高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)重难点突破01玩转指对幂比较大小(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)重难点突破01玩转指对幂比较大小(原卷版+解析)，共44页。


（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小．
（2）指、对、幂大小比较的常用方法：
①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；
②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；
③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；
④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定．
（3）转化为两函数图象交点的横坐标
（4）特殊值法
（5）估算法
（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法
（7）常见函数的麦克劳林展开式：
①
②
③
④
⑤
⑥
题型一：直接利用单调性
【例1】（2023·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）已知，，，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【对点训练1】（2023·天津滨海新·统考三模）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，，则，，大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【对点训练2】（2023·全国·校联考模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【对点训练3】（2023·天津·统考二模）设，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
题型二：引入媒介值
【例2】（2023·天津河北·统考一模）若，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【对点训练4】（2023·天津南开·统考二模）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【对点训练5】（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知，，，则三者的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【对点训练6】（2023·河南·校联考模拟预测）已知，，，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
题型三：含变量问题
【例3】（理科数学-2021年高三5月大联考（新课标Ⅲ卷））已知，，，，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【对点训练7】（云南省大理市辖区2023届高三毕业生区域性规模化统一检测数学试题）已知实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【对点训练8】（江西省宜春市2023届高三模拟考试数学（文）试题）已知实数x，y，，且满足，，则x，y，z大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【对点训练9】（山东省青岛市2023届高三下学期第一次适应性检测数学试题）已知函数，若，，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【对点训练10】（2023·陕西西安·统考一模）设且，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
题型四：构造函数
【例4】（2023·山东潍坊·三模）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【对点训练11】（2023·广西·校联考模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【对点训练12】（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【对点训练13】（河北省唐山市开滦第二中学2023届高三核心模拟（三）数学试题）设，，，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【对点训练14】（湖北省武汉市2023届高三5月模拟训练数学试题）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【对点训练15】（2023·山西大同·统考模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【对点训练16】（2023·河南·模拟预测）已知，，，，则a，b，c，d的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
题型五：数形结合
【例5】（广东省六校2023届高三上学期第三次联考数学试题）已知，为函数的零点，，若，则（ ）
A．B．
C．D．与大小关系不确定
【对点训练17】（2023·天津和平·统考三模）已知满足，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【对点训练18】（2023·广东汕头·统考三模）已知，，，则a，b，c大小为（ ）
A．B．
C．D．
【对点训练19】（江苏省南通市海门市2022-2023学年高三上学期期中数学试题）已知正实数，，满足，，，则a，b，c的大小关系为( )
A．B．C．D．
【对点训练20】（河南省洛平许济2022-2023学年高三上学期第一次质量检测文科数学试题）已知，则这三个数的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【对点训练21】（2023·全国·高三专题练习）已知y＝(x－m)(x－n)＋2 023(n>m)，且α，β(α<β)是方程y＝0的两个实数根，则α，β，m，n的大小关系是（ ）
A．αC．m<α<β【对点训练22】（2023·安徽亳州·高三校考阶段练习）我们比较熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根x叫做函数的“躺平点”．若函数，，的“躺平点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
题型六：特殊值法、估算法
【例6】若都不为零的实数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【对点训练23】已知，，，若，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【对点训练24】（2023·全国·高三专题练习）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【对点训练25】（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【对点训练26】（2023·全国·高三专题练习）三个数，，的大小顺序为（ ）
A．B．
C．D．
题型七：放缩法
【例7】（百师联盟2023届高三二轮复习联考（三）数学（理）全国Ⅰ卷试题）已知m＝lg4ππ，n＝lg4ee，p＝，则m，n，p的大小关系是（其中e为自然对数的底数）（ ）
A．p＜n＜mB．m＜n＜pC．n＜m＜pD．n＜p＜m
【对点训练27】（四川省绵阳市2023届高三上学期第二次诊断性测试理科数学试题）设，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【对点训练28】（2023年普通高等学校招生全国统一考试数学领航卷（三））已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【对点训练29】（2023届新高考Ⅰ卷第三次统一调研模拟考试数学试题）下列大小关系正确的为（ ）
A．B．
C．D．
【对点训练30】（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）已知实数，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【对点训练31】（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【对点训练32】（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【对点训练33】（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知，，，则、、的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【对点训练34】（2023·广东·统考模拟预测）已知，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
题型八：不定方程
【例8】（黑龙江省哈尔滨德强学校2022-2023学年高三下学期清北班阶段性测试（开学考试）数学试卷）已知a、b、c是正实数，且，则a、b、c的大小关系不可能为（ ）
A．B．
C．D．
【对点训练35】（湖南省长沙市长郡中学、河南省郑州外国语学校、浙江省杭州第二中学2023届高三二模联考数学试题）设实数，满足，，则，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．无法比较
【对点训练36】已知实数、，满足，，则关于、下列判断正确的是
A．B．C．D．
【对点训练37】已知实数，满足，，则下列判断正确的是
A．B．C．D．
【对点训练38】若且，且，且，则
A．B．C．D．
题型九：泰勒展开
【例9】已知，则（ ）
【对点训练39】设，则的大小关系为___________．（从小到大顺序排）
【对点训练40】设，则（ ）
A． B． C． D．
【对点训练41】，则（ ）
A． B． C． D．
题型十：同构法
【例10】（贵州省毕节市2023届高三诊断性考试（二）数学试题）已知，，则与的大小关系是（ ）
A．B．C．D．不确定
【对点训练42】（四川省德阳市2023届高三下学期4月三诊考试理科数学试题）已知实数x、y满足，则x、y的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【对点训练43】已知，，且满足，则
A．B．C．D．
【对点训练44】已知不相等的两个正实数，满足，则下列不等式中不可能成立的是
A．B．C．D．
【对点训练45】若，则
A．B．
C．D．
【对点训练46】若，则
A．B．C．D．
【对点训练47】（多选题）已知，且，则下列结论一定正确的是
A．B．C．D．
【对点训练48】（多选题）若，则下列结论错误的是
A．B．C．D．
重难点突破01 玩转指对幂比较大小
目录
（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小．
（2）指、对、幂大小比较的常用方法：
①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；
②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；
③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；
④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定．
（3）转化为两函数图象交点的横坐标
（4）特殊值法
（5）估算法
（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法
（7）常见函数的麦克劳林展开式：
①
②
③
④
⑤
⑥
题型一：直接利用单调性
【例1】（2023·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）已知，，，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据指数函数在上递增可得，；
根据对数函数在上递增可得，，
根据指数函数在上递减和值域可得，，
∴．
故选：D
【对点训练1】（2023·天津滨海新·统考三模）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，，则，，大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，
因为是定义在上的偶函数，
所以，
因为，，，
且在上单调递减，
所以，
即．
故选：A．
【对点训练2】（2023·全国·校联考模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为在上单调递减，所以，即．
因为在上单调递增，所以，即．
因为在上单调递增，所以，即．
综上，．
故选：D
【对点训练3】（2023·天津·统考二模）设，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意得，
，
由于为上的单调增函数，故，
故，
故选：C
题型二：引入媒介值
【例2】（2023·天津河北·统考一模）若，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】依题意，，，
而，即，
所以，，的大小关系为．
故选：B
【对点训练4】（2023·天津南开·统考二模）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可得：，
，且，则，
因为，则，
所以．
故选：B．
【对点训练5】（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知，，，则三者的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由，即
又由，可得，
因为，即，所以．
故选：C．
【对点训练6】（2023·河南·校联考模拟预测）已知，，，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由对数函数的运算性质，可得，
，，所以．
故选：D．
题型三：含变量问题
【例3】（理科数学-2021年高三5月大联考（新课标Ⅲ卷））已知，，，，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题可设，因为，所以的图象关于直线对称．
因为，当时，，所以，，，所以，所以在上单调递增，
由对称性可知在上单调递减．因为，所以，所以；
又，，由对称性可知，且，因为，所以，
又在上单调递减，所以，所以，
故选：A．
【对点训练7】（云南省大理市辖区2023届高三毕业生区域性规模化统一检测数学试题）已知实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意知，由，得，
设，则，
当时，单调递增，因，
当且仅当时取等号，故，
又，所以，故，
∴，则，即有，故．
故选：C．
【对点训练8】（江西省宜春市2023届高三模拟考试数学（文）试题）已知实数x，y，，且满足，，则x，y，z大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因，，则，即，
令，则，函数在上单调递增，有，
即，从而当时，，令，，在上单调递减，
则由，得，
所以．
故选：A
【对点训练9】（山东省青岛市2023届高三下学期第一次适应性检测数学试题）已知函数，若，，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，
所以在上是奇函数．所以
对求导得，
令，则
当时，，所以在上单调递增，
则时，，即，
所以在上单调递增．
因为，所以，
因为在上单调递增，
所以．
令，则
所以当时，单调递减；当时，单调递增．
所以，
而，即，所以，即．
所以，即，则
所以
所以，即．
故选：A
【对点训练10】（2023·陕西西安·统考一模）设且，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由，可得，
则
因为，所以，则，
因为，所以．
故选：A．
题型四：构造函数
【例4】（2023·山东潍坊·三模）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】∵，
构造函数，，
令，则，
∴在上单减，
∴，
故，所以在上单减，
∴，
∵，
构造函数，，
令，则，
∴在上单减，
∴，
故，所以在上单减，
∴，
故．
故选：D．
【对点训练11】（2023·广西·校联考模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由指数幂的运算公式，可得，所以，
构造函数，其中，则，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故，故，当且仅当时取等号，
由于，则，则，所以，所以，所以．
故选：C．
【对点训练12】（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，
设，则在恒成立，
所以函数为单调递减函数，
所以，即，所以．
因为，
所以，即，
所以，即，所以，
综上，．
故选：A
【对点训练13】（河北省唐山市开滦第二中学2023届高三核心模拟（三）数学试题）设，，，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，则，
令且，则为减函数，
所以，而，故，
故在上递增，则，即在上恒成立，
所以，即，
由，
令且，则，
所以在上递增，则，即在上恒成立，
所以，即．
综上，．
故选：C
【对点训练14】（湖北省武汉市2023届高三5月模拟训练数学试题）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设，，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
，
又，则，
，所以，
对于，令，则，
此时，
所以．
故选：A．
【对点训练15】（2023·山西大同·统考模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，
设，函数定义域为，
则，
故在上为增函数，有，即，
所以，故．
设，函数定义域为，则，
，解得；，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减．
当时，取最大值，所以，即，时等号成立，
所以，即，
又，所以．
故选：D．
【对点训练16】（2023·河南·模拟预测）已知，，，，则a，b，c，d的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令函数，求导得，函数在上递减，
当时，，则，于是，即，
令函数，求导得，函数在上递增，
当时，，则，于是，即，
当时，，，则，
即，而，于是，即，
所以a，b，c，d的大小关系是，C正确．
故选：C
题型五：数形结合
【例5】（广东省六校2023届高三上学期第三次联考数学试题）已知，为函数的零点，，若，则（ ）
A．B．
C．D．与大小关系不确定
【答案】C
【解析】易知为函数的零点，
又
解之：，负根舍去；
又，
即与有三个交点，交点横坐标分别为，如下图先计算过原点的切线方程，不妨设切点为
切线方程为：过原点，
此时的斜率比切线斜率小，结合图像容易分析出，
故选：C
【对点训练17】（2023·天津和平·统考三模）已知满足，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意知：把的值看成函数与图像的交点的横坐标，
因为，，易知；
把的值看成函数与图像的交点的横坐标，
，易知；
把的值看成函数与图像的交点的横坐标，
，与，易知．
所以．
故选：B．
【对点训练18】（2023·广东汕头·统考三模）已知，，，则a，b，c大小为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】可以看成与图象的交点的横坐标为，
可以看成与图象的交点的横坐标为，
可以看成与图象的交点的横坐标为，
画出函数的图象如下图所示，


由图象可知，．
故选：D．
【对点训练19】（江苏省南通市海门市2022-2023学年高三上学期期中数学试题）已知正实数，，满足，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，
故令，则，．
易知和均为上的增函数，故在为增函数．
∵，故由题可知，，即，则．
易知，，
作出函数与函数的图象，如图所示，
则两图象交点横坐标在内，即，
，
．
故选：B．
【对点训练20】（河南省洛平许济2022-2023学年高三上学期第一次质量检测文科数学试题）已知，则这三个数的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，则，
由，解得，由，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
因为，
所以，即，
所以，所以，
又递增，
所以，即；
，
在同一坐标系中作出与的图象，如图：
由图象可知在中恒有，
又，所以，
又在上单调递增，且
所以，即；
综上可知：，
故选：A
【对点训练21】（2023·全国·高三专题练习）已知y＝（x－m）（x－n）＋2 023（n>m），且α，β（α<β）是方程y＝0的两个实数根，则α，β，m，n的大小关系是（ ）
A．αC．m<α<β【答案】C
【解析】∵α，β为方程y＝0的两个实数根，
∴α，β为函数y＝（x－m）（x－n）＋2 023的图像与x轴交点的横坐标，
令y1＝（x－m）（x－n），
∴m，n为函数y1＝（x－m）（x－n）的图像与x轴交点的横坐标，
易知函数y＝（x－m）（x－n）＋2 023的图像可由y1＝（x－m）（x－n）的图像向上平移2 023个单位长度得到，
∴m<α<β故选：C．
【对点训练22】（2023·安徽亳州·高三校考阶段练习）我们比较熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根x叫做函数的“躺平点”．若函数，，的“躺平点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】根据“躺平点”定义可得，又；
所以，解得；
同理，即；
令，则，即为上的单调递增函数，
又，所以在有唯一零点，即；
易知，即，解得；
因此可得．
故选：B
题型六：特殊值法、估算法
【例6】若都不为零的实数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】取，满足，但，A错误；
当，满足，但，B错误；
因为，所以，所以，C正确；
当或时，无意义，故D错误．
故选：C
【对点训练23】已知，，，若，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】取，则，，，所以．
故选：B．
【对点训练24】（2023·全国·高三专题练习）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意，，函数在上单调递增，而，于是得，即，
函数在单调递增，并且有，
则，
于是得，即，则，
又函数在单调递增，且，则有，
所以．
故选：C
【对点训练25】（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由，，可知，
又由，从而，可得，
因为，所以；
因为，从而，即，
由对数函数单调性可知，，
综上所述，．
故选：B．
【对点训练26】（2023·全国·高三专题练习）三个数，，的大小顺序为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】，由于，，所以，所以，即，而，所以，所以，即，所以．
故选：D
题型七：放缩法
【例7】（百师联盟2023届高三二轮复习联考（三）数学（理）全国Ⅰ卷试题）已知m＝lg4ππ，n＝lg4ee，p＝，则m，n，p的大小关系是（其中e为自然对数的底数）（ ）
A．p＜n＜mB．m＜n＜pC．n＜m＜pD．n＜p＜m
【答案】C
【解析】由题意得，m＝lg4ππ，
，
∵lg4＞lgπ＞lge＞0，则lg4+lg4＞lg4+lgπ＞lg4+lge，
∴，
∴，而p＝，
∴n＜m＜p．
故选：C．
【对点训练27】（四川省绵阳市2023届高三上学期第二次诊断性测试理科数学试题）设，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】易得，，
令，
，
∴在上递减，
则，
∴，
故，
，
，
故，
故选：A．
【对点训练28】（2023年普通高等学校招生全国统一考试数学领航卷（三））已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】分别对，，两边取对数，得，，．
．
由基本不等式，得：
，
所以，
即，所以．
又，所以．
故选：D．
【对点训练29】（2023届新高考Ⅰ卷第三次统一调研模拟考试数学试题）下列大小关系正确的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】对于选项，因为，所以，则，
又因为，则有，
所以，故选项错误；
对于选项，构造函数，则，所以函数在上单调递减，则，所以，即，
令，则，所以在上单调递增，则，即，所以，
故，故选项正确；
对于选项，构造函数，则，
由选项可知：当时，，所以，
则有，因为函数在上恒大零，所以，则函数在上单调递增，所以，即，故选项错误；
对于选项，因为，
令，则，令，
则，令，解得：，
因为，所以在上单调递减，故，
即，所以，
故选项错误，
故选：．
【对点训练30】（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）已知实数，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为函数为上的增函数，
所以，
故，即，又，，
故，则，
而，故，
所以，则，
所以，
故选：B．
【对点训练31】（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】∵，∴，即，
∴，∴，∴，∴．
令，则，
∴在上单调递增，∴，即，∴，∴．
故选：D．
【对点训练32】（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】要比较，，等价于比较的大小，
等价于比较，
即比较，
构造函数，，
令得，令得，
所以在单调递增， 单调递减．
所以，
因为，
所以最大，即，，中最大，
设，
结合的单调性得，，
先证明，其中，
即证，
令，，其中，
则，
所以，函数在上为增函数，当时，，
所以，当时，，
则有，
由可知，
所以，
因为，所以即，
因为，在单调递增，
所以，即，
因为 所以所以，
即，
因为，在单调递减．
所以，
即，即，
综上，．
故选：D
【对点训练33】（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知，，，则、、的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，，则，
因为，
所以，，则，所以
因为
，即，因此，．
故选：C．
【对点训练34】（2023·广东·统考模拟预测）已知，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，
所以，
所以，，，
故．
故选：A．
题型八：不定方程
【例8】（黑龙江省哈尔滨德强学校2022-2023学年高三下学期清北班阶段性测试（开学考试）数学试卷）已知a、b、c是正实数，且，则a、b、c的大小关系不可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为，a、b、c是正实数，
所以，
因为，所以，
对于A，若，则，满足题意；
对于B，若，则，满足题意；
对于C，若，则，满足题意；
对于D，若，则，不满足题意．
故选：D．
【对点训练35】（湖南省长沙市长郡中学、河南省郑州外国语学校、浙江省杭州第二中学2023届高三二模联考数学试题）设实数，满足，，则，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．无法比较
【答案】C
【解析】假设，则，，
由得，
因函数在上单调递减，又，则，所以；
由得，
因函数在上单调递减，又，则，所以；
即有与假设矛盾，所以，
故选：C
【对点训练36】已知实数、，满足，，则关于、下列判断正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】先比较与2的大小，
因为，
所以，
所以，即，
故排除，，
再比较与2 的大小，
易得，当时，由，得与矛盾，舍去，
故，则有，得，
令，，
令，则，
故，
故，
从而．
故选：．
【对点训练37】已知实数，满足，，则下列判断正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】，
故，
，，
故，即，
，且，
，，
令，
则，
故，即，
故，
故选：．
【对点训练38】若且，且，且，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】令，则．
由得：．
函数在上单调递增，在上单调递减．
，，，，，，
（4）（a），（5）（b），（6）（c）．
，（6）（5）（4），（c）（b）（a），
又，，，，，都小于，．
故选：．
题型九：泰勒展开
【例9】已知，则（ ）
【答案】A
【解析】设，则，，
，计算得，故选A．
【对点训练39】设，则的大小关系为___________．（从小到大顺序排）
【答案】
【解析】，由函数切线放缩得，因此．
故答案为：
【对点训练40】设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
故选
【对点训练41】，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
，
，故选B
题型十：同构法
【例10】（贵州省毕节市2023届高三诊断性考试（二）数学（理）试题）已知，，则与的大小关系是（ ）
A．B．C．D．不确定
【答案】B
【解析】，又，则，
设，显然为增函数，因为，所以
又，，则
令，设，则，当时单调递增，
则在上单调递增，故，解得．
故选：B
【对点训练42】（四川省德阳市2023届高三下学期4月三诊考试理科数学试题）已知实数x、y满足，则x、y的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由可得，因为，，所以，
所以，则，所以，
令，则，
当时，，所以函数在上单调递增；
则当时，，即，一定有，
所以，则，又因为，所以，
令，则，
当时，，所以函数在上单调递增；
因为，，所以，
故选：C．
【对点训练43】已知，，且满足，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】，，，，
令，则，
在上单调递减，在上单调递增，
，，，，
又，，
，
，．
故选：．
【对点训练44】已知不相等的两个正实数，满足，则下列不等式中不可能成立的是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】由已知，因为，
所以原式可变形为，
令，，
函数与均为上的增函数，且，且（1）（1），
当时，，，，
当时，，，，
要比较与的大小，只需比较与的大小，
，
设，则，
故在上单调递减，
又（1），（2），
则存在使得，
所以当时，，
当，时，，
又因为（1），（1），（4），
所以当时，，当时，正负不确定，
故当，时，，所以（1），故，
当，时，正负不定，所以与的正负不定，
所以，，均有可能，即选项，，均有可能，选项不可能．
故选：．
【对点训练45】若，则
A．B．
C．D．
【答案】
【解析】设，，令，，
，递增函数，
设，，
，当时，，，
在，上单调递减，
，，
（a）（b）（c），，
，，，
，，，
，
故选：．
【对点训练46】若，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】因为；
因为，
所以，
令，由指对数函数的单调性可得在内单调递增；
且（a）；
故选：．
【对点训练47】（多选题）已知，且，则下列结论一定正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】取，，，，
满足，且，故不一定成立，
取，，，，
满足，且，但，故不一定成立，
令，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
，
，且，
（a），
当，，
，
当，此时，则，故选项正确，
先证明对任意的且，，
不妨设，即证，
令，即证，
设，，
故函数在上为增函数，当时，（1），
对任意的且，，
，
，
，
，故选项正确．
故选：．
【对点训练48】（多选题）若，则下列结论错误的是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】设，则为增函数，
，
（a），
（a），，故正确；
（a），
当时，（a），
此时（a），有；
当时，（a），此时（a），有，
所以、、均错误．
故选：．