新高考数学一轮复习讲义第8章　§8.9　圆锥曲线压轴小题突破练（2份打包，原卷版+含解析）

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题型一 离心率范围问题
例1 (1)已知F是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点，若直线x＝eq \f(a2,c)与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
C．[eq \r(2)－1,1] D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
答案 D
解析 由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等，
又|FA|＝eq \f(a2,c)－c＝eq \f(b2,c)，|PF|∈[a－c，a＋c]，
∴eq \f(b2,c)∈[a－c，a＋c]，
∴ac－c2≤b2≤ac＋c2，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ac－c2≤a2－c2，,ac＋c2≥a2－c2，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(e≤1，,2e2＋e－1≥0，))又∵e∈(0,1)，
∴e∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).
(2)(2022·哈尔滨模拟)已知双曲线的方程是eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，点F1，F2为双曲线的两个焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线相交于点P(点P在第一象限)，若∠PF1F2≤eq \f(π,6)，则双曲线离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋\r(3),2)，＋∞)) B．[eq \r(3)＋1，＋∞)
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(3)＋1,2))) D．(1，eq \r(3)＋1]
答案 D
解析 由题意eq \f(|PF2|,2c)＝sin∠PF1F2≤sin eq \f(π,6)＝eq \f(1,2)，
所以0<|PF2|≤c，
又|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，
即(|PF2|＋2a)2＋|PF2|2＝4c2，
所以4c2≤(c＋2a)2＋c2，整理得2a2＋2ac－c2≥0，
所以e2－2e－2≤0，又e>1，故解得1思维升华 求解圆锥曲线离心率范围问题的策略
(1)利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a，b，c的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围．
(2)利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)．
(3)利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系．
跟踪训练1 (1)(2022·南京市宁海中学模拟)设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足∠F1PF2＝eq \f(π,3)，则e1e2的最小值为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(3,2) C.eq \f(\r(3),4) D.eq \f(3,4)
答案 A
解析 设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，不妨设|PF1|>|PF2|，
由椭圆和双曲线的定义可得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|PF1|＋|PF2|＝2a1，,|PF1|－|PF2|＝2a2，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|PF1|＝a1＋a2，,|PF2|＝a1－a2，))
设|F1F2|＝2c，
因为∠F1PF2＝eq \f(π,3)，
由余弦定理得
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs∠F1PF2，
即4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cs eq \f(π,3)，
整理得aeq \\al(2,1)＋3aeq \\al(2,2)＝4c2，
故eq \f(1,e\\al(2,1))＋eq \f(3,e\\al(2,2))＝4.
又4＝eq \f(1,e\\al(2,1))＋eq \f(3,e\\al(2,2))≥2eq \r(\f(1,e\\al(2,1))×\f(3,e\\al(2,2)))＝eq \f(2\r(3),e1e2)，
即2≥eq \f(\r(3),e1e2)，所以e1e2≥eq \f(\r(3),2)，
即e1e2的最小值为eq \f(\r(3),2)，
当且仅当eq \f(1,e\\al(2,1))＝eq \f(3,e\\al(2,2))，
即e1＝eq \f(\r(2),2)，e2＝eq \f(\r(6),2)时，等号成立．
(2)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，点P是C上任意一点，若圆O：x2＋y2＝b2上存在点M，N，使得∠MPN＝120°，则C的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1)) C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
答案 C
解析 连接OP，当P不为椭圆的上、下顶点时，
设直线PA，PB分别与圆O切于点A，B，∠OPA＝α，
∵存在M，N使得∠MPN＝120°，
∴∠APB≥120°，即α≥60°，
又α<90°，
∴sin α≥sin 60°，
连接OA，则sin α＝eq \f(|OA|,|OP|)＝eq \f(b,|OP|)≥eq \f(\r(3),2)，
∴|OP|≤eq \f(2b,\r(3)).
又P是C上任意一点，
则|OP|max≤eq \f(2b,\r(3))，
又|OP|max＝a，∴a≤eq \f(2b,\r(3))，
则由a2＝b2＋c2，得e2≤eq \f(1,4)，
又0∴e∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))).
题型二 圆锥曲线中二级结论的应用
命题点1 椭圆、双曲线中二级结论的应用
例2 (1)(2022·咸宁模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，其左、右焦点分别为F1，F2，其离心率e＝eq \f(1,2)，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2＝eq \f(π,3)，已知△F1PF2的内切圆半径为r＝eq \r(3)，则该椭圆的长轴长为( )
A．2 B．4 C．6 D．12
答案 D
解析 由e＝eq \f(1,2)，
得eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，即a＝2c.①
在△F1PF2中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，
得 SKIPIF 1 < 0 ＝b2tan eq \f(∠F1PF2,2)＝eq \f(1,2)r(2a＋2c)，
即eq \f(\r(3),3)b2＝eq \r(3)(a＋c)，②
由a2＝b2＋c2，③
联立①②③，得c＝3，a＝6，b＝3eq \r(3)，
所以该椭圆的长轴长为2a＝2×6＝12.
(2)(2022·石家庄模拟)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，过原点O的直线交C于A，B两点(点B在右支上)，双曲线右支上一点P(异于点B)满足eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))＝0，直线PA交x轴于点D，若∠ADO＝∠AOD，则双曲线C的离心率为( )
A.eq \r(2) B．2 C.eq \r(3) D．3
答案 A
解析 如图，eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))＝0，
∴BA⊥BP，令kAB＝k，
∵∠ADO＝∠AOD，
∴kAP＝－kAB＝－k，
又BA⊥BP，∴kPB＝－eq \f(1,k)，
依题意，kPB·kPA＝eq \f(b2,a2)，
∴－eq \f(1,k)·(－k)＝eq \f(b2,a2)，
∴eq \f(b2,a2)＝1，即e＝eq \r(2).
思维升华 焦点三角形的面积公式：P为椭圆(或双曲线)上异于长轴端点的一点，且∠F1PF2＝θ，
则椭圆中 SKIPIF 1 < 0 ＝b2·tan eq \f(θ,2)，
双曲线中 SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(b2,tan \f(θ,2)).
周角定理：已知A，B为椭圆(或双曲线)上关于原点对称的两点，点P为椭圆(或双曲线)上异于A，B的任一点，
则椭圆中kPA·kPB＝－eq \f(b2,a2)，
双曲线中kPA·kPB＝eq \f(b2,a2).
跟踪训练2 (1)如图，F1，F2是椭圆C1：eq \f(x2,4)＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3)
C.eq \f(3,2) D.eq \f(\r(6),2)
答案 D
解析 设双曲线C2的方程为eq \f(x2,a\\al(2,2))－eq \f(y2,b\\al(2,2))＝1，
则有aeq \\al(2,2)＋beq \\al(2,2)＝ceq \\al(2,2)＝ceq \\al(2,1)＝4－1＝3.
又四边形AF1BF2为矩形，
所以△AF1F2的面积为beq \\al(2,1)tan 45°＝eq \f(b\\al(2,2),tan 45°)，
即beq \\al(2,2)＝beq \\al(2,1)＝1.
所以aeq \\al(2,2)＝ceq \\al(2,2)－beq \\al(2,2)＝3－1＝2.
故双曲线的离心率e＝eq \f(c2,a2)＝eq \r(\f(3,2))＝eq \f(\r(6),2).
(2)设椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，直线AF2与该椭圆交于A，M两点，若∠F1AF2＝90°，则直线BM的斜率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C．－1 D．－eq \f(1,2)
答案 B
解析 ∵∠F1AF2＝90°，
∴△F1AF2为等腰直角三角形，
∴b＝c，∴a2＝2b2＝2c2，
∴eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,2)，且∠AF2O＝45°，
∴kMA＝－1，
又kMA·kMB＝－eq \f(b2,a2)＝－eq \f(1,2)，
∴kMB＝eq \f(1,2).
命题点2 抛物线中二级结论的应用
例3 (1)(2022·“四省八校”联考)已知抛物线y2＝4x过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，则2|AF|＋|BF|的最小值为( )
A．2 B．2eq \r(6)＋3 C．4 D．3＋2eq \r(2)
答案 D
解析 因为p＝2，
所以eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)＝1，
所以2|AF|＋|BF|＝(2|AF|＋|BF|)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,|AF|)＋\f(1,|BF|)))
＝3＋eq \f(2|AF|,|BF|)＋eq \f(|BF|,|AF|)
≥3＋2eq \r(\f(2|AF|,|BF|)·\f(|BF|,|AF|))
＝3＋2eq \r(2)，
当且仅当|BF|＝eq \r(2)|AF|时，等号成立，
因此2|AF|＋|BF|的最小值为3＋2eq \r(2).
(2)(2023·长沙模拟)已知抛物线C：y2＝16x，倾斜角为eq \f(π,6)的直线l过焦点F交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则△ABO的面积为________．
答案 64
解析 方法一 (常规解法)
依题意，抛物线C：y2＝16x的焦点为F(4,0)，
直线l的方程为x＝eq \r(3)y＋4.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(3)y＋4，,y2＝16x，))
消去x，整理得y2－16eq \r(3)y－64＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝16eq \r(3)，y1y2＝－64.
S△OAB＝eq \f(1,2)|y1－y2|·|OF|＝2eq \r(y1＋y22－4y1y2)
＝2eq \r(16\r(3)2－4×－64)＝64.
方法二 (活用结论)
依题意，抛物线y2＝16x，p＝8.
又l的倾斜角α＝eq \f(π,6).
所以S△OAB＝eq \f(p2,2sin α)＝eq \f(82,2sin \f(π,6))＝64.
思维升华 与抛物线的焦点弦有关的二级结论：
若倾斜角为αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠0，\f(π,2)))的直线l经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>y2)两点，则
①焦半径|AF|＝x1＋eq \f(p,2)＝eq \f(p,1－cs α)，
|BF|＝x2＋eq \f(p,2)＝eq \f(p,1＋cs α)，
②焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α)，
③S△OAB＝eq \f(p2,2sin α)(O为坐标原点)，
④x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2，
⑤eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)，
⑥以AB为直径的圆与准线相切，以FA为直径的圆与y轴相切．
跟踪训练3 已知A，B是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的直线与抛物线的交点，O是坐标原点，且满足eq \(AB,\s\up6(→))＝3eq \(FB,\s\up6(→))，S△OAB＝eq \f(\r(2),3)|AB|，则|AB|的值为( )
A.eq \f(9,2) B.eq \f(2,9) C．4 D．2
答案 A
解析 如图，不妨令直线AB的倾斜角为α，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
∵eq \(AB,\s\up6(→))＝3eq \(FB,\s\up6(→))，
∴F为AB的三等分点，
令|BF|＝t，则|AF|＝2t，
由eq \f(1,|BF|)＋eq \f(1,|AF|)＝eq \f(2,p)，
得eq \f(1,t)＋eq \f(1,2t)＝eq \f(2,p)⇒t＝eq \f(3,4)p，
∴|AB|＝3t＝eq \f(9,4)p，
又|AB|＝eq \f(2p,sin2α)，
∴eq \f(2p,sin2α)＝eq \f(9,4)p⇒sin α＝eq \f(2\r(2),3)，
又S△OAB＝eq \f(\r(2),3)|AB|，
∴eq \f(p2,2sin α)＝eq \f(\r(2),3)|AB|，
即eq \f(p2,\f(4\r(2),3))＝eq \f(\r(2),3)·eq \f(9,4)p⇒p＝2，
∴|AB|＝eq \f(9,2).
题型三 圆锥曲线与其他知识的综合
例4 (多选)油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1 000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节．活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸伞在地面上形成了一个椭圆形的影子(春分时，该市的阳光照射方向与地面的夹角为60°)，若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则( )
A．该椭圆的离心率为eq \f(\r(3)－1,2)
B．该椭圆的离心率为2－eq \r(3)
C．该椭圆的焦距为eq \f(3\r(2)－\r(6),3)
D．该椭圆的焦距为2eq \r(3)－1
答案 BC
解析 sin(60°＋45°)＝sin 60°cs 45°＋cs 60°sin 45°＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4)，
如图，A，B分别是椭圆的左、右顶点，F1是椭圆的左焦点，BC是圆的直径，D为圆的圆心．
因为|BD|＝|DF1|＝1，DF1⊥BC，所以|BF1|＝eq \r(2)，
设椭圆的长轴长为2a，焦距为2c，则a＋c＝eq \r(2).
因为∠A＝60°，∠B＝45°，|BC|＝2，|AB|＝2a，
由正弦定理得eq \f(2,sin 60°)＝eq \f(2a,sin60°＋45°)，
解得a＝eq \f(3\r(2)＋\r(6),6)，
所以c＝eq \r(2)－a＝eq \f(3\r(2)－\r(6),6)，
所以eq \f(c,a)＝eq \f(3\r(2)－\r(6),3\r(2)＋\r(6))＝2－eq \r(3)，2c＝eq \f(3\r(2)－\r(6),3).
思维升华 高考对圆锥曲线的考查，经常出现一些与其他知识交汇的题目，如与平面向量交汇、与三角函数交汇、与不等式交汇、与导数交汇等等，这些问题的实质是圆锥曲线问题，体现出数学的应用性．
跟踪训练4 (多选)(2022·福州质检)如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右支与直线x＝0，y＝4，y＝－2围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为eq \f(10\r(3),3)，下底外直径为eq \f(2\r(39),3)，双曲线C与坐标轴交于D，E两点，则( )
A．双曲线C的方程为eq \f(x2,3)－eq \f(y2,9)＝1
B．双曲线eq \f(y2,3)－x2＝1与双曲线C共渐近线
C．存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点
D．存在无数个点，使它与D，E两点的连线的斜率之积为3
答案 ABD
解析 依题意可知Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5\r(3),3)，4))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(39),3)，－2))，
对于A，将M，N的坐标分别代入eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(25,3a2)－\f(16,b2)＝1，,\f(13,3a2)－\f(4,b2)＝1，))解得a2＝3，b2＝9，
所以双曲线C的方程为eq \f(x2,3)－eq \f(y2,9)＝1，
其渐近线为y＝±eq \r(3)x，故A正确；
对于B，由eq \f(y2,3)－x2＝1，
可知其渐近线为y＝±eq \r(3)x，故B正确；
对于C，由双曲线的性质可知，渐近线与双曲线没有交点，与渐近线平行的直线与双曲线有一个交点，故不存在点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点，故C错误；
对于D，设双曲线上一点P(x0，y0)，y0≠0，
则eq \f(x\\al(2,0),3)－eq \f(y\\al(2,0),9)＝1，即yeq \\al(2,0)＝3xeq \\al(2,0)－9，
由题可知D(－eq \r(3)，0)，E(eq \r(3)，0)，
则kPD＝eq \f(y0,x0＋\r(3))，
kPE＝eq \f(y0,x0－\r(3))，
kPD·kPE＝eq \f(y0,x0－\r(3))·eq \f(y0,x0＋\r(3))＝eq \f(y\\al(2,0),x\\al(2,0)－3)＝3，
即存在无数个点，使它与D，E两点的连线的斜率之积为3，故D正确．
课时精练
1．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足eq \(MF1,\s\up6(—→))·eq \(MF2,\s\up6(—→))＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．(0,1) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))
答案 C
解析 ∵eq \(MF1,\s\up6(—→))·eq \(MF2,\s\up6(—→))＝0，
∴点M的轨迹是以F1F2为直径的圆，其半径r＝c，
依题意，该圆总在椭圆内部，
∴c即eq \f(c2,a2)2．(2022·保定模拟)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx(k≠0)与C交于M，N两点，且四边形MF1NF2的面积为8a2.若点M关于点F2的对称点为M′，且|M′N|＝|MN|，则C的离心率是( )
A.eq \r(3) B.eq \r(5) C．3 D．5
答案 B
解析 如图，由对称性知MN与F1F2互相平分，
∴四边形MF2NF1为平行四边形，
∵F2为MM′的中点，且|MN|＝|M′N|，
∴NF2⊥MF2，
∴MF2NF1为矩形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ＝4a2，
又 SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(b2,tan \f(π,4))＝4a2，
即b2＝4a2，∴c2－a2＝4a2，
即c2＝5a2，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \r(5).
3．已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为F(－2,0)，过F的直线l与双曲线C交于A，B两点，且AB的中点为N(－3，－1)，则C的离心率为( )
A.eq \r(2) B.eq \f(2\r(3),3) C.eq \f(\r(5),2) D.eq \r(3)
答案 B
解析 由F，N两点的坐标得直线l的斜率k＝1.
∵双曲线一个焦点为(－2,0)，∴c＝2.
设双曲线C的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
则a2＋b2＝4.
∵kAB＝kNF＝1，且kON＝eq \f(1,3)，
∴kAB·kON＝eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,3)，
即a2＝3b2，
易得a2＝3，b2＝1，c2＝4，
∴双曲线C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2\r(3),3).
4．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F作两条相互垂直的直线l1，l2，直线l1与C相交于A，B两点，直线l2与C相交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为( )
A．16 B．14 C．12 D．10
答案 A
解析 如图，设直线l1的倾斜角为θ，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
则直线l2的倾斜角为eq \f(π,2)＋θ，
由抛物线的焦点弦弦长公式知
|AB|＝eq \f(2p,sin2θ)＝eq \f(4,sin2θ)，
|DE|＝eq \f(2p,sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ)))＝eq \f(4,cs2θ)，
∴|AB|＋|DE|＝eq \f(4,sin2θ)＋eq \f(4,cs2θ)＝eq \f(4,sin2θcs2θ)＝eq \f(16,sin22θ)≥16，
当且仅当sin 2θ＝1，即θ＝eq \f(π,4)时，等号成立，即|AB|＋|DE|的最小值为16.
5．(多选)已知双曲线C：x2－eq \f(y2,4)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C的右支上，若∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则下列命题正确的是( )
A．若θ＝60°，则S＝4eq \r(3)
B．若S＝4，则|PF2|＝2eq \r(3)
C．若△PF1F2为锐角三角形，则S∈(4,4eq \r(5))
D．若△PF1F2的重心为G，随着点P的运动，点G的轨迹方程为9x2－eq \f(9y2,4)＝1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x>\f(1,3)))
答案 ACD
解析 由x2－eq \f(y2,4)＝1，得a2＝1，b2＝4，则a＝1，b＝2，c＝eq \r(5)，
焦点△PF1F2的面积公式S＝eq \f(b2,tan \f(θ,2))＝eq \f(4,tan \f(θ,2))，将θ＝60°代入可知S＝4eq \r(3)，故A正确；
当S＝4时，θ＝90°，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|PF1|－|PF2|＝2，,|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，))可得|PF2|＝2，故B错误；
当∠F1PF2＝90°时，S＝4，当∠PF2F1＝90°时，S＝4eq \r(5)，因为△PF1F2为锐角三角形，所以S∈(4,4eq \r(5))，故C正确；
设G(x，y)，P(x0，y0)(x0>1)，则xeq \\al(2,0)－eq \f(y\\al(2,0),4)＝1(x0>1)，由题设知F1(－eq \r(5)，0)，F2(eq \r(5)，0)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝3x，,y0＝3y，))所以点G的轨迹方程为9x2－eq \f(9y2,4)＝1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x>\f(1,3)))，故D正确．
6．(多选)(2022·济宁模拟)设椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A1，A2，点P是C上异于A1，A2的一点，则下列结论正确的是( )
A．若C的离心率为eq \f(1,2)，则直线PA1与PA2的斜率之积为－eq \f(4,3)
B．若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为b2
C．若C上存在四个点P使得PF1⊥PF2，则C的离心率的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
D．若|PF1|≤2b恒成立，则C的离心率的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,5)))
答案 BD
解析 设P(x0，y0)，
所以eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1，
因为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，
所以a＝2c，
所以a2＝eq \f(4,3)b2，
所以 SKIPIF 1 < 0 ＝－eq \f(b2,a2)＝－eq \f(3,4)，
所以A错误；
若PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为b2tan eq \f(π,4)＝b2，
所以B正确；
若C上存在四个点P使得PF1⊥PF2，
即C上存在四个点P使得△PF1F2的面积为b2，
所以eq \f(1,2)·2c·b>b2，
所以c>b，所以c2>a2－c2，
故e∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))，
所以C错误；
若|PF1|≤2b恒成立，所以a＋c≤2b，
所以a2＋c2＋2ac≤4b2＝4(a2－c2)，
所以5e2＋2e－3≤0，
故0所以D正确．
7．直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F(1,0)且与抛物线交于A，B两点，则|AF|－eq \f(2,|BF|)的最小值为________．
答案 2eq \r(2)－2
解析 方法一 已知eq \f(p,2)＝1，即p＝2，
所以抛物线的方程为y2＝4x，
若直线l与x轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不符合题意；
设直线l的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my＋1，,y2＝4x，))可得y2－4my－4＝0，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝16m2＋16>0，,y1＋y2＝4m，,y1y2＝－4，))
所以eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(1,x1＋1)＋eq \f(1,x2＋1)＝eq \f(1,my1＋2)＋eq \f(1,my2＋2)
＝eq \f(my1＋2＋my2＋2,my1＋2my2＋2)＝eq \f(my1＋y2＋4,m2y1y2＋2my1＋y2＋4)
＝eq \f(4m2＋4,－4m2＋8m2＋4)＝1.
所以eq \f(1,|BF|)＝1－eq \f(1,|AF|)，
则|AF|－eq \f(2,|BF|)＝|AF|－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,|AF|)))＝|AF|＋eq \f(2,|AF|)－2≥2eq \r(|AF|·\f(2,|AF|))－2＝2eq \r(2)－2，
当且仅当|AF|＝eq \r(2)时，等号成立，故|AF|－eq \f(2,|BF|)的最小值为2eq \r(2)－2.
方法二 因为eq \f(p,2)＝1，所以p＝2，
又eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)，
所以eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝1，
所以eq \f(1,|BF|)＝1－eq \f(1,|AF|)，
因为|AF|－eq \f(2,|BF|)＝|AF|－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,|AF|)))
＝|AF|＋eq \f(2,|AF|)－2
≥2eq \r(2)－2，
当且仅当|AF|＝eq \r(2)时，等号成立，
所以|AF|－eq \f(2,|BF|)的最小值为2eq \r(2)－2.
8．(2023·苏州模拟)如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽4eq \r(2) cm，杯深8 cm，称为抛物线酒杯．
(1)在杯口放一个表面积为36π cm2的玻璃球，则球面上的点到杯底的最小距离为_____ cm；
(2)在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的取值范围为____________(单位：cm)．
答案 (1)6 (2)eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
解析 因为杯口放一个表面积为36π cm2的玻璃球，所以球的半径为3 cm，
又因为杯口宽4eq \r(2) cm，
所以|AB|＝4eq \r(2)，|C1A|＝|C1B|＝3，C1D⊥AB，
所以|AD|＝|BD|＝2eq \r(2)，
所以|C1D|＝eq \r(|C1B|2－|DB|2)＝eq \r(9－8)＝1，
所以|DE|＝2，
又因为杯深8 cm，即|OD|＝8，
故最小距离为|OD|－|DE|＝6，
如图1所示，建立直角坐标系，易知B(2eq \r(2)，8)，设抛物线的方程为y＝mx2，
所以将B(2eq \r(2)，8)代入，得m＝1，
故抛物线方程为y＝x2，

图1 图2
当杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，如图2，设玻璃球轴截面所在圆的方程为x2＋(y－r)2＝r2，
依题意，需满足抛物线上的点到圆心的距离大于等于半径恒成立，即eq \r(x2＋x2－r2)≥r，
则有x2(x2＋1－2r)≥0恒成立，
解得1－2r≥0，可得0所以玻璃球的半径的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))).