c)都在反比例函数y=−k2−1x函数的图象上，则a，b，c的大小关系用“<”连接的结果为( )
A. b5.若反比例函数y=bx的图象如图所示，则一次函数y=cx−a和二次函数y=ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
6.在下列命题中，正确的是( )
A. 一组对边平行的四边形是平行四边形B. 有一个角是直角的四边形是矩形
C. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
7.我们都知道，四边形具有不稳定性.老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表小亮在取道具时不小心使教具发生了形变(如图)，若正方形道具边长为10cm，∠D′=30°，则四边形的面积减少了( )
A. 50cm2B. 50 2cm2C. 100cm2D. 100 2cm2
8.如图，△ABC中，点E在边AC上，CD/​/AB，连接ED.若∠A=68°，∠D=54°，则∠AED的度数为( )
A. 108°
B. 112°
C. 122°
D. 130°
9.下列说法，正确的是( )
A. 等腰三角形的高、中线、角平分线重合
B. “若a>b，则a2>b2”的逆命题是真命题
C. 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且这一点到三条边的距离相等
D. 用反证法证明“三角形中必有一个角不大于60°”，先假设这个三角形中每一个内角都大于60°
10.如图1，动点P从Rt△ABC的直角顶点C出发，先沿一条直角边运动到某点，接着又沿一条直线运动到斜边AB上某点.设点P运动的路程为x,PAPB=y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象.根据图中信息可得△ABC的面积为( )
A. 4B. 4 5C. 8D. 8 5
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.函数y=x−2x中，自变量x的取值范围是______．
12.请写出一个图象位于第一、三、四象限的一次函数，这个一次函数的表达式是______．
13.小明参加“传承经典，筑梦未来”主题演讲比赛，其演讲形象、演讲内容、演讲效果三项成绩分别是9分、8分、9分.若将演讲形象、演讲内容、演讲效果三项成绩按2：5：3确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩是______分.
14.把两个同样大小含45°角的直角三角尺(AB=AC,EA=ED,∠BAC=∠AED=90°)按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A，且另为三个锐角顶点B、C、D在同一条直线上.若AB=1，则CD= ______．
15.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E是BC的中点，连结AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连结FC，则sin∠ECF=______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)计算：|−2|−(14)−1−(π−3)0−(−1)2023．
(2)化简：(1−1x2)÷2x−2x2．
17.(本小题8分)
先化简，再求值：
x2+6x+9x2−9÷x+3x2−3x−x+3．
其中，x=2021.小虎做题时把“x=2021”错抄成了“x=−2021”，但他的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？
18.(本小题10分)
学校在七、八年级开展了主题为“以艺润心，向暖而行”的艺术节文艺汇演，为了解两个年级学生对文艺汇演的喜欢程度，学生处发放问卷并让学生评分，现从该校七、八年级中各随机抽取了20名学生的评分进行整理和分析(评分均为整数，满分为12分，9分以上为非常喜欢)，相关数据统计、整理如下：
抽取的七年级学生的评分：5，5，6，7，7，8，8，8，9，9，9，9，9，10，10，10，11，11，12，12．
抽取的七、八年级学生的评分统计表
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述表中a、b、c的值．
(2)根据以上数据，你认为哪个年级的学生更喜欢此次文艺汇演？请说明理由．
(3)该校七年级有1500名学生参加评分，八年级有1800名学生参加评分，请估计两个年级本次评分为非常喜欢的学生共有多少人？
19.(本小题9分)
如图，在平行四边形ABCD中．
(1)用尺规作图完成以下基本作图：作∠A的平分线，交DC于点M.(保留作图痕迹，标明字母)
(2)在(1)的条件下，在AB上截取AN=DM，连接MN.求证：四边形ADMN是菱形．
20.(本小题8分)
如图，反比例函数y=kx(k≠0)的图象与正比例函数y=43x的图象相交于点A(a,2)，D．
(1)a= ______，k= ______，点D坐标为______．
(2)不等式kx>43x的解集是______．
(3)已知AB/​/x轴，以AB，AD为边作菱形ABCD，求菱形ABCD的面积．
21.(本小题10分)
端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗.今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销.根据预测，A粽子的进价节前是节后的1.2倍，节前用150元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少10个，根据以上信息，解答下列问题：
(1)该商场节后每个A粽子的进价是多少元？
(2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子500个，且总费用不超过1400元，并按照节前每个8元，节后每个5元全部售出，那么该商场节前购进多少个A粽子获得利润最大？最大利润是多少？
22.(本小题10分)
在函数的学习过程中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质的过程.以下是我们探究函数y=x2+2x的性质及其应用的部分过程.列表：
描点：在平面直角坐标系中，描出相应的点，如图所示．

(1)观察所描出的点的分布，用平滑的曲线连结，作出函数图象．
(2)根据函数图象解答下列问题：
①该函数自变量x的取值范围是______．
②方程x2+2x+2=0有______个实数根．
(3)应用：现要建造一个体积为1立方米的长方体无盖蓄水池，其底面为一个正方形，已知侧面造价为每平方米0.5万元，底面造价为每平方米1万元，配套设施1万元.设底面正方形边长为x m，总造价为w元，请写出w关于x的函数关系式，并求出总造价不超过5万元时x的取值范围.(保留2位小数)
23.(本小题10分)
如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．
(2)性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系．
猜想结论：(要求用文字语言叙述)______
写出证明过程(先画出图形，写出已知、求证)．
(3)问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：x3，x3−y2，xπ的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．故A、B、C选项错误；
1x−y的分母中含有字母，因此是分式．故D选项正确．
故选：D．
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．
2.【答案】D
【解析】解：580纳米=580×0.000000001米
=580×10−9米
=5.8×10−7米．
故选：D．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3.【答案】B
【解析】解：方程两边同乘以x−3，得
2=x−3−m①．
∵原方程有增根，
∴x−3=0，
即x=3．
把x=3代入①，得
m=−2．
故选B．
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x−3=0，得到x=3，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
4.【答案】D
【解析】解：∵−k2−1<0，点A，B同象限，y随x的增大而增大，
∵−3<−1，
∴0又∵C(2,c)在反比例函数y=−k2−1x的图象上，
∴c<0，
∴c故选：D．
根据反比例函数的性质求解即可．
本题考查反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
5.【答案】A
【解析】解：由反比例函数y=bx的图象在二、四象限可知b<0，
A、
假设一次函数y=cx−a图象正确，则c>0，−a>0，
∴a<0，b<0，c>0，
∴二次函数图象开口向下、对称轴x=−b2a<0、与y轴交点在正半轴上，
故选项正确，符合题意；
B、
假设一次函数y=cx−a图象正确，则c<0，−a>0，
∴a<0，b<0，c<0，
∴二次函数图象开口向下、对称轴x=−b2a<0、与y轴交点在负半轴上，
而选项中二次函数图象与y轴交点在正半轴上，故选项错，不符合题意；
C、
假设一次函数y=cx−a图象正确，则c>0，−a<0，
∴a>0，b<0，c>0，
∴二次函数图象开口向上、对称轴x=−b2a>0、与y轴交点在正半轴上，
而选项中二次函数图象对称轴x=−b2a<0、与y轴交点在负半轴上，故选项错，不符合题意；
D、
假设一次函数y=cx−a图象正确，则c<0，−a<0，
∴a>0，b<0，c<0，
∴二次函数图象开口向上、对称轴x=−b2a>0、与y轴交点在负半轴上，
而选项中二次函数图象对称轴x=−b2a<0，故选项错，不符合题意；
故选：A．
先由反比例函数图象与性质得到b<0，再根据选项中同一平面直角坐标系下一次函数y=cx−a和二次函数y=ax2+bx+c的图象，假设直线图象正确，判断二次函数图象是否正确即可得到答案．
本题考查反比例函数图象与性质、一次函数图象与性质、二次函数图象与性质等知识，熟练掌握此类题目的解法，先假设其中一个图象正确，再判断另一个图象是否正确是解决问题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：A、应为两组对边平行的四边形是平行四边形；
B、应为有一个角是直角的平行四边形是矩形；
C、符合菱形定义；
D、应为对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．
故选：C．
要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，从而得出正确选项．两组对边平行的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．
本题考查平行四边形、矩形和菱形及正方形的判定与命题的真假区别．
7.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=10cm，
∴正方形ABCD的面积=100cm2，AB=BC=CD=AD=10cm，
由题意知A′B=BC=CD′=A′D′=10cm，
∴四边形A′BCD′是菱形，
∴∠A′BC=∠D′=30°，
过点A′H⊥BC于H，
∴∠A′HB=90°，
∴A′H=12A′B=5cm，
∴菱形A′BCD′的面积=BC⋅A′H=10×5=50(cm2)，
∵正方形ABCD的面积−菱形A′BCD′的面积=50cm2，
∴四边形的面积减少了50cm2．
故选：A．
过点A′H⊥BC于H，由题意得四边形A′BCD′是菱形，根据含30度直角三角形的性质求出A′H，分别求出正方形ABCD的面积和菱形A′BCD′的面积，即可得的答案．
本题主要考查了正方形的性质，菱形的判定和性质，含30度直角三角形的性质，证得四边形A′BCD′是菱形是解决问题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵CD//AB，
∴∠DCE=∠A=68°，
∴∠AED=∠DCE+∠D=68°+54°=122°．
故选：C．
由CD/​/AB，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠DCE的度数，再利用三角形的外角性质可求出∠AED的度数．
本题考查了三角形的外角性质以及平行线的性质，牢记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：A、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线重合，故本选项说法错误，不符合题意；
B、“若a>b，则a2>b2”的逆命题是若a2>b2，则a>b，是假命题，故本选项说法错误，不符合题意；
C、三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且这一点到三角形三个顶点的距离相等，故本选项说法错误，不符合题意；
D、用反证法证明“三角形中必有一个角不大于60°”，先假设这个三角形中每一个内角都大于60°，说法正确，符合题意；
故选：D．
根据等腰三角形的性质、不等式的性质、线段垂直平分线的性质、反证法判断即可．
本题考查的是等腰三角形的性质、不等式的性质、线段垂直平分线的性质、反证法，正确理解相关的性质是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵设AB的垂直平分线分别交AB、AC于点M和N，
连接BN，
当x=0时，y=2且y=PAPB，
当x=0时，PA=AC，PB=BC，
∴AC=2BC，
∵当32≤x≤3+ 52时，y=PAPB=1，
∴点P先从点C运动到点N，接着又从点N运动到点M，
则CN=32，MN=3+ 52−32= 52，
∴tan∠A=NMAM=BCAC=12，
∴AM=2MN= 5，
∴AB=2AM=2 5，
∴AB= AC2+BC2= 5BC=2 5，
∴BC=2，AC=2BC=4，
∴△ABC的面积为12×AC×BC=4．
故选：A．
先观察图象得出AC=2BC，结合当32≤x≤3+ 52时，y=PAPB=1，得出CN=32，MN= 52，然后运用锐角三角函数得出AB=2 5，继而求出BC、AC，最后根据三角形的面积公式进行列式计算，即可作答．
本题主要考查了动点问题的函数图象，灵活运用相关性质是解题的关键．
11.【答案】x≠0
【解析】解：在函数y=x+2x中，自变量x的取值范围是x≠0，
故答案为：x≠0．
根据分式有意义的条件进行解答即可．
本题主要考查了求函数自变量的取值范围，解题的关键是熟练掌握分式有意义，分母不等于零．
12.【答案】y=x−3(答案不唯一)
【解析】解：∵一次函数的图象位于第一、三、四象限，
∴k>0，b<0，
∴y=x−3(答案不唯一)，
故答案为：y=x−3(答案不唯一)．
根据一般形式y=kx+b(k≠0)，k>0，b>0，图象过一、二、三象限；k>0，b<0，图象过一、三、四象限；k<0，b>0，图象过一、二、四象限；k<0，b<0，图象过二、三、四象限；据此解答即可．
本题考查一次函数的图象的性质，熟练掌握一次函数性质是关键．
13.【答案】8.5
【解析】解：小明的最终比赛成绩是9×2+8×5+9×32+5+3=8.5(分)．
故答案为：8.5．
利用加权平均数的计算方法可求出结果．
本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式和“权重”的理解是解题的关键．
14.【答案】 6− 22
【解析】解：过点A作AF⊥BD，如图：
∵△ABC，△AED都是全等的等腰直角三角形，AB=1，
∴BC= 2，
∴AF=12BC=CF= 22，AD= 2，
∴DF= 2−12= 62，
∴CD=DF−CF= 62− 22= 6− 22．
故答案为： 6− 22．
过点A作AF⊥BD，根据等腰直角三角形的性质先求出AF，CF，AD，进而求出DF即可求出CD．
本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题关键．
15.【答案】45
【解析】解：过E作EH⊥CF于H，
由折叠的性质得：BE=EF，∠BEA=∠FEA，
∵点E是BC的中点，
∴CE=BE，
∴EF=CE，
∴∠FEH=∠CEH，
∴∠AEB+∠CEH=90°，
在矩形ABCD中，
∵∠B=90°，
∴∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠BAE=∠CEH，∠B=∠EHC，
∴△ABE∽△EHC，
∴ABEH=AECE，
∵AE= AB2+BE2= 64+36=10，
∴8EH=106
∴EH=245，
∴sin∠ECF=EHCE=2456=45，
故答案为：45．
过E作EH⊥CF于H，通过证明△ABE∽△EHC，可得ABEH=AECE，可求EH的长，即可求解．
本题考查了翻折变换，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，求出EH的长是本题的关键．
16.【答案】解：(1)|−2|−(14)−1−(π−3)0−(−1)2023
=2−4−1−(−1)
=2−4−1+1
=−2；
(2)(1−1x2)÷2x−2x2
=x2−1x2⋅x22(x−1)
=(x+1)(x−1)x2⋅x22(x−1)
=x+12．
【解析】(1)先根据绝对值，负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方进行计算，再算加减即可；
(2)先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，最后根据分式的乘法法则进行计算即可．
本题考查了负整数指数幂，零指数幂，实数的混合运算和分式的混合运算等知识点，能正确根据实数的运算法则和分式的运算法则进行计算是解此题的关键．
17.【答案】解：x2+6x+9x2−9÷x+3x2−3x−x+3
=(x+3)2(x+3)(x−3)⋅x(x−3)x+3−x+3
=x−x+3
=3，
∴当x=2021和x=−2021时，原式的值不变，都是3．
【解析】先将题目中的式子化简，观察结果，即可说明当x=2021和x=−2021时，结果是一样的．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18.【答案】解：(1)由题意可知，把八年级20名学生的评分从小到大排列，排在中间的两个数分别为9分和10分，故中位数a=9+102=9.5；
八年级20名学生的评分中10分出现的次数最多，故众数b=10；
由题意可知，c%=220×100%=10%，故c=10；
(2)八年级的学生更喜欢此次文艺汇演，理由如下：
两个年级的平均数相同，但八年级的学生的中位数、众数和满分率都比七年级的高，所以年级的学生更喜欢此次文艺汇演；
(3)1500×720+1800×(20%+30%)
=525+900
=1425(人)，
答：估计两个年级本次评分为非常喜欢的学生大约共有1425人．
【解析】(1)根据众数和中位数的概念求解可得a、b的值，用七年级满分人数除以20可得c的值；
(2)从众数或中位数方面比较大小即可得；
(3)利用样本估计总体思想求解可得．
本题考查扇形统计图、频数分布表，中位数、众数、平均数，掌握平均数、中位数、众数的意义是解决问题的前提．
19.【答案】解：(1)如图，点M即为所求．

(2)证明：∵如图，四边形ABCD是平行四边形，

∴DC/​/AB，
∴∠DMA=∠MAN．
∵DM=AN，
∴四边形ADMN是平行四边形．
∵A M平分∠DAN，
∴∠DAM=∠MAN，
∴∠DAM=∠DMA，
∴DA=DM，
∴四边形ADMN是菱形．
【解析】(1)根据基本作图—作角平分线，即可作得；
(2)首先根据平行四边形的性质及所作的图，可证得四边形ADMN是平行四边形，再根据平行线的性质及角平分线的定义，可证得AD=DM，据此即可证得结论．
本题考查了作图——基本作图，平行四边形的性质和菱形的判定与性质，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
20.【答案】32 3 (−32,−2) x<−32或0【解析】解：(1)将A(a,2)代入y=43x得43a=2，解得a=32，
∴A(32,2)，
将A(32,2)代入y=kx(k≠0)得k=2×32=3，
∵点A与D关于原点对称，
∴D(−32,−2)；
故答案为：32；3；(−32,−2)；
(2)不等式kx>43x的解集是指反比例函数图象在直线上方的图象对应的x的范围，
由图象知，当x<−32或043x，反比例函数图象在直线上方，
故答案为：x<−32或0(3)作AH⊥BC于H，如图所示：
∵A(32,2)，D(−32,−2)，
∴AH=4，DH=3，
在Rt△AHD中，由勾股定理得AD= AH2+DH2=5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DC=AD=5，
∴菱形ABCD的面积为5×4=20．
(1)将点A的坐标分别代入正比例函数与反比例函数中，即可得出a、k的值，再根据反比例函数的对称性可得点D的坐标；
(2)利用图象可得反比例函数图象在正比例函数图象下方时，自变量的取值范围；
(3)作AH⊥BC于H，由勾股定理求出AB的长，利用菱形的面积公式可得答案．
本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，函数与不等式的关系，菱形的性质等知识，运用数形结合思想是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设该商场节后每个A粽子的进价为x元，
根据题意，得150x−10=1501.2x，
解得x=2.5，
经检验，x=2.5是原分式方程的根，且符合题意，
答：该商场节后每个A粽子的进价是2.5元；
(2)设该商场节前购进m个A粽子，总利润为w元，
∵总费用不超过1400元，
∴1.2×2.5m+2.5(500−m)≤1400，
解得m≤300，
根据题意，得w=(8−1.2×2.5)m+(5−2.5)(500−m)=2.5m+1250，
∵2.5>0，
∴w随着m增大而增大，
当m=300时，w取得最大值，最大利润为2.5×300+1250=2000(元)，
答：该商场节前购进300个A粽子获得利润最大，最大利润是2000元．
【解析】(1)设该商场节后每个A粽子的进价为x元，可得150x−10=1501.2x，解方程并检验可得答案；
(2)设该商场节前购进m个A粽子，总利润为w元，由总费用不超过1400元，得1.2×2.5m+2.5(500−m)≤1400，m≤300，而w=(8−1.2×2.5)m+(5−2.5)(500−m)=2.5m+1250，根据一次函数性质可得答案．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意并根据题意建立相应关系式是解题的关键．
22.【答案】x≠0 1
【解析】解：(1)用平滑的曲线连结，作出函数图象如图所示，
(2)①根据解析式y=x2+2x，可得x≠0；
故答案为：x≠0．
②方程x2+2x+2=0的解，即y=x2+2x与y=−2的交点的横坐标
根据函数图象可得y=x2+2x与y=−2只有1个交点，
∴方程x2+2x+2=0有1个实数根；
故答案为：1．
(3)依题意，w=1×x2+0.5×4×1x2×x+1=x2+2x+1，
当w=5时，方程x2+2x+1=5，即x2+2x=4，
根据函数图象可得，方程x2+2x=4的正的近似解为x1≈0.55，x2≈1.65，
∴当w≤5时，x的取值范围为0.55≤x≤1.65(答案合理即可)．
(1)根据描点连线的方法画出函数图象；
(2)①根据解析式可得x≠0；
②根据函数图象，即可求解．
(3)根据题意可得w=x2+2x+1，当w=5时，即x2+2x=4，观察函数图象，即可求解．
本题考查了根据函数图象求方程的解，画函数图象．
23.【答案】(1)四边形ABCD是垂美四边形．
证明：∵AB=AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB=CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
(2)垂美四边形两组对边的平方和相等
(3)连接CG、BE，
∵∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
AG=AC∠GAB=∠CAEAB=AE，
∴△GAB≌△CAE，
∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，
∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由(2)得，CG2+BE2=CB2+GE2，
∵AC=4，AB=5，
∴BC=3，CG=4 2，BE=5 2，
∴GE2=CG2+BE2−CB2=73，
∴GE= 73．

【解析】解：(1)(3)见答案
(2)猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．
如图2，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E，
求证：AD2+BC2=AB2+CD2
证明：∵AC⊥BD，
∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，
由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，
AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2；
【分析】
(1)根据垂直平分线的判定定理证明即可；
(2)根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
(3)根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合(2)的结论计算．
本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．年级
七年级
八年级
平均数
8.75
8.75
中位数
9
a
众数
9
b
满分率
c%
15%
x
…
−2
−1
−12
13
12
1
32
2
…
y
…
3
−1
−154
559
174
3
4312
5
…