河北省名校联盟2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试卷(含答案)

这是一份河北省名校联盟2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．在中,角A,B,C的对应边分别为a,b,c.若,则( )
A.B.C.D.
2．在复平面内对应的点在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3．已知向量,,则“”是“”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
4．某校为了了解学生的体能情况,于6月中旬在全校进行体能测试,统计得到所有学生的体能测试成绩均在内.现将所有学生的体能测试成绩按分成三组,绘制成如图所示的频率分布直方图.若根据体能测试成绩采用按比例分层随机抽样的方法抽取20名学生作为某项活动的志愿者,则体能测试成绩在内的被抽取的学生人数为( )
A.4B.6C.8D.10
5．已知点,,O为坐标原点,且,则( )
A.36B.C.6D.
6．已知圆台的上底面半径为1,下底面半径为5,侧面积为,则该圆台的体积( )
A.B.C.D.
7．抛掷一枚质地均匀的骰子,并记下每次抛掷后正面朝上的点数.若第一次抛掷正面朝上的数字大于4,则再抛掷一次,若第一次抛掷正面朝上的数字不大于4,则停止抛掷,则抛掷骰子所得点数之和为奇数的概率为( )
A.B.C.D.
8．在中,,,M,N为线段上（不包含端点）不同的两个动点.若,则( )
A.3B.4C.6D.7
二、多项选择题
9．已知甲组数据为4,3,2,乙组数据为6,7,8,将甲､乙两组数据混合后得到丙组数据,则( )
A.丙组数据的中位数为5
B.甲组数据的70%分位数是2
C.甲组数据的方差等于乙组数据的方差
D.甲组数据的平均数小于乙组数据的平均数
10．在中,角A,B,C的对应边分别为a,b,c.已知,则下列结论正确的是( )
A.
B.外接圆的半径为
C.面积的最大值为
D.若CD为的中线,则CD的最小值为
11．若三棱锥的体积是三棱锥体积的,且,则的值可能为( )
A.B.C.D.
三、填空题
12．已知复数满足.若z为纯虚数,则________,的虚部________.
13．已知,,,则________.
14．如图,在正三棱锥中,,.正三棱柱的顶点D,E,F分别为PA,PB,PC的中点,在底面ABC内,则正三棱柱外接球的表面积为________.
四、解答题
15．已知向量与的夹角为,且,.
（1）求,;
（2）求在方向上的投影向量（用表示）.
16．在长方体中,,,,E为与的交点.
（1）用向量,,表示;
（2）以为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系,请写出E,A,,C四点的坐标及向量,的坐标;
（3）求异面直线AE与所成角的余弦值.
17．如图,在四棱锥中,平面ABCD,,,,,F为PD的中点,E为AB的中点.
（1）证明:平面ACF.
（2）证明:平面PCD.
（3）求直线AC与平面PCD所成角的正弦值.
18．如图,甲船在点M处通过雷达发现在其南偏东方向相距20海里的N处有一艘货船发出供油补给需求,该货船正以15海里/时的速度从N处向南偏西的方向行驶.甲船立即通知在其正西方向且相距海里的P处的补给船,补给船立刻以25海里/时的速度与货船在H处会合.
（1）求PN的长;
（2）试问补给船至少应行驶几小时,才能与货船会合?
19．在信道内传输0,1信号,信号的传输相互独立.发送0时,收到1的概率为,收到0的概率为;发送1时,收到0的概率为,收到1的概率为.现有两种传输方案:单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次,三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码,译码规则如下:单次传输时,收到的信号即为译码（例如,若收到1,则译码为1,若收到0,则译码为0）;三次传输时,收到的信号中出现次数多的即为译码（例如,若依次收到1,0,1,则译码为1,若依次收到1,1,1,则译码为1）.
（1）已知,.
①若采用单次传输方案,重复发送信号0两次,求至少收到一次0的概率;
②若采用单次传输方案,依次发送0,0,1,证明:事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立.
（2）若发送1,采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率,求的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：由正弦定理,得,
即,
解得,.
故选:B.
2．答案：A
解析：因为,
所以在复平面内对应的点,位于第一象限.
故选:A.
3．答案：A
解析：由向量,,
若,可得,解得,
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选:A.
4．答案：B
解析：根据题意可得体能测试成绩在内的被抽取的学生人数为.
故选:B
5．答案：C
解析：因为,,
所以,.
又,解得,
所以,
则,
所以.
故选:C.
6．答案：B
解析：设该圆台的母线长为l,根据题意可得,解得,
由题意得,,
所以该圆台的高为,则.
故选:B
7．答案：D
解析：根据题意可得抛掷一次的所有情况为（1）,（2）,（3）,（4）共4种情况,
抛掷两次的所有情况为,,,,,,,,,,,,
共12种情况,故抛掷骰子所得点数之和为奇数的概率为.
故选:D
8．答案：C
解析：因为,,所以,,
设,,
则
,
又,且,不共线,
则,
所以.
9．答案：ACD
解析：将丙组数据从小到大排列为2,3,4,5,6,7,8,可得丙组数据的中位数为,A正确.
将甲组数据从小到大排列为2,3,4,因为,所以甲组数据的70%分位数是4,B错误.
易得甲组数据的方差为,乙组数据的方差为,C正确.甲组数据的平均数为,乙组数据的平均数为,D正确.
故选:ACD
10．答案：BCD
解析：因为,
所以由正弦定理得,
即,
由余弦定理得,
因为,所以,A错误.
设外接圆的半径为R,则,
得,B正确.
由,得,
即,当且仅当时,等号成立,
则,即面积的最大值为,C正确.
根据题意可得,
则,D正确.
故选:BCD
11．答案：AC
解析：因为三棱锥的体积是三棱锥体积的,
所以在平面ABC内存在一点Q,使得或,如图①②所示,
当时,则,得.
因为点Q在平面ABC内,所以根据空间向量基本定理可得,解得.
当时,则,得.
因为点Q在平面ABC内,所以根据空间向量基本定理可得,解得.
故选:AC.
12．答案：,
解析：根据题意可得,
因为z为纯虚数,所以且,得,
则,所以的虚部为.
故答案为:;.
13．答案：
解析：由题意得.
由,得.
故答案为:.
14．答案：
解析：取的中心,连接,交平面DEF于点O,则点O为的中心,
平面.连接,设点为正三棱柱外接球的球心,
连接ME,,则.因为,
所以,,
则正三棱柱外接球的半径,
故正三棱柱外接球的表面积为.
故答案为:
15．答案：（1）,
（2）
解析：（1）由题意得.
由,得.
（2）因为,
所以在方向上的投影向量为.
16．答案：（1）
（2）,,,,,
（3）
解析：（1）因为E为与的交点,
所以又因为,
所以.
（2）根据题意可得,,,.
,.
（3）由（2）可得.
,,
,
故异面直线AE与所成角的余弦值为.
17．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
（3）
解析：（1）如图,连接EC,ED,设ED与AC交于点O,连接OF,
由题意可得,,所以四边形AECD为平行四边形,所以O为ED的中点.
又因为F为PD的中点,所以OF为的中位线,则.
因为平面ACF,平面ACF,所以平面ACF.
（2）因为,,所以.
因为平面ABCD,平面ABCD,所以.
,PA,平面PAD,所以平面PAD.
平面PAD,所以.
因为,F为PD的中点,所以.
,CD,平面PCD,所以平面PCD.
（3）由（2）得平面PCD,所以即为直线AC与平面PCD所成的角.
易得,
所以,即直线AC与平面PCD所成角的正弦值为.
18．答案：（1）70海里
（2）2小时
解析：（1）根据题意可得.
因为海里,海里,
所以根据余弦定理可得海里.
（2）由余弦定理可得,则,
所以.
设当补给船与货船会合时,补给船行驶的最少时间为小时,则海里,海里.
在中,,解得或（舍去）,
故当补给船与货船会合时,补给船行驶的时间至少为2小时.
19．答案：（1）①;
②证明见解析
（2）
解析：（1）①记事件A为“至少收到一次0”,则.
②证明:记事件B为“第三次收到的信号为1”,则.
记事件C为“三次收到的数字之和为2”,
则.
因为,
所以事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立.
（2）记事件M为“采用三次传输方案时译码为0”,则.
记事件N为“采用单次传输方案时译码为0”,则.
根据题意可得,即,
因为,所以,,
解得,故的取值范围为.