高中数学6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理学案

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计数原理
一、 两个基本计数原理
1. 两个基本计数原理
分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．
（一）分类加法原理
完成一件事，可以有 类办法，在第一类办法中有 种方法，在第二类办法中有 种方
法，……，在第 类办法中有 种方法．那么，完成这件事共有种方法．(也
称加法原理)
（二）分步乘法原理
完成一件事需要经过 个步骤，缺一不可，做第一步有 种方法，做第二步有 种方法，……，
做第 步有 种方法．那么，完成这件事共有种方法．(也称乘法原理)
经典例题
1. 把 封信投到 个信箱，则不同的投法共有（ ）．
A.种B. 种C.种D.种
2. 某学生去书店，发现 本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有（ ）．
A. 种B. 种C. 种D. 种
3. 如图，用 种不同颜色给图中的 ， ， ， 四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻区域
必须涂不同的颜色，则不同的涂色方案共有种．
巩固练习
4. 由数字 ， ， ， 这四个数字，能够组成无重复数字的三位偶数是（ ）个．
A.B.C.D.
5. 小冉有 条不同款式的裙子， 双不同款式的靴子，某日她要去参加聚会，若穿裙子和靴子，则不同
的穿着搭配方式的种数为（ ）．
A.B.C.D.
6. 四个同学，争夺三项冠军，冠军获得情况可能的种数是（ ）．
A.B.C.D.
2. 知识总结
强调每一类都可以独立完成某件事；而强调所有步骤结束后才可
以完成某件事．具体题目当中，往往加法原理和乘法原理需要综合运用，合理的分类和分步，是解决此
类问题的关键．
二、 排列组合
1. 排列与组合的概念
（一）排列与组合的概念
名称定义
排列
组合
从 个不同元素中取出
个元素
按照一定的顺序排成一列
合成一组
（二）排列数与组合数
（1）排列数的定义：从 个不同元素中取出
个元素的所有排列的个数叫作从 个不同元
素中取出 个元素的排列数，用 表示．
（2）组合数的定义：从 个不同元素中取出
个元素的所有组合的个数，叫作从 个不同
元素中取出 个元素的组合数，用 表示：
（3）排列数、组合数的公式及性质
(1)=
公式(2)
=
性质
(1)
(2)=
；
；
=
经典例题
7. 已知自然数 满足，则 （ ）．
A.B.C.D.
8. 若，则 （ ）．
A.B. 或C. 或D.
巩固练习
9. 若，则 （ ）．
A.B.C.D.
10. 若，且，则 的值为（ ）．
A.B.C.D.
2. 常见的排列问题
（一）位置（元素）分析法
对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先（或滞后处理）原则，即先安排（或后安排）有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．
（二）捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆绑成一个”元素，与其它元素进
行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．
（1）模型：将 个不同元素排成一排，其中某 个元素相邻．
（2）思路：将相邻的 个元素“捆绑”在一起看成一个整体，此时变为个元素的全排列，排法为
；再将“捆绑”在一起的元素内部排列，排法为 ．根据分步乘法计数原理，符合条件的排法种数
有
种．
（三）插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．
（1）模型：将 个不同的元素排成一排，其中某 个元素互不相邻（）．
（2）思路：①将没有要求的个元素全排列，排列方法有种；②将要求互不相邻的 个元素插
入个空隙中，相当于从个空隙中选取出 个分配给互不相邻的那 个元素，其排列方
法有种．根据分步乘法计数原理，符合条件的排法种数有种．
（四）除序法：当某些元素相同或者某些元素的位置相对确定时，排列完之后要对相对顺序固定不
变的元素的或相同的元素进行除序．
（1）模型：将个不同的元素排成一排，其中 个元素之间的相对顺序固定不变．
（2）思路：法1：整体法：先将个元素全排列，共有种排列方法．然后任取一种排列，固
定另外 个元素的位置不动，将 个元素交换顺序，共有 种排列方法，而其中只有一种排列是我们所
需要的，因此共有种不同的排列方法．
法2：插空法：先从个位置选出 个进行排列，然后将顺序固定的 个元素插入相应空当中，所以
排法种数为种．
（五）间接法（正难则反）：对于给定附加条件的问题，正面考虑情况较为复杂时，可以考察否定附加条件下问题的情况，然后从无附加条件中排除上述情况即可．
（六）错位法
（1）模型：将编号为的 个小球放入编号为的 个盒子中，规定 号小球不许放入 号盒
子，求不同的放法种数，此种排列称为全错位排列，相应的排列数称为全错位排列数．
（2）当， ， ， 时的全错位排列数各为 ， ， ， ．关于 、 、 个元素的错位排列的
计算，可以用剔除法转化为 个、 个、 个元素的错位排列的问题．
经典例题
11. 在某校举行的秋季运动会中，有甲，乙，丙，丁四位同学参加了 米短跑比赛．现将四位同学安排
在 ， ， ， 这 个跑道上，每个跑道安排一名同学，则甲不在 道，乙不在 道的不同安排方法有（
）种．
A.B.C.D.
12. 一排 个座位坐了 个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ）．
A.B.C.D.
13. 某会议室第一排共有 个座位，现有 人就座，若要求每人左右均有空位，则不同的坐法种数为（
）．
A.B.C.D.
14. 同寝室 人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺卡，则四张贺年卡不同
的分配方式有．
15. 若把英语单词“”的字母顺序写错了，则可能出现的错误拼写方法共有种．
巩固练习
16. 把 件不同产品摆成一排，若产品 与产品 相邻，且产品 与产品 不相邻，则不同的摆法有
种．
17. 某班上午有五节课，分别安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数
学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是（ ）．
A.B.C.D.
18. 个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有种（用数字作答）．
19. 信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有 面红旗， 面白旗，把这 面旗都挂上
去，可表示不同信号的种数是．
3. 常见的组合问题
组合问题常有以下两类题型：
（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素
补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
（2）“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
（一）不同元素的分堆问题
分堆问题的特点是堆与堆之间的区别仅仅是元素个数，而不强调元素本身，因此若出现了若干组元素个数相同的情况，在采取分步乘法计数原理处理问题之后还需要做除序处理．
（1）不均匀分堆
【模型】 个不同元素分成 堆，每堆元素数目均不相等，求其分法种数．
【实例】 本书分成三堆，其分法种数为．
（2）均匀分堆
【模型】 个不同元素分成 堆，每堆元素数目都相等，求其分法种数．
【实例】 本书分成三堆，其分法种数为．
（3）部分均匀分组
【模型】 个不同元素分成 组，恰有 堆元素数目都相等，求其分法种数．
【实例】 本书分成三堆，其分法种数为．
不同元素的分堆问题，有等分、不等分、部分等分之别，一般地平均分成 堆，必须除以 ，如果有 堆元素个数相等，必须除以 ．
（二）分配问题或选排问题
【模型】将 个不同的元素按一定要求分给 个人．分配问题的处理原则是先分组，后分配．
【实例】 名北京师范大学毕业生到爱智康产品研发部实习，分入初中数学，高中数学，小学数
学，初中语文四个学科充当教研员，每个学科至少一名教研员，则不同的分配方法有多少种？
第一步：把 名大学生分成人数为的四堆，有种分法；
第二步：把分好的四堆分配给 个学科，有种分法．
根据分步乘法计数原理，可得总共的分配方法有 种．
经典例题
20. 如图，小明从街道的 处出发，先到 处与小红会合，再一起到位于 处的老年公寓参加志愿者活
动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()
A.B.C.D.
21. 国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到
相应的地区任教，现有 个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到 所学校去任教，有种
不同的分派方法．
22. 名同学到 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 个小区，每个小区至少安排 名同学，则
不同的安排方法共有种．
23. 甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去 、 、 三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个
社区，每个社区至少一人．其中甲必须去 社区，乙不去 社区，则不同的安排方法种数为（ ）．
A.B.C.D.
巩固练习
24. 某中学语文老师从《红楼梦》、《平凡的世界》、《红岩》、《老人与海》 本不同的名著中选出
本，分给三个同学去读，其中《红楼梦》为必选，则不同的分配方法共有（ ）．
A. 种B.种C.种D.种
25. 在“学雷锋，我是志愿者”活动中，有 名志愿者要分配到 个不同的社区参加服务，每个社区分配 名
志愿者，其中甲、乙两人分到同一社区，则不同的分配方案共有（ ）
A.种B.种C.种D.种
26. 某市委从组织机关 名科员中选 人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有 人入选，而丙没有入选的
不同选法的种数为（ ）．
A.B.C.D.
27. 某高三毕业班有 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕
业留言．（用数字作答）
28. 将 位志愿者分成 组，其中两组各 人，另两组各 人，分赴 个不同的学校支教，则不同的分配方
案共有种．（用数字作答）
三、 二项式定理
1.二项式定理及其概念（一）二项式定理
二项式定理
二项展开式的通项公式
，它表示第
项
二项式系数二项展开式中各项的
系数除了变量之外的常数
（二）二项展开式形式上的特点
（1）项数为.
（2）各项的次数都等于二项式的幂指数 ，即 与 的指数的和为 .
（3）字母 按 幂排列，从第一项开始，次数由 逐项减 直到零；字母 按 幂排列，从第一项起，次数由零逐项增 直到 .
（4）二项式的系数从 ， ，一直到， .
（三）二项式系数的性质
（1）时， 与的关系是.
（2）二项式系数先增后减中间项最大
当 为偶数时，第项的二项式系数最大，最大值为；当 为奇数时，第
项的二项式系数最大，最大值为.
（3）各二项式系数和：，
.
2.特定项的求解
（一）求形如
的展开式中与特定项相关的量（常数项、参数值、特征项）
第一步：利用二项式定理写出展开式的通项公式，通常把字母和系数分离开来
（注意符号不要出错）；
第二步：根据题目中的相关条件（如常数项要求求指数为零，有理项要求指数为整数）先列出相应
方程(组)或不等式(组)，解出 ；
第三步：把 代入通项公式中，即可求出，有时还需要先求 ，再求 ，才能求出或其他量.
（二）求形如的展开式中与特定项相关的量
第一步：利用二项式定理把与分别展开，并写出其通项公式；
第二步：根据特定项的系数，分析特定项可由与展开式中的哪些项相乘得到；
第三步：把相乘后的项合并即可得特定项或相关量.
（三）求形如的展开式中与特定项相关的量
第一步：把三项的和与看作与 两项的和；
第二步：根据二项式定理求出的展开式的通项；
第三步：根据特定项的系数进行分析，弄清特定项是由
的展开式中的哪些项和 项相乘
得到；
第四步：把相乘后的项合并即可得特定项或相关量
3.最大值问题
求系数的最大值问题，要先弄清所求问题是“展开式系数最大”还是“二项式系数最大”.
若是求二项式系数的最大值，则依据的 的奇偶及二项式系数的性质求解；若是求展开式
系数的最大值，由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式
组
，即得到答案.
4.系数和问题
（一）对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值
法，只需令即可；对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令
即可；如何赋值，要观察所求和与差式的特点，发现差异，确保正确.
（二）若，则展开式中各项系数之和为，
偶次项系数之和为,
奇次项系数之和为，令，可得.
经典例题
29. 二项式
展开式中的常数项为
．
30. 若的二项展开式中 项的系数为 ，则 （ ）．
A.B.C.D.
31.展开式中 的系数为（ ）．
A.B.C.D.
32.的展开式中， 的系数为（ ）．
A.B.C.D.
33. 若，，则
．
34. 已知，，则．
巩固练习
35.展开式中的常数项为．
36.的展开式的常数项是（ ）．
A.B.C.D.
37. 若的展开式中的二项式系数和为 ，则
（ ）．
A.B.C.D.
导图总结
出门测
38. 某人有3个电子邮箱，他要发5封不同的电子邮件，则不同的发送方法有（ ）．
A. 种B.种C.种D.种
39. 小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制， 人坐成一排．若小明的父母至少
有一人与他相邻，则不同坐法的总数为．（用数字作答）
40. 甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙都排在丙的同一侧，排法种数为
．
41. 若第四届《中国好声音》最后的 人必须与甲、乙、丙 个公司中的某一个公司签约，要求每个公司
至少签约 人，最多签约 人，则签约方案有（ ）．
A.种B.种C.种D.种
42.展开式中 的系数为．
43. 如果，则
；．
10