2023-2024学年河南省开封市八年级（上）期末数学试卷（华师大版）（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省开封市八年级（上）期末数学试卷（华师大版）（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.4的算术平方根为( )
A. 2B. ±2C. −2D. 16
2.下列各组数是勾股数的是( )
A. 1，2，3B. 3，4，7C. 2.5，4，4.5D. 5，12，13
3.某数学小组想了解本校1800余名学生对数学的喜爱情况，现拟定以下步骤进行调查：①从每班随机抽取10人进行调查；②设计对数学喜爱情况的调查问卷；③利用样本估计总体得出调查结论；④对得到结果进行记录整理.其中排序正确的是( )
A. ①②③④B. ②①④③C. ②①③④D. ①④②③
4.下列运算正确的是( )
A. (−a3)2=a5B. −a⋅a4=−a5C. a4÷a4=aD. (2ab2)3=2a3b6
5.下列各命题的逆命题成立的是( )
A. 全等三角形的对应角相等B. 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C. 两直线平行，同位角相等D. 如果两个角都是45°，那么这两个角相等
6.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为(滑轮上方的部分忽略不计)( )
A. 14m
B. 15m
C. 16m
D. 17m
7.如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是( )
A. (a+b)2=a2+2ab+b2B. (a−b)2=a2−2ab+b2
C. (a+b)(a−b)=a2−b2D. (ab)2=a2b
8.如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，交AC于点E，AE=3，△ABD的周长为13，则△ABC的周长是( )
A. 16
B. 17
C. 18
D. 19
9.综合实践活动小组为测量池塘两端A，B的距离，活动小组的三位同学分别设计出如下三种方案：
小华：如图①，先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B.连接AC并延长到点D，使DC=CA，连接BC并延长到点E，使CE=CB，连接DE，量出DE的长即为A，B的距离．
小欣：如图②，先过点B作AB的垂线BF，在BF上取C，D两点，使BC=CD，再过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则量出DE的长即为A，B的距离．
小彤：如图③，过点B作AB的垂线BE，在BE上取一点D，连接AD，然后在AB的延长线上取一点C，连接CD，使∠BDC=∠BDA.这时只要量出BC的长即为A，B的距离．
以上三位同学设计的方案中可行的是( )
A. 小华和小欣B. 小欣和小彤
C. 小华和小彤D. 三个人的方案都可以
10.某次考试中，某班级的数学成绩被绘制成了如图所示的频数分布直方图.下列说法错误的是( )
A. 得分在70～80分之间的人数最多
B. 及格(不低于60分)的人数为26
C. 得分在90～100分之间的人数占总人数的5%
D. 该班的总人数为40
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.写出一个大于−1而小于3的无理数______．
12.如果等腰△ABC中，∠A=30°，那么∠B= ______．
13.计算：(3ab−2a)÷a= ______．
14.如图，Rt△ABC中，两直角边BC和AB的长分别3和4，以斜边AC为边作一个正方形ACDE，再以正方形的边AE为斜边作Rt△AFE，然后依次以两直角边AF和EF为边分别作正方形AHGF和EFMN，则图中阴影部分的面积为______．
15.如图，CO、BO是△ABC的两个外角∠PCB、∠QBC的角平分线，OM⊥AP，ON⊥AQ，且OM=ON.下列结论中正确的个数有______个.
①∠PAO=∠QAO；
②∠AOB=12∠ACB；
③2∠COB=180°+∠CAB；
④∠PAQ+2∠COB=180°．
三、解答题：本题共8小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)因式分解：4x3y−4x2y2+xy3．
(2)先化简，再求值：3a(2a2−4a+3)−2a2(3a+4)，其中a=−2．
17.(本小题5分)
如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放正，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，请说明它的道理．
18.(本小题6分)
如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，求此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离．
19.(本小题6分)
已知实数x，y满足|x−5|+ y+3=0．
(1)求x，y的值；
(2)求x−2y的平方根．
20.(本小题6分)
某校为了解学生对偶像崇拜的情况，从本校学生中随机抽取60名学生，进行问卷调查，并将调查结果收集整理如下：
收集数据：
调查问卷2023年6月
你崇拜的偶像是_____(单选)
A.娱乐明星
B.英雄人物
C.科学家
D.其他
A、D、C、C、A、D、B、B、A、C、D、B、D、A、C、A、C、C、C、C、D、C、A、D、B、B、C、A、A、C、B、B、C、A、C、B、C、C、B、C、A、C、C、A、C、A、C、A、A、C、A、C、C、C、B、B、D、B、D、D．
整理数据：
崇拜偶像人数统计表
描述数据：

请根据所统计信息，解答下列问题：
(1)请补全统计表和条形统计图并填空n= ______；
(2)若该校共有1600名学生.其中崇拜英雄人物和科学家的共约多少人？
(3)请你针对中学生崇拜偶像问题.提出积极的合理化的建议．
21.(本小题6分)
学习过等边三角形，小丽用折纸的方法裁出一个等边三角形.如图，先将正方形纸片对折后展开，折痕为MN.点E在线段BN上，连接AE，将AB沿AE折叠，点B落在MN上的点H处，连接AH，DH，沿AH和DH裁剪得到△DHA，则△DHA即为等边三角形，请给予证明．
22.(本小题7分)
如图，小明在制作手工时，想把一块直角三角形的卡纸均匀分成大小、形状都相同的三个三角形，如果∠C=90°，∠B=30°，小明利用直尺(无刻度)和圆规进行了如下操作，请你帮小明完成下面的尺规作图(保留作图痕迹，不写作法)．
(1)作∠BAC的平分线AD，交BC与点D．
(2)作______的垂直平分线EF(选择正确选项并完成作图)．
A.线段AB
B.线段BC
C.线段AC
(3)根据以上信息请判断：
点D在直线EF上吗？______(填“在”或“不在”)；
理由：______．
23.(本小题9分)
问题初探
(1)在数学社团活动中，李老师给同学们出了这样一道题：
如图①，在△ABC中，高BD，CE交于点F，且BD=CD，试说明FC，AB有怎样的数量关系．
小明经过思考，说出了他的方法：根据已知条件，易证△ABD≌△FCD，从而得出FC=AB．
小明证明△ABD≌△FCD的依据可能是______(填序号)．
①SSS
②ASA
③HL
④SAS
引导发现
(2)老师看同学们的兴致很高，又出了一道题：
如图②，在△ABC中，AB=AC，∠A=90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．
①填空：∠ABE= ______°；
②判断线段BE与CD的数量关系，并写出证明过程．
拓展延伸
(3)△ABC中，AB=AC，∠A=90°，如图③，点D在线段BC上，BE⊥ED于点E，DE交AB于点F，且∠ABE=∠EDB，请直接写出BE和FD的数量关系．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：4的算术平方根为：2．
故选：A．
利用算术平方根的定义分析得出即可．
此题主要考查了算术平方根的定义，正确把握定义是解题关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、12+22≠32，不符合题意；
B、32+42≠72，不符合题意；
C、2.5，4，4.5，不是正整数，不符合题意；
D、52+122=132，符合题意．
故选：D．
根据勾股数的定义：可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数，据此解答即可．
本题考查了勾股数的定义，熟记勾股数的定义是解本题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：几个步骤进行排序为：
②设计对数学喜爱情况的调查问卷；
①从每班随机抽取10人进行调查；
④对得到结果进行记录整理；
③利用样本估计总体得出调查结论；
∴排序为②①④③，
故选：B．
根据统计调查的一般过程得出答案．
此题主要考查了用样本估计总体，调查收集数据的过程与方法，正确进行数据的调查步骤是解题关键．
4.【答案】B
【解析】解：A.(−a3)2=a6，故此选项不合题意；
B.−a⋅a4=−a5，故此选项符合题意；
C.a4÷a4=1，故此选项不合题意；
D.(2ab2)3=8a3b6，故此选项不合题意．
故选：B．
直接利用积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算，进而得出答案．
此题主要考查了积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查逆命题的真假性，是易错题．
首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假．
【解答】
解：A、逆命题是三个角对应相等的两个三角形全等，错误；
B、绝对值相等的两个数相等，错误；
C、同位角相等，两条直线平行，正确；
D、相等的两个角都是45°，错误．
故选：C．
6.【答案】D
【解析】解：设旗杆高度为x m，过点C作CB⊥AD于B，
则AC=AD=x m，AB=(x−2)m，BC=8m，
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即(x−2)2+82=x2，
解得：x=17，
即旗杆的高度为17米．
故选：D．
根据题意画出示意图，设旗杆高度为x m，可得AC=AD=x m，AB=(x−2)m，BC=8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．
本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．
7.【答案】A
【解析】解：根据题意，大正方形的边长为a+b，面积为(a+b)2，
由边长为a的正方形，2个长为a宽为b的长方形，边长为b的正方形组成，
所以(a+b)2=a2+2ab+b2．
故选：A．
左边大正方形的边长为(a+b)，面积为(a+b)2，由边长为a的正方形，2个长为a宽为b的长方形，边长为b的正方形组成，根据面积相等即可得出答案．
本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的几何背景的计算方法进行求解是解决本题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：根据作图知DE垂直平分线段AC，
∴DA=DC，AE+EC=6，
∵AB+AD+BD=13，
∴AB+BD+DC=13，
∴△ABC的周长=AB+BD+BC+AC=13+6=19，
故选：D．
利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题．
本题考查作图−基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型．
9.【答案】D
【解析】解：小华同学的方案：
在△ABC和△DEC中，
CA=CD∠ACB=∠DCEBC=EC，
∴△ABC≌△DEC(SAS)，
∴AB=CD，
∴小华同学的方案可行；
小欣同学的方案：
在△ABC和△EDC中，
∠ABC=∠EDC=90°BC=DC∠ACB=∠ECD，
∴△ABC≌△EDC(ASA)
∴AB=DE，
∴小欣同学的方案可行；
小彤同学的方案：
在△ABD和△CBD中，
∠ABD=∠CBD=90°BD=BD∠BDA=∠BDC，
∴△ABD≌△CBD(ASA)
∴AB=BC，
∴小彤同学的方案可行．
故选：D．
小华同学利用的是“边角边”，小欣和小彤同学的方案利用的是“角边角”．
本题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形判定的“SAS”和“ASA”定理是解决问题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：A.得分在70～80分之间的人数最多，有14人，此选项正确，不符合题意；
B.及格(不低于60分)的人数为12+14+8+2=36(人)，此选项错误，符合题意；
C.∵总人数为4+12+14+8+2=40(人)，
∴得分在90～100分之间的人数占总人数的百分比为240×100%=5%，此选项正确，不符合题意；
D.该班的总人数为40，此选项正确，不符合题意；
故选：B．
根据频数分布直方图得出各分数段内的人数，再据此对各选项逐一判断即可．
本题考查频数分布直方图，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
11.【答案】 2
【解析】解：写出一个大于−1而小于3的无理数 2，
故答案为： 2．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π， 6，0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)等形式．
12.【答案】75°或30°或120°
【解析】解：如果∠A是顶角，则∠B是底角，
∴∠B=12×(180°−∠A)=12×(180°−30°)=75°；
如果∠A是底角，
若∠B是底角，
∴∠B=∠A=30°，
若∠B是顶角，
∴∠B=180°−2∠A=180°−2×30°=120°，
∴∠B=75°或30°或120°．
故答案为：75°或30°或120°．
如果∠A是顶角，求出∠B=12×(180°−∠A)=75°；如果∠A是底角，若∠B是底角，求出∠B=∠A=30°，若∠B是顶角，求出∠B=180°−2∠A=180°−2×30°=120°，于是即可得到答案．
本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是要分情况讨论．
13.【答案】3b−2
【解析】解：(3ab−2a)÷a
=3ab÷a−2a÷a
=3b−2．
故答案为3b−2．
根据多项式除以单项式的法则计算即可．
本题考查了多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．注意，多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式，多项式除以单项式的结果仍是一个多项式．
14.【答案】25
【解析】解：S正方形AHGF+S正方形EFMN=FA2+FE2=AE2，
又四边形ACDE为正方形，
所以AE2=AC2=BC2+AB2=32+42=25，
即图中阴影部分的面积为25．
故答案为：25．
首先分析出阴影部分的面积为大正方形ACDE的面积，然后根据题干数据求解即可．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理的相关知识是解题的关键．
15.【答案】3
【解析】解：∵OM⊥AP，ON⊥AQ，OM=ON，
∴AO平分∠PAQ，
∴∠PAO=∠QAO=12∠PAQ，故①正确；
∵BO平分∠CBQ，
∴∠OBQ=12∠CBQ，
∵∠CBQ=∠PAQ+∠ACB，∠OBQ=∠QOA+∠AOB，
∴∠AOB=12∠ACB，故②正确；
过O作OE⊥BC于E，
∴∠OMC=∠OEC=90°，OM=OE，
在Rt△COM和Rt△COE中，
OM=OECO=CO
∴Rt△COM≌Rt△COE(HL)，
∴∠COM=∠COE，即∠COE=12∠MOE，
同理：∠BOE=12∠EON，
∴∠COB=12∠MON，即∠MON=2∠COB，
∵∠CAB+∠MON+∠AMO+∠ANO=360°，∠AMO=∠ANO=90°，
∴∠CAB+∠MON=180°，
即2∠COB+∠CAB=180°，故③错误；
∴∠PAQ+2∠COB=180°，故④正确．
即正确的个数有3个，
故答案为：3．
由角平分线的性质可判断①；由角平分线的定义及三角形外角的性质可判断②；过O作OE⊥BC于E，利用HL证明三角形全等可得∠MON=2∠COB，再由四边形的内角和定理可判断③④．
本题主要考查角平分线的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，灵活运用角的平分线的性质是解题的关键．
16.【答案】解：(1)4x3y−4x2y2+xy3
=xy(4x2−4xy+y2)
=xy(2x−y)2；
(2)原式=6a3−12a2+9a−6a3−8a2
=−20a2+9a，
当a=−2时，
原式=−20×4−18=−98．
【解析】(1)直接利用提公因式法和公式法计算得出答案；
(2)直接利用整式的混合运算法则计算，把a的值代入得出答案．
本题主要考查了因式分解和整式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．
17.【答案】解：△ABC与△ADC中，
∵AB=AD，BC=DC，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC(SSS)，
∴∠BAC=∠DAC．
即AE平分∠BAD．
不论∠DAB的大小，始终有AE平分∠BAD．
【解析】本题考查了全等三角形的应用，用SSS判断全等，再运用性质，是全等三角形判定及性质的综合运用，做题时要认真读题，充分理解题意．
AC为公共边，其中AB=AD，BC=DC，利用SSS判断两个三角形全等，根据全等三角形的性质解题．
18.【答案】解：由题意可得：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，
故AB=2AP=60(海里)，
则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为：BP= AB2−AP2= 602−302=30 3(海里)．
【解析】根据题意得出：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，再利用勾股定理得出BP的长，求出答案．
此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确应用勾股定理是解题关键．
19.【答案】解：(1)∵|x−5|+ y+3=0，
∴x−5=0，y+3=0，
∴x=5，y=−3，
(2)x−2y
=5−2×(−3)
=11，
∴x−2y的平方根是± 11．
【解析】非负数之和等于0时，各项都等于0，由此即可求出x、y的值，由平方根的定义即可求出x−2y的平方根．
本题考查非负数的性质：算术平方根、绝对值，平方根，关键是掌握非负数之和等于0时，各项都等于0，平方根的定义．
20.【答案】72
【解析】解：(1)由题意得，样本容量为：15÷25%=60，
故B的人数为：60−15−24−9=12，
补全统计表和条形统计图如下：
n°=360°×(1−25%−15%−40%)=72°，故n=72，
故答案为：72；
(2)1600×(1260+40%)=960(人)，
答：其中崇拜英雄人物和科学家的共约960人；
(3)由统计图可知，崇拜英雄人物的比例比崇拜娱乐明星的比例还低，学校要帮助学生树立正确的人生观和价值观，让更多的学生崇拜英雄人物和科学家．
(1)用A的人数除以A所占百分比可得样本容量，进而求出B的人数，再补全统计表和条形统计图即可；用360°乘B所占百分比可得n的值；
(2)用总人数乘样本中崇拜英雄人物和科学家所占百分比之和即可；
(3)围绕条形统计图和扇形统计图给出合理化建议．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了用样本估计总体的思想．
21.【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，
由折叠的性质得：AH=AB，
∵MN是正方形的对称轴，
∴MN垂直平分AD，
∴DH=AH，
∴DH=AH=AD，
∴△DHA是等边三角形．
【解析】由正方形的性质得到AD=AB，由折叠的性质得：AH=AB，由线段垂直平分线的性质得到DH=AH，于是得到DH=AH=AD，即可证明△DHA等边三角形．
本题考查折叠的性质，关键是由折叠的性质得到AH=AB，由线段垂直平分线的性质推出DH=AH．
22.【答案】A 在 ∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB=30°=∠B，
∴AD=BD，
∴D在AB的垂直平分线上．
【解析】解：(1)作∠BAC的平分线AD，交BC于点D，如图：
(2)作线段AB的垂直平分线EF，如上图；
故答案为：A；
(3)点D在直线EF上，
理由：∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB=30°=∠B，
∴AD=BD，
∴D在AB的垂直平分线上．
故答案为：在；
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB=30°=∠B，
∴AD=BD，
∴D在AB的垂直平分线上．
(1)作∠BAC的平分线AD，交BC于点D即可；
(2)作线段AB的垂直平分线EF；
(3)由∠C=90°，∠B=30°，得∠BAC=60°，而AD平分∠BAC，可得∠DAB=30°=∠B，故AD=BD，从而D在AB的垂直平分线上．
本题考查作图−应用与设计作图，解题的关键是掌握角平分线，线段垂直平分线的尺规作图方法．
23.【答案】② 22.5
【解析】(1)证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠BDC=∠AEC=90°，
∴∠A+∠ABD=90°，∠A+∠ACE=90°，
∴∠ABD=∠ACE，
在△ABD和△FCD中，
∠ADB=∠FDCBD=CD∠ABD=∠FCD，
∴△ABD≌△FCD(ASA)，
∴AB=CF，
故答案为：②；
(2)①延长BE交CA延长线于F，
∵CD平分∠ACB，
∴∠FCE=∠BCE=22.5°，
∵∠DAC=∠CEF=∠BAF=90°，
∴∠ACD+∠F=∠ABF+∠F=90°，
∴∠ACD=∠ABE，
∴∠ABE=22.5°，
故答案为：22.5；
②CD=2BE，理由如下：
在△CEF和△CEB中，
∠FCE=∠BCECE=CE∠CEF=∠CEB=90°，
∴△CEF≌△CEB(ASA)，
∴FE=BE=12BF，
∵∠DAC=∠CEF=∠BAF=90°，
∴∠ACD+∠F=∠ABF+∠F=90°，
∴∠ACD=∠ABF，
在△ACD和△ABF中，
∠ACD=∠ABFAC=AB∠CAD=∠BAF=90°，
∴△ACD≌△ABF(ASA)，
∴CD=BF，
∴CD=2BE．
(3)结论：BE=12DF.理由如下：
过点D作DG/​/AC，交BE的延长线于点G，与AF相交于H，
∵DG/​/AC，
∴∠GDB=∠C，∠BHD=∠A=90°，
∵∠ABE=∠EDG，∠ABE=∠EDB
∴∠EDB=∠EDG=12∠C，
∵BE⊥ED，
∴∠BED=90°，
∴∠BED=∠BHD，
∵∠EFB=∠HFD，
∴∠EBF=∠HDF，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠C=∠ABC=45°，
∵DG/​/AC，
∴∠GDB=∠C=45°，
∴∠GDB=∠ABC=45°，
∴BH=DH，
在△BGH和△DFH中，
∠HBG=∠HDFBH=DH∠BHG=∠DHF=90°，
∴△BGH≌△DFH(ASA)，
∴BG=DF，
在△BDE和△GDE中，
∠BDE=∠GDEDE=DE∠BED=∠GED=90°，
∴△BDE≌△GE(ASA)，
∴BE=EG，
∴BE=12BG=12DF．
(1)根据ASA可证明△ABD≌△FCD，则可得出答案；
(2)延长BE交CA延长线于F，证明△CEF≌△CEB，推出FE=BE，再证明△ACD≌△ABF(ASA)，可得结论；
(3)过点D作DG/​/AC，交BE的延长线于点G，与AF相交于H，过点D作DG/​/AC，交BE的延长线于点G，与AE相交于H，证明方法类似．
本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．偶像类型
划记
人数
百分比
A.娱乐明星
正正正
15
25%
B.英雄人物
正正
C.科学家
正正正正
24
40%
D.其他
9
15%