2022-2023学年山东省青岛市李沧区八年级下学期期中数学试题及答案

这是一份2022-2023学年山东省青岛市李沧区八年级下学期期中数学试题及答案，共22页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在我国古代的房屋建筑中，窗棂是重要的组成部分，具有较高的艺术价值，下列窗棂的图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 若，则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
3. 如图，在中，，是的角平分线，若，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
4. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将平移后得到，若点的对应点的坐标是，则点的对应点的坐标是( )
A.
B.
C.
D.
5. 用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不大于”，应先假设( )
A. 直角三角形中两个锐角都大于B. 直角三角形中两个锐角都不大于
C. 直角三角形中有一个锐角大于D. 直角三角形中有一个锐角不大于
6. 如图，在中，，将绕点旋转后，得到，且点在上，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共2小题，共8.0分。在每小题有多项符合题目要求）
7. 已知直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则下列选项是关于的不等式的正整数解的是( )
A. B. C. D.
8. 如图，点是等边内一点，将线段绕点沿顺时针方向旋转得到线段，连接，，若，，，则下列结论正确的是( )
A. 为等边三角形
B.
C. ≌
D.
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 列不等式：据中央气象台报道，某日我市最高气温是，最低气温是，则当天的气温的变化范围是______．
10. 如图，在中，，，点在斜边的延长线上，如果将按顺时针方向旋转一定角度后能与重合，那么旋转角的度数是______
11. 如图，一艘船上午时从海岛出发，以每小时海里的速度向正西方向航行，上午时到达海岛处，分别从，望灯塔，测得，，则海岛到灯塔的距离为______ 海里．
12. 如图，已知点，，，在同一条直线上，，，，若添加一个条件不再添加新的字母后，能判定与全等，则添加的条件可以是______ 写出一个条件即可．
13. 如图，在中，，，，将沿方向平移，得到，与相交于点，则四边形的周长为______ ．
14. 小明网购了一本好玩的数学，同学们想知道书的价格，小明让他们猜甲说：“至少元”，乙说：“至多元”，丙说：“至多元”，小明说：“你们三个人都说错了”，则这本书的价格元的取值范围为______ ．
15. 如图，与关于点成中心对称，若，，，则的长为______ ．
16. 如图，在中，，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是______．
四、解答题（本大题共9小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
如图，，为两条相交的道路，邮局在道路上，现计划在道路和的内部修建一个快递点，使它到两条道路的距离相等，并且到邮局的距离最短，试作出快递点的位置．
18. 本小题分
解不等式：；
解不等式组：；
解不等式组：，并写出它的负整数解．
19. 本小题分
已知关于的方程的解是不等式的最小整数解，求的值．
20. 本小题分
如图所示的三种拼块，，，每个拼块都是由一些大小相同、面积为个单位的小正方形组成，如拼块的面积为个单位．
现用若干个这三种拼块拼正方形，拼图时每种拼块都要用到，这三种拼块拼图时可平移、旋转．
若用个拼块，个拼块，个拼块拼正方形，则拼出的正方形的面积为______ 个单位拼块之间无缝隙，且不重叠；
在图和图中，各画出了某个正方形拼图中的个拼块和个拼块，请分别用不同的拼法将图和图中的正方形拼图补充完整要求：正方形拼图的面积为个单位；用实线画出边界线；拼块之间无缝隙，且不重叠
21. 本小题分
如图，在中，为边上一点，，，交的延长线于点，，垂足为，且．
求证：；
若点是的中点，求的度数．
22. 本小题分
时代的到来，给人类生活带来了巨大变化，某营业厅销售，两种型号的手机，每销售一台型手机可获利元，每销售一台型手机可获利元，该营业厅计划购进，两种型号手机共台，其中型手机的数量不多于型手机数量的倍，该营业厅购进，两种型号手机各多少台时，获得的利润最大？最大利润是多少？
23. 本小题分
如图，是等边三角形，是它的中线，延长至点，使．
求证：；
过点作，垂足为，若，求的长．
24. 本小题分
为了保护环境，某企业决定购买台污水处理设备，经预算，该企业购买设备的资金不高于万元，现有，两种型号的设备可供选择，其中每台的价格、月处理污水量如表：
该企业有几种购买方案？
若企业每月产生的污水量为吨，为节约资金，应选择哪种购买方案？
25. 本小题分
知识再现：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，如图，是的平分线上任意一点，若，，垂足分别为，，则．
从运动角度看：
如图，射线是的平分线，，，分别是，，上的动点，若，则．
初步探究：
如图，射线是的平分线，，，分别是，，上的动点，若，则与的数量关系是______ ；
猜想验证：
如图，射线是的平分线，，，分别是，，上的动点，若，则与的大小有什么关系？请写出你的结论并证明；
拓展应用：
在平面直角坐标系中，点在轴上，点在函数的图象上，点在轴上，连接，，若，请直接写出点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、该图形既是轴对称图形，也是中心轴对称图形，故此选项符合题意；
C、该图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：．
根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义，对选项逐个判断，即可判断出答案．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
2.【答案】
【解析】解：、，
，故本选项正确，符合题意；
B、，
，故本选项错误，不符合题意；
C、，
，
故本选项错误，不符合题意；
D、，
，
故本选项错误，不符合题意；
故选：．
利用不等式的性质来判定即可．
本题考查不等式的性质，关键要掌握不等式两边同乘以负数和同乘以正数时不等号方向要不要改变．
3.【答案】
【解析】解：，，
，
平分，
，
．
故选：．
由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求得，再由角平分线的定义可求得，利用三角形的内角和即可求的度数．
本题主要考查等腰三角形的性质，解答的关键是求得的度数．
4.【答案】
【解析】解：平移后对应点的坐标是，
的平移方法是：先向左平移个单位，再向下平移个单位，
点的平移方法与点的平移方法是相同的，
平移后的坐标是：．
故选：．
点的横坐标减去了，纵坐标减去了，所以的平移方法是：先向左平移个单位，再向下平移个单位，即可得到答案．
此题主要考查了点的平移规律与图形的平移，关键是掌握平移规律，左右移，纵不变，横减加，上下移，横不变，纵加减．
5.【答案】
【解析】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应先假设两个锐角都大于．
故选：．
用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．
本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
6.【答案】
【解析】解：将绕点旋转后，得到，
，，
，
，
故选：．
由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：根据图象可知：两函数的交点坐标为，
关于的不等式的正整数解的取值范围是，
和是关于的不等式的正整数解．
故选：．
根据函数的图象得出两函数的交点坐标，再根据图象得出即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式和一次函数的性质，能根据函数的图象得出两函数的交点坐标是解此题的关键．
8.【答案】
【解析】解：将线段绕点沿顺时针方向旋转得到线段，
，，
是等边三角形，故A符合题意；
，，
是等边三角形，
，，
，
在与中，
，
≌，故C符合题意；
，
，
，
，故B符合题意；
，故的符合题意；
故选：．
根据旋转的性质得到，，根据等边三角形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理的逆定理得到，求得，根据三角形的面积公式得到．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：由题意得，当天的气温的变化范围是，
故答案为：．
根据题意、不等式的定义解答．
本题考查的是不等式的定义，不等式的概念：用“”或“”号表示大小关系的式子，叫做不等式，
10.【答案】
【解析】解：，，
，
绕点按顺时针方向旋转到的位置，
等于旋转角，且，
旋转角的度数为．
故答案为：．
先利用互余计算出，再根据旋转的性质得到等于旋转角，根据平角的定义得到，所以旋转角的度数为．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
11.【答案】
【解析】解：一艘船上午时从海岛出发，以每小时海里的速度向正西方向航行，上午时到达海岛处，
海里，
，，，
，
，
海里，
即海岛到灯塔的距离为海里．
故答案为：．
根据题意可求得海里，再利用三角形外角性质得，进而求得，最后由等角对等边即可求解．
本题主要考查方向角、等腰三角形的判定与性质、三角形外角性质，根据三角形外角性质求得是解题关键．
12.【答案】
【解析】解：，
，
即，
又，，
，
当时，依据可得≌．
当时，依据可得≌．
当时，依据可得≌．
故答案为：．
根据全等三角形的判定定理进行分析即可．
本题考查了全等三角形的判定．题目是开放型题目，根据已知条件结合判定方法，找出所需条件，一般答案不唯一，只要符合要求即可．
13.【答案】
【解析】解：在中，，，
，
，
，
根据平移的性质得，，，，
，
在中，，，
，，
，
四边形的周长，
故答案为：．
根据等腰直角三角形的性质及平移的性质求解即可．
此题考查了等腰直角三角形的性质、平移的性质，熟记等腰直角三角形的性质、平移的性质是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：依题意得：，
解得．
故答案为：．
根据甲、乙、丙三人都说错了，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：与关于点成中心对称，
≌，
，，
，，
，
，
，
故答案为：．
由中心对称的性质推出≌，得到，，由锐角的正切求出的长，即可求出的长．
本题考查中心对称，关键是掌握中心对称的性质．
16.【答案】
【解析】解：如图，过点作交于点，交于点，过点作于点，
是的平分线．
，这时有最小值，即的长度，
，，，
，
，
．
故答案为：．
过点作交于点，交于点，过点作于点，由是的平分线．得出，这时有最小值，即的长度，运用勾股定理求出，再运用
，得出的值，即的最小值．
本题解题的关键是找出满足有最小值时点和的位置．
17.【答案】解：如下图：点即为所求．

【解析】作的平分线和过到的的垂线的交点即为所求．
本题考查了作图的应用与设计，掌握角平分线的性质和理解垂线段最短是解题的关键．
18.【答案】解：，
，
，
；
，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为：；
，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为：，
不等式组的负整数解为：、、．
【解析】移项合并后将的系数化为，即可得到解集．
先求出各不等式的解集，再求其公共解集．
先求出各不等式的解集，再求其公共解集，最后在解集内找整数解．
此题考查了一元一次不等式、不等式组的解法和确定其特殊解，属常规题，其步骤一般为：去分母，去括号，移项合并同类项，将的系数化为．
19.【答案】解：，
，
，
，
的最小整数为，
把代入得，，
．
【解析】根据一元一次不等式的解法以及一元一次方程的解法即可求出答案．
本题考查一元一次不等式，解题的关键是熟练运用一元一次方程以及一元一次不等式的解法，本题属于基础题型．
20.【答案】
【解析】解：个种拼块，个种拼块，个种拼块，面积，
故答案为：．
图形如图所示：
求出各个图形的面积和即可．
分别用个，个，个或个，个，个，拼面积为的正方形即可．
本题考查利用旋转，平移设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】证明：，交的延长线于点，，垂足为，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，即，
．
解：点是的中点，
，
，
，
由得，
，
是等边三角形，
，
的度数是．
【解析】由，，得，由，，根据直角三角形全等的判定定理“”证明≌，得，而，即可证明，则；
由点是的中点，得，而，所以，因为，所以是等边三角形，则．
此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质等知识，证明≌是解题的关键．
22.【答案】解：设购进型手机台，则购进型手机台，
根据题意得：，
解得：．
设台手机全部售出后可获得的总利润为元，则，
即．
，
随的增大而减小，
又，且为正整数，
当时，取得最大值，最大值，此时．
答：当该营业厅购进型手机台、型手机台时，获得的利润最大，最大利润是元．
【解析】设购进型手机台，则购进型手机台，根据购进型手机的数量不多于型手机数量的倍，可得出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设台手机全部售出后可获得的总利润为元，利用总利润每台手机的销售利润销售数量购进数量，可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式是解题的关键．
23.【答案】证明：是等边三角形，是中线，
．
等腰三角形三线合一，
，
．
又，
．
．
等角对等边．
，由知，，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，是它的中线，
．
【解析】根据等边三角形的性质得到，，再根据角之间的关系求得，根据等角对等边即可得到．
由的长可求出，进而可求出的长，则的周长即可求出．
本题主要考查学生对等边三角形的性质及三角形外角的性质的理解及运用；利用三角形外角的性质得到是正确解答本题的关键．
24.【答案】解：设购买台型设备，则购买台型设备，
根据题意得：，
解得：，
又为自然数，
可以为，，，，
该企业共有种购买方案，
方案：购买台型设备；
方案：购买台型设备，台型设备；
方案：购买台型设备，台型设备；
方案：购买台型设备，台型设备；
根据题意得：，
解得：，
又，且为自然数，
可以为，，
该企业共有种购买方案，
方案：购买台型设备，台型设备，所需资金为万元；
方案：购买台型设备，台型设备，所需资金为万元．
，
为节约资金，应选择购买方案：购买台型设备，台型设备．
【解析】设购买台型设备，则购买台型设备，利用总价单价数量，结合该企业购买设备的资金不高于万元，可得出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再结合为自然数，即可得出各购买方案；
根据购买的台设备月处理污水量不少于吨，可得出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，结合且为自然数，可得出各购买方案，再求出选项各购买方案所需购买资金，比较后即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
25.【答案】
【解析】解：如图：
射线是的平分线，
，
在和中，
，
≌，
，
故答案为：；
或，证明如下：
过点分别作于，于，
是的平分线，
，，
当时，
在和中，
，
≌，
；
当时，
同理得≌，
；
，
；
设，
，，
，，
，
，
解得或，
的坐标为或．
证明≌，即可得；
过点分别作于，于，分两种情况：由是的平分线，，证明≌，可得；，同理得≌，有，可得；
设，根据，有，即可解得的坐标为或．
本题考查角平分线性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形判定定理和性质定理．
型
型
价格万元台
处理污水量吨月