数学选择性必修 第一册第一章 直线与圆1 直线与直线的方程1.6 平面直角坐标系中的距离公式同步达标检测题

这是一份数学选择性必修 第一册第一章 直线与圆1 直线与直线的方程1.6 平面直角坐标系中的距离公式同步达标检测题，共22页。试卷主要包含了直线l1，已知A,B两点到直线l等内容，欢迎下载使用。

题组一 两点间的距离公式及其简单应用
1.(2023广东珠海第二中学期中)已知点M(m,-1),N(5,m),且|MN|=25,则实数m等于( )
A.1 B.3
C.1或3 D.-1或3
2.(多选题)(2024辽宁抚顺德才高级中学月考)对于x2+2x+5,下列说法正确的是( )
A.可看成点(x,0)与点(1,2)的距离
B.可看成点(x,0)与点(-1,-2)的距离
C.可看成点(x,-1)与点(1,2)的距离
D.可看成点(x,-1)与点(-1,1)的距离
3.(2023天津河西期中)已知点A(-1,2),B(2,7),P为x轴上一点,且|PA|=|PB|,则点P的坐标为( )
A.(-1,0) B.(1,0)
C.(0,-1) D.(0,1)
4.(2024四川绵阳南山中学月考)直线l1:3ax-y-2=0和直线l2:y-2=a(x-1)分别过定点A和B,则|AB|= .
5.已知△ABC的顶点分别为A(-3,1),B(3,-3),C(1,7).证明:△ABC为等腰直角三角形.
6.如图,点P(6,4),Q(-2,1),P1是点P关于x轴的对称点,连接P1Q交x轴于点M.
(1)求点M的坐标;
(2)求|MP|+|MQ|的值;
(3)N是x轴上不同于点M的任意一点,试比较|NP|+|NQ|与|MP|+|MQ|的大小.
题组二 点到直线的距离公式及其简单应用
7.(多选题)(2024浙江台州第一中学期中)已知A(-2,0),B(4,a)两点到直线l:x-y+1=0的距离相等,则a的值可以是( )
A.4 B.6 C.2 D.-2
8.(2024江苏连云港华杰高级中学阶段检测)已知点P在直线3x+y-5=0上,且点P到直线x-y-1=0的距离等于2,则点P的坐标为( )
A.(-1,8)或(3,-4) B.(1,2)或(2,-1)
C.(-2,11)或(1,2) D.(-1,8)或(2,1)
9.(2023安徽芜湖期中)美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭:将整个脸部按照发际线至眉骨、眉骨至鼻底、鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭,各占脸长的13.五眼:脸的宽度比例,以眼形长度为单位,把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图,假设三庭中一庭的高度为2,五眼中一眼的宽度为1,若直线AB近似记为该人像的刘海边缘,且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点,
则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为( )
A.524 B.724
C.924 D.1124
10.(2024北京铁路第二中学期中)点P(2,3)到直线x+3y+t=0的距离不超过2,则实数t的取值范围是 .
11.(2024北京育才学校期中)已知△ABC的顶点分别为A(-1,5),B(-2,-1),C(4,3).求:
(1)BC边上的中线的长;
(2)△ABC的面积.
题组三 两条平行线间的距离公式及其简单应用
12.(2023江西宜春丰城期中)若直线l1:x+ay+6=0与l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,则l1与l2间的距离为( )
A.2 B.823 C.3 D.833
13.(2024北京大峪中学期中)若P,Q分别为直线3x+4y-6=0与直线6x+8y+3=0上任一点,则|PQ|的最小值为( )
A.910 B.95 C.32 D.65
14.(2024山西孝义月考)已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为2x+3y+2=0和2x+3y+4=0,另一组对边所在的直线方程分别为6x-4y+c1=0和6x-4y+c2=0,则|c1-c2|=( )
A.4 B.41313 C.2 D.21313
15.(2024江苏仪征第二中学月考)冰糖葫芦是中国传统小吃,起源于南宋.由山楂串成的冰糖葫芦如图1所示,若将山楂看成是大小相同的圆,竹签看成一条线段,如图2所示,且山楂的半径为2,竹签所在的直线方程为2x+y=0,则与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为( )

A.2x+y±2=0 B.2x+y±5=0
C.2x+y±4=0 D.2x+y±25=0
16.若两平行直线分别经过点A(5,0),B(0,12),则两平行直线间的距离d的取值范围是 .
17.已知直线l1:x-y=0,l2:2x+y-3=0,l3:ax-2y+4=0.
(1)若点P在l1上,且到l2的距离为35,求点P的坐标;
(2)若l2∥l3,求l2与l3之间的距离.
能力提升练
题组一 与直线有关的对称问题
1.(2023河南省创新发展联盟期中联考)直线3x+4y+5=0关于直线x=1对称的直线方程为( )
A.3x-4y+13=0 B.3x-4y-11=0
C.3x+4y-11=0 D.3x+4y+13=0
2.(2022广东深圳南山外国语学校期中)入射光线在直线l1:2x-y-3=0上,先经过x轴反射到直线l2上,再经过y轴反射到直线l3上,则直线l3的方程为( )
A.x-2y+3=0 B.2x-y+3=0
C.2x+y-3=0 D.2x-y+6=0
3.已知直线l:y=2x+3,点M(1,0),则直线l关于点M对称的直线的方程为 .
4.(2024湖北荆州中学月考)在△ABC中,顶点A(-1,-4),∠B,∠C的平分线所在直线的方程分别是l1:y+1=0,l2:x+y+1=0,则BC边所在直线的方程为 .
5.已知直线l:x-y+3=0,一束光线从点A(1,2)处射向x轴上一点B,又从点B反射到l上的一点C,最后从点C反射回点A.
(1)试判断由此得到的△ABC的个数;
(2)求直线BC的方程.
题组二 与距离最值有关的问题
6.(2024山西金科大联考开学试题)已知点(a,b)在线段3x+4y-10=0(-2≤x≤6)上,则a2+b2-2的取值范围是( )
A.[2,18] B.[2,38]
C.[0,38] D.[0,210-2]
7.著名数学家华罗庚曾说过:“数形结合百般好,隔离分家万事休.”事实上,有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决,如(x-a)2+(y-b)2可以转化为平面上点M(x,y)与点N(a,b)之间的距离.根据上述观点,可得f(x)=x2+4x+20+x2+2x+10的最小值为( )
A.32 B.42 C.52 D.72
8.已知点A(3,1),在直线y=x和y=0上分别找一点M和N,使△AMN的周长最短,则最短周长为 ( )
A.4 B.25 C.23 D.22
9.(2024辽宁沈阳翔宇中学月考)设m∈R,过定点A的动直线l1:x+my+1=0和过定点B的动直线l2:mx-y-2m+3=0交于点P(x,y),则|PA|+|PB|的最大值为( )
A.32 B.6 C.62 D.12
10.(多选题)(2024江苏淮宿联考)已知点M(-1,1),N(2,1),且点P在直线l:x+y+2=0上,则( )
A.存在点P,使得PM⊥PN
B.存在点P,使得2|PM|=|PN|
C.|PM|+|PN|的最小值为29
D.||PM|-|PN||的最大值为3
11.已知在△ABC中,点A(1,1),B(m,m)(112.已知m,n,a,b∈R,且满足3m+4n=6,3a+4b=1,则(m-a)2+(n-b)2的最小值为 .
答案与分层梯度式解析
1.6 平面直角坐标系中的距离公式
基础过关练
1.C 因为|MN|=(m-5)2+(-1-m)2=2m2-8m+26,所以2m2-8m+26=25,即m2-4m+3=0,解得m=1或m=3,故选C.
2.BD x2+2x+5=(x+1)2+4=(x+1)2+(0±2)2=(x+1)2+(-1-1)2,可看成点(x,0)与点(-1,-2)或点(-1,2)的距离,也可看成点(x,-1)与点(-1,1)的距离,故选BD.
3.B 设P(m,0),则|PA|=(m+1)2+4,|PB|=(m-2)2+7,由|PA|=|PB|,得(m+1)2+4=(m-2)2+7,解得m=1,故P(1,0).故选B.
4.答案 17
解析 易得直线l1:3ax-y-2=0经过定点A的坐标为(0,-2),直线l2:y-2=a(x-1)经过定点B的坐标为(1,2),所以|AB|=(0-1)2+(-2-2)2=17.
5.证明 因为|AB|=[3-(-3)]2+(-3-1)2=213,
|BC|=(1-3)2+[7-(-3)]2=226,
|AC|=[1-(-3)]2+(7-1)2=213,
所以|AB|2+|AC|2=|BC|2,且|AB|=|AC|.
所以△ABC为等腰直角三角形.
6.解析 (1)根据题意可知P1(6,-4),又Q(-2,1),
所以kP1Q=1+4-2-6=−58,
所以直线P1Q的方程为y-1=-58(x+2),
整理,得5x+8y+2=0.
令y=0,解得x=-25,所以点M的坐标为-25,0.
(2)根据题意,得|MP|+|MQ|=|MP1|+|MQ|=|QP1|,
由P1(6,-4),Q(-2,1),得|QP1|=(6+2)2+(-4-1)2=89.
所以|MP|+|MQ|=89.
(3)|NP|+|NQ|=|NP1|+|NQ|,
|MP|+|MQ|=|MP1|+|MQ|=|QP1|,
在△NQP1中,由两边之和大于第三边,知|NP1|+|NQ|>|QP1|,所以|NP|+|NQ|>|MP|+|MQ|.
7.AB 因为点A,B到直线l的距离相等,所以|-2-0+1|12+(-1)2=|4-a+1|12+(-1)2,解得a=4或a=6.故选AB.
8.B 因为点P在直线3x+y-5=0上,所以可设点P的坐标为(a,5-3a),则点P到直线x-y-1=0的距离d=|a-(5-3a)-1|2=|4a-6|2=2,解得a=2或a=1.当a=2时,点P的坐标为(2,-1);当a=1时,点P的坐标为(1,2).综上所述,点P的坐标为(1,2)或(2,-1).故选B.
9.B 如图所示,以鼻尖所在位置为原点O,中庭下边界为x轴,垂直于中庭下边界的直线为y轴,建立平面直角坐标系,

则A12,4,B-32,2,
所以直线AB的方程为y-42-4=x-12-32-12,整理得x-y+72=0,所以原点O到直线AB的距离为721+1=724.故选B.
10.答案 [-9,-1]
解析 因为点P(2,3)到直线x+3y+t=0的距离不超过2,所以|2+3×3+t|12+(3)2≤2,解得-9≤t≤-1,
故实数t的取值范围是[-9,-1].
11.解析 (1)设BC边的中点为D,连接AD,则D(1,1),所以BC边上的中线AD的长为(1+1)2+(1-5)2=25.
(2)因为kAB=-1-5-2+1=6,所以AB边所在直线的方程为y+1=6(x+2),即6x-y+11=0,
又|AB|=(-2+1)2+(-1-5)2=37,
点C(4,3)到直线AB的距离d=|6×4-3+11|62+(-1)2=3237,
所以S△ABC=12d×|AB|=12×3237×37=16.
12.B ∵直线l1:x+ay+6=0与l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,∴3-a(a-2)=0且2a2-18≠0,解得a=-1,∴l1:x-y+6=0,l2:-3x+3y-2=0,即x-y+23=0,∴直线l1与l2间的距离d=6-2312+(-1)2=823.故选B.
13.C 由36=48≠-63,得两条直线相互平行,|PQ|的最小值就是两平行线之间的距离,
方程3x+4y-6=0可变形为6x+8y-12=0,
则|PQ|的最小值为|3-(-12)|62+82=1510=32.
故选C.
14.A 直线2x+3y+2=0与直线2x+3y+4=0之间的距离d1=|2-4|22+32=21313,直线6x-4y+c1=0与直线6x-4y+c2=0之间的距离d2=|c1-c2|62+42=1326|c1-c2|,由题意得d1=d2,即21313=1326|c1-c2|,解得|c1-c2|=4.故选A.
15.D 因为竹签所在的直线方程为2x+y=0,所以可设与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为2x+y+c=0(c≠0),由两平行直线间的距离公式,可得|c|22+12=2,解得c=±25,所以与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为2x+y±25=0.故选D.
16.答案 (0,13]
解析 易知当两平行直线与直线AB垂直时,d最大,即dmax=|AB|=13,所以0故d的取值范围是(0,13].
17.解析 (1)设点P的坐标为(t,t),
由|2t+t-3|5=35,得|t-1|=5,∴t=-4或t=6,
∴点P的坐标为(-4,-4)或(6,6).
(2)由l2∥l3,得a=-4,
∴l3:-4x-2y+4=0,即2x+y-2=0,
∴l2与l3之间的距离d=|-3-(-2)|5=55.
能力提升练
1.B 设点P(x,y)是所求直线上任意一点,则P(x,y)关于直线x=1的对称点为P'(2-x,y),且点P'在直线3x+4y+5=0上,所以3(2-x)+4y+5=0,整理得3x-4y-11=0.所以所求直线的方程为3x-4y-11=0.故选B.
2.B 设直线l1:2x-y-3=0与x轴,y轴的交点分别为A,B,则A32,0,B(0,-3).易知点A关于y轴的对称点A1的坐标为-32,0,点B关于x轴的对称点B1的坐标为(0,3),且A1,B1在反射光线l3上,故l3的方程为x-32+y3=1,即2x-y+3=0.故选B.

3.答案 2x-y-7=0
解析 设(x0,y0)为对称直线上任一点,
则其关于点M的对称点为(2-x0,-y0),易知该点在直线l上,
所以-y0=2(2-x0)+3,化简得2x0-y0-7=0,
所以所求直线的方程为2x-y-7=0.
4.答案 x+2y-3=0
解析 由题意得,点A关于直线l1和l2对称的点A1,A2都在直线BC上,
设A1(x1,y1),A2(x2,y2),
易得x1=-1,-4+y12=-1,解得x1=-1,y1=2,所以A1(-1,2),
易得y2+4x2+1·(-1)=-1,-1+x22+-4+y22+1=0,解得x2=3,y2=0,所以A2(3,0),
则kA1A2=kBC=2-0-1-3=−12,所以BC边所在直线的方程为y-0=-12(x-3),整理得x+2y-3=0.
5.解析 (1)如图,设B(m,0),点A关于x轴的对称点为A'(1,-2),
设点B关于直线l:x-y+3=0的对称点为B'(x0,y0),
则y0x0-m=-1,x0+m2-y02+3=0,解得x0=-3,y0=m+3,
∴B'(-3,m+3).
根据光学知识,知点C既在直线A'B上,也在直线B'A上,易得直线A'B的方程为y=2m-1(x-m).
由y=2m-1(x-m),x-y+3=0,得x=3-5mm-3.
又直线B'A的方程为y-2=-m-14(x-1),
由y-2=-m-14(x-1),x-y+3=0,得x=m-3m+5.
所以3-5mm-3=m-3m+5,即3m2+8m-3=0,
解得m=13或m=-3.
当m=13时,符合题意;
当m=-3时,点B在直线x-y+3=0上,不符合题意.
综上,符合题意的△ABC只有1个.
(2)由(1)得m=13,
则直线A'B的方程为3x+y-1=0,
即直线BC的方程为3x+y-1=0.
6.B 如图所示,
(a,b)是图中线段AB上的一点,且a2+b2为原点到该线段上点的距离的平方,易知A(-2,4),B(6,-2),所以|OA|2=22+42=20,|OB|2=62+22=40,又原点到直线的距离d=|-10|32+42=2,则d2=4,所以a2+b2∈[4,40],所以a2+b2-2∈[2,38].故选B.
7.答案 C
信息提取 ①令|PA|=x2+4x+20=(x+2)2+(0-4)2,|PB|=x2+2x+10=(x+1)2+(0-3)2;②求|PA|+|PB|的最小值.
数学建模 构建平面内两点间的距离问题,将求函数的最值问题转化为平面内动点到两定点的距离之和的最值问题,再通过对称性求解.
解析 f(x)=x2+4x+20+x2+2x+10=(x+2)2+(0-4)2+(x+1)2+(0-3)2,
表示点P(x,0)到点A(-2,4)和B(-1,3)的距离之和,如图所示:
C(-2,-4)是点A(-2,4)关于x轴的对称点,故最小值为|BC|=(-2+1)2+(-4-3)2=50=52.
8.B 设点A关于直线y=x和y=0的对称点分别为B,C,则B(1,3),C(3,-1),∴|BC|=25.
∵|AM|+|AN|+|MN|=|BM|+|CN|+|MN|≥|BC|,
∴最短周长为25.故选B.
9.B 方程x+my+1=0可化为my=-(x+1),则直线l1过定点A(-1,0),方程mx-y-2m+3=0可化为y-3=m(x-2),则直线l2过定点B(2,3),当m=0时,如图①所示,
直线l1:x=-1,直线l2:y=3,则交点P(-1,3),
此时|PA|=3,|PB|=3,∴|PA|+|PB|=6;
当m≠0时,如图②所示,
直线l1的斜率k1=-1m,直线l2的斜率k2=m,
∵k1k2=-1,∴l1⊥l2,则△PAB是直角三角形,
∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=(2+1)2+(3-0)2=18,
又∵(|PA|+|PB|)2=|PA|2+|PB|2+2|PA||PB|≤2(|PA|2+|PB|2)=2×18=36,且|PA|+|PB|>0,
∴|PA|+|PB|≤36=6,当且仅当|PA|=|PB|=3时等号成立.∴|PA|+|PB|的最大值为6.故选B.
10.BCD 对于A,设P(a,-a-2),当a=-1时,P(-1,-1),PM的斜率不存在,kPN=23≠0,PM与PN不垂直,同理,当a=2时,P(2,-4),易知PM与PN不垂直,当a≠-1且a≠2时,kPM=-a-3a+1,kPN=-a-3a-2,若PM⊥PN,则kPM·kPN=-a-3a+1·-a-3a-2=-1,整理,得2a2+5a+7=0,则Δ=52-4×2×7<0,方程无解,故PM与PN不垂直,故A错误;
对于B,设P(a,-a-2),若2|PM|=|PN|,则2(a+1)2+(-a-3)2=(a-2)2+(-a-3)2,即2a2+10a+9=0,则Δ=102-4×2×9=28>0,方程有解,则存在点P,使得2|PM|=|PN|,故B正确;
对于C,如图①,设M(-1,1)关于直线l的对称点为M'(m,n),
则n-1m+1=1,m-12+n+12+2=0,解得m=-3,n=-1,即M'(-3,-1),所以|PM|+|PN|=|PM'|+|PN|≥|M'N|=(-3-2)2+(-1-1)2=29,当且仅当M',P,N三点共线时取等号,故C正确;
对于D,如图②,
||PM|-|PN||≤|MN|=3,当且仅当P在NM的延长线与直线l的交点处时取等号,故D正确.
故选BCD.
11.答案 94
解析 因为A(1,1),C(4,2),
所以|AC|=(4-1)2+(2-1)2=10.
直线AC的方程为y-1=2-14-1(x-1),即x-3y+2=0,
根据点到直线的距离公式可得点B(m,m)(1所以S=12|AC|·d=12|m−3m+2|
=12m-322-14.
因为1所以-12所以当m−32=0,即m=94时,S最大.
12.答案 1
解析 设点A(m,n),B(a,b),直线l1:3x+4y=6,直线l2:3x+4y=1,
则|AB|=(m-a)2+(n-b)2,
由题意知点A(m,n)在直线l1:3x+4y=6上,点B(a,b)在直线l2:3x+4y=1上,显然l1∥l2,
所以|AB|的最小值就是两平行线之间的距离,
即|AB|min=|-6+1|9+16=1.