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2023-2024学年陕西省宝鸡市千阳中学高二（下）期末数学试卷（含答案）
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这是一份2023-2024学年陕西省宝鸡市千阳中学高二（下）期末数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|1≤x<5}，B={x|−2A. (−∞,−2]∪(3，+∞)B. (−∞,1)∪(3,+∞)
C. (−∞,−2]∪(5，+∞)D. (−∞,1)∪[5，+∞)
2.复数z=1−i(1+i)(2+i)的虚部为( )
A. −25B. −15C. 15D. 25
3.已知随机变量X服从两点分布，E(X)=0.6，则其成功概率为( )
A. 0.3B. 0.4C. 0.5D. 0.6
4.已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，准线为l，点P(x0,1)(x0>0)在抛物线C上，过P作l的垂线，垂足为Q，若|PO|=|PQ|(O为坐标原点)，则x0=( )
A. 2 2B. 3C. 3 2D. 4
5.已知方程x2m−2+y24−m=1表示一个焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为( )
A. (3,4)B. (2,3)C. (2,3)∪(3,4)D. (2,4)
6.函数f(x)=(−a−5)x−2,x≥2x2+2(a−1)x−3a,x<2，若对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，都有f(x1)−f(x2)x1−x2<0成立，则实数a的取值范围为( )
A. [−4,−1]B. [−4,−2]C. (−5,−1]D. [−5,−4]
7.如图是战国时期的一个铜镞，其由两部分组成，前段是高为2cm、底面边长为1cm的正三棱锥，后段是高为0.6cm的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积约为( )
A. 0.25cm3B. 0.65cm3C. 0.15cm3D. 0.45cm3
8.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与⊙M：(x−a)2+(y−b2)2=b24交于第一象限内的两点A，B，若△MAB为等边三角形，则双曲线的离心率e=( )
A. 3B. 2 33C. 2D. 2 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线l1：x−a2y+2=0，直线l2：ax−(a−2)y−3=0，若l1⊥l2，则实数a可能的取值为( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
10.关于成对数据统计分析的下列结论中，正确的是( )
A. 若两个变量x与y的相关系数r<0，则这两个变量负相关
B. 若两个变量x与y的相关系数r越大，则这两个变量的线性相关程度越强
C. 若两个变量x与y的相关系数r=0，则这两个变量不具有相关关系
D. 对于两个变量x与y的经验回归方程，若决定系数R2越大，则经验回归方程的拟合效果越好
11.已知函数f(x)=sin(csx)+cs(sinx)，则( )
A. f(x)是奇函数B. f(x)的最大值大于 2
C. ∀x∈R，f(x−2π)=f(x)D. ∀x∈[0,π]，f(x+π)>0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若cs(π−α)=− 23，且α∈(−π2,0)，则tanα的值是______．
13.已知函数f(x)=x2+2x−1,x≤03x+m,x>0在R上存在最小值，则m的取值范围是______．
14.若关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为(1,2)，则关于x的不等式ax+b x−1−a+c>0的解集为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别a，b，c，且acsC=b−csinA 3．
(1)求A；
(2)若a=3，试探究：△ABC的周长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，说明理由．
16.(本小题15分)
已知{an}为等比数列，且a3+a6=36，a4+a7=18．
(1)若an=12，求n；
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，求S8．
17.(本小题15分)
甲、乙两个乒乓球队之间组织友谊比赛，比赛规则如下：每个队各组织五名队员进行五场单打比赛，每场单打比赛获胜的一方得1分，失败的一方不得分．已知每场单打比赛中，甲队获胜的概率均为13(每场单打比赛不考虑平局的情况)．
(1)求五场单打比赛后，甲队恰好领先乙队1分的概率；
(2)设比赛结束后甲队的得分为随机变量X，求X的分布列和数学期望．
18.(本小题17分)
如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，E为CD的中点，将△ADE沿AE折起，使点D到点P处，平面PAE⊥平面ABCE．
(1)证明：平面PAB⊥平面PBE；
(2)求二面角C−PA−B的正弦值．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=lnx+2ax+1．
(1)设函数g(x)=x+1x⋅f(x)−lnxx，讨论g(x)的单调性；
(2)设x1，x2分别为f(x)的极大值点和极小值点，证明：|f(x2)−f(x1)|<2(a−2) a2−2aa−1．
参考答案
1.B
2.A
3.D
4.A
5.B
6.A
7.D
8.B
9.BC
10.AD
11.BCD
12.− 142
13.[−3,+∞)
14.[1,2)∪(5,+∞)
15.解：(1)∵acsC=b−csinA 3.∴ 3sinAcsC= 3sinB−sinCsinA，
∴ 3sinAcsC= 3sin(π−A−C)−sinCsinA，
∴ 3sinAcsC= 3sin(A+C)−sinCsinA，
∴ 3sinAcsC= 3sinAcsC+ 3csAsinC−sinCsinA，
∴ 3csAsinC=sinCsinA，
∵sinC≠0，∴tanA= 3，
∵0(2)又a=3，所以由正弦定理可得bsinB=csinC=asinA=3 32=2 3，所以b=2 3sinB，c=2 3sinC，
则1=a+b+c=2 3sinB+2 3sinC+3=2 3sinB+2 3sin(2π3−B)+3=3 3sinB+3csB+3=6sin(B+π6)+3，
因为0所以π616.解：(1)设等比数列{an}的公比为q则an=a1qn−1
∵a3+a6=36，a4+a7=18
∴a1q2+a1q5= 36a1q3+ a1q6=18
∴a1=128q=12
∴an=128⋅(12)n−1
∵an=12
∴an=128⋅(12)n−1=12
∴n=9
(2)由(1)可得Sn=a1(1−qn)1−q=256[1−(12)n]
∴S8=256[1−(12)8]=255
17.解：(1)设五场单打比赛后，甲队恰好领先乙队(1分)为事件A，
则P(A)=C53⋅(13)3×(23)2=40243；
(2)由题意可知X的取值为0，1，2，3，4，5，
P(X=0)=(23)5=32243，
P(X=1)=C51×(13)×(23)4=80243，
P(X=2)=C52×(13)2×(23)3=80243，
P(X=3)=C53×(13)3×(23)2=40243，
P(X=4)=C54×(13)4×23=10243，
P(X=5)=C55×(13)5=1243，
随机变量X的分布列为：
所以E(X)=0×32243+1×80243+2×80243+3×40243+4×10243+5×1243=53．
18.(1)证明：在矩形ABCD中，由E为CD中点，易得AE=EB=2 2，又AB=4．
∴AE2+BE2=AB2，即∠AEB=90°，
∴AE⊥BE，
又平面PAE⊥平面ABCE.平面PAE⋂平面ABCE=AE，BE⊂平面ABCE．
∴BE⊥平面PAE，
又PA⊂面PAE，∴BE⊥PA，又PA⊥PE，BE∩PE=E，BE，PE⊂平面PBE，
所以PA⊥平面PBE，因为PA⊂平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PBE．
(2)解：取AE的中点O，连接OP，则OP⊥AE，
又平面PAE⊥平面ABCE，平面PAE⋂平面ABCE=AE，
OP⊂平面PAE，
∴OP⊥平面ABCE．
如图以O为原点建立空间直角坐标系O−xyz．
则C(−1,3,0)，P(0,0, 2)，A(1,−1,0)，B(1,3,0)，
∴AP=(−1,1, 2)，AC=(−2,4,0)，AB=(0,4,0)，
设平面CPA的法向量为n=(x,y,z)，
∴n⋅AP=−x+y+ 2z=0n⋅AC=−2x+4y=0，令y=2，则n=(4,2, 2)．
设平面PAB的法向量为m=(a,b,c)，
∴m⋅AP=−a+b+ 2c=0m⋅AB=4b=0，令a=2，则m=(2,0, 2)．
设平面CPA与平面PAB所成的角为θ．
则csθ=|cs〈m,n〉|=|m⋅n||m|⋅|n|=|8+2| 22× 6=5 3333，所以sinθ= 1−cs2θ=2 6633
∴二面角C−PA−B的正弦值为2 6633．
19.解：(1)∵g(x)=x+1x⋅f(x)−lnxx=x+1x(lnx+2ax+1)−lnxx=lnx+2ax，
∴g′(x)=1x−2ax2=x−2ax2，
当a>0时，x∈(0,2a)，g′(x)<0，g(x)单调递减，x∈(2a,+∞)，g′(x)>0，g(x)单调递增，
当a≤0时，g′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，则g(x)在(0,+∞)上单调递增．
综上，当a>0时，g(x)在(0,2a)上单调递减，在(2a,+∞)上单调递增，
当a≤0时，g(x)在(0,+∞)上单调递增．
(2)证明：f′(x)=x2+(2−2a)x+1x(x+1)2(x>0)，
∵x1，x2分别是f(x)的极大值点和极小值点，
∴x1x2=1,x1+x2=2a−2,x2−x1=2 a2−2a(a>2)．
∴2(a−2) a2−2aa−1=2 a2−2a−2 a2−2aa−1=x2−x1−2x2−x1x2+x1，
综上，要证|f(x2)−f(x1)|<2(a−2) a2−2aa−1，
只需证f(x1)−f(x2)∵f(x1)−f(x2)=lnx1x2+2a(1x1+1−1x2+1)=lnx1x2+2ax2−x1(x1+1)(x2+1)=lnx1x2+x2−x1，
即证：lnx2x1−2x2x1−1x2x1+1>0，
设t=x2x1>1,g(t)=lnt−2(t−1)t+1．
∴g′(t)=1t−4(t+1)2=(t−1)2t(t+1)2>0，
∴g(t)在(1,+∞)上单调递增，∴g(t)>g(1)=0．
∴|f(x2)−f(x1)|<2(a−2) a2−2aa−1成立． X
0
1
2
3
4
5
P
32243
80243
80243
40243
10243
1243
1.已知集合A={x|1≤x<5}，B={x|−2
C. (−∞,−2]∪(5，+∞)D. (−∞,1)∪[5，+∞)
2.复数z=1−i(1+i)(2+i)的虚部为( )
A. −25B. −15C. 15D. 25
3.已知随机变量X服从两点分布，E(X)=0.6，则其成功概率为( )
A. 0.3B. 0.4C. 0.5D. 0.6
4.已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，准线为l，点P(x0,1)(x0>0)在抛物线C上，过P作l的垂线，垂足为Q，若|PO|=|PQ|(O为坐标原点)，则x0=( )
A. 2 2B. 3C. 3 2D. 4
5.已知方程x2m−2+y24−m=1表示一个焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为( )
A. (3,4)B. (2,3)C. (2,3)∪(3,4)D. (2,4)
6.函数f(x)=(−a−5)x−2,x≥2x2+2(a−1)x−3a,x<2，若对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，都有f(x1)−f(x2)x1−x2<0成立，则实数a的取值范围为( )
A. [−4,−1]B. [−4,−2]C. (−5,−1]D. [−5,−4]
7.如图是战国时期的一个铜镞，其由两部分组成，前段是高为2cm、底面边长为1cm的正三棱锥，后段是高为0.6cm的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积约为( )
A. 0.25cm3B. 0.65cm3C. 0.15cm3D. 0.45cm3
8.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与⊙M：(x−a)2+(y−b2)2=b24交于第一象限内的两点A，B，若△MAB为等边三角形，则双曲线的离心率e=( )
A. 3B. 2 33C. 2D. 2 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线l1：x−a2y+2=0，直线l2：ax−(a−2)y−3=0，若l1⊥l2，则实数a可能的取值为( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
10.关于成对数据统计分析的下列结论中，正确的是( )
A. 若两个变量x与y的相关系数r<0，则这两个变量负相关
B. 若两个变量x与y的相关系数r越大，则这两个变量的线性相关程度越强
C. 若两个变量x与y的相关系数r=0，则这两个变量不具有相关关系
D. 对于两个变量x与y的经验回归方程，若决定系数R2越大，则经验回归方程的拟合效果越好
11.已知函数f(x)=sin(csx)+cs(sinx)，则( )
A. f(x)是奇函数B. f(x)的最大值大于 2
C. ∀x∈R，f(x−2π)=f(x)D. ∀x∈[0,π]，f(x+π)>0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若cs(π−α)=− 23，且α∈(−π2,0)，则tanα的值是______．
13.已知函数f(x)=x2+2x−1,x≤03x+m,x>0在R上存在最小值，则m的取值范围是______．
14.若关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为(1,2)，则关于x的不等式ax+b x−1−a+c>0的解集为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别a，b，c，且acsC=b−csinA 3．
(1)求A；
(2)若a=3，试探究：△ABC的周长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，说明理由．
16.(本小题15分)
已知{an}为等比数列，且a3+a6=36，a4+a7=18．
(1)若an=12，求n；
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，求S8．
17.(本小题15分)
甲、乙两个乒乓球队之间组织友谊比赛，比赛规则如下：每个队各组织五名队员进行五场单打比赛，每场单打比赛获胜的一方得1分，失败的一方不得分．已知每场单打比赛中，甲队获胜的概率均为13(每场单打比赛不考虑平局的情况)．
(1)求五场单打比赛后，甲队恰好领先乙队1分的概率；
(2)设比赛结束后甲队的得分为随机变量X，求X的分布列和数学期望．
18.(本小题17分)
如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，E为CD的中点，将△ADE沿AE折起，使点D到点P处，平面PAE⊥平面ABCE．
(1)证明：平面PAB⊥平面PBE；
(2)求二面角C−PA−B的正弦值．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=lnx+2ax+1．
(1)设函数g(x)=x+1x⋅f(x)−lnxx，讨论g(x)的单调性；
(2)设x1，x2分别为f(x)的极大值点和极小值点，证明：|f(x2)−f(x1)|<2(a−2) a2−2aa−1．
参考答案
1.B
2.A
3.D
4.A
5.B
6.A
7.D
8.B
9.BC
10.AD
11.BCD
12.− 142
13.[−3,+∞)
14.[1,2)∪(5,+∞)
15.解：(1)∵acsC=b−csinA 3.∴ 3sinAcsC= 3sinB−sinCsinA，
∴ 3sinAcsC= 3sin(π−A−C)−sinCsinA，
∴ 3sinAcsC= 3sin(A+C)−sinCsinA，
∴ 3sinAcsC= 3sinAcsC+ 3csAsinC−sinCsinA，
∴ 3csAsinC=sinCsinA，
∵sinC≠0，∴tanA= 3，
∵0
则1=a+b+c=2 3sinB+2 3sinC+3=2 3sinB+2 3sin(2π3−B)+3=3 3sinB+3csB+3=6sin(B+π6)+3，
因为0
∵a3+a6=36，a4+a7=18
∴a1q2+a1q5= 36a1q3+ a1q6=18
∴a1=128q=12
∴an=128⋅(12)n−1
∵an=12
∴an=128⋅(12)n−1=12
∴n=9
(2)由(1)可得Sn=a1(1−qn)1−q=256[1−(12)n]
∴S8=256[1−(12)8]=255
17.解：(1)设五场单打比赛后，甲队恰好领先乙队(1分)为事件A，
则P(A)=C53⋅(13)3×(23)2=40243；
(2)由题意可知X的取值为0，1，2，3，4，5，
P(X=0)=(23)5=32243，
P(X=1)=C51×(13)×(23)4=80243，
P(X=2)=C52×(13)2×(23)3=80243，
P(X=3)=C53×(13)3×(23)2=40243，
P(X=4)=C54×(13)4×23=10243，
P(X=5)=C55×(13)5=1243，
随机变量X的分布列为：
所以E(X)=0×32243+1×80243+2×80243+3×40243+4×10243+5×1243=53．
18.(1)证明：在矩形ABCD中，由E为CD中点，易得AE=EB=2 2，又AB=4．
∴AE2+BE2=AB2，即∠AEB=90°，
∴AE⊥BE，
又平面PAE⊥平面ABCE.平面PAE⋂平面ABCE=AE，BE⊂平面ABCE．
∴BE⊥平面PAE，
又PA⊂面PAE，∴BE⊥PA，又PA⊥PE，BE∩PE=E，BE，PE⊂平面PBE，
所以PA⊥平面PBE，因为PA⊂平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PBE．
(2)解：取AE的中点O，连接OP，则OP⊥AE，
又平面PAE⊥平面ABCE，平面PAE⋂平面ABCE=AE，
OP⊂平面PAE，
∴OP⊥平面ABCE．
如图以O为原点建立空间直角坐标系O−xyz．
则C(−1,3,0)，P(0,0, 2)，A(1,−1,0)，B(1,3,0)，
∴AP=(−1,1, 2)，AC=(−2,4,0)，AB=(0,4,0)，
设平面CPA的法向量为n=(x,y,z)，
∴n⋅AP=−x+y+ 2z=0n⋅AC=−2x+4y=0，令y=2，则n=(4,2, 2)．
设平面PAB的法向量为m=(a,b,c)，
∴m⋅AP=−a+b+ 2c=0m⋅AB=4b=0，令a=2，则m=(2,0, 2)．
设平面CPA与平面PAB所成的角为θ．
则csθ=|cs〈m,n〉|=|m⋅n||m|⋅|n|=|8+2| 22× 6=5 3333，所以sinθ= 1−cs2θ=2 6633
∴二面角C−PA−B的正弦值为2 6633．
19.解：(1)∵g(x)=x+1x⋅f(x)−lnxx=x+1x(lnx+2ax+1)−lnxx=lnx+2ax，
∴g′(x)=1x−2ax2=x−2ax2，
当a>0时，x∈(0,2a)，g′(x)<0，g(x)单调递减，x∈(2a,+∞)，g′(x)>0，g(x)单调递增，
当a≤0时，g′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，则g(x)在(0,+∞)上单调递增．
综上，当a>0时，g(x)在(0,2a)上单调递减，在(2a,+∞)上单调递增，
当a≤0时，g(x)在(0,+∞)上单调递增．
(2)证明：f′(x)=x2+(2−2a)x+1x(x+1)2(x>0)，
∵x1，x2分别是f(x)的极大值点和极小值点，
∴x1x2=1,x1+x2=2a−2,x2−x1=2 a2−2a(a>2)．
∴2(a−2) a2−2aa−1=2 a2−2a−2 a2−2aa−1=x2−x1−2x2−x1x2+x1，
综上，要证|f(x2)−f(x1)|<2(a−2) a2−2aa−1，
只需证f(x1)−f(x2)
即证：lnx2x1−2x2x1−1x2x1+1>0，
设t=x2x1>1,g(t)=lnt−2(t−1)t+1．
∴g′(t)=1t−4(t+1)2=(t−1)2t(t+1)2>0，
∴g(t)在(1,+∞)上单调递增，∴g(t)>g(1)=0．
∴|f(x2)−f(x1)|<2(a−2) a2−2aa−1成立． X
0
1
2
3
4
5
P
32243
80243
80243
40243
10243
1243
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