河北省张家口市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份河北省张家口市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知一个总体中有N个个体，用抽签法从中抽取一个容量为10的样本，若每个个体被抽到的可能性是，则( )
A.10B.20C.40D.不确定
2．已知复数（其中i为虚数单位），则z的虚部是( )
A.B.C.D.
3．一组数据28，39，12，23，17，43，50，34的上四分位数为( )
A.17B.20C.39D.41
4．如图，在中，D是线段BC上的一点，且满足：，则( )
A.B.C.D.
5．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若有两解，则b的取值范围为( )
A.B.C.D.
6．如图，水平放置的四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，已知，，则原四边形的面积为( )
A.B.3C.D.
7．随着暑假将近，某市文旅局今年为了使游客有更好的旅游体验，收集并整理去年暑假60天期间日接待游客量数据，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据频率分布直方图，估计该市今年日接待游客量的平均数为（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）( )
A.43.6万人B.44.5万人C.45万人D.49.1万人
8．如图，某电子元件由A，B，C三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，A，B，C三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知复数，，则下列说法正确的是( )
A.B.
C.D.
10．已知函数，则下列说法正确的是( )
A.的最小正周期为
B.图象的对称中心为，
C.的单调递增区间为，
D.为了得到的图象，可将的图象向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍
11．如图，已知正方体的棱长为4，M是的中点，N是的中点，则( )
A.若P是侧面内一动点，则满足平面的点P的轨迹长为
B.平面内不存在点H，使得平面
C.三棱锥的体积为16
D.若Q是上一点，则的最小值为
三、填空题
12．已知，若，则________.
13．在正四棱锥中，，与平面所成角的余弦值为，则四棱锥外接球的体积为________.
14．在中，，D是上一点，是的平分线，且，，则的面积为________.
四、解答题
15．已知向量，，且.
（1）求x的值及，的夹角；
（2）若，求k的值.
16．已知某校高一年级1班、2班、3班分别有36人、48人、60人，现从这3个班用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取24人参加安全知识竞赛.
（1）求这3个班分别抽取的人数；
（2）已知从1班抽取的人中有2名女生，若要从1班抽取的人中选2名同学作为组长，求至少有1名女生作为组长的概率；
（3）知识竞赛结束后，依据答题规则进行统计，甲同学回答5道题的得分分别为69，71，72，73，75，乙同学回答5道题的得分分别为70，71，71，73，75，请问甲、乙两名同学哪位同学的成绩更稳定？
17．如图，在矩形中，，，E是的中点，将沿折起使点A到点P的位置，F是的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，证明：平面平面；
（3）在（2）的条件下，求二面角的余弦值.
18．请在①向量，，且；②这两个条件中任选一个，填入横线上并解答.
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_________.
（1）求角A的大小；
（2）若为锐角三角形，，求面积的取值范围.
19．如图是函数图象的一部分.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调区间；
（3）记方程在上的根从小到大依次为，若，试求n与m的值.
参考答案
1．答案：C
解析：根据抽签法可知每个个体被抽到的可能性均为，
依题意可得，解得.
故选：C
2．答案：C
解析：，
所以z的虚部是.
故选：C.
3．答案：D
解析：j将数据从小到大排列为12，17，23，28，34，39，43，50，
又，所以上四分位数为.
故选：D
4．答案：B
解析：在中，，则，
所以.
故选：B.
5．答案：A
解析：三角形中，，，如图，
当有两解时，，
即，即.
故选：A.
6．答案：A
解析：根据题意，直观图直角梯形中，，，
则直观图的面积，
故原图的面积.
故选：A.
7．答案：A
解析：由频率分布直方图得：，解得，
则从左到右各小矩形面积依次为0.1，0.24，0.36，0.3，
所以该组样本数据的平均数为.
故选：A.
8．答案：C
解析：设上半部分正常工作为事件M，下半部分正常工作为事件N，
该电子元件能正常工作为事件A，
则，，
，所以，
所以，
即该电子元件能正常工作的概率是.
故选：C
9．答案：ABD
解析：A选项，设，则，故，
而，故，A正确；
B选项，设，，
故，
，
，
故，B正确；
C选项，设，，，C错误；
D选项，设，，则，
，
则，
，
故
，
，D正确.
故选：ABD
10．答案：AC
解析：对于A：因为，所以的最小正周期，故A正确；
对于B：令，解得，
所以图象的对称中心为，故B错误；
对于C：令，，解得，，
所以函数的单调递增区间为，故C正确，
对于D：将的图象向左平移个单位长度，得到，
再将横坐标变为原来的2倍得到，故D错误.
故选：AC.
11．答案：ACD
解析：对于A：如图分别取，的中点E，F，连接、、、、，
则，又，所以，又平面，平面，
所以平面，同理可证平面，
又，平面，所以平面平面，
又P是侧面内一动点，且满足平面，
所以P在线段上，所以点P的轨迹长为，故A正确；
对于B：连接，则H为的中点，又M为的中点，
，因为，又平面，平面，
所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，同理可证，
，平面，
所以平面，平面，平面内存在点H，使得平面，故B错误；
对于C：结合B可知，
又为边长为的等边三角形，
三棱锥的体积为，故C正确；
对于D：将与展开在同一个平面内，如图，
连接交于点Q，则，当且仅当，Q，N三点共线时，等号成立，又，，，
又
，
根据余弦定理可得
，
的最小值为，故D正确.
故选：ACD.
12．答案：/
解析：因为，所以，
又，则，
所以，
所以
.
故答案为：
13．答案：
解析：在正四棱锥中，，设，连接，
则平面，所以为与平面所成角，
设四棱锥的外接球的球心为O，则O在上，连接，
依题意，
因为与平面所成角的余弦值为，即，
则，所以，
设四棱锥外接球的半径为R，则，解得，
所以四棱锥外接球的体积.
故答案为：.
14．答案：3
解析：过D分别作，于F，E，设A到的距离为h，
因为是的平分线，所以，
易知①，②，又，
由①②得到，又，，
又，
所以，设，，
所以，解得，即，
所以，得到的面积为，
故答案为：3.
15．答案：（1）；；
（2）
解析：（1）因为，，
所以，
又，则，
所以，解得，
则，，故，，，
所以，
又，所以.
（2）因为，，
所以，
，
又，
所以，解得.
经检验，满足题意，故.
16．答案：（1）1班应抽取6人，2班应抽取8人，3班应抽取10人；
（2）；
（3）乙的成绩更稳定
解析：（1）根据题意，某校高一年级1班、2班、3班分别有36人、48人、60人，故共有人，
现从这3个班用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取24人，
所以1班应抽取人，2班应抽取人，3班应抽取人；
（2）根据题意，由（1）的结论，1班应抽取6人，其中有2名女生，
设2名女生为A、B，4名男生为a、b、c、d，
从中选出2名同学作为组长，有、、、、、、
、、、、、、、、，共15种取法，
至少有1名女生作为组长的有、、、、、、、、共9种取法，
故至少有1名女生作为组长的概率；
（3）甲同学回答5道题的得分分别为69，71，72，73，75，
其平均数，
其方差；
乙同学回答5道题的得分分别为70，71，71，73，75，
其平均数，
其方差，
由于，所以乙的成绩更稳定.
17．答案：（1）证明见解析；
（2）证明见解析；
（3）
解析：（1）取的中点G，连接，，
又F是的中点，且，
又且，
且，
四边形为平行四边形，
，又平面，平面，
平面；
（2）矩形中，，，E是的中点，即，
，又，
，，
又，且，平面，
平面，又平面，
平面平面；
（3）由（2）可知平面平面，
在平面内过P作于点H，由平面平面，平面，
所以平面，
又为等腰直角三角形，H为的中点，
再过H作于点I，连接，
则根据三垂线定理可得即为二面角的平面角，
取中点J，连接，则四边形为正方形，
易知I为的中点，则，又，
又平面，平面，所以，
，
，
故二面角的余弦值为.
18．答案：（1）；
（2）
解析：（1）若选①向量，，且，
则，
由正弦定理可得，
即，
即，
即，因为，所以，
所以，又，所以；
若选②，
由正弦定理可得，
由余弦定理，又，所以；
（2）由（1）得，又，由正弦定理，
所以，，
所以的面积
，
由为锐角三角形，而，所以，所以，
则，所以，
则，
所以面积的取值范围是.
19．答案：（1）；
（2）单调递增区间为，，单调递减区间为，；
（3），
解析：（1）由图可得，
函数的最小正周期为，又，
则，所以，
又函数过点，所以，则，
则，，解得，，
因为，所以，
所以.
（2）令，，解得，，
令，，解得，.
因此函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，.
（3）方程，即，即，
因为，所以，
设，其中，即，
结合正弦函数的图象，可得方程在区间有6个解，即，又的对称轴为，，
不妨设6个解从小到大依次为，，，，，，
则，关于对称，，关于对称，，关于对称，
所以，，，
即，，，
解得，，.
所以，
所以，.