海南省海口市第一中学2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题（含答案）

海口市第一中学2022—2023学年度第一学期

高一年级数学科期末考试试题

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. （    ）

A.  B.  C.  D.

3. 已知函数，若，则（    ）

A.  B.  C.  D. 1

4. 函数在单调增区间是（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 函数的图象大致为（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 李明开发的小程序经过t天后，用户人数，其中k为常数.已知小程序发布经过10天后有2000名用户，则用户超过50000名至少经过的天数为（    ）（取）

A. 31 B. 32 C. 33 D. 34

7. 若在区间上单调递增，则实数t的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若对任意，均有，则实数t的最大值是（    ）

A.  B.  C.  D. 3

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）

9. 设，，则下列不等式恒成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 下列不等式中成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

11. 已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A. 的最小正周期为 B. 的图像关于中心对称

C. 在区间上单调递增 D. 的值域为

12. 给出下列四个结论，其中所有正确结论的序号是（    ）

A. 若，，，则

B. 函数在上只有一个零点，且该零点在区间上.

C. 实数是命题“，”为假命题的充分不必要条件

D. 定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）.

13. 已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，点是角终边上一点，则______.

14. 某城市一圆形空地的平面图如图所示，为了方便市民休闲健身，政府计划在该空地建设运动公园（图中阴影部分）.若是以B为直角的等腰直角三角形，，则该公园的面积为______.

15. 若函数相邻两条对称轴之间的距离为2，则______.

16. 设，对于任意实数x，记，若方程至少有3个根，则实数a的最小值为______.

四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题10分）已知.

（1）化简；

（2）若，求的值.

18.（本小题12分）已知函数.

（1）若，求函数在上的最小值.

（2）求关于x的不等式的解集.

19.（本小题12分）已知为锐角，且.

（1）求的值；

（2）求函数的定义域和单调区间..

20.（本小题12分）函数的最小正周期为.

（1）求函数在上的单调递增区间；

（2）当时，求的最大值和最小值及对应x的值.

21. 在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢.在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y（单位：百万个）与培养时间x（单位：小时）的关系为：

根据表格中的数据画出散点图如下：

为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种模型供选择：

①，②，③.

（1）选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；

（2）利用和这两组数据求出你选择的函数模型的解析式，并预测从第2小时开始，至少再经过多少个小时，细菌数量达到6百万个.

22.（本小题12分）已知函数为定义在上的偶函数，且当时，.

（1）①作出函数在上的图象；

②若方程恰有6个不相等的实根，求实数a的取值范围；

（2）设，若，，使得成立，求实数a的最小值.

海口市第一中学2022－2023学年度第一学期

高一年级数学科期末考试参考答案

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.【答案】C

【分析】先由自然数集的概念化简集合A，再利用集合的交集运算即可得解.

【详解】因为，，

所以.故选：C.

2.【答案】B

【分析】根据诱导公式一可求出结果.

【详解】.故选：B.

3.【答案】C

【分析】由即可求出，则可求出的值.

【详解】当时，，无解，

当时，，

所以，故选：C.

4.【答案】A

解析 ∵函数定义域为，令，在上单调递减，由复合函数单调性的性质可得函数在单调增区间是.故选：A.

5.【答案】A

【解析】由条件判断函数为奇函数，且在为负数，从而得出结论.

【详解】，

因此函数为奇函数，图像关于原点对称排除C，D；

当时，，，因此.故选：A.

【点睛】本题主要考查的是函数图像的应用，奇偶性的应用，根据奇偶函数的对称性进行判断是解决本题的关键.

6.【答案】D

【分析】经过t天后，用户人数，由小程序发布经过10天后有2000名用户，可得，当用户达到50000名时有，根据对数运算，即可求得答案.

【详解】∵经过t天后，用户人数，

又∵小程序发布经过10天后有2000名用户，∴，

即，可得，∴①

当用户达到50000名时有，

即，可得，∴②

联立①和②可得，即，故，

∴用户超过50000名至少经过的天数为34天，故选：D.

7.【答案】D

【分析】根据题意，结合正弦型函数的单调区间列出不等式，然后结合条件代入计算，即可得到结果.

【详解】令，，

所以，，

所以函数的单调增区间为，，

又因为在上单调递增，

则是，的一个子区间，当时，即，

若是的子集，则，故选：D.

8.【答案】B

【分析】利用函数的奇偶性与单调性可得，再利用二次函数在区间的单调性与最值即可得解.

【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以，

则由得，

又因为在上是增函数，所以，

两边平方化简得在恒成立，

令，则，

又因为开口向上，对称轴为，所以在单调递增，

则，解得

又因为，所以，所以t的最大值为.故选：B.

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）

9.【答案】BCD

【分析】利用不等式的性质即可求解.

【详解】对于A，当时，则，故A不正确；

对于B，由，则，故B正确；

对于C，当，时，则，故C正确；

对于D，因为，所以，由可得，故D正确；故选：BCD.

10.【答案】AD

【详解】对A，因为，在单调递增，所以，故A正确；

对于B，，，故B错误；

对C，因为，在单调递减，所以，故C错误；

对于D，，故D正确；故选：AD.

11.【答案】BC

【分析】根据函数解析式，结合三角函数的性质，分别判断各选项.

【详解】，函数定义域为，，不是的周期，A选项错误；

，所以函数图像上的点关于的对称点也在函数图像上，即的图像关于中心对称，B选项正确；

当时，，所以在区间上单调递增，C选项正确；

当时，，，有，

当时，，，有，

所以的值域为，D选项错误.故选：BC.

12.【答案】ACD

【分析】利用对数函数的单调性判断A，根据零点存在性定理及函数单调性判断B，根据二次不等式的求解及充分必要条件判断C，构造函数，根据函数单调性解不等式判断D.

【详解】对于A，若，，，则，，，

所以，故A正确；

对于B，函数在上单调递增，且，，故该零点在区间上错误，故B错误；

对于C，命题“，”为假命题，则“，”为真命题，当时，，为真命题，当时，，为假命题，当时，若时，，这时“，”为真命题，当时，，这时“，”为假命题，综上实数是命题“，”为假命题的充分不必要条件，故C正确；

对于D，定义在上的函数满足，不妨设，则，即，令，，

则，故单调递减，因为，所以，由变形为，即，根据单调递减，所以，故D选项正确.

故选：ACD.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）.

13.【答案】1

【分析】利用三角函数的定义以及同角三角函数基本关系可计算出的值，再利用化弦为切即可求解.

【详解】因为点是角终边上一点，所以，

所以，故答案为：1.

14.【答案】

【分析】利用扇形面积公式即可得到结果.

【详解】由题可知圆心O为AC的中点，，连接OB，

该公园的面积，故答案为：.

15.【答案】－1

【详解】由题意知函数的周期为4，所以，则，

所以，

故答案：－1.

16.【答案】10

【分析】设，，分析可知函数至少有一个零点，可得出，求出a的取值范围，然后对实数a的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数a的不等式，综合可求得实数a的取值范围.

【详解】解：设，，由可得.

要使得函数至少有3个零点，则函数至少有一个零点，

则，解得或.

①当时，，作出函数、的图象如图所示：

此时函数只有两个零点，不满足题意；

②当时，设函数的两个零点分别为、（），

要使得函数至少有3个零点，则，

所以，，解得；

③当时，，作出函数、的图象如图所示：

由图可知，函数的零点个数为3，满足题意；

④当时，设函数的两个零点分别为、（），

要使得函数至少有3个零点，则，

可得，解得，此时.

综上所述，实数a的取值范围是.故答案为：10.

四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.【答案】（1），（2）

【分析】（1）利用诱导公式可化简的表达式；

（2）由已知可得出，等式两边平方可得的值，进而可计算得出的值.

【详解】（1）解：.

（2）解：因为，所以，

两边平方得，所以，

所以，所以，

所以.

18.【答案】（1）.

（2）当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为.

【分析】（1）根据已知条件及基本不等式即可求解.

（2）利用一元二次不等式的解法及对参数a分类讨论即可求解；

【详解】（1）由，得，解得，

因为，所以，

当且仅当，即时，等号成立.

所以当时，函数在上的最小值为.

（2）由，得，即，

当时，不等式，解得，不等式的解集为；

当即时，不等式的解集为；

当即时，不等式的解集为；

综上所述，当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为.

19.【答案】解：（1）由，得，

得或，

∵为锐角，∴，

∴.

（2），则，

由，得，.

即函数的定义域为.

由，，

得，

即函数的单调递增区间为，，无单调递减区间.

20.【答案】（1），

（2）的最大值为2，，的最小值为－1，

【详解】（1）因为的最小正周期，所以，故，

令，则，

即的单调递增区间为.

而，所以函数在上的单调增区间是，.

（2）当时，，

所以当，即时，函数有最大值2，

当，即时，函数有最小值－1，

所以，的最大值为2，这时，的最小值为－1，这时.

21.【答案】（1）；

（2）62.

【分析】（1）根据函数的增长速度可求解；

（2）将所选的两点坐标代入函数解析式，求出参数值，可得出函数模型的解析式，再由即可求解.

【详解】（1）随着自变量的增加，函数值的增长速度变小，

而在对称轴右方，随着自变量的增加，函数值的增长速度变大，

随着自变量的增加，函数值的增长速度变大，

故选择函数.

（2）由题意可得，解得，

所以.

令，解得.

故至少再经过62小时，细菌数列达到6百万个.

22.【答案】（1）①图象见解析；②；（2）.

【分析】（1）①先作出上的图象，再利用偶函数的性质作出上的图象即可，②恰有6个不相等的实根，等价于与有6个交点，然后结合图象可求得答案；

（2）由题意可得，利用函数的单调性结合换元法求出，再由（1）求出，代入上式可求出实数a的范围，从而可求出其最小值.

【详解】（1）①当时，.

列表：

描点连线，图象如图，

因为为偶函数，所以的图象关于y轴对称，

所以在上的图象如图所示；

②恰有6个不相等的实根，等价于与有6个交点，

由图象可知当时，有6个交点，所以实数a的取值范围为；

（2）因为在上为增函数，在上为增函数，

所以在上为增函数，

因为在上为增函数，

所以在上为增函数，

所以，

由（1）可知在上的最小值为0，

因为，，使得成立，

所以，所以，解得，所以实数a的最小值为.