黑龙江哈尔滨市香坊区2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟试题（含答案）

这是一份黑龙江哈尔滨市香坊区2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟试题（含答案），共17页。

考生须知：
1.本试卷满分为120分，考试时间为120分钟。
2.答题前，考生先将自己的“姓名”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸上、试题纸上答题无效。
4.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工吴波、字迹清楚。
5.保证卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。
第Ⅰ卷选择题（共30分）（涂卡）
一、选择题（每题3分，共计30分）
1.若点是反比例函数图象上一点，则常数的值为（）
A.3B.C.D.
2.下列图形中，只是中心对称图形的是（）
A.B.C.D.
3.将抛物线向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（）
A.B.
C.D.
4.如图是用5个相同的立方体搭成的几何体，其俯视图是（）
A.B.C.D.
5.在中，，，，则的值是（）
A.5B.C.4D.
6.在一个不透明的袋子中有2个红球，3个绿球和4个蓝球，它们只有颜色上的区别，若从袋子里随机取出一球，则取出这个球是绿球的概率为（）
A.B.C.D.
7.如图，为钝角三角形，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为（）
A.B.C.D.
8.如图，四边形内接于，、为对角线，经过圆心，若，则的度数为（）
A.B.C.D.
9.如图，已知，，则下列比例中错误的是（）
A.B.C.D.
10.如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③；④
其中正确的结论有（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
第Ⅱ卷非选择题（共90分）
二、填空题（每题3分，共计30分）
11.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为________.
12.已知二次函数的顶点坐标为________.
13.若点，在反比例函数的图象上，则，的大小关系用“<”连接的结果为________.
14.如图，设在小孔口前处有一支长的蜡烛，经小孔形成的像，恰好照在距小孔后面处的屏幕上，则像的长________.
15.如图，是的切线，切点为，的延长线交于点，若，则的度数为________.
16.如图，是操场上直立的一个旗杆，旗杆上有一点，用测角仪（测角仪的高度忽略不计）测得地面上的点到点的仰角，到点的仰角，若米，则旗杆的高度________米.
17.某学习小组由1名男生和3名女生组成，在一次合作学习中，若随机抽取2保同学汇报展示，则抽到1名男生和1名女生的概率为________.
18.一个扇形的圆心角为，弧长为，则此扇形的面积是________.
19.在矩形中，点在直线上，，若，，则的正切值为________.
20.如图1，在中，，是上一点，过点作交于，将绕点顺时针旋转到图2的位置，若，，则线段的长为________.
图1图2
三、解答题（共计60分）
21.（本题7分）
先化简，再求代数式的值，其中.
22.（本题7分）
如图所示，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的各顶点坐标分别为，，.
（1）画出关于原点中心对称的图形；
（2）将绕点顺时针旋转得到，请画出；
（3）连接并直接写出线段的长.
23.（本题8分）
如图，某座山的主峰观景平台高450米，登山者需由山底处先步行300米到达处，再由处乘坐登山缆车到达观景平台处.已知点，，，，，在同一平面内，，于，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）.
（1）求登山缆车上升的高度；
（2）若小明步行速度为，登山缆车的速度为，求小明从山底处到达山顶处大约需要多少分钟（结果精确到）.
（参考数据：，，）
24.（本题8分）
如图，、、都是的半径，.
（1）求证：；
（2）若，，求的半径.
25.（本题10分）
把边长为的正方形硬纸板（如图1），在四个顶点处分别剪掉一个小正方形，折成一个长方体形的无盖盒子（如图2），折纸厚度忽略不计.
图1图2
（1）要使折成的盒子的底面积为，剪掉的正方形边长应是多少厘米？
（2）折成的长方体盒子侧面积（四个侧面的面积之和）有没有最大值？如果没有，说明理由：如果有，求出这个最大值，并求出此时剪掉的正方形边长.
26.（本题10分）
菱形中，对角线、相交于点，，点为上一点，点为上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到对应线段，连接.
图1图2
图3图4
（1）当点与点重合时：
①如图1，点落在对角线上，则线段、之间的数量关系为________；
②如图2，点不落在对角线上，则①问中结论是否成立，为什么？
（2）当点与点不重合时：
①如图3，点不落在对角线上，则（1）问中结论，________；（填“成立”或“不成立”）
②如图4，在①的条件下，延长交于点，交于点，若，，，求线段的长.
27.（本题10分）
如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，交轴于点，直线经过点，并抛物线于点.
图1图2
图3
（1）如图1，求抛物线解析式；
（2）如图2，为抛物线第四象限上一点，连接、，设点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点作交轴于点，垂足为点，为抛物线第二象限上一点，连接，，过点作轴交于点，若，求的值及点坐标.
数学答案
一、选择题：
二、填空题：
三、解答题：
21.解：
原式
………………………………………………1分
…………………………………………1分
……………………………………………………………………1分
∵……………………2分
∴原式………………………………2分
22.（1）画图3分
（2）画图3分
（3）.……………………………………1分
23.（1）解：如图，过点作于，∴
∵，∴，∵，
∴四边形是矩形，…………………………1分
在中，，，，
∴，……………………………………1分
∵
∴………………………………1分
答：登山缆车上升的高度；………………………………1分
（2）解：在中，，，，
………………………………1分
∴从山底处到达山顶处大约需要：
………………………………2分
答：从山底处到达山顶处大约需要.…………………………1分
24.（1）证明：
∵，
∴……………………1分
∵，
∴，………………………………1分
∵
∴……………………………………1分
∴………………………………1分
（2）解：
∵，作半径于，交圆于点，连接，
∴弧弧，，
∴，
∴，∵，
∴，
∵，∴，………………………………1分
∴中，……………………1分
设圆的半径，∴，
∴中，，∴，…………………………1分
解得，∴的半径为5………………………………………………1分
25.解：（1）设剪掉的正方形的边长为.
则，……………………………………2分
即，
解得（不合题意，舍去），…………………………1分
.…………………………………………1分
∴剪掉的正方形的边长为；………………………………1分
（2）侧面积有最大值.
设剪掉的小正方形的边长为，盒子的侧面积为，
则与的函数关系为：，即，……………………1分
即，………………………………1分
∵二次项系数为，自变量的取值范围为：…………………………1分
∴当时，有最大值，.………………………………1分
即当剪掉的正方形的边长为时，长方形盒子的侧面积最大为.……………………1分
26.答案：（1）①………………………………2分
②仍成立，理由如下：如图连接、，∵为菱形，∴，，∴为等边三角形，∴，∴，，∵，，∴为等边三角形，…………………………1分
∴，，∴，∴，…………1分
∴，∵为菱形，∴，平分，∴，∴，∴，又∵，，∴，∴，又∵，∴……1分
（2）①成立………………1分
②连接，，过点作于点，过做于点，∴，，∵，，∴为等边三角形，∵菱形，∴，，，，，∴，设，，，，，在中，，∴，在中，，∴，∴，∴，，
∴，，∴，……………………1分
∴，，，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，………………………………1分
设，则，，，∴，，，，，在中，，，在中，，∴，∴.…………1分
在中，，∴.…………1分
27.（1）∵直线经过点，
当时，，∴
∵抛物线经过点、两点
∴……………………1分
解得：
∴抛物线解析式为………………………………1分
（2）过点作轴，垂足为点
∵，∴
∵，∴，∴…………………………1分
∵点在为抛物线第四象限上，
∴设，∴
∴
即：………………………………1分
………………………………1分
（3）∵在抛物线上，设
∵在直线上，∴
解得：，（舍），∴…………………………1分
∵直线交轴于点，
当时，，∴，∴
过点作，过点作，垂足分别为、
∴
∵，
∴
设，∴，∴
∴
设，∴，，∴，
∵轴，在直线上，∴
∴
∴
∵，，∴
∴，∴
解得：，（舍）………………………………1分
∴……………………………………1分
∴
∴，，∴
∴，∵，∴
∵
∴，∴
延长交轴于点，过点作
∴
∵
∴
∴，∴
过点作轴，∴，
，∴
在中，
在中，设，∴，
∴，∴
∴，∴，∴…………………………1分
∵，∴解析式为：
∵在抛物线上，设
∵在上，∴
解得：，（舍）
∴…………………………………………1分
（不同解法请按相应标准给分）序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
A
B
D
C
D
B
C
C
序号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
答案
14
25
1或
6