吉林省重点学校2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷(含答案)

这是一份吉林省重点学校2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题（每小题3分，共24分，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2分）若分式的值为负数，则x的取值范围是（ ）
A．x＜2B．x＞2C．x＞5D．x＜﹣2
3．（2分）若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是（ ）
A．70°B．45°C．35°D．50°
4．（2分）在四边形ABCD中，若∠A+∠B+∠C＝260°，则∠D的度数为（ ）
A．120°B．110°C．100°D．40°
5．（2分）将一块边长为a米的正方形广场进行扩建，扩建后的正方形边长比原来长2米，则扩建后广场面积增大了（ ）
A．4平方米B．（a2+4）平方米
C．（2a+4）平方米D．（4a+4）平方米
6．（2分）甲、乙两台机器运输某种货物，已知乙比甲每小时多运60kg，甲运输500kg所用的时间与乙运输800kg所用的时间相等，求甲、乙两台机器每小时分别运输多少千克货物，设甲每小时运输x kg货物，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（每小题3分，共24分
7．（3分）计算：（a﹣2）3＝ ．
8．（3分）分式方程的解是 ．
9．（3分）x2+x+m＝（x﹣n）2，则m＝ ，n＝ ．
10．（3分）如图，在△ABC中，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D，E．若△ABD≌△CAE，则△ABC形状为 ．
11．（3分）如图，在△ABC中．∠B＝90°，∠BAC＝30°．AB＝9cm，D是BC延长线上一点．且AC＝DC．则
AD＝ cm．
12．（3分）在平面直角坐标系中，已知点P（a，1）与点Q（2，b）关于x轴对称，则a+b＝ ．
13．（3分）将五边形ABCDE按如图方式折叠，折痕为AF．点E、D分别落在E′，D′．已知∠AFC＝76°，则∠CFD′＝ ．
14．（3分）我们规定能使等式成立的一对数（m，n）为“友好数对”．例如当m＝2，n＝﹣8时，能使等式成立，（2，﹣8）是“友好数对”．若（a，3）是“友好数对”，则a＝ ．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）分解因式：（p﹣4）（p+1）+3p．
16．（5分）解方程+＝1
17．（5分）已知x2+x﹣5＝0，求代数式（x﹣1）2﹣x（x﹣3）+（x+2）（x﹣2）的值．
18．（5分）如图，∠ACB＝∠CFE＝90°，AB＝DE，BC＝EF，试证明：AD＝CF．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）先化简，然后从﹣1，0，1，2中选取一个你认为合适的数作为a的值代入求值．
20．（7分）学完分式运算后，老师出了一道题：“计算”小明解答如下：
解：原式＝ ……第一步
＝2x﹣（x+1）……第二步
＝2x﹣x﹣1 ……第三步
＝x﹣1 ……第四步
（1）上述解题过程中的错误从第 步开始；
（2）当x为x﹣3＜0的正整数解时，求的值．
21．（7分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点都在格点上．
（1）在图1中找到一个格点D，画出△BCD，使△ABC与△BCD全等，且以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形；
（2）在图2中找到一个格点E，画出△ACE，使△ACE与△ABC全等，且以点A，B，C，E为顶点的四边形不是轴对称图形．
22．（7分）小红家有一块L形菜地，要把L形菜地按如图所示的那样分成面积相等的两个梯形种上不同的蔬菜．已知这两个梯形的上底都是a米，下底都是b米，高都是（b﹣a）米．
（1）请你算一算，小红家的菜地面积共有多少平方米？
（2）当a＝10米，b＝30米时，面积是多少？
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）用圆规和直尺在AC上作点P，使点P到A、B的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）当满足（1）的点P到AB、BC的距离相等时，求∠A的度数．
24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴．
（1）如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，0），B（﹣1，0），C（﹣1，2），△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2的三个顶点的坐标；
（2）如果点P的坐标是（﹣a，0），其中0＜a＜3，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求PP2的长．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．甲工程队施工一天，需付工程款1万元；乙工程队施工一天，需付工程款0.6万元．根据甲、乙工程队的投标书测算，可有三种施工方案：
（A）甲队单独完成这项工程，刚好如期完成；
（B）乙队单独完成这项工程要比规定工期多用4天；
（C）若甲、乙两队合做3天后，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．
为了节省工程款，同时又能如期完工，你认为应选择哪一种方案？并说明理由．
26．（10分）将△ABC的∠C折起，翻折后角的顶点位置记作C'．
（1）当C'落在AC上时（如图1），可得∠1与∠2的关系为 ；
（2）当C'点落在CA和CB之间（如图2）时，探究∠1、∠2、∠3之间的关系，并说明理由；
（3）当C'落在CB，CA的同旁（如图3）时，直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系．
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：选项A、C、D中的图形都能找到一条或多条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项B中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：B．
2．（2分）若分式的值为负数，则x的取值范围是（ ）
A．x＜2B．x＞2C．x＞5D．x＜﹣2
【答案】A
【解答】解：若分式的值为负数，
则2﹣x＞0，解得x＜2．
则x的取值范围是x＜2．
故选：A．
3．（2分）若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是（ ）
A．70°B．45°C．35°D．50°
【答案】C
【解答】解：当等腰三角形的顶角为110°时，则它的底角＝＝35°，
故选：C．
4．（2分）在四边形ABCD中，若∠A+∠B+∠C＝260°，则∠D的度数为（ ）
A．120°B．110°C．100°D．40°
【答案】C
【解答】解：∵在四边形ABCD中，∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，且∠A+∠B+∠C＝260°，
∴∠D＝100°，
故选：C．
5．（2分）将一块边长为a米的正方形广场进行扩建，扩建后的正方形边长比原来长2米，则扩建后广场面积增大了（ ）
A．4平方米B．（a2+4）平方米
C．（2a+4）平方米D．（4a+4）平方米
【答案】D
【解答】解：（a+2）2﹣a2＝a2+4a+4﹣a2＝4a+4，
故选：D．
6．（2分）甲、乙两台机器运输某种货物，已知乙比甲每小时多运60kg，甲运输500kg所用的时间与乙运输800kg所用的时间相等，求甲、乙两台机器每小时分别运输多少千克货物，设甲每小时运输x kg货物，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解答】解：设甲每小时运输x kg货物，则乙每小时运输（x+60）kg货物，
由题意得：＝．
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共24分
7．（3分）计算：（a﹣2）3＝ a﹣6 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（a﹣2）3＝a﹣6．
故答案为：a﹣6．
8．（3分）分式方程的解是 x＝﹣2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：，
方程两边同乘x（x﹣2），去分母得4x＝2（x﹣2），
解这个整式方程得x＝﹣2，
检验：把x＝﹣2代入x（x﹣2）≠0，
∴x＝﹣2是分式方程的解．
故答案为：x＝﹣2．
9．（3分）x2+x+m＝（x﹣n）2，则m＝ ，n＝ ﹣ ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵x2+x+＝（x+）2，
∴m＝，n＝﹣，
故答案为：；﹣．
10．（3分）如图，在△ABC中，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D，E．若△ABD≌△CAE，则△ABC形状为 等腰直角三角形 ．
【答案】等腰直角三角形．
【解答】解：∵△ABD≌△CAE，
∴∠CAE＝∠B，AB＝AC，
∵BD⊥直线m，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B+∠BAD＝180°﹣∠ADB＝90°，
∴∠CAE+∠BAD＝90°，
∴∠CAB＝180°﹣（∠CAE+∠BAD）＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形．
11．（3分）如图，在△ABC中．∠B＝90°，∠BAC＝30°．AB＝9cm，D是BC延长线上一点．且AC＝DC．则
AD＝ 18 cm．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵AC＝CD，
∴∠CAD＝∠D，
在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝60°，
∵∠ACB为△ACD的外角，
∴∠CAD＝∠D＝30°，
∴AD＝2AB＝18cm．
故答案为：18
12．（3分）在平面直角坐标系中，已知点P（a，1）与点Q（2，b）关于x轴对称，则a+b＝ 1 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵点P（a，1）与点Q（2，b）关于x轴对称，
∴点P（a，1）与点Q（2，b）的横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴a＝2，1+b＝0，
解得b＝﹣1，
∴a+b＝1，
故答案为：1．
13．（3分）将五边形ABCDE按如图方式折叠，折痕为AF．点E、D分别落在E′，D′．已知∠AFC＝76°，则∠CFD′＝ 28° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵∠AFC＝76°，
∴∠AFD＝180°﹣∠AFC＝104°，
∴∠AFD′＝∠AFD＝104°，
∴∠CFD′＝∠AFD′﹣∠AFC＝104°﹣76°＝28°．
故答案为：28°．
14．（3分）我们规定能使等式成立的一对数（m，n）为“友好数对”．例如当m＝2，n＝﹣8时，能使等式成立，（2，﹣8）是“友好数对”．若（a，3）是“友好数对”，则a＝ ﹣ ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意，可得：+＝，
∴+＝+，
∴+﹣＝+﹣，
∴+＝，
解得a＝﹣．
故答案为：﹣．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）分解因式：（p﹣4）（p+1）+3p．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝p2+p﹣4p﹣4+3p＝p2﹣4＝（p+2）（p﹣2）．
16．（5分）解方程+＝1
【答案】见试题解答内容
【解答】解：去分母得：3+x2+3x＝x2﹣9，
解得：x＝﹣4，
经检验x＝﹣4是分式方程的解．
17．（5分）已知x2+x﹣5＝0，求代数式（x﹣1）2﹣x（x﹣3）+（x+2）（x﹣2）的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（x﹣1）2﹣x（x﹣3）+（x+2）（x﹣2）
＝x2﹣2x+1﹣x2+3x+x2﹣4
＝x2+x﹣3，
∵x2+x﹣5＝0，
∴x2+x＝5，
∴原式＝5﹣3＝2．
18．（5分）如图，∠ACB＝∠CFE＝90°，AB＝DE，BC＝EF，试证明：AD＝CF．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵∠ACB＝∠CFE＝90°，
∴∠ACB＝∠DFE＝90°，即△ABC与△DEF都为直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴AC＝DF，
∴AC﹣AF＝DF﹣CF，即AD＝FC．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）先化简，然后从﹣1，0，1，2中选取一个你认为合适的数作为a的值代入求值．
【答案】，当a＝2时，原式＝2．
【解答】解：原式＝[﹣]÷
＝÷
＝•
＝，
∵a≠±1，且a≠0，
∴当a＝2时，原式＝2．
20．（7分）学完分式运算后，老师出了一道题：“计算”小明解答如下：
解：原式＝ ……第一步
＝2x﹣（x+1）……第二步
＝2x﹣x﹣1 ……第三步
＝x﹣1 ……第四步
（1）上述解题过程中的错误从第 2 步开始；
（2）当x为x﹣3＜0的正整数解时，求的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）从第2步开始错误；
（2）当x﹣3＜0时，
∴x＜3
∵x是整数，
∴x＝2
∴原式＝﹣
＝
＝
＝
21．（7分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点都在格点上．
（1）在图1中找到一个格点D，画出△BCD，使△ABC与△BCD全等，且以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形；
（2）在图2中找到一个格点E，画出△ACE，使△ACE与△ABC全等，且以点A，B，C，E为顶点的四边形不是轴对称图形．
【答案】（1）见解答．
（2）见解答．
【解答】解：（1）如图1，△BCD即为所求（答案不唯一）．
（2）如图2，△ACE即为所求．
22．（7分）小红家有一块L形菜地，要把L形菜地按如图所示的那样分成面积相等的两个梯形种上不同的蔬菜．已知这两个梯形的上底都是a米，下底都是b米，高都是（b﹣a）米．
（1）请你算一算，小红家的菜地面积共有多少平方米？
（2）当a＝10米，b＝30米时，面积是多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）小红家的菜地面积共有：2×（a+b）（b﹣a）＝b2﹣a2；
（2）当a＝10米，b＝30米时，
原式＝302﹣102＝900﹣100＝800（平方米）．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）用圆规和直尺在AC上作点P，使点P到A、B的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）当满足（1）的点P到AB、BC的距离相等时，求∠A的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）依照题意，画出图形，如图所示．
（2）∵点P到AB、BC的距离相等，
∴PC＝PD．
在Rt△BCP和Rt△BDP中，，
∴Rt△BCP≌Rt△BDP（HL），
∴BC＝BD．
又∵PD垂直平分AB，
∴AD＝2BD＝2BC．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，
∴∠A＝30°．
24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴．
（1）如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，0），B（﹣1，0），C（﹣1，2），△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2的三个顶点的坐标；
（2）如果点P的坐标是（﹣a，0），其中0＜a＜3，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求PP2的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）△A2B2C2的三个顶点的坐标分别是A2（4，0），B2（5，0），C2（5，2）；
（2）如图1，当0＜a＜3时，∵P与P1关于y轴对称，P（﹣a，0），
∴P1（a，0），
又∵P1与P2关于l：直线x＝3对称，
设P2（x，0），可得：＝3，即x＝6﹣a，
∴P2（6﹣a，0），
则PP2＝6﹣a﹣（﹣a）＝6﹣a+a＝6．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．甲工程队施工一天，需付工程款1万元；乙工程队施工一天，需付工程款0.6万元．根据甲、乙工程队的投标书测算，可有三种施工方案：
（A）甲队单独完成这项工程，刚好如期完成；
（B）乙队单独完成这项工程要比规定工期多用4天；
（C）若甲、乙两队合做3天后，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．
为了节省工程款，同时又能如期完工，你认为应选择哪一种方案？并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设完成工程规定工期为x天，
根据题意得：+＝1，
解得：x＝12，
经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意，
∴x+4＝16，
∴甲工程队单独完成需12天，乙工程队单独完成需16天．
∵B方案不能按时完成，
∴要舍弃．
A方案的工程款为12×1＝12（万元），
C方案的工程款为3×1+12×0.6＝10.2（万元），
∵12＞10.2，
∴应选C方案．
答：为了节省工程款，同时又能如期完工，应选C方案．
26．（10分）将△ABC的∠C折起，翻折后角的顶点位置记作C'．
（1）当C'落在AC上时（如图1），可得∠1与∠2的关系为 ∠1＝2∠2 ；
（2）当C'点落在CA和CB之间（如图2）时，探究∠1、∠2、∠3之间的关系，并说明理由；
（3）当C'落在CB，CA的同旁（如图3）时，直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系．
【答案】（1）∠1＝2∠2；
（2）∠1+∠3＝2∠2；
（3）∠1＝2∠2+∠3．
【解答】解：（1）当点C'落在AC上时，如图1所示：

由折叠的性质可知：∠C＝∠2，
由三角形的外角定理得：∠1＝∠C+∠2＝2∠2；
故答案为：∠1＝2∠2．
（2）当C'点落在CA和CB之间时，连接CC'，如图2所示：
则∠1、∠2、∠3之间的关系是：∠1+∠3＝2∠2，理由如下：
由三角形的外角定理得：∠1＝∠DCC'+∠DC'C，∠3＝∠ECC'+∠EC'C，
∴∠1+∠3＝∠DCC'+∠DC'C+∠ECC'+∠EC'C，
即∠1+∠3＝∠DCE+∠DC'E，
由折叠的性质可知：∠DCE+∠DC'E＝∠2，
∴∠1+∠3＝2∠2；
（3）当C'落在CB，CA的同旁时，设C'D与AC交于点H，如图3所示：
则∠1、∠2、∠3之间的关系是：∠1＝2∠2+∠3，理由如下：
∵∠EHD是△C'HE的一个外角，
∴∠EHD＝∠2+∠3，
∵∠1是△CHD的一个外角，
∴∠1＝∠C+∠EHD，
即∠1＝∠C+∠2+∠3，
由折叠的性质可知：∠C＝∠2，
∴∠1＝2∠2+∠3．