讲析03 圆锥曲线（考点分析）习题-【中职专用】高二数学上学期（高教版2021）

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讲析03 圆锥曲线一、知识网络二、常考题型三、知识梳理一、椭圆1. 椭圆的定义平面内与两个定点F1、F2的__距离的和等于常数(大于|F1F2|__的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的__焦点__，两焦点间的距离叫做椭圆的__焦距__．注：若集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a、c为常数，则有如下结论：(1若a＞c，则集合P为__椭圆__；(2若a＝c，则集合P为__线段F1F2__；(3若a＜c，则集合P为__空集__．2.椭圆的标准方程和几何性质3.直线与椭圆的位置关系直线y＝kx＋m与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系判断方法：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1.))消去y(或x)得到一个一元二次方程.二、双曲线1．双曲线的定义平面内与两个定点F1、F2的__距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|__的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的__焦点__，两焦点间的距离叫做双曲线的__焦距__．注：设集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数，且a＞0，c＞0；(1当a＜c时，P点的轨迹是__双曲线__；(2当a＝c时，P点的轨迹是__两条射线__；(3当a＞c时，集合P是__空集__．2.双曲线的标准方程和几何性质三、抛物线1. 抛物线的定义抛物线需要满足以下三个条件：(1在平面内；(2动点到定点F的距离与到定直线l的距离__相等__；(3定点F与定直线l的关系为__点F∉l__．2、抛物线的标准方程与几何性质四、常考题型探究考点一 椭圆的标准方程例1．椭圆的焦距为8，且椭圆上的点到两个焦点距离之和为10，则该椭圆的标准方程是          ．【答案】x225+y29=1或y225 +x29 =1解：由题意可知：焦距为2c=8，则c=4，2a=10，则a=5，b2=a2-c2=9，∴当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的标准方程：x225+y29=1，当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：y225 +x29 =1 ，故椭圆的标准方程为x225+y29=1或y225 +x29 =1例2．已知椭圆的一个焦点为，且过点，则椭圆的标准方程为（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】根据题意，椭圆的焦点在轴上，故设其方程为：，显然，，则，故椭圆方程为.故选：B.【变式探究】1. 椭圆的焦点坐标为和，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10的椭圆的标准方程为 .【答案】【解析】依题意，椭圆长轴长，则，而椭圆半焦距，因此椭圆短半轴长，所以所求椭圆标准方程是.2. 求经过点P(1，eq \f(3,2))，两焦点间的距离为2，焦点在x轴上的椭圆标准方程． [解析]　设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，(a>b>0)，∵焦点在x轴上，2c＝2，∴a2＝b2＋1，又椭圆经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，∴eq \f(1,b2＋1)＋eq \f(\f(9,4),b2)＝1，解之得b2＝3，∴a2＝4.∴椭圆的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.考点二 椭圆的简单几何性质例3．求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．[解析]　　把已知方程化成标准方程eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1，于是a＝4，b＝3，c＝eq \r(16－9)＝eq \r(7)，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(7),4)，两个焦点坐标分别是(－eq \r(7)，0)、(eq \r(7)，0)，四个顶点坐标分别是(－4,0)、(4,0)、(0，－3)、(0,3)．例4．焦点在x轴上的椭圆的焦距是8，则椭圆的长轴长为（    ）A．40 B． C． D．20【答案】B【分析】由椭圆的性质即可得到答案.【详解】由题意得，则椭圆的长半轴长为，长轴长为.故选：B.【变式探究】1. 椭圆的焦距为 ．【答案】8【分析】根据椭圆方程求c，进而可得焦距.【详解】由题意可知：，可得，所以椭圆的焦距为.故答案为：8.2. 焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4eq \r(5)，则椭圆的方程为(　A　)A．eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,16)＝1　　 B．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,36)＝1C．eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,4)＝1　　 D．eq \f(y2,6)＋eq \f(x2,4)＝1[解析]　设椭圆方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＋b＝10,2c＝4\r(5),a2＝b2＋c2))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝6,b＝4))∴椭圆方程eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,16)＝1.考点三 椭圆的离心率例5. 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】依题意求得，然后由公式可得.【详解】由题意得，，所以，．例6. 已知椭圆的离心率为，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据离心率的公式即可求解.【详解】由可得离心率为，又，所以，故选：A【变式探究】1.椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由椭圆方程知：，故离心率为.故选：B2. 若焦点在y轴上的椭圆eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,2)＝1的离心率为eq \f(1,2)，则m的值为__eq \f(3,2)__.[解析]　∵焦点在y轴上，∴00)或x2＝2py(p>0)，∵过点(－1,2)，∴4＝－2p·(－1)或(－1)2＝2p·2.∴p＝2或p＝eq \f(1,4).故所求的抛物线方程为y2＝－4x或x2＝eq \f(1,2)y，对应的准线方程分别为x＝1，y＝－eq \f(1,8).(2)令x＝0得y＝－2，令y＝0得x＝4，∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)．当焦点为(4,0)时，eq \f(p,2)＝4，∴p＝8，此时抛物线方程y2＝16x；当焦点为(0，－2)时，eq \f(p,2)＝|－2|，∴p＝4，此时抛物线方程为x2＝－8y.故所求的抛物线方程为y2＝16x或x2＝－8y，对应的准线方程分别是x＝－4，y＝2.【变式探究】1. 顶点在原点，焦点是(0,2)的抛物线的方程是(　B　)A．y2＝8x　　 B．x2＝8yC．x＝8y2　　 D．y＝8x2[解析]　由题意，抛物线的顶点在原点，焦点为F(0,2)，则设抛物线方程为x2＝2py，p＞0，所以，eq \f(p,2)＝2，即p＝4，故抛物线方程为：x2＝8y.故选B．2. 若抛物线的顶点是原点，准线为直线，则此抛物线的方程为 .【答案】【分析】设出抛物线解析式，通过准线求出的值，即可求出此抛物线的方程.【详解】由题意，抛物线的顶点是原点，准线为直线，∴设抛物线的方程为，∴，解得：，∴此抛物线的方程为：，故答案为：.  考点九 抛物线的简单几何性质例17.抛物线的焦点的坐标为 .【答案】【分析】由抛物线的定义解出，依据抛物线开口方向定焦点坐标.【详解】抛物线，则即，抛物线开口向上，焦点为.故答案为：例18. 抛物线y＝4x2的焦点到准线的距离是(　C　)A．4　　 B．2　　C．eq \f(1,8)　　 D．eq \f(1,16)[解析]　抛物线y＝4x2，即x2＝eq \f(1,4)y的焦点到准线的距离为：p＝eq \f(1,8).【变式探究】1.抛物线y＝－4x2的准线方程为(　D　)A．x＝1　　 B．y＝1C．x＝eq \f(1,16)　　 D．y＝eq \f(1,16)[解析]　抛物线y＝－4x2的方程可化为x2＝－eq \f(1,4)y，可得p＝eq \f(1,8)，∴准线方程为y＝eq \f(1,16).故选D．2. 若抛物线上的点P到直线的距离等于4，则点P到焦点F的距离（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据抛物线的定义即可得解.【详解】抛物线的准线为，而抛物线上的点P到直线的距离等于4，所以点P到焦点F的距离.故选：D.考点十 直线与圆锥曲线的位置关系例19. 已知双曲线的实轴长为2，右焦点为.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线与双曲线交于不同的两点，，求.【解析】（1）由已知，，又，则，所以双曲线方程为.（2）由，得，则，设，，则，，所以.【变式探究】已知双曲线与抛物线有共同的焦点,过双曲线的左焦点,作倾斜角是的直线与双曲线交于A,B两个点，（1）求直线和双曲线的方程；（2）求的面积。【答案】①由可得 所求的双曲线方程是，直线方程是设依据题意列方程组得：消元得： 由韦达定理可得：由弦长公式可得：点到直线AB的距离：所以==标准方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴　　　　　对称中心：原点顶点A1(－a,0，A2(a,0B1(0，－b，B2(0，bA1(0，－a，A2(0，aB1(－b,0，B2(b,0轴长轴A1A2的长为__2a__；短轴B1B2的长为__2b__焦距|F1F2|＝__2c__离心率e＝__eq \f(c,a)__∈(0,1a、b、c的关系__c2＝a2－b2__位置关系解的个数Δ的取值相交两解Δ__>__0相切一解Δ__＝__0相离无解Δ__<__0标准方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴　　　对称中心：原点顶点顶点坐标：A1__(－a,0__，A2__(a,0__顶点坐标：A1__(0，－a__，A2__(0，a__渐近线y＝__±eq \f(b,a)x__y＝__±eq \f(a,b)x__离心率e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞，其中c＝eq \r(a2＋b2)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的__实轴__，它的长|A1A2|＝__2a__；线段B1B2叫做双曲线的__虚轴__，它的长|B1B2|＝__2b__；__a__叫做双曲线的__实半轴长__，b叫做双曲线的__虚半轴长__a、b、c的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0标准方程y2＝2px(p＞0y2＝－2px(p＞0x2＝2py(p＞0x2＝－2py(p＞0p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0对称轴y＝0x＝0焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))离心率e＝__1__准线方程__x＝－eq \f(p,2)____x＝eq \f(p,2)____y＝－eq \f(p,2)____y＝eq \f(p,2)__范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0|PF|＝__x0＋eq \f(p,2)__|PF|＝_－x0＋eq \f(p,2)__|PF|＝__y0＋eq \f(p,2)__|PF|＝_－y0＋eq \f(p,2)__