高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第七章 统计案例3 独立性检验3.1 独立性检验测试题

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3.3 独立性检验的应用
基础过关练
题组一 2× 2列联表
1.在2×2列联表中,两个分类变量有关系的可能性越大,相差越大的两个比值为( )
A.aa+b与cc+d B.ac+d与ca+b
C.aa+d与cb+c D.ab+d与ca+c
2.(2024吉林通榆一中期中)已知甲、乙两个班级进行数学考试,按照大于或等于85分为优秀,85分以下为非优秀,得到如下列联表:
已知在105人中随机抽取1人,成绩优秀的概率为27,则下列说法正确的是( )
A.列联表中c的值为30,b的值为35
B.列联表中c的值为15,b的值为50
C.列联表中c的值为20,b的值为50
D.由列联表可看出成绩与班级有关系
3.某学校对高三学生进行一项调查后发现:在平时的模拟考试中,性格内向的426名学生中有332名在考前心情紧张,性格外向的594名学生中有213名在考前心情紧张.请作出考前心情与性格的2×2列联表.
题组二 独立性检验及其简单应用
4.(2023黑龙江牡丹江第二高级中学期末)下列关于独立性检验的说法正确的是( )
A.独立性检验是对两个变量是否具有线性相关关系的一种检验
B.独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系
C.利用χ2独立性检验推断吸烟与患肺病的关联中,若χ2>6.635,则我们可以说在100个吸烟的人中,有99人患肺病
D.对于独立性检验,随机变量χ2的值越小,判定“两变量有关系”犯错误的概率越大
5.(2024广东东莞虎门中学等七校联考)某乡镇在实施乡村振兴的进程中,大力推广科学种田,引导广大农户种植优良品种,进一步推动当地农业发展,不断促进农业增产农民增收.为了解某新品种水稻的产量情况,现从种植该新品种水稻的不同自然条件的田地中随机抽取400亩,统计其亩产量x(单位:t),并以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)求这400亩水稻平均亩产量的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表,精确到小数点后两位);
(2)若这400亩水稻的灌溉水源有河水和井水,现统计了两种水源灌溉水稻的亩产量,并得到下表:
判断能否有95%的把握认为亩产量与所用灌溉水源有关.
附:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.
6.(2024云南师范大学附属中学月考)近年来我国新能源汽车产业迅速发展,下表是某地区新能源汽车的年销售量与年份的统计表:
某机构调查了该地区100位购车车主的性别与购车种类情况,得到的部分数据如下表所示:
(1)求新能源汽车的年销售量y关于年份x的线性相关系数r,并判断y与x之间的线性相关关系的强弱;(若|r|∈[0.75,1],相关性较强;若|r|∈[0.30,0.75),相关性一般;若|r|∈[0,0.30),相关性较弱)
(2)请将上述2×2列联表补充完整,并判断能否有95%的把握认为购车车主购置新能源汽车与性别有关.
附:①相关系数r=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2∑i=1n(yi-y)2=∑i=1nxiyi-nx y∑i=1nxi2-nx2∑i=1nyi2-ny2;
②6.6≈2.6;
③ χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.
能力提升练
题组 独立性检验的综合应用
1.(2024陕西、青海部分学校联考)第19届亚运会结束后,某网络直播平台调研“大学生是否喜欢观看体育比赛直播与性别有关”,从某高校男、女生中各随机抽取100名进行问卷调查,得到如下数据(5≤m≤15,m∈N):
通过计算,有95%以上的把握认为大学生喜欢观看体育比赛直播与性别有关,则在被调查的100名女生中喜欢观看体育比赛直播的人数的最大值为( )
附:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.
A.55 B.57 C.58 D.60
2.(2023山东青岛第二中学期中)某足球俱乐部在对球员的使用上总是进行数据分析,在2022年度赛季中,为了考察甲球员对球队的贡献度,现作如下数据统计:
(1)求r,s的值,并判断能否有95%的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关;
(2)根据以往的数据统计,乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置,且出场率分别为0.3,0.5,0.1,0.1,当出任前锋、中锋、后卫以及守门员时,球队输球的概率依次为0.4,0.2,0.6,0.2.
①当他参加比赛时,求球队某场比赛输球的概率;
②当他参加比赛时,求在球队输了某场比赛的条件下,乙球员担当前锋的概率;
③如果你是教练员,应用概率与统计的有关知识,分析该如何合理安排乙球员的参赛位置.
附:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.
3.(2024贵州贵阳第一中学月考)继“村BA”后,贵州“村超”又火出圈!所谓“村超”,其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事——榕江(三宝侗寨)和美乡村足球超级联赛,被大家简称为“村超”.“村超”的民族风、乡土味、欢乐感,让每个人尽情享受着足球带来的快乐.某校为了丰富学生课余生活,组建了足球社团.足球社团为了了解学生喜欢足球是否与性别有关,随机抽取了男、女学生各50名进行调查,部分数据如下表所示:
(1)根据所给数据完成上表,并判断能否有99.5%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关;
(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范定点射门.据统计,这2名男生进球的概率均为23,1名女生进球的概率为12,每人射门一次,假设各人进球相互独立,求3人进球总次数X的分布列和数学期望.
附:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.
4.“支付宝捐步”已经成为当下最热门的健身方式之一,为了了解使用支付宝捐步是否与年龄有关,研究人员随机抽取了5 000名使用支付宝的人员进行调查,所得情况如下表:
(1)试问:使用支付宝捐步是否与年龄有关?
(2)55岁的老王在了解了捐步功能以后开启了自己的捐步计划,可知其在捐步的前5天,捐步的步数与天数呈线性相关.
①根据上表数据,建立y关于x的线性回归方程y^=b^x+a^;
②记由①中线性回归方程得到的预测步数为y'x,若从5天中任取3天,记y'x3.841,
所以有95%的把握认为亩产量与所用灌溉水源有关.
6.解析 (1)由已知得,x=2 020,y=2,
所以∑i=15(xi−x)2=(-2)2+(-1)2+0+12+22=10,
∑i=15( yi-y)2=(-0.4)2+(-0.3)2+(-0.1)2+0.22+0.62=0.66,
∑i=15(xi−x)( yi−y)=(-2)×(-0.4)+(-1)×(-0.3)+0×(-0.1)+1×0.2+2×0.6=2.5,
所以r=∑i=15(xi-x)(yi-y)∑i=15(xi-x)2∑i=15(yi-y)2=2.510×0.66≈ 2.52.6≈0.96>0.75,
所以y与x之间的线性相关性较强.
(2)依题意,补全2×2列联表如下:
则χ2=100×(35×25-25×15)250×50×40×60=256≈4.17>3.841,
所以有95%的把握认为购车车主购置新能源汽车与性别有关.
能力提升练
1.C 由题意得, χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
=200×[(80-m)(50-m)-(20+m)(50+m)]2100×100×130×70
=8×(15-m)291≥3.841,
所以(15-m)2≥43.7,
又5≤m≤15,m∈N,所以15-m≥7,解得m≤8,
故在被调查的100名女生中喜欢观看体育比赛直播的人数的最大值为58.
故选C.
2.解析 (1)由已知得,r=30-8=22,s=20-8=12,
将题中表格补充完整,如下所示:
∴χ2=50×(22×12-8×8)230×20×30×20=509≈5.556>3.841,
故有95%的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关.
(2)①记“乙球员参加比赛时,球队某场比赛输球”为事件A,
则P(A)=0.3×0.4+0.5×0.2+0.1×0.6+0.1×0.2=0.3,
故乙球员参加比赛时,球队某场比赛输球的概率为0.3.
②记“乙球员担当前锋”为事件B,则P(AB)=0.3×0.4=0.12,
P(B|A)=P(AB)P(A)=,故在球队输了某场比赛的条件下,乙球员担当前锋的概率为0.4.
③记“乙球员担当中锋”为事件C,“乙球员担当后卫”为事件D,“乙球员担当守门员”为事件E,
则P(C|A)=P(AC)P(A)=0.5×0.20.3≈0.33,
P(D|A)=P(AD)P(A)=0.1×,
P(E|A)=P(AE)P(A)=0.1×0.20.3≈0.067,
又P(B|A)=0.4,
∴P(B|A)>P(C|A)>P(D|A)>P(E|A),
∴安排乙球员担当守门员赢面大一些.
3.解析 (1)依题意,2×2列联表如下:
则χ2=100×(30×35-20×15)250×50×45×55=10011≈9.091>7.879,
所以有99.5%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关.
(2)依题意,X的可能取值为0,1,2,3,
则P(X=0)=1-232×1-12=118,
P(X=1)=C21×23×1-23×1-12+1-232×12=518,
P(X=2)=C21×23×1-23×12+232×1-12=49,
P(X=3)=232×12=29,
所以X的分布列为
数学期望EX=0×118+1×518+2×49+3×29=116.
4.解析 (1)χ2=5 000×(1 000×500-1 000×2 500)22 000×3 000×3 500×1 500≈635>6.635,
所以有99%的把握认为使用支付宝捐步与年龄有关.
(2)①x=1+2+3+4+55=3,
y=4 000+4 200+4 300+5 000+5 5005=4 600,
∑i=15xiyi=1×4 000+2×4 200+3×4 300+4×5 000+5×5 500=72 800,
∑i=15xi2=12+22+32+42+52=55,
故b^=∑i=15(xi-x)(yi-y)∑i=15(xi-x)2=∑i=15xiyi-5xy∑i=15xi2-5x2=72 800-5×3×4 60055-5×9=380,
a^=y−b^x=4 600-380×3=3 460.
所以y关于x的线性回归方程为y^=380x+3 460.
②把x=1,2,3,4,5分别代入线性回归方程中,求出每天的预测步数,如下表:
所以y'x