高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)8.7抛物线方程及其性质(精讲)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)8.7抛物线方程及其性质(精讲)(原卷版+解析)，共20页。


【知识必备】
1．抛物线的概念
把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程和简单几何性质
常用结论
抛物线焦点弦的几个常用结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2；
(2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝eq \f(p,1－cs α)，|BF|＝eq \f(p,1＋cs α)，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α)(α为弦AB的倾斜角)；
(3)eq \f(1,|FA|)＋eq \f(1,|FB|)＝eq \f(2,p)；
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；
(7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.
【题型精讲】
【题型一 抛物线的定义及应用】
方法技巧 处理抛物线定义的技巧
“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．
例1 (2023·全国·高三专题练习）已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则（ ）
A．4B．3C．D．
例2 (2023·福建高三期末））已知点为抛物线上的动点，设点到的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
例3 (2023·全国·高三专题练习）已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆 外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B．C． D．
【跟踪精练】
1. (2023·全国·高三专题练习）已知点是拋物线的焦点，是上的一点，，则（ ）
A．B．C．D．
2. (2023·深圳模拟)是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，则的最小值为________．
3.(2023·全国高三模拟）动点到y轴的距离比它到定点的距离小2，求动点的轨迹方程．
【题型二 抛物线的方程】
例4 (2023·青岛高三模拟）已知抛物线：（）的焦点为，点在上，且，若点的坐标为，且，则的方程为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
例5(2023·山东日照高三模拟）已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴正半轴上，过其焦点作直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为点，，，且，则该抛物线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【跟踪精练】
1．(2023·武功县普集高级中学期末）已知直线：与抛物线相交于、两点，若的中点为，且抛物线上存在点，使得（为坐标原点），则抛物线的方程为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·全国高三模拟）双曲线：和抛物线：相交于点，，若的外接圆经过点，则抛物线的方程为（ ）．
A．B．
C．D．
【题型三 抛物线的焦点弦问题】
方法技巧 焦点弦的结论
（1）．
（2）．
（3）．
例6 (2023·全国高三专题练习）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过点作准线的垂线，垂足为，若，则（ ）
A．2B．C．D．4
例7 (2023·全国高三专题练习）如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点，圆，过圆心的直线l与抛物线和圆分别交于点P，Q，M，N，则的最小值为（ ）
A．23B．26C．36D．62
例8 设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A.eq \f(3\r(3),4) B.eq \f(9\r(3),8)
C.eq \f(63,32) D.eq \f(9,4)
【题型精练】
1．(2023·全国·高三专题练习）设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，则（ ）
A．B．8C．12D．
2. (2023·全国·模拟预测）若直线l经过抛物线的焦点，与该抛物线交于A，B两点，且线段AB的中点的纵坐标为3，则线段AB的长为______.
3.(2023·山西太原五中高三期末）（多选）过抛物线的焦点F的直线l与抛物线C交于，两点，若，则直线l的斜率为（ ）
A．B．2C．D．-2
4.已知直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于，两点，为坐标原点，则的面积为（ ）
A．B．C．4D．1
【题型四 直线和抛物线】
方法技巧 直线和抛物线
(1)求解直线与抛物线问题，一般利用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则可用弦长公式．
例9 (2023·湖北模拟）已知抛物线：，过其焦点作斜率为1的直线交抛物线于，两点，且线段的中点的纵坐标为4.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若不过原点且斜率存在的直线与抛物线相交于、两点，且.求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.
【题型精练】
1. (2023·德阳三模）如图，已知点F为抛物线C：（）的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°时，.
（1）求抛物线C的方程.
（2）试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
2. (2023·江西·高三开学考试）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F和椭圆的右焦点重合,直线过点F交抛物线于A、B两点.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线交y轴于点M,且,m、n是实数,对于直线,m+n是否为定值?
若是,求出m+n的值；否则,说明理由.
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
焦点
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
准线方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
对称轴
x轴
y轴
顶点
(0,0)
离心率
e＝1
8.7 抛物线方程及其性质
【题型解读】
【知识必备】
1．抛物线的概念
把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程和简单几何性质
常用结论
抛物线焦点弦的几个常用结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2；
(2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝eq \f(p,1－cs α)，|BF|＝eq \f(p,1＋cs α)，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α)(α为弦AB的倾斜角)；
(3)eq \f(1,|FA|)＋eq \f(1,|FB|)＝eq \f(2,p)；
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；
(7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.
【题型精讲】
【题型一 抛物线的定义及应用】
方法技巧 处理抛物线定义的技巧
“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．
例1 (2023·全国·高三专题练习）已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则（ ）
A．4B．3C．D．
答案：D
【解析】由题意，抛物线的准线方程为，
根据抛物线的定义，可得点到焦点的距离等于到准线的距离，
可得，解得故选：D.
例2 (2023·福建高三期末））已知点为抛物线上的动点，设点到的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】直线为抛物线的准线，点到准线的距离等于点到焦点的距离，过焦点作直线的垂线，
如下图所示，此时最小，为点到直线的距离.
，则．
故选：B．
例3 (2023·全国·高三专题练习）已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆 外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B．C． D．
答案：A
【解析】设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等,
由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，-3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，
所以，其方程为，
故选：A
【跟踪精练】
1. (2023·全国·高三专题练习）已知点是拋物线的焦点，是上的一点，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由抛物线的定义可知，，所以．故选：C.
2. (2023·深圳模拟)是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，则的最小值为________．
答案：
【解析】圆的圆心为，半径，
抛物线的焦点，
因为是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，
所以要使最小，即到抛物线的焦点与到圆的圆心的距离最小，
连接，则的最小值为减去圆的半径，再减去抛物线焦点到原点的距离，
即，
所以的最小值为，
故答案为：
3.(2023·全国高三模拟）动点到y轴的距离比它到定点的距离小2，求动点的轨迹方程．
【解析】∵动点M到y轴的距离比它到定点的距离小2，
∴动点M到定点的距离与它到定直线的距离相等．
∴动点M到轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，且．
∴抛物线的方程为，
又∵x轴上点左侧的点到y轴的距离比它到点的距离小2，
∴M点的轨迹方程为②．
综上，得动点M的轨迹方程为或．
【题型二 抛物线的方程】
例4 (2023·青岛高三模拟）已知抛物线：（）的焦点为，点在上，且，若点的坐标为，且，则的方程为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
答案：A
【解析】设为，则，
又由，所以，
因为，所以，可得，
由，联立方程组，消去，可得，所以，故，
又由，所以，即，解得或，
所以的方程为或．
故选：A．
例5(2023·山东日照高三模拟）已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴正半轴上，过其焦点作直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为点，，，且，则该抛物线的方程为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】设，，，
抛物线的方程为，，
由可得，
所以
所以，，
所以，，，，
所以，， ，，
所以，
因为，所以，所以，
所以抛物线的方程为．
故选：A.
【跟踪精练】
1．(2023·武功县普集高级中学期末）已知直线：与抛物线相交于、两点，若的中点为，且抛物线上存在点，使得（为坐标原点），则抛物线的方程为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】设，联立方程组，整理得，
则，可得，
由点为的中点，所以
设，因为，可得，
又由点在抛物线上，可得，
即，解得或（舍去），
所以抛物线的标准方程为.
故选：B.
2．(2023·全国高三模拟）双曲线：和抛物线：相交于点，，若的外接圆经过点，则抛物线的方程为（ ）．
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】根据双曲线和抛物线的对称性可知，是的外接圆的直径，所以圆的圆心为，半径为，所以圆的方程为，
即.
由解得或.
故可设，将或的坐标代入抛物线的方程得，
所以抛物线的方程为.
故选：A
【题型三 抛物线的焦点弦问题】
方法技巧 焦点弦的结论
（1）．
（2）．
（3）．
例6 (2023·全国高三专题练习）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过点作准线的垂线，垂足为，若，则（ ）
A．2B．C．D．4
答案：D
【解析】由题知，准线，设与轴的交点为，点在上，
由抛物线的定义及已知得，则为等边三角形，
解法1：因为轴，所以直线斜率，所以，
由解得，舍去，
所以.
解法2：在中，，则.
解法3：过作于点，则为的中点，因为，则.
故选：D.
例7 (2023·全国高三专题练习）如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点，圆，过圆心的直线l与抛物线和圆分别交于点P，Q，M，N，则的最小值为（ ）
A．23B．26C．36D．62
答案：B
【解析】解法一：设抛物线的方程，则，得，
所以抛物线方程为，焦点，圆，圆心，半径，可得圆心恰好是抛物线的焦点，即直线l过焦点F.
设直线l的方程为：，设P、Q坐标分别为和，
由联立，得，∴，
，∴，，
，当且仅当，即，时取等号.
解法二：，又，
，
当且仅当，即，时等号成立.
故选：B.
例8 设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A.eq \f(3\r(3),4) B.eq \f(9\r(3),8)
C.eq \f(63,32) D.eq \f(9,4)
答案：D
【解析】由已知得焦点坐标为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，0))，因此直线AB的方程为y＝eq \f(\r(3),3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))，即4x－4eq \r(3)y－3＝0.
与抛物线方程联立，化简得4y2－12eq \r(3)y－9＝0，故|yA－yB|＝eq \r(yA＋yB2－4yAyB)＝6.
因此S△OAB＝eq \f(1,2)|OF||yA－yB|＝eq \f(1,2)×eq \f(3,4)×6＝eq \f(9,4).
[应用结论] 由2p＝3，及|AB|＝eq \f(2p,sin2 α)，得|AB|＝eq \f(2p,sin2α)＝eq \f(3,sin230°)＝12.
原点到直线AB的距离d＝|OF|·sin 30°＝eq \f(3,8)，
故S△AOB＝eq \f(1,2)|AB|·d＝eq \f(1,2)×12×eq \f(3,8)＝eq \f(9,4).
【题型精练】
1．(2023·全国·高三专题练习）设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，则（ ）
A．B．8C．12D．
答案：B
【解析】依题意可知抛物线焦点为，直线AB的方程为，
代入抛物线方程得，可得，
根据抛物线的定义可知直线AB的长为．
故选：B．
2. (2023·全国·模拟预测）若直线l经过抛物线的焦点，与该抛物线交于A，B两点，且线段AB的中点的纵坐标为3，则线段AB的长为______.
答案：8
【解析】抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，则其斜率存在，
设的方程为，，
则由得，
，，
又，所以，即，，
所以．
故答案为：8．
3.(2023·山西太原五中高三期末）（多选）过抛物线的焦点F的直线l与抛物线C交于，两点，若，则直线l的斜率为（ ）
A．B．2C．D．-2
答案：BD
【解析】设直线的方程为，联立得，
所以,，，,
由题得.
因为，
所以.
满足.
故选：BD
4.已知直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于，两点，为坐标原点，则的面积为（ ）
A．B．C．4D．1
答案：B
【解析】因为抛物线的焦点为，所以代入直线方程得，即，
所以直线方程为，与抛物线方程联立得，
所以弦长，
又点到直线的距离为，
所以的面积为,故选B.
【题型四 直线和抛物线】
方法技巧 直线和抛物线
(1)求解直线与抛物线问题，一般利用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则可用弦长公式．
例9 (2023·湖北模拟）已知抛物线：，过其焦点作斜率为1的直线交抛物线于，两点，且线段的中点的纵坐标为4.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若不过原点且斜率存在的直线与抛物线相交于、两点，且.求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.
答案：（1）；（2）.
【解析】（1）设，两点的坐标分别为，，
则，，两式相减得.
即，
又线段的中点的纵坐标为4，直线的斜率为1，∴，∴.
即抛物线的标准方程为.
（2）设直线：与抛物线：交于点，，
则，，∴，
∴，，
由得，即，，
直线为，∴过定点.
【题型精练】
1. (2023·德阳三模）如图，已知点F为抛物线C：（）的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°时，.
（1）求抛物线C的方程.
（2）试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
答案：（1）（2）存在唯一的点，使直线PM，PN关于x轴对称
【解析】（1）当直线l的倾斜角为45°，则的斜率为1，，的方程为.
由得.设，，则，
∴，，∴抛物线C的方程为.
（2）假设满足条件的点P存在，设，由（1）知，
①当直线l不与x轴垂直时，设l的方程为（），
由得，
，，.
∵直线PM，PN关于x轴对称，
∴，，.
∴，
∴时，此时.
②当直线l与x轴垂直时，由抛物线的对称性，
易知PM，PN关于x轴对称，此时只需P与焦点F不重合即可.
综上，存在唯一的点，使直线PM，PN关于x轴对称.
2. (2023·江西·高三开学考试）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F和椭圆的右焦点重合,直线过点F交抛物线于A、B两点.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线交y轴于点M,且,m、n是实数,对于直线,m+n是否为定值?
若是,求出m+n的值；否则,说明理由.
答案：（1）；（2）－1
【解析】（1）∵椭圆的右焦点
∴抛物线C的方程为
（2）由已知得直线l的斜率一定存在，所以设l：与y轴交于，设直线l交抛物线于由，
∴∴，
又由
即m=,同理，
所以，对任意的直线l，m+ n为定值-1.
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
焦点
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
准线方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
对称轴
x轴
y轴
顶点
(0,0)
离心率
e＝1