2024年高考数学二轮复习讲练测（新教材新高考）专题05函数应用与函数模型含解析答案

这是一份2024年高考数学二轮复习讲练测（新教材新高考）专题05函数应用与函数模型含解析答案，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6
2．某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：）．24h降雨量的等级划分如下：

在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200 mm，高为300 mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150 mm（如图所示)，则这24h降雨量的等级是
A．小雨B．中雨C．大雨D．暴雨
3．基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2天B．1.8天
C．2.5天D．3.5天
4．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：
.
设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为
A．B．
C．D．
5．2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：）（ ）
A．10%B．20%C．22%D．32%
6．异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（ ）
A．B．C．D．
7．已知两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从地前往地，到达地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回地，把汽车离开地的距离（千米）表示为时间（小时）的函数，则下列正确的是（ ）
A．B．
C． D．
8．2005年10月27日全国人大通过了关于修改个人所得税的决定，工薪所得减去费用标准从800元提高到1600元也就是说原来月收入超过800元部分就要纳税，2006年1月1日开始超过了1600元才需要纳税，若税法修改前后超过部分的税率相同，如下表：
某人2005年9月交纳个人所得税123元，则按照新税法只要交税（ ）元．
A．43B．2280C．680D．不能确定
9．下表是某批发市场的一种益智玩具的销售价格：
张师傅准备用2900元到该批发市场购买这种玩具，赠送给一所幼儿园，张师傅最多可买这种玩具（ ）
A．116件B．110件C．107件D．106件
10．某农机合作社于今年初用98万元购进一台大型联合收割机，并立即投入生产.预计该机第一年（今年）的维修保养费是12万元，从第二年起，该机每年的维修保养费均比上一年增加4万元.若当该机的年平均耗费最小时将这台收割机报废，则这台收割机的使用年限是（ ）
A．6年B．7年C．8年D．9年
11．某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为1200元（包含门窗），房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元.如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用，则最低总造价是（ ）
A．57600元B．63400元C．69200元D．元
12．某企业投入万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为（ ）
A．B．C．D．
13．如图为某小区七人足球场的平面示意图，为球门，在某次小区居民友谊比赛中，队员甲在中线上距离边线米的点处接球，此时，假设甲沿着平行边线的方向向前带球，并准备在点处射门，为获得最佳的射门角度（即最大），则射门时甲离上方端线的距离为（ ）
A．B．C．D．
14．某纪念章从某年某月某日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价（单位：元）与上市时间（单位：天）的数据如下：
根据上表数计，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价与上市时间的变化关系（ ）
A．B．
C．D．；
15．视力检测结果有两种记录方式，分别是小数记录与五分记录，其部分数据如下表：
现有如下函数模型：①，②，表示小数记录数据，表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为，则小明同学的小数记录数据为（附，，）（ ）
A．B．C．D．
16．经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量（单位：）与速度（单位：）（）的数据如下表：
为描述与的关系，现有以下三种模型供选择：，，.选出最符合实际的函数模型，解决下列问题：某高速公路共有三个车道，分别是外侧车道、中间车道、内侧车道，车速范围分别是，，（单位：）.为使百公里耗油量（单位：）最小，该型号汽车行驶的车道与速度为（ ）
A．在外侧车道以行驶B．在中间车道以行驶
C．在中间车道以行驶D．在内侧车道以行驶
二、多选题
17．噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）．
A．B．
C．D．
三、填空题
18．我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为，，，则当时， ， ．
19．一个动力船拖动载重量相等的小船若干只，在两个港口之间来回运货.若拖4只小船，则每天能往返16次；若拖7只小船，则每天能往返10次.已知增加的小船只数与相应减少的往返次数成正比例.为使得每天运货总量最大，则每次拖 只小船.
20．为弘扬“中国女排精神”，加强青少年体育发展.学校在体育课中组织学生进行排球练习，某同学以初速度竖直上抛一排球，该排球能够在抛出点2m以上的位置最多停留时间为 秒（小数点后保留两位有效数字）.（注：若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度与时间满足关系式，其中．）

21．人类已进入大数据时代．目前，数据量已经从级别跃升到乃至级别．国际数据公司的研究结果表明，2008年全球产生的数据量为2010年增长到．若从2008年起，全球产生的数据量与年份的关系为，其中均是正的常数，则2023年全球产生的数据量是2022年的 倍.
22．研究表明大气中二氧化碳的含量对地表温度有明显的影响：当大气中二氧化碳的含量每增加25%，地球平均温度就要上升0.5℃.若到2050年，预测大气中二氧化碳的含量是目前的4倍，则地球平均温度将上升约 ℃.（参考数据：）
23．研究发现某人的行车速度v（km/h）与行驶地区的人口密度p（人/）有如下关系：，若此人在人口密度为a人/的地区的行车速度为70km/h，则他在人口密度为2a人/的地区的行车速度是 km/h．
24．在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标.其值（单位：）定义为.其中为声场中某点的声强度，其单位为为基准值.若，则其相应的声强级为 .
25．生物学家为了了解某药品对土壤的影响，常通过检测进行判断.已知土壤中某药品的残留量y（mg）与时间t（年）近似满足关系式（），其中a是残留系数，则大约经过 年后土壤中该药品的残留量是2年后残留量的.（参考数据：，答案保留一位小数）
26．科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级可定义为．在2021年3月13日下午，江西鹰潭余江区发生里氏3.1级地震，2020年1月1日，四川自贡发生里氏级地震，若自贡地震所散发出来的相对能量程度是余江地震所散发出来的相对能量程度的100倍，则 ．
27．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究鱼的科学家发现大西洋鲑鱼的游速v（单位：）可以表示为，其中M表示鱼的耗氧量的单位数.当一条大西洋鲑鱼的耗氧量的单位数是其静止时耗氧量的单位数的倍时，它的游速是 .
四、解答题
28．在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为v＝，x为道路密度，q为车辆密度，交通流量v＝f（x）＝．
(1)若交通流量v＞95，求道路密度x的取值范围；
(2)已知道路密度x＝80时，测得交通流量v＝50，求车辆密度q的最大值．
29．为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数” ，其中为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），为建筑物的体积（单位：立方米）．
(1)若有一个圆柱体建筑的底面半径为，高度为，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建筑体的“体形系数” ；（结果用含、的代数式表示）
(2)定义建筑物的“形状因子”为，其中为建筑物底面面积，为建筑物底面周长，又定义为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）．设为某宿舍楼的层数，层高为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为．当，时，试求当该宿舍楼的层数为多少时，“体形系数”最小．
30．某企业2021年第一季度的营业额为亿，以后每个季度的营业额比上个季度增加亿；该企业第一季度的利润为亿，以后每季度比前一季度增长4％．
（1）求2021年起前20季度营业额的总和；
（2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18％．
等级
24h降雨量（精确到0.1）
……
……
小雨
0.1~9.9
中雨
10.0~24.9
大雨
25.0~49.9
暴雨
50.0~99.9
……
……
级数
全月应纳税所得额
税率
1
不超过500元
5
2
500~2000元
10
3
2000~5000元
15
一次购买件数
5-10件
11-50件
51-100件
101-300件
300件以上
每件价格
37元
32元
30元
27元
25元
上市时间天
4
10
36
市场价元
90
51
90
小数记录
五分记录
40
60
90
100
120
5.2
6
8.325
10
15.6
声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽车
10
电动汽车
10
40
参考答案：
1．C
【分析】根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解.
【详解】由，当时，，
则.
故选：C.
2．B
【分析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解.
【详解】由题意，一个半径为的圆面内的降雨充满一个底面半径为，高为的圆锥，
所以积水厚度，属于中雨.
故选：B.
3．B
【分析】根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果.
【详解】因为，，，所以，所以，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，
则，所以，所以，
所以天.
故选：B.
【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.
4．D
【分析】本题在正确理解题意的基础上，将有关式子代入给定公式，建立的方程，解方程、近似计算．题目所处位置应是“解答题”，但由于题干较长，易使考生“望而生畏”，注重了阅读理解、数学式子的变形及运算求解能力的考查．
【详解】由，得
因为，
所以，
即，
解得，
所以
【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形出错．
5．B
【分析】设年平均增长率为，依题意列方程求即可.
【详解】由题意，设年平均增长率为，则，
所以，故年平均增长率为20%.
故选：B
6．D
【分析】初始状态设为，变化后为，根据，的关系代入后可求解．
【详解】设初始状态为，则，，
又，，即，
，，，，．
故选：D．
7．D
【分析】由题意可知，汽车的行驶的情况主要有三段即往、返、停留，分三种情况讨论列出函数即可.
【详解】因为两地相距150千米，
所以当汽车以60千米/小时的速度从地前往地时，
需要小时，此时汽车离开地的距离为：
，
到达地停留1小时，此时汽车离开地的距离为：
，
当汽车以50千米/小时的速度从地前往地时，
需要小时，此时汽车离开地的距离为：
，
所以由题意有：
故选：D.
8．A
【分析】根据已知写出税法修改前纳税额与工资的分段函数形式，根据个人所得税求出某人工资，再按新税法求税额即可.
【详解】设工资为元，
当，纳税为0元；
当，纳税为元；
当，纳税为元；
当，纳税为元；
所以，纳税为，
而，令，可得元，
由，则按新税法只要交税元.
故选：A
9．C
【分析】根据题意，设购买的件数为，花费为元，根据表中的数据列出满足的函数关系式，当时，求出的最大值即可.
【详解】设购买的件数为，花费为元，
则，当时，，
当时，，所以最多可购买这种产品件，
故选：C.
10．B
【分析】根据等差数列的性质以及求和公式，结合基本不等式即可求解.
【详解】设第年的维修保养费为万元，数列的前项和为，该机的年平均耗费为，
据题意，数列是首项为12，公差为4的等差数列.
则.
当且仅当，即时，取最小值38.
所以这台冰激凌机的使用年限是7年.
故选:.
11．B
【分析】设房屋的正面边长为，侧面边长为，总造价为元，由题意得出，然后根据题意得出关于的函数表达式，利用基本不等式可求出的最小值.
【详解】设房屋的正面边长为，侧面边长为，总造价为元，则，即，
所以
.
当时，即当时，有最小值，最低总造价为元.
故选：B
12．B
【分析】设该企业需要更新设备的年数为，设备年平均费用为万元，求得关于的表达式，利用基本不等式求出的最小值及其对应的值，即可得出结论.
【详解】设该企业需要更新设备的年数为，设备年平均费用为万元，
则年后的设备维护费用为，
所以年的平均费用为（万元），
当且仅当时，等号成立，
因此，为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为.
故选：B.
13．B
【分析】先根据题意解出长度，设，得到，再分析求值域，判断取等条件即可求解.
【详解】设，并根据题意作如下示意图，由图和题意得：，，
所以，且，
所以，
又，所以，解得，即，
设，，则，
，所以在中，
有，
令，所以，
所以，
因为，所以，则要使最大，
即要取得最小值，即取得最大值，
即在取得最大值，
令， ，
所以的对称轴为：，所以在单调递增，在单调递减，
所以当时，取得最大值，即最大，此时，即，
所以，所以，即为获得最佳的射门角度（即最大），
则射门时甲离上方端线的距离为：.
故选：B.
14．B
【分析】由题意观察出随的变化趋势，对比函数单调性即可得解.
【详解】∵随着时间的增加，的值先减后增，
而三个函数中、、显然都是单调函数，不满足题意，
∴选择．
故选：B.
15．B
【分析】根据表格中可知函数的单调性，可选择合适的函数模型，然后令，解方程即可得解.
【详解】由表格中的数据可知，函数单调递增，故合适的函数模型为，
令，解得.
故选：B.
16．A
【分析】首先根据数据选择函数模型，再表示，求函数取得最小值时，的取值.
【详解】由题意，符合的函数模型需要满足在，都可取，且由表可知，随的增大而增大，则该函数模型应为增函数，
不符合，
若选择，则，，，与实际数据相差较大，所以不符合，
若选择，则，，，，，最符合实际，
，
当时，取得最小值为.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数模型解决实际问题，本题的关键是建立函数模型，一个是判断最符合的函数模型，另一个是求.
17．ACD
【分析】根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断.
【详解】由题意可知：，
对于选项A：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，故A正确；
对于选项B：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，
当且仅当时，等号成立，故B错误；
对于选项C：因为，即，
可得，即，故C正确；
对于选项D：由选项A可知：，
且，则，
即，可得，且，所以，故D正确；
故选：ACD.
18．
【分析】将代入解方程组可得、值.
【详解】
【点睛】实际问题数学化，利用所学的知识将陌生的性质转化为我们熟悉的性质，是解决这类问题的突破口．
19．6
【分析】设出一次函数解析式，代入对应数值求得答案，调好出每只小船的载重量，每日运货的总重量，进一步列出二次函数，利用二次函数的性质可求得结果.
【详解】设每日每次拖只小船，每日来回次，每只小船的载重量为，每日的运货总重量为，
由题意设，则，解得，
所以，
所以每日运货总重量为，
所以当时，取得最大值，
即每次拖6只小船，
故答案为：6
20．
【分析】根据关于的函数关系，令，设出对应的时间为，结合韦达定理求出即可.
【详解】由题意，竖直上抛的物体距离抛出点的高度与时间满足关系式，
因为，所以，
令，可得，即，
所以，所以.
所以排球能够在抛出点2以上的位置最多停留秒.
故答案为：.
21．1.5/
【分析】通过题目数据求出函数解析式，然后利用指数运算即可求解.
【详解】由题意，，所以，所以，
所以2022年全球产生的数据量为，则2023年全球产生的数据量，
所以2023年全球产生的数据量是2022年的倍.
故答案为：1.5
22．3
【分析】设目前大气中二氧化碳的含量为a，解方程即得解.
【详解】设目前大气中二氧化碳的含量为a，
依题意，当二氧化碳的含量为时，地球平均温度上升0.5℃，
当二氧化碳的含量为时，地球平均温度上升℃，
依次类推，当大气中二氧化碳的含量为时，地球平均温度上升℃，
令，即，方程两边同时取常用对数，则，
所以到2050年，地球平均温度将上升约(℃).
故答案为：3
23．65.5/
【分析】由已知先求得，然后根据指数运算可解.
【详解】由，得，
所以当人口密度为2a人/时，他的行车速度．
故答案为：65.5
24．130
【分析】
将题中数据直接代入公式，结合对数运算求解.
【详解】因为，，
所以其相应的声强级为.
故答案为：130.
25．
【分析】根据题意，得出等式关系，再利用对数函数的性质运算.
【详解】当时，，
由，得
故答案为：
26．4.3/
【分析】设里氏3.1级地震以及里氏级地震所散发出来的能量分别为，，则，根据已知得出，根据对数的运算性质，化简即可得出答案.
【详解】设里氏3.1级地震所散发出来的能量为，里氏级地震所散发出来的能量为，则.
由已知可得.
所以，.
故答案为：．
27．/
【分析】设大西洋鲑鱼静止时的耗氧量为，计算出的值，再将代入，即可得解.
【详解】设大西洋鲑鱼静止时的耗氧量为，则，可得，
将代入可得，.
故答案为：.
28．(1)
(2)
【分析】（1）由交通流量v随着道路密度x的增大而减小，知v＝f（x）是单调递减函数，进而知k＞0，于是只需100﹣135•＞95，解不等式即可；
（2）把x＝80，v＝50代入v＝f（x）的解析式中，求出k的值，利用q＝vx可得到q关于x的函数关系式，分段判断函数的单调性，并求出各自区间上q的最大值，取较大者即可．
【详解】（1）按实际情况而言，交通流量v随着道路密度x的增大而减小，
故v＝f（x）是单调递减函数，所以k＞0，当40≤x≤80时，v最大为85，
于是只需令100﹣135•＞95，解得x＜，
故道路密度x的取值范围为（0，）．
（2）把x＝80，v＝50代入v＝f（x）＝﹣k（x﹣40）+85中，
得50＝﹣k•40+85，解得k＝．
∴q＝vx＝，
①当0＜x＜40时，，q＝vx＜100×40＝4000．
②当40≤x≤80时，q是关于x的二次函数，，
对称轴为，此时q有最大值，为．
综上所述，车辆密度q的最大值为．
29．(1)
(2)
【分析】（1）根据圆柱体的表面积和体积公式及求出答案；
（2）表达出，，构造函数，求导得到其单调性，进而得到S的最小值在或7取得，代入比较后得到结论.
【详解】（1）由圆柱体的表面积和体积公式可得：，，
所以；
（2）由题意可得，，
令，，
所以，
令，解得，
所以在单调递减，在单调递增，
所以S的最小值在或7取得，
当时，，
当时，，
所以在时，该建筑体S最小．
30．（1）亿元；（2）2021年起第26个季度.
【分析】（1）由条件知营业额构成等差数列，利用等差数列前项和公式可求前季度的营业额的总和；
（2）由条件知利润构成等比数列，根据条件列出不等式并利用数列单调性求解出结果.
【详解】（1）设为第个季度的营业额，为前个季度的营业额的总和，
由题意可知是首项为，公差为的等差数列，
所以（亿元）；
（2）设为第个季度的利润，由题意知是首项为，公比为的等比数列，
又因为，令，
所以，所以（*），
设，所以，
当时，，为递增数列，
当时，，为递减数列，
当时，，
经验证，当时，，当时，，
所以年起第个季度的利润首次超过该季度营业额的.