湖南省永州市江华县2017届九年级(上)期中数学试卷(含解析)

这是一份湖南省永州市江华县2017届九年级(上)期中数学试卷(含解析)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解方程，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12题，每题4分，共48分）
1．下列函数中，反比例函数是（ ）
A．y= B．y=4x C．y= D．y=
2．下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c=0B． =2 C．x2+2x=x2﹣1 D．3（x+1）2=2（x+1）
3．用配方法解方程：x2﹣4x+2=0，下列配方正确的是（ ）
A．（x﹣2）2=2B．（x+2）2=2 C．（x﹣2）2=﹣2 D．（x﹣2）2=6
4．一元二次方程x2+x﹣4=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个实数根
5．如果=，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
6．已知点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y=的图象上，则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
7．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．a=，b=3，c=2，d= B．a=4，b=6，c=5，d=10
C．a=2，b=，c=2，d=D．a=2，b=3，c=4，d=1
8．下列结论中正确的是（ ）
A．两个正方形一定相似 B．两个菱形一定相似
C．两个等腰梯形一定相似 D．两个直角梯形一定相似
9．如图，在△ABC中，DE∥BC，，DE=4，则BC的长是（ ）
A．8 B．10 C．11 D．12
10．如图，在▱ABCD中，F是AD延长线上一点，连接BF交DC于点E，则图中相似三角形共有（ ）对．
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
11．已知k1＜0＜k2，则函数y=k1x+2和y=图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
12．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
A．x2+130x﹣1400=0 B．x2+65x﹣350=0
C．x2﹣130x﹣1400=0 D．x2﹣65x﹣350=0

二、填空题（共8小题，每题4分，计32分）
13．把一元二次方程3x（x﹣2）=4化为一般形式是 ．
14．若反比例函数的图象经过点（﹣1，2），则k的值是 ．
15．一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，则a= ．
16．在比例尺为1：500000的地图上，量得甲、乙两地的距离是25cm，则两地的实际距离是 km．
17．如图，AB∥CD∥EF，AC=2，EC=3，BD=3，则BF= ．
18．反比例函数y=（m+2）的图象分布在第二、四象限内，则m的值为 ．
19．某商品的价格经过连续两次降价后，由150元降至96元，设平均每次降价的百分率为x，则所列方程是 ．
20．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC．若S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，则S1与S2的大小关系为 ．
三、解方程
21．解方程
（1）9x2﹣49=0 （2）x2﹣4x+2=0；
（3）2（x﹣3）=3x（x﹣3） （4）（3x﹣2）2=4（3﹣x）2
（5）x2+3x﹣28=0（指定用十字相乘法）； （6）x2﹣（1+2）x+3+=0．

四、解答题（共6小题，计46分）
22．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4=0有两个相等的实数根．求k的值．
23．已知x1，x2是方程2x2﹣6x+3=0的两根，求下列各式的值：
（1）x1+x2 （2）x1•x2 （3）x12+x22．
24．矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于点F．
（1）求证：△ABE∽△DFA；
（2）若AB=6，AD=12，AE=10，求DF的长．
25．某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形空土，建成一个矩形花园，要求在花园中修建两条纵向和一条横向的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？
26．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A、B两点．
（1）利用图中的条件求反比例函数和一次函数的解析式．
（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
27．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动．
（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8cm2？
（2）若点P从点A出发沿边AC﹣CB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB﹣BA边向点A以2cm/s的速度移动．当点P在CB边上，点Q在BA边上，是否存在某一时刻，使得△PBQ的面积14.4cm2？

2016－2017学年湖南省永州市江华县水口中学
九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12题，每题4分，共48分）
1．下列函数中，反比例函数是（ ）
A．y=B．y=4xC．y=D．y=
【考点】反比例函数的定义．
【分析】根据反比例函数的一般式是（k≠0）对各个选项进行判断即可．
【解答】解：y=，不符合反比例函数的一般形式，不是反比例函数，A错误；
y=4x是一次函数，B错误；
y=是反比例函数，C正确；
y=不符合反比例函数的一般形式，不是反比例函数，D错误，
故选：C．

2．下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c=0B． =2C．x2+2x=x2﹣1D．3（x+1）2=2（x+1）
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：A、ax2+bx+c=0当a=0时，不是一元二次方程，故A错误；
B、+=2不是整式方程，故B错误；
C、x2+2x=x2﹣1是一元一次方程，故C错误；
D、3（x+1）2=2（x+1）是一元二次方程，故D正确；
故选：D．

3．用配方法解方程：x2﹣4x+2=0，下列配方正确的是（ ）
A．（x﹣2）2=2B．（x+2）2=2C．（x﹣2）2=﹣2D．（x﹣2）2=6
【考点】解一元二次方程－配方法．
【分析】在本题中，把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方．
【解答】解：把方程x2﹣4x+2=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣4x=﹣2，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4=﹣2+4，
配方得（x﹣2）2=2．
故选：A．

4．一元二次方程x2+x﹣4=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．只有一个实数根
【考点】根的判别式．
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：△=12﹣4×1×（﹣4）=17＞0，
所以方程有两个不相等的两个实数根．
故选B．

5．如果=，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
【考点】比例的性质．
【分析】根据分比性质，可得答案．
【解答】解： =，由分比性质，得
=，
由反比性质，得=，
故选：C．

6．已知点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y=的图象上，则（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3
【考点】反比例函数的性质．
【分析】分别把各点代入反比例函数y=求出y1、y2、，y3的值，再比较出其大小即可．
【解答】：∵点A（1，y1）、B（2，y2）、C（﹣3，y3）都在反比例函数y=的图象上，∴y1=﹣；y2=﹣2；y3=，
∵＞﹣＞﹣2，
∴y3＞y1＞y2．
故选D．

7．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．a=，b=3，c=2，d=B．a=4，b=6，c=5，d=10
C．a=2，b=，c=2，d=D．a=2，b=3，c=4，d=1
【考点】比例线段．
【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【解答】解：A.×3≠2×，故本选项错误；
B.4×10≠5×6，故本选项错误；
C.2×=×2，故本选项正确；
D.4×1≠3×2，故本选项错误；
故选：C．

8．下列结论中正确的是（ ）
A．两个正方形一定相似B．两个菱形一定相似
C．两个等腰梯形一定相似D．两个直角梯形一定相似
【考点】相似多边形的性质．
【分析】根据相似多边形的判定定理对各个选项进行判断即可．
【解答】解：∵两个正方形对应角相等，对应边的比相等，
∴两个正方形一定相似，A正确；
∵两个菱形的对应角不一定相等，
∴两个菱形不一定相似，B不正确；
∵两个等腰梯形对应角不一定相等，对应边的比不一定相等，
∴两个等腰梯形不一定相似，C不正确；
∵两个直角梯形对应角不一定相等，对应边的比不一定相等，
∴两个直角梯形不一定相似，D不正确，
故选：A．

9．如图，在△ABC中，DE∥BC，，DE=4，则BC的长是（ ）
A．8B．10C．11D．12
【考点】平行线分线段成比例．
【分析】由在△ABC中，DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，即可得DE：BC=AD：AB，又由，DE=4，即可求得BC的长．
【解答】解：∵，
∴=，
∵在△ABC中，DE∥BC，
∴=，
∵DE=4，
∴BC=3DE=12．
故选D．

10．如图，在▱ABCD中，F是AD延长线上一点，连接BF交DC于点E，则图中相似三角形共有（ ）对．
A．2对B．3对C．4对D．5对
【考点】相似三角形的判定；平行四边形的性质．
【分析】根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，从而得到图中的相似三角形的对数．
【解答】解：∵ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DC∥AB，
∴△ABF∽△DEF∽△CEB，
∴相似三角形共有三对．
故选B．

11．已知k1＜0＜k2，则函数y=k1x+2和y=图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．
【分析】根据一次函数的比例系数小于0可得其经过一、二、四象限，根据反比例函数的比例系数大于0可得其图象位于一、三象限，从而确定其图象．
【解答】解：∵k1＜0，
∴y=k1x+2的图象经过一、二、四象限，
∵k2＞0，
函数y=图象位于一、三象限，
故选A．

12．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
A．x2+130x﹣1400=0B．x2+65x﹣350=0
C．x2﹣130x﹣1400=0D．x2﹣65x﹣350=0
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】本题可设长为（80+2x），宽为（50+2x），再根据面积公式列出方程，化简即可．
【解答】解：依题意得：（80+2x）（50+2x）=5400，
即4000+260x+4x2=5400，
化简为：4x2+260x﹣1400=0，
即x2+65x﹣350=0．
故选：B．

二、填空题（共8小题，每题4分，计32分）
13．把一元二次方程3x（x﹣2）=4化为一般形式是 3x2﹣6x﹣4=0 ．
【考点】一元二次方程的一般形式．
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0，去括号，移项把方程的右边变成0即可．
【解答】解：把一元二次方程3x（x﹣2）=4去括号，移项合并同类项，转化为一般形式是3x2﹣6x﹣4=0．

14．若反比例函数的图象经过点（﹣1，2），则k的值是 ﹣2 ．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式．
【分析】因为（﹣1，2）在函数图象上，k=xy，从而可确定k的值．
【解答】解：∵图象经过点（﹣1，2），
∴k=xy=﹣1×2=﹣2．
故答案为：﹣2．

15．一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，则a= 1 ．
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得到a+1≠0且a2﹣1=0，然后解不等式和方程即可得到a的值．
【解答】解：∵一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，
∴a+1≠0且a2﹣1=0，
∴a=1．
故答案为：1．

16．在比例尺为1：500000的地图上，量得甲、乙两地的距离是25cm，则两地的实际距离是 125 km．
【考点】比例线段．
【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，依题意列出比例式，即可求得实际距离．
【解答】解：设实际距离为xcm，则：
1：500000=25：x，
解得x=12500000．
12500000cm=125km．
故答案为：125．

17．如图，AB∥CD∥EF，AC=2，EC=3，BD=3，则BF= 7.5 ．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】由平行可得到=，代入可求得DF，则可得出BF．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴=，
∵AC=2，EC=3，BD=3，
∴=，
∴DF=4.5，
∴BF=BD+DF=3+4.5=7.5，
故答案为：7.5．

18．反比例函数y=（m+2）的图象分布在第二、四象限内，则m的值为 ﹣3 ．
【考点】反比例函数的性质；反比例函数的定义．
【分析】根据反比例函数的定义可得m2﹣10=﹣1，根据函数图象分布在第二、四象限内，可得m+2＜0，然后求解即可．
【解答】解：根据题意得，m2﹣10=﹣1且m+2＜0，
解得m1=3，m2=﹣3且m＜﹣2，
所以m=﹣3．
故答案为：﹣3．

19．某商品的价格经过连续两次降价后，由150元降至96元，设平均每次降价的百分率为x，则所列方程是 150（1﹣x）2=96 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果设平均每次下调的百分率为x，根据“由原来商品价格150元降至96元”，即可得出方程．
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，
则第一次商品降价的价格为：150（1﹣x），
第二次商品降价的价格为150（1﹣x）2=96；
所以，可列方程：150（1﹣x）2=96．

20．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC．若S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，则S1与S2的大小关系为 S1=S2 ．
【考点】黄金分割．
【分析】根据黄金分割的定义得到BC2=AC•AB，再利用正方形和矩形的面积公式有S1=BC2，S2=AC•AB，即可得到S1=S2．
【解答】解：∵C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC，
∴BC2=AC•AB，
又∵S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，
∴S1=BC2，S2=AC•AB，
∴S1=S2．
故答案为S1=S2．

三、解方程
21．解方程
（1）9x2﹣49=0
（2）x2﹣4x+2=0；
（3）2（x﹣3）=3x（x﹣3）
（4）（3x﹣2）2=4（3﹣x）2
（5）x2+3x﹣28=0（指定用十字相乘法）
（6）x2﹣（1+2）x+3+=0．
【考点】解一元二次方程－因式分解法；解一元二次方程－直接开平方法．
【分析】（1）先变形得到x2=，然后利用直接开平方法解方程；
（2）利用配方法得到（x﹣2）2=2，然后利用直接开平方法解方程；
（3）先移项得到2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0，然后利用因式分解法解方程；
（4）利用直接开平方法解方程；
（5）利用因式分解法解方程；
（6）利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）x2=，
x=±，
所以x1=，x2=﹣；
（2）x2﹣4x+4=2，
（x﹣2）2=2，
x﹣2=±，
所以x1=2+，x2=2﹣；
（3）2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0，
（x﹣3）（2﹣3x）=0，
所以x1=3，x2=；
（4）3x﹣2=±2（3﹣x），
所以x1=，x2=﹣4；
（5）（x+7）（x﹣4）=0，
所以x1=﹣7，x2=4；
（6）（x﹣1﹣）（x﹣）=0，
所以x1=1+，x2=﹣．

四、解答题（共6小题，计46分）
22．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4=0有两个相等的实数根．求k的值．
【考点】根的判别式．
【分析】由方程有两个相等实数根得△=22﹣4×1×（2k﹣4）=0，解之即可．
【解答】解：根据题意知，△=22﹣4×1×（2k﹣4）=0，
解得：k=．

23．已知x1，x2是方程2x2﹣6x+3=0的两根，求下列各式的值：
（1）x1+x2
（2）x1•x2
（3）x12+x22．
【考点】根与系数的关系．
【分析】（1）、（2）直接根据根与系数的关系求解；
（3）先利用完全平方公式变形得到x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：（1）x1+x2=﹣=3；
（2）x1•x2=；
（3）x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=32﹣2×=6．

24．矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于点F．
（1）求证：△ABE∽△DFA；
（2）若AB=6，AD=12，AE=10，求DF的长．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）由矩形的性质可得出∠AEB=∠DAF，∠ABE=∠AFD，可证得结论；
（2）利用（1）中的结论，结合对应边的比相等可求出DF．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAF，
∵DF⊥AE，
∴∠B=∠AFD=90°，
∴△ABE∽△DFA；
（2）解：由（1）可知△ABE∽△DFA，
∴=，
∵AB=6，AD=12，AE=10，
∴=，
解得DF=7.2．

25．某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形空土，建成一个矩形花园，要求在花园中修建两条纵向和一条横向的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】设小道进出口的宽度为x米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可．
【解答】解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得（30﹣2x）（20﹣x）=532．
整理，得x2﹣35x+34=0．
解得，x1=1，x2=34．
∵34＞20（不合题意，舍去），
∴x=1．
答：小道进出口的宽度应为1米．

26．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A、B两点．
（1）利用图中的条件求反比例函数和一次函数的解析式．
（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数y=求出m=2，即可得出反比例函数的解析式，把B（﹣1，n）的坐标代入反比例函数的解析式即可求出B的坐标，把A、B的坐标代入y=kx+b得出方程组，求出方程组得解，即可得出一次函数的解析式．
（2）根据图象和A、B的坐标即可求出答案．
【解答】解：（1）从图象可知：A（2，1）B（﹣1，n），
把A的坐标代入反比例函数y=得：m=2，
即反比例函数的解析式是：y=，
把B（﹣1，n）的坐标代入反比例函数y=得：n=﹣2，
∴B（﹣1，﹣2），
把A、B的坐标代入y=kx+b得：，
解得k=1，b=﹣1，
即一次函数的解析式是：y=x﹣1；
（2）根据图象可知一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围是﹣1＜x＜0或x＞2．

27．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动．
（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8cm2？
（2）若点P从点A出发沿边AC﹣CB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB﹣BA边向点A以2cm/s的速度移动．当点P在CB边上，点Q在BA边上，是否存在某一时刻，使得△PBQ的面积14.4cm2？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】（1）先设P、Q同时出发，x秒钟后，AP=xcm，PC=（6﹣x）cm，CQ=2xcm，此时△PCQ的面积为：×2x（6﹣x），令△PCQ的面积为8cm2，由此等量关系列出方程求出符合题意的值；
（2）先过点Q作QD⊥BC，根据∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，求出AB=10cm， =，再根据点P从点A出发沿边AC﹣CB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB﹣BA边向点A以2cm/s的速度移动，得出BP与BQ的值，即可求出QD，再根据三角形的面积公式即可求出答案．
【解答】解：（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2．
由题意得，AP=xcm，PC=（6﹣x）cm，CQ=2xcm，
则•（6﹣x）•2x=8．
整理，得x2﹣6x+8=0，解得x1=2，x2=4．
所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2．
（2）根据题意如图；
过点Q作QD⊥BC，
∵∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，
∴AB=10cm，
=，
∵点P从点A出发沿边AC﹣CB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB﹣BA边向点A以2cm/s的速度移动，
∴BP=（6+8）﹣t=（14﹣t）cm，
BQ=（2t﹣8）cm，
∴=，
QD=，
∴S△PBQ=×BP•QD=（14﹣t）×=14.4，
解得：t1=8，t2=10（不符题意舍去）．
答：当t=8秒时，△PBQ的面积是14.4cm2．

2016年11月14日