河北省张家口市2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷（含答案）

这是一份河北省张家口市2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷（含答案），共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

河北省张家口市2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题
1、数据68，70，80，88，89，90，96，98的第30百分位数为( ).
A.70 B.75 C.80 D.88
2、已知向量，满足，，，则在上的投影向量为( ).
A. B. C. D.
3、已知圆锥的体积为，底面面积为，则该圆锥的侧面积为( ).
A. B. C. D.
4、某校为了让学生度过一个充实的假期生活，要求每名学生都制定一份假期学习的计划.已知该校高一年级有400人，占全校人数的，高三年级占，为调查学生计划完成情况，用按比例分配的分层随机抽样的方法从全校的学生中抽取10％作为样本，将结果绘制成如图所示统计图，则样本中高三年级完成计划的人数为( ).

A.80 B.90 C.9 D.8
5、在中，G为的重心，M为上一点，且满足，则( ).
A. B.
C. D.
6、在三棱锥中，，，一只蜗牛从B点出发，绕三棱锥三个侧面爬行一周后，到棱AB的中点E，则蜗牛爬行的最短距离是( ).
A. B. C. D.
7、在棱长为2的正方体中，P，Q是，的中点，过点A作平面，使得平面平面，则平面截正方体所得截面的面积是( ).
A. B.2 C. D.
8、在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则的取值范围为( ).
A. B. C. D.
二、多项选择题
9、实数x，y满足，设，则( ).
A.z在复平面内对应的点在第一象限 B.
C.z的虛部是-1 D.
10、已知函数，则( ).
A.图象的对称中心为，
B.的单调递减区间为，
C.为了得到函数的图象，可将的图象上所有的点向左平移个单位长度
D.为了得到函数的图象，可将的图象上所有的点向右平移个单位长度
11、一个装有6个小球的口袋中，有编号为1，3的两个红球，编号为2，4的两个蓝球，编号为5，6的两个黑球.现从中任意取出两个球，设事件A＝“取出的两球颜色相同”，B＝“取出的两球编号之差的绝对值为1”，C＝“取出的两球编号之和为6或7”，D＝“取出的两球编号乘积为5”，则下列说法正确的是( ).
A.事件A与事件B相互独立 B.事件A与事件C相互独立
C.事件B与事件C相互独立 D.事件B与事件D互斥
12、如图，已知正方体的棱长为1，M是DC中点，E是线段（包含端点）上任意一点，则( ).

A.三棱锥的体积为定值
B.存在点E，使得直线BE与平面ABCD所成角为
C.在平面内一定存在直线l，使得平面AEM
D.存在点E，使得平面AEM
三、填空题
13、一枚质地均匀的骰子，拋掷三次，事件A为“三次抛掷的点数均为奇数”，事件B为“恰有一次点数为偶数”，事件C为“至少有两次点数是偶数”，则__________.
14、已知，则的取值范围是__________.
15、已知函数在区间上恰有三个零点，则的取值范围是__________.
16、已知正四面体，O是底面BCD的中心，以OA为旋转轴，将正四面体旋转后，与原四面体的公共部分的体积为，则正四面体外接球的体积__________.
四、解答题
17、已知向量，.
（1）若，求的值；
（2）若，求实数的值；
（3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围.
18、为了了解全校学生计算能力的情况，某校组织了一次数学计算能力测验.现对全校学生的测验成绩做统计，得到了如图所示的频率分布直方图.

（1）求此次测验成绩的平均数；
（2）为了更加深入了解学生数学计算能力的情况，从成绩在之间的学生中，采用按比例分配的分层随机抽样方法，选取7名学生进行访谈，再从这7名学生中任选2名学生在总结大会上发言，求抽到的两人中至少一人的成绩在的概率.
19、如图，在直三棱柱中，D，M，N，P分别是AB，，，的中点.

（1）求证：平面MDC；
（2）设，，求异面直线与CM所成角的余弦值.
20、如图，在中，为钝角，D在BC上，且满足，，.

（1）若，求；
（2）若M是BC的中点，，求AM的长度.
21、已知函数.
（1）若，求；
（2）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围.
22、如图，在平行四边形ABCD中，，，，将沿BD折起到，满足.

（1）求证：平面平面BCD；
（2）若在线段上存在点M，使得二面角的大小为，求此时CM的长度.
参考答案
1、答案：C
解析:根据百分位数的概念，，故第30百分位数为80，故选C.
2、答案：A
解析:b在a上的投影向量为，故选A.
3、答案：B
解析:由圆雉的体积公式，可得，解得，由圆雉的底面积公式，可得，解得，所以圆锥的母线长为，所以，故选B.
4、答案：D
解析:，，故样本容量为120，其中高三年级有人，由图可知，样本中高三年级假期学习计划的完成率为，故样本中高三年级完成计划的人数为，故选D.
5、答案：B
解析:由题意，画出几何图形如图所示，

则，为的重心，M满足，，，，故选B.
6、答案：D
解析:如图所示，将三棱雉的侧面展开，则，，，由余弦定理可得，则，故选D.

7、答案：C
解析:取的中点N，的中点M，连接AM，AN，MN，由正方体的性质可得，平面BDPQ，平面BDPQ，平面BDPQ，同理可得平面BDPQ，又，平面平面BDPQ，即平面AMN为平面.在中，，，则MN上的高为，，故选C.

8、答案：A
解析:，，，
即，，
.，，，，，，，，，，，故选A.
9、答案：BCD
解析:，则解得即.z在复平面内对应的点的坐标为，在第四象限，故A错误;，故B正确;z的虚部为-1，故C正确;，，故D正确，故选BCD.
10、答案：AC
解析:令，，解得，，故图象的对称中心为，，故A正确;令，，解得，，故的单调递减区间为，，故B错误;将的图象上所有的点向左平移个单位长度可得，故C正确;将的图象上所有的点向右平移个单位长度可得，故D错误，故选AC.
11、答案：ABD
解析:根据题意可知，6个小球任意取出两个球，共有15种可能，分别为，，，，，，，，，，，，，，.事件A包含3种可能，即，，，;事件B包含5种可能，即，，，，;事件C包含5种可能，即，，，，，;事件D包含1种可能，即，.事件AB，AC，BC分别为，，各1种可能，，，，故A，B正确，C错误，事件B与事件D不能同时发生，故事件B与事件D互斥，D正确，故选ABD.
12、答案：AC
解析:，故A正确;过E作，垂足为F，连接BF，则为直线BE与平面ABCD所成角，，又，，，故，，故B错误;平面AEM与平面相交，在平面内一定存在直线l与交线平行，则平面AEM，故C正确;平面，假设平面AME，则平面AME与平面重合，假设不成立，故D错误，故选AC.

13、答案：1
解析:事件A，B，C之间是互斥的，且是一枚骰子抛掷三次的所有结果，所以.
14、答案：
解析:表示复平面内，复数z所对应的点与点的距离，故z所对应的点在以为圆心，以2为半径的圆上，则的最小值为，最大值为，故的取值范围是.
15、答案：
解析:，则，函数在区间上恰有三个零点，则，即，所以的取值范围为.
16、答案：
解析:以OA为旋转轴，将正四面体旋转后，公共部分为六棱雉，设正四面体的棱长为a，则高h为，公共部分六棱雉的底面正六边形的边长为，，，，正四面体外接球半径为，.
17、答案：（1）
（2）1
（3）
解析:（1），，，，，，.
（2），，，.
（3）与b的夹角是钝角，，且a与b不反向共线.即，由（1）可知，
则，且，故实数的取值范围为.
18、答案：（1）76分
（2）
解析:（1）由题意得，可得，.
所以，此次测验成绩的平均数为76分.
（2）由（1）知，成绩在与的样本比例为5:2，
所以7名学生中有5名成绩在，2名成绩在，
若中5人分别为a，b，c，d，e，中2人分别为x，y，
则从中抽取2人的所有组合为，有21种情况，
两人中至少一人的成绩在的有，11种情况，所以抽到的两人中至少一人的成绩在的概率为.
19、答案：（1）证明见解析
（2）
解析:（1）证明:连接AP，设，连接DO，
因为在直三棱柱中，M，P分别是，的中点，
所以四边形MACP是矩形，所以O是AP的中点，
因为D是AB的中点，所以，
又因为平面MDC，平面MDC，所以平面MDC.
（2）因为N，P分别是，的中点，所以，所以四边形是平行四边形，所以，所以，所以或其补角是异面直线与CM所成角，
因为，，所以，，
所以，在中，，，所以，所以异面直线与CM所成角的余弦值为.
20、答案：（1）
（2）
解析:（1）在中，由正弦定理可得，
，
为钝角，，.
（2）在中，由余弦定理可得，解得，
为BC中点，则，
，
，即AM的长度为.
21、答案：（1）
（2）
解析:（1）

，
若，则，
所以.
（2）令，，因为，所以，所以，所以，
所以对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，，，
因此
所以的取值范围为.
22、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明:，，，由余弦定理得，，，即，
，，，，，
，平面BCD，，平面BCD，
平面，平面平面BCD.
（2）过M作交DC于E，过E作交DB于O，连接MO，
由（1）可知平面BCD，，
平面BCD，，
平面MOE，平面MOE，，平面MOE.
平面MOE，，为二面角的平面角，
，，.
由题知，，，，
由于，，，
，，
，，
此时CM的长度为.