2023-2024学年陕西省宝鸡市高二年级下学期期末测试数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年陕西省宝鸡市高二年级下学期期末测试数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数f(x)=x+sinx，则f′(0)=( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
2.一批产品共50件，其中有3件不合格品，从中任取5件，则恰有1件不合格品的概率是( )
A. C31C474C505B. C31C505C. 1−C31C474C505D. 1−C31C505
3.下列求导运算正确的是( )
A. (sin 2x)′=cs 2xB. ( x)′=12 x
C. (3x)′=3xD. [ln(2x−1)]′=12x−1
4.两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( )
A. 16B. 14C. 13D. 12
5.等差数列{an}前n项和为Sn，若S5=S10，a5=1，则下列选项正确的是( )
A. a1=−13B. a1=13C. a1=2D. a1=73
6.设A，B为两个事件，已知P(B)=0.4，P(A)=0.5，P(B|A)=0.3，则P(B|A)=( )
A. 0.3B. 0.4C. 0.5D. 0.6
7.设a，b∈0,12，随机变量X的分布列如下表所示，则当a在0,12上变化时，下列说法正确的是( )
A. E(X)增大，D(X)增大
B. E(X)增大，D(X)减小
C. E(X)为定值，D(X)先增大后减小
D. E(X)为定值，D(X)先减小后增大
8.已知函数y=f(x) (x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′x<0的解集为( )
A. (−∞,0)∪(13,2)B. −∞,13⋃13,2
C. −∞,13⋃2,+∞D. −1,0⋃1,3
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有( )
A. 如果4人全部为男生，那么有30种不同的选法
B. 如果4人中男生女生各有2人，那么有30种不同的选法
C. 如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法
D. 如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法
10.为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了6株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为12.设X为成活沙柳的株数，下列说法正确的是( )
A. 数学期望E(X)=3
B. 标准差 D(X)=32
C. 至多有4株沙柳成活的概率为764
D. 若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种沙柳的概率为2132
11.若(1−2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则下列结论中正确的是( )
A. a0=1
B. a5=32
C. a0+a2+a4=35−12
D. a0−|a1|+a2−|a3|+a4−|a5|=−1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.两个线性相关变量x与y的统计数据如表：
其回归直线方程是y=bx+40，则相应于点(9,11)的残差为 ．
13.设曲线y=e2ax在点(0,1)处的切线与直线2x−y+1=0垂直，则a=________．
14.在(3x−2x)n的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知fx=x3+3ax2+bx+a2a>1在x=−1时有极值0．
(1)求常数a，b的值；
(2)求fx在区间−4,0上的最值．
16.(本小题12分)
某校为了解学生对体育锻炼时长的满意度，随机抽取了100位学生进行调查，结果如下：
回答“满意”的人数占被调查人数的一半，且在回答“满意”的人中，男生人数是女生人数的37；在回答“不满意”的人中，女生人数占15．
(1)请根据以上信息填写下面2×2列联表，判断是否有99%的把握认为学生对体育锻炼时长的满意度与性别有关？
附：
参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
(2)为了解增加体育锻炼时长后体育测试的达标效果，一学期后对这100名学生进行体育测试，将测试成绩折算成百分制，规定不低于60分为达标，超过96%的学生达标则认为达标效果显著．已知这100名学生的测试成绩服从正态分布N(70,25)，试判断该校增加体育锻炼时长后达标效果是否显著？
附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973．
17.(本小题12分)
我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从2021年到2025年的“十四五”规划．某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金．该企业为了了解研发资金的投入额x(单位：百万元)对年收入的附加额y(单位：百万元)的影响，对往年研发资金投入额xi和年收入的附加额yi进行研究，得到相关数据如下：
(1)求证：i=1nxi−xyi−y=i=1nxiyi−nxy，i=1nxi−x2=i=1nxi2−nx2；
(2)求年收入的附加额y与投入额x的经验回归方程．
参考数据：i=18xiyi=334.1，i=18yi=48.6，i=18xi2=356．
参考公式：在经验回归方程y=bx+a中，b=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2，a=y−bx．
18.(本小题12分)
为贯彻落实立德树人根本任务，坚持五育并举，某市委托厦门中学生助手调查学生对足球的喜爱程度，调查显示该市喜爱足球运动的学生占全市学生的23，喜爱足球运动的学生中男、女生人数比例为3:2．
(1)在喜爱足球运动的学生中按性别比例分配样本，用分层抽样的方法抽取5人，再从中随机选取3人进行访谈．设随机选出的3人中女生人数为X，求X的分布列和数学期望E(X)；
(2)学生甲断言“在全市学生中随机选取3人，这3人中喜爱足球运动的人数至少比不喜爱足球运动的人数多1的概率超过50%”.该学生判断是否正确？说明理由．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=ex−ln(x+m)
(Ⅰ)设x=0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；
(Ⅱ)当m≤2时，证明f(x)>0．
参考答案
1.D
2.A
3.B
4.D
5.D
6.C
7.D
8.A
9.CD
10.AD
11.ACD
12.−0.2
13.−14
14.112
15.解：(1)f′x=3x2+6ax+b，
由题知：f′−1=0f−1=0⇒3−6a+b=0 (1)−1+3a−b+a2=0 (2)
联立(1)、(2)结合a>1，有a=1b=3(舍)或a=2b=9．
所以a=2，b=9，经检验，符合题意；
(2)当a=2，b=9时，f​′(x)=3x2+12x+9=3(x+3)(x+1)
故方程f′x=0有根x=−3或x=−1，
∴由f′(x)=3x2+12x+9>0，
得x∈(−∞,−3)或(−1,+∞)
由f ′(x)=3x2+12x+9<0得x∈(−3,−1)，
∴函数f(x)的单调增区间为：−4,−3,−1,0，减区间为：(−3,−1)．
函数在x=−3处取得极大值，在x=−1处取得极小值；
经计算f−4=0，f−3=4，f−1=0，f0=4，
所以函数的最小值为0，最大值为4．

16.解：(1)补充2×2列联表如图：
则χ2=100×(15×10−35×40)255×45×50×50=250099≈25.25>10.828，
所以有99%的把握认为学生对于体育锻炼时长的满意度与性别有关。
(2)因为学生的测试成绩服从正态分布N(70,25)，所以μ=70，σ=5，且60=70−2×5，
所以P(X≥60)=1−P(X<60)
=1−1−P(60≤X≤80)2
=1−1−0.95452
=0.97725>0.96．
答：该校增加锻炼时长后达标效果显著．
17.(1)证明：i=1n(xi−x)(yi−y)=i=1nxiyi−yi=1nxi−xi=1nyi+nxy
=i=1nxiyi−y⋅nx−x⋅ny+nxy=i=1nxiyi−nxy，
i=1n(xi−x)2=i=1nxi2−2xi=1nxi+nx2=i=1nxi2−2x⋅nx+nx2=i=1nxi2−nx2；
(2)解：x=2+3+4+5+6+8+9+118=6，y=18i=18yi=48.68=6.075，
由公式得，b=i=1nxiyi−nxyi=1nxi2−nx2=334.1−8×6×6.075356−8×36=0.625，
又因为a=y−bx，
所以a=6.075−0.625×6=2.325，
所以年收入的附加额y与投入额x的线性回归方程为y=0.625x+2.325，
18.解：(1)在喜爱足球运动的学生中按性别比例分配分层抽样抽取5人，其中男生3人，女生2人，
则随机选出的3人中女生人数X的所有可能取值为0，1，2，
P(X=0)=C33C53=110，P(X=1)=C32C21C53=35，P(X=2)=C31C22C53=310，
则X的分布列为：
所以E(X)=0×110+1×35+2×310=65．
(2)设全市学生随机选取的3人中喜爱足球运动的人数为Y，则Y∽B(3,23)，
设事件A=“喜爱足球运动的人数至少比不喜爱足球运动的人数多1”，
则P(A)=P(Y=3)+P(Y=2)=C33(23)3+C32(23)2(13)=2027．
所以P(A)>12，则该学生判断正确．
19.(Ⅰ)解：∵f′(x)=ex−1x+m，x=0是f(x)的极值点，
∴f′(0)=1−1m=0，解得m=1，经检验，满足题意，
所以函数f(x)=ex−ln(x+1)，其定义域为(−1,+∞)，
∵f′(x)=ex−1x+1=ex(x+1)−1x+1，
设g(x)=ex(x+1)−1，x∈(−1,+∞)，
则g′(x)=ex(x+1)+ex>0，所以g(x)在(−1,+∞)上为增函数，
又∵g(0)=0，所以当x>0时，g(x)>0，即f′(x)>0；当−1所以f(x)在(−1,0)上为减函数，在(0,+∞)上为增函数；
(Ⅱ)证明：当m≤2，x∈(−m,+∞)时，ln(x+m)≤ln(x+2)，
故要证当m≤2时，f(x)>0，只需证明当m=2时f(x)>0．
当m=2时，函数f′(x)=ex−1x+2在(−2,+∞)上为增函数，且f′(−1)<0，f′(0)>0．
故f′(x)=0在(−2,+∞)上有唯一实数根x0，且x0∈(−1,0)．
当x∈(−2,x0)时，f′(x)<0，当x∈(x0,+∞)时，f′(x)>0，
从而当x=x0时，f(x)取得最小值，
由f′(x0)=0，得ex0=1x0+2，ln(x0+2)=−x0．
故f(x)≥f(x0)=1x0+2+x0=(x0+1)2x0+2>0．
综上，当m≤2时，f(x)>0． X
0
2a
1
P
a
12
b
x
9
9.5
10
10.5
11
y
11
10
8
6
5
满意
不满意
合计
男生
女生
合计
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
投入额xi
2
3
4
5
6
8
9
11
年收入的附加额yi
3.6
4.1
4.8
5.4
6.2
7.5
7.9
9.1
满意
不满意
合计
男生
15
40
55
女生
35
10
45
合计
50
50
100
X
0
1
2
P
110
35
310