数学必修 第一册4.4.3 不同函数增长的差异教课ppt课件

这是一份数学必修 第一册4.4.3 不同函数增长的差异教课ppt课件，共35页。PPT课件主要包含了整体感知，探究建构，增函数，越来越快，越来越慢，应用迁移，阅读材料等内容，欢迎下载使用。

[学习目标]　1．了解常用的描述现实生活中不同增长规律的函数模型．(数据分析、直观想象)2．会分析具体的实际问题，通过建模解决实际问题．(数据分析、数学建模)
[讨论交流]　预习教材P136－P138，并思考以下问题：问题1．函数y＝kx(k>0)，y＝ax(a>1)和y＝lgax(a>1)在(0，＋∞)上的单调性是怎样的？问题2．函数y＝kx(k>0)，y＝ax(a>1)和y＝lgax(a>1)的增长速度有什么不同？
[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1　几个函数模型增长差异的比较探究问题1　观察下表，想一想，两个函数的增长有什么差异？
探究问题2　观察下表，想一想，两个函数的增长有什么差异？
提示：当x的值充分大时，指数函数y＝2x比幂函数y＝x100增长快，而且快很多．
[新知生成]三种函数模型的增长差异
[典例讲评]　1．(1)下列函数中，增长速度最快的是(　　)A．y＝2 024x　　　B．y＝2 024C．y＝lg2 024x　　　D．y＝2 024x
(2)三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如表：
则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是(　　)A．y1，y2，y3　　　B．y2，y1，y3C．y3，y2，y1　　　D．y3，y1，y2
(1)A　(2)C　[(1)指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度变快．故选A．(2)由指数函数、对数函数、幂函数的增长速度比较，可知指数函数增长最快，对数函数增长最慢，由题中表格可知，y1是幂函数型函数，y2是指数型函数，y3是对数型函数．]
反思领悟　常见的函数模型及增长特点
[学以致用]　1．四人赛跑，假设他们跑过的路程fi(x)(其中i∈{1，2，3，4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝lg2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是(　　)A．f1(x)＝x2　　　B．f2(x)＝4xC．f3(x)＝lg2x　　　D．f4(x)＝2x
D　[显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x．故选D．]
探究2　函数增长速度的比较[典例讲评]　2．函数f (x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f (6)，g(6)，f (2 024)，g(2 024)的大小．
[解]　(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f (x)＝2x．(2)因为f (1)>g(1)，f (2)g(10)，所以1x2，从图象上可以看出，当x1x2时，f (x)>g(x)，所以f (2 024)>g(2 024)．又因为g(2 024)>g(6)，所以f (2 024)>g(2 024)>g(6)>f (6)．
反思领悟　由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数．
[学以致用]　2．已知函数f (x)＝ln x，g(x)＝0.5x－1的图象如图所示．(1)指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；(2)借助图象，比较f (x)和g(x)的大小．
[解]　(1)C1对应的函数为g(x)＝0.5x－1，C2对应的函数为f (x)＝ln x．(2)当x∈(0，x1)时，g(x)>f (x)；当x∈(x1，x2)时，g(x)f (x)；当x＝x1或x2时，g(x)＝f (x)．综上，当x＝x1或x2时，g(x)＝f (x)；当x∈(x1，x2)时，g(x)f (x)．
探究3　函数模型的选择[典例讲评]　3．某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制订一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过3万元，同时资金不超过利润的20%．现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝lg5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
[解]　作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝lg5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5，60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝lg5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝lg5x进行奖励才符合学校的要求．
反思领悟　几类不同增长函数模型选择的方法(1)增长速度不变，即自变量增加相同量时，函数值的增量相等，此时的函数模型是一次函数模型．(2)增长速度越来越快，即自变量增加相同量时，函数值的增量成倍增加，此时的函数模型是指数函数模型．(3)增长速度越来越慢，即自变量增加相同量时，函数值的增量越来越小，此时的函数模型是对数函数模型．
[学以致用]　3．科学实验中，实验员将某种染料倒入装有水的透明水桶，想测试染料的扩散效果，染料在水桶中扩散的速度是先快后慢，1秒后染料扩散的体积是1 cm3，2秒后染料扩散的体积是3 cm3，染料扩散的体积y与时间x(单位：秒)的关系有两种函数模型可供选择：①y＝m·3x，②y＝mlg3x＋b，其中m，b均为常数．(1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；(2)若染料扩散的体积达到5 cm3，至少需要多少秒？
(2)由(1)知：y＝2lg2x＋1，由题意知：y≥5，即2lg2x＋1≥5，则有2lg2x≥4，所以lg2x≥2，所以x≥4，所以至少需要4秒．
【教用·备选题】　为了减少自身消费的碳排放，节省燃料．经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q(单位：L)与速度v(单位：km/h)(40≤v≤120)的数据关系如下表：
为描述Q与v的关系，现有以下三种模型供选择：Q(v)＝0.9v＋a，Q(v)＝0.04v＋b，Q(v)＝0.000 025v3－0.004v2＋cv．(1)请选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；(2)选择一段长度为100 km的平坦高速路段进行测试，这辆车应以什么速度行驶才能使总耗油量最少？
[解]　(1)该函数模型应为增函数，故第一种函数模型不符合；若选择第二种函数模型，代入(40，5.2)得5.2＝0.04×40＋b，解得b＝3.6，∴Q(v)＝0.04v＋3.6，此时Q(90)＝7.2，Q(100)＝7.6，Q(120)＝8.4，与实际数据相差较大，故第二种不符合；经观察，第三种函数模型最符合实际，代入(40，5.2)，可得0.000 025×403－0.004×402＋c×40＝5.2，即1.6－6.4＋c×40＝5.2，解得c＝0.25，∴Q(v)＝0.000 025v3－0.004v2＋0.25v，此时，Q(60)＝6，Q(90)＝8.325，Q(100)＝10，Q(120)＝15.6，符合题意，∴Q(v)＝0.000 025v3－0.004v2＋0.25v．
1．下列函数中，增长速度越来越慢的是(　　)A．y＝6x　　　B．y＝lg6x　　　C．y＝x2　　　D．y＝6x
B　[D中一次函数的增长速度不变；A，C中函数的增长速度越来越快；只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意．]
2．(多选)以下四种说法中，错误的是　(　　)A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B．对任意的x>0，xn>lgaxC．对任意的x>0，ax>lgaxD．不一定存在x0，当x>x0时，总有ax>xn>lgax
ABC　[对于A，幂函数的增长速度受幂指数的影响，幂指数不确定，而一次函数的增长速度受一次项系数的影响，增长速度不能比较；对于B，C，当01，n>0时，一定存在x0，使得当x>x0时，总有ax>xn>lgax，但若去掉限制条件“a>1，n>0”，则结论不一定成立．故选ABC．]
4．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了如下一组实验数据：
④　[由表格数据增长越来越快，代入数据验证可知其中最接近的一个是y＝2x．]
1．知识链：三种函数模型：线性函数增长模型、指数型函数增长模型、对数型函数增长模型．2．方法链：转化法．3．警示牌：不理解三种函数增长的差异．
回顾本节知识，自主完成以下问题：如何描述三种函数模型的增长差异？
[提示]　直线上升、指数爆炸、对数增长对于直线y＝kx＋b(k＞0)、指数函数y＝ax(a>1)、对数函数y＝lgbx(b>1)，当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快，并且一次函数直线上升，其增长量固定不变．
指数爆炸与生活哲学指数函数的爆炸式增长源自指数运算的性质．对指数运算不熟悉的人，在估计指数运算的值时，可能会出现比较大的误差．例如，你能猜出以下各指数运算的值大概是多少吗？1.01365≈？1.02365≈？0.99365≈？1.01219×0.98146≈？0.9550≈？