山东省青岛市城阳区2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷（含答案）

2022-2023学年山东省青岛市城阳区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若，则下列不等式成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  不等式的正整数解是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列四个图形中，能通过基本图形平移得到的有个图形．(    )
 

A.  B.  C.  D.

4.  到三角形三边的距离都相等的点是这个三角形的(    )

A. 三条高的交点 B. 三条边的垂直平分线的交点
C. 三条中线的交点 D. 三条角平分线的交点

5.  一个不等式的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式可能是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列不等式组中，解集是的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  下列说法中错误的是(    )

A. 中心对称图形的对称中心只有个，而轴对称图形的对称轴可能不止一条
B. 等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形
C. 图形在平移过程中，图形上的每一点都移动了相同的距离
D. 图形在旋转过程中，图形上的每一点都绕旋转中心转过了同样长的路程

8.  如图，是由绕点旋转得到的，若，，，则旋转角的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  不等式的解集是______ ．

10.  等腰三角形的顶角为，则腰上的高与底边的夹角为______ 度

11.  已知关于的不等式的解集在数轴上表示如图，则的值为______ ．

12.  如图，在中，，，于，若，则 ______ ．

13.  已知一次函数是常数，且在平面直角坐标系中的图象如图所示，那么不等式的解集为______ ．

14.  某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演，共有元和元两种门票，某公司需购买张门票，且票价为元的票数不少于票价为元的票数的两倍，则购买这些门票最少需要______ 元

15.  如图，中，平分，，，若，，则的长为______ ．

16.  已知在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，那么不等式的解集为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：；
求作：在内确定一点，使点到顶点、距离相等，且到边、的距离也相等．

18.  本小题分
解不等式与不等式组：
解不等式，并把它的解集表示在数轴上．
求不等式组的整数解．
解不等式组．

19.  本小题分
在平面直角坐标系中，的位置如图所示，根据要求画出图形：
将向右平移个单位，得到，画出平移后的；
将绕点顺时针旋转，得到，画出旋转后的．

20.  本小题分
春风四月暖，阅读正当时，某校今年月开展“点燃读书激情，共建书香校园”活动，计划用元购买一批名著和辞典作为奖品，其中名著每套元，辞典每本元，现已购买名著套，学校最多还能购买多少本辞典？

21.  本小题分
已知：如图，在中，，，是的角平分线，于点，，求的长度．

22.  本小题分
近年来，我国快递市场不断增长业务量，某快递公司为了提高快递分拣的速度，决定采购机器人来代替人工分拣，经市场调查发现，甲型机器人每台万元，乙型机器人每合万元，已知甲型和乙型机器人每台每小时分拣的快递件数分别为件和件，该公司计划采购这两种型号的机器人共台，并且使这台机器人每小时分拣的快递件数总和不少于件，则该公司至少需要投入多少万元才能完成采购计划？

23.  本小题分
如图，在等腰中，两条高线和交于点，．
你能在图中找到一对全等三角形吗？请说明理由；
图中哪个三角形可以通过旋转得到另一个三角形？请说明是怎样旋转的．

24.  本小题分
某校组织学生“探寻红色印记，传承红色基因”为主题的研学旅行，全程导游讲解使学生增长见识，参加旅行的人数估计为至人包含人和人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人元，经过协商，甲旅行社表示可给予每人八折优惠，且导游讲解免费；乙旅行社表示可给予每人七五折优惠，但需支付导游讲解费用共元，设该校有人参加这次研学旅行，选择甲旅行社所需费用为元，选择乙旅行社所需费用为元
求出与之间的函数关系式，与之间的函数关系式．
若该校共有人要参加此次旅游，则选择哪家旅行社可以使总费用较低？请说明理由．
计算说明人数在什么范围内，选乙旅行社合算．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、根据不等式的基本性质，选项结论错误，不符合题意；
B、根据不等式的基本性质，选项结论正确，符合题意；
C、根据不等式的基本性质，选项结论错误，不符合题意；
D、根据不等式的基本性质，选项结论错误，不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质对各选项分析判断即可得解．
本题主要考查了不等式的基本性质：不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变．不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
移项得：，
合并同类项得：，
把的系数化为得：，
所以正整数解为．
故选：．
首先移项，合并同类项，把的系数化为，解出不等式的解集，再从不等式的解集中找出适合条件的正整数即可．
此题主要考查了求不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质，同学们要注意在不等式两边同时除以同一个负数时，不等号一定要改变．
 

3.【答案】 

【解析】解：四个图形中，能通过基本图形平移得到的有，共个．
故选：．
第一个图是四边形组成的图案，可以由四边形平移得到，第二个图是由正方形组成的图案，可以由正方形平移得到，第三个图案是由三角形组成的图案，可以用三角形平移或轴对称得到，第四个图案可以由正六边形平移得到．
本题考查平移、轴对称等知识，解题的关键是理解平移的性质，属于常考题型．
 

4.【答案】 

【解析】解：到三角形三边的距离都相等的点是这个三角形的内心，即三个内角平分线的交点．
故选：．
直接利用三角形的内心性质进行判断．
本题考查了角平分线的性质：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
 

5.【答案】 

【解析】解：处是空心圆点，且折线向右，
这个不等式可能是．
故选：．
根据在数轴上表示不等式解集的方法解答即可．
本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：不等式组中，解集是的是，
故选：．
根据不等式组的表示方法，可得答案．
本题考查了不等式的解集，利用不等式组的解集的表示方法：大小小大中间找是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、中心对称图形的对称中心只有一个，而轴对称图形的对称轴可能不只一条，正确，不符合题意；
B、等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，绕其中心每次旋转能与其本身重合，正确，不符合题意；
C、图形平移时，对应点的连线平行且相等，正确，不符合题意；
D、图形在旋转过程中，图形上的每一点都绕旋转中心转过了同样角度，错误，符合题意；
故选：．
运用图形的轴对称性，中心对称性，旋转的判断方法，逐一判断．
本题考查了图形的对称轴、中心对称，旋转相关知识的运用，是中考常见的题型，需要熟练掌握．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
，，
，
，
，
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，
为由绕点旋转得到的一个旋转角，
旋转角的度数．
故选：．
先根据三角形的内角和等于算出的度数，再将与相加算出的度数，最后根据旋转角的定义可得就是本题的一个旋转角．
本题主要考查了旋转的性质，掌握旋转角的定义是解答本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
，
则，
故答案为：．
移项、合并同类项，系数化为即可得出答案．
本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤和依据．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图：中，，是边上的高．
，且，
；
在中，
，；
．
故答案为：．
根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出等腰三角形的底角的度数，然后在一腰上的高与底边所构成的直角三角形中，可得出所求角的度数．
本题主要考查等腰三角形的性质，及三角形内角和定理．求一个角的大小，常常通过三角形内角和来解决，注意应用．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
由图可知：解集为：，
，
．
故答案为：．
直接利用已知不等式的解集得出关于的等式进而得出答案．
本题主要考查了解一元一次不等式，正确得出关于的等式是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：在中，
，，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
先在中利用角所对的直角边等于斜边的一半得到，然后在利用同样方法求．
本题考查了含度角的直角三角形：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为时，，
所以当时，，即，
所以不等式的解集为．
故答案为：．
观察函数图象，写出函数值大于所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

14.【答案】 

【解析】解：设票价为元的票数为张，票价为元的票数为张，
故，
可得：，
由题意可知：，为正整数，故，，
故购买这两种票最少需要元．
故答案为：．
设票价为元的票数为张，票价为元的票数为张，根据题意可列出，当购买的元的票越多，花钱就越少，从而可求解．
本题考查一元一次不等式组的应用，读懂题意，列出不等式和关系式，本题关键是要知道当购买的元的票越多，花钱就越少即可求解．
 

15.【答案】 

【解析】解：平分，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
先根据可证≌，根据全等三角形的性质可得，，可得的长，根据等角对等边可得，进一步可得的长．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握这些判定和性质是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：从图象可知：两一次函数与的图象的交点坐标是，
不等式的解集为，
故答案为：．
根据两函数的交点坐标得出不等式的解集即可．
本题考查了一次函数的图象、一次函数与一元一次不等式，能了解两一次函数的交点坐标与一元一次不等式的解集的关系是解此题的关键．
 

17.【答案】解：如图，作的垂直平分线和的平分线，与直线相交于点，
则点为所作．
 

【解析】作的垂直平分线和的平分线，它们相交于点，根据线段垂直平分线的性质和角平分线的性质可判断点满足条件．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质．
 

18.【答案】解：，
，
，
，
则；
将解集表示在数轴上如下：

由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
所以不等式组的整数解为、、、；
由得：，
由得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为可得；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而可得其整数解；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：如图，即为所求．
如图，即为所求． 

【解析】根据平移的性质作图即可．
根据旋转的性质作图即可．
本题考查作图平移变换、旋转变换，熟练掌握平移和旋转的性质是解答本题的关键．
 

20.【答案】解：设学校能买本辞典，
根据题意得：，
解得：，
为整数，
．
答：学校最多能买本辞典． 

【解析】设学校能买本辞典，根据单价数量总价结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大整数即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
 

21.【答案】解：，，
，
是的角平分线，，，
，
，，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理，得，
，
，
在中，根据勾股定理，得． 

【解析】根据等腰直角三角形的性质可得，根据角平分线的性质可得，根据，可知，在中，根据勾股定理，可得的长，进一步可得的长，在中，根据勾股定理，可得得长．
本题考查了角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：设采购甲型机器人台，则采购乙型机器人台，
由题意得：，
解得：，
设采购总费用为元，
由题意得：，
，
随的增大而增大，
，且为正整数，
当时，取最小值，
答：该公司至少需要投入万元才能完成采购计划． 

【解析】设采购甲型机器人台，则采购乙型机器人台，由题意：使这台机器人每小时分拣的快递件数总和不少于件，列出一元一次不等式，解得，再设采购总费用为元，由题意得，然后由一次函数的性质即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，找出数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
 

23.【答案】解：≌，理由如下：
，，
，，
，，
，即，
为等腰三角形，，
，
，
，
在和中，
，
≌；
≌，理由如下：
为等腰三角形，，
，，
在和中，
，
≌；
绕点顺时针旋转得到或绕点逆时针旋转得到． 

【解析】由题意可得，，由同角的余角相等得，由等腰三角形三线合一的性质可得，则，以此可通过证明≌；
由等腰三角形三线合一的性质可得，以此可通过证明≌；
根据旋转的定义即可得到结论．
本题主要考查旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定，熟知判定三角形全等的方法是解题关键．
 

24.【答案】解：根据题意得：；
；
与之间的函数关系式为；与之间的函数关系式为；
当时，；
，
，
选择乙旅行社可以使总费用较低；
当时，即，
解得，
，
，
人数在到包括不包括范围内，选乙旅行社合算． 

【解析】甲旅行社需要的费用为：；乙旅行社的收费为：；
将分别代入求得的函数解析式，计算即可求解；
令，解不等式即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，得出相应的函数解析式．