2023-2024学年内蒙古自治区赤峰市赤峰二中高二上学期第二次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年内蒙古自治区赤峰市赤峰二中高二上学期第二次月考数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用二倍的正弦公式求出斜率的值，再根据其与倾斜角之间的关系即可得到答案.
【详解】，
则斜率为，
则倾斜角，又因为，所以，
故选：C.
2．已知双曲线的一条渐近线方程为，则（ ）
A．B．C．D．3
【答案】A
【分析】根据双曲线的渐近线方程即可计算.
【详解】由题设知，，解得.
故选:A.
3．在平面直角坐标系中， 以点(0，1)为圆心且与直线相切的圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由条件利用点到直线的距离公式求得半径，可得要求的圆的标准方程．
【详解】由题意可得圆心为点(0，1)，半径为，
要求的圆的标准方程为，
故选：A．
4．若，则“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】结合双曲线的定义，利用充分条件和必要条件的定义判断．
【详解】当时， ，故方程表示双曲线，
因此“”是“方程表示双曲线”的充分条件，
方程表示双曲线时，需满足 ，即 或 ，
故“”不是“方程表示双曲线”的必要条件，
故选：A.
5．若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截
得的弦长为2，则的离心率为
A．2B．C．D．
【答案】A
【详解】由几何关系可得，双曲线的渐近线方程为，圆心到渐近线距离为，则点到直线的距离为，
即，整理可得，双曲线的离心率．故选A．
点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
6．已知是椭圆的左焦点，是椭圆上一动点，若，则的最小值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设椭圆的右焦点为，根据椭圆的定义可得，求出的最小值，即可得解.
【详解】椭圆，则，，，
如图，设椭圆的右焦点为，
则；
，
由图形知，当在直线（与椭圆的交点）上时，，
当不在直线（与椭圆的交点）上时，根据三角形的两边之差小于第三边有，
；
当在的延长线（与椭圆的交点）上时，取得最小值，
的最小值为．

故选：．
7．已知点，分别为双曲线：的左、右焦点，点是双曲线的一条渐近线上一点，且.若的面积为，则双曲线的实轴长为（ ）
A．B．1C．2D．4
【答案】B
【分析】先求出双曲线的渐近线方程，由的面积求出，进一步计算实轴长即可.
【详解】双曲线的渐近线方程为.如图，由，知，
过点作于点，则，，
因为，所以.
由，得，
故双曲线的实轴长为1.
故选：B.
8．是椭圆的左､右焦点，点为椭圆上一点，点在轴上，满足，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，结合向量加法的平行四边形法则确定与的关系，再利用椭圆定义结合余弦定理求解作答.
【详解】由得，以、为一组邻边的平行四边形的以点M为起点的对角线对应的向量与共线，
由知，平分，
因此这个平行四边形是菱形，有，
又，于是得，
令椭圆的半焦距为c，在中，，
由余弦定理得：，
即，
则有，解得，所以椭圆的离心率为.
故选：D
二、多选题
9．对于直线和直线．以下说法正确的有（ ）
A．直线一定过定点
B．若，则
C．若，则
D．点到直线的距离的最大值为
【答案】AB
【分析】A选项，直线变形后得到方程组，得到所过定点；B选项，根据垂直关系得到方程，求出答案；C选项，根据平行变形得到方程，求出或；D选项，恒过点，故点到直线的距离的最大值为两点间距离，利用两点间距离公式求出答案.
【详解】A选项，变形为，
令，解得，故直线一定过定点，A正确；
B选项，若，则，解得，B正确；
C选项，若，则，解得或，C错误；
D选项，恒过点，
点到直线的距离的最大值为两点间距离，
其中，D错误.
故选：AB
10．已知点是圆C：上的点，则下列说法正确的是（ ）
A．到直线的距离最大值为5
B．的最大值为
C．的最小值为9
D．的最小值为
【答案】BC
【分析】求出圆心、半径，根据几何意义转化为圆心与直线或点的距离以及连线的斜率求解，即可得出答案.
【详解】由已知可得，圆心，半径.
对于A项，圆心到直线的距离，
所以，到直线的距离最大值为，故A项错误；
对于B项，设，当与圆相切时，斜率取得最大值或最小值.
直线方程为，即.
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，
即，整理可得，解得，
所以，的最大值为，故B项正确；
对于C项，圆心到的距离为，
所以，圆上点到的距离的最小值为，
即，
所以，，故C项正确；
对于D项，设直线方程为，即，
当直线与方程相切时，有最大值或最小值，
则，所以.
所以，的最小值为，
即的最小值为，故D项错误.
故选：BC.
11．已知F为双曲线的右焦点，过F的直线l与圆相切于点M，l与C及其渐近线在第二象限的交点分别为P，Q，则（ ）
A．B．直线与C相交
C．若，则C的渐近线方程为D．若，则C的离心率为
【答案】AD
【分析】根据给定条件，计算切线长判断A；由直线斜率与的大小说明判断B；求出出点Q，P的坐标计算判断C，D作答.
【详解】令双曲线的半焦距为c，有，，依题意，，如图，
对于A，，A正确；
直线的斜率，直线是双曲线C过第一三象限的渐近线，直线与C不相交，B不正确；
对于C，由选项A可得点，设点，依题意，，
即，解得，即，
又点Q在直线上，则有，解得，有，
C的渐近线方程为，C不正确；
对于D，由选项C同理得点，因此，即，解得，D正确.
故选：AD
12．已知，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点（不在轴上），外接圆的圆心为，半径为，内切圆的圆心为，半径为，直线交轴于点，为坐标原点，则（ ）
A．最大时，B．的最小值为2
C．椭圆的离心率等于D．的取值范围为
【答案】ABD
【分析】对于A，根据当在短轴的端点时，取得最大，且最大值为，再根据，代入进而即可求解；
对于B，根据，然后结合平面向量数量积的几何意义与基本不等式即可求解；
对于C，运用角平分线定理即可求解；
对于D，由正弦定理可得，再又结合A可得，从而得到，再根据题意得到，进而即可求解．
【详解】对于A，设，，则，且，
所以，
则当在短轴的端点时，取得最大，且最大值为，
又，
所以当最大时，，即，故A正确；
对于B，过点作，垂足为点G，
又点为外接圆的圆心，即为三条边的中垂线的交点，则点G为的中点，
由，
又，同理，
所以，
当且仅当时等号成立，即的最小值为2，故B正确；
对于C，由内切圆的圆心为，则，分别是，的角平分线，
则由角平分线定理可得，即，故C错误；
对于D，设，，，
由正弦定理可得，即，
则，即，
因为，
又结合A有，所以，即，所以，
又因为当在短轴的端点时，最大，此时，，
所以，即，所以，
故，故D正确．
故选：ABD．

【点睛】本题考查了椭圆的定义以及几何性质，明确外心的位置和内角平分线性质，灵活运用正弦定理和等面积法是解答本题关键，考查了推理能力、运算求解能力，属于难题．
三、填空题
13．与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的标准方程为 .
【答案】
【分析】设所求的双曲线方程为，代入，求出的值即可.
【详解】设所求的双曲线方程为，
因为双曲线过点，所以，解得，
所以，，化为标准方程得，
即.
故答案为：.
14．斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与圆相切，则 .
【答案】
【分析】由抛物线方程得焦点坐标，表示出直线方程，利用圆心到直线距离等于半径求的值.
【详解】圆，圆心，半径，
抛物线的焦点坐标为，
依题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
由直线与圆相切，有圆心到直线距离等于半径，
即，解得.
故答案为：.
15．已知椭圆和双曲线有共同的焦点，P，Q分别是它们的在第一象限和第三象限的交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则等于 ．
【答案】2
【分析】根据椭圆和双曲线的定义及勾股定理，利用椭圆和双曲线的离心率公式即可求解.
【详解】设椭圆长半轴为，双曲线实半轴为，，为两曲线在第一象限的交点，为两曲线在第三象限的交点，如图所示，

由椭圆和双曲线定义与对称性知，，，
，
，则，
，即，
于是有，则，
故答案为：.
16．如图，已知双曲线：与过其焦点的圆相交于，，，四个点，直线与轴交于点，直线与双曲线交于点，记直线，的斜率分别为，，若，则双曲线的离心率为 .

【答案】
【分析】根据双曲线与圆的对称性确定关于原点对称，利用直线斜率的坐标运算与坐标关系即可得关系，从而可得双曲线离心率.
【详解】由题可知关于原点对称，所以
又在双曲线上，所以，则，
所以，
即，①
∴由，
连接，可得
可得，②

由①②联立，所以离心率.
故答案为：.
四、解答题
17．已知 的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．
(1)求顶点的坐标.
(2)求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据互相垂直两直线斜率的关系，结合直线的点斜式方程，通过解方程组进行求解即可；
（2）根据中点坐标公式，结合直线点斜式方程进行求解即可.
【详解】（1）边上的高所在直线方程为，
，且，即，
的顶点，直线方程;，
即与联立，，
解得：，顶点的坐标为；
（2）所在直线方程为，设点，
是中点，，，
在所在直线方程为上，
,解得：,，
的方程为：，即.
18．如图，四棱锥的底面ABCD是矩形，平面ABCD，，．
(1)求证：平面；
(2)求二面角余弦值的大小；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明直线所在的向量与平面内两个不共线的向量垂直，即可得到直线与平面内的两条相交直线垂直，进而得到线面垂直；
（2）由题意求出两个平面的法向量，求出两个向量的夹角，进而转化为二面角的平面角即可．
【详解】（1）如图所示，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，，，
在中，因为，，则，所以，，
可得，，，
因为，，即，，
且，平面，所以平面.
（2）由（1）可得，，
设平面的法向量为，则，
令，则，
故平面的法向量可取为，
因为平面，则为平面的一个法向量，
可得，
设二面角的大小为，由图易得为锐角，
所以二面角余弦值为.
19．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
(1)求A；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合二倍角的正弦公式求解即得.
（2）由（1）的结论，利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式计算即得.
【详解】（1）在中，由正弦定理、二倍角的正弦公式及，得．
又，因此，而，
所以．
（2）由（1）知，由余弦定理得．
而，则，，解得，
所以的面积．
20．已知圆的圆心在直线：上，并且经过点和点．
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线：上存在点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，且，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题设写出的垂直平分线的方程，结合已知圆心在直线:上，联立求圆心，并确定半径，即得方程；
（2）根据已知得，再由圆心到直线的距离求参数范围.
【详解】（1）因为的中点为，且，所以的垂直平分线为，即，
由，得，所以圆心，则半径，所以圆：．
（2）如图，由得，所以，

所以圆心到直线的距离，则，解得
所以的取值范围为．
21．已知双曲线，焦点为，其中一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上，且.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线交于两点，若的面积为，求正实数的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用双曲线的定义和渐近线方程即可求得双曲线的标准方程.
（2）联立双曲线和直线方程，利用韦达定理表示出弦长，即可得出答案.
【详解】（1）由条件知，，
故.
即双曲线标准方程为.
（2）设，到直线的距离为，
联立得，
由，解得，
又，故，
而又由，
故弦长，，
又，
解得，，
又，故.
22．已知椭圆的焦距为2，且经过点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)经过椭圆右焦点F且斜率为的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否存在异于点F的定点T，使恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；点
【分析】（1）根据题意，得到，再由椭圆经过点，联立方程组，求得，即可求解.
（2）设直线l的方程为，联立方程组，得到，设点坐标为，由，得到，得到，得到，列出方程，求得，即可求解．
【详解】（1）解：由椭圆的焦距为2，故，则，
又由椭圆经过点，代入得，解得，
所以椭圆的方程为．
（2）解：根据题意，直线l的斜率显然不为零，令，
由椭圆右焦点，故可设直线l的方程为，
联立方程组，整理得，
则，
设，，且，
设存在点，设点坐标为，由，可得，
又因为，
所以，所以，
所以直线和关于轴对称，其倾斜角互补，即有，
则，所以，
所以，整理得，
即，即，
解得，符合题意，即存在点满足题意．
【点睛】方法技巧：解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：
1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；
2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.