2025版高考数学一轮复习微专题小练习专练38空间向量及其运算

这是一份2025版高考数学一轮复习微专题小练习专练38空间向量及其运算，共5页。
一、选择题
1．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量，，是( )
A．有相同起点的向量 B．等长向量
C．共面向量 D．不共面向量
答案：C
解析：∵＝ eq \(AC,\s\up6(→))，
又AC，D1A，D1C共面，
∴ eq \(AC,\s\up6(→))，，共面，即：，，共面．
2．已知向量a＝(2m＋1，3，m－1)，b＝(2，m，－m)，且a∥b，则实数m的值为( )
A． eq \f(3,2) B．－2
C．0 D． eq \f(3,2)或－2
答案：B
解析：∵a∥b，∴b＝λa， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2＝（2m＋1）λ，,m＝3λ，,－m＝λ（m－1），))得m＝－2.
3．已知空间两点P(－1，2，－3)，Q(3，－2，－1)，则P，Q两点间的距离是( )
A．6 B．2 eq \r(2) C．36 D．2 eq \r(5)
答案：A
解析：|PQ|＝
eq \r([3－（－1）]2＋（－2－2）2＋[－1－（－3）]2)＝ eq \r(16＋16＋4)＝ eq \r(36)＝6.
4．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若 eq \(AB,\s\up6(→))＝a， eq \(AD,\s\up6(→))＝b，＝c，则下列向量中与 eq \(BM,\s\up6(→))相等的向量是( )
A.－ eq \f(1,2)a＋ eq \f(1,2)b＋c
B． eq \f(1,2)a＋ eq \f(1,2)b＋c
C．－ eq \f(1,2)a－ eq \f(1,2)b＋c
D． eq \f(1,2)a－ eq \f(1,2)b＋c
答案：A
解析： 由题意知 eq \(BM,\s\up6(→))＝ eq \(BA,\s\up6(→))＋＋＝－a＋c＋ eq \f(1,2)(a＋b)＝－ eq \f(1,2)a＋ eq \f(1,2)b＋c.
5．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于( )
A． eq \f(62,7) B． eq \f(63,7) C． eq \f(64,7) D． eq \f(65,7)
答案：D
解析：∵a，b，c共面，∴c＝xa＋yb.
∴(7，5，λ)＝(2x，－x，3x)＋(－y，4y，－2y)，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－y＝7，,－x＋4y＝5，,3x－2y＝λ，))得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(17,7)，,x＝\f(33,7)，,λ＝\f(65,7)．))
6．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若 eq \(PA,\s\up6(→))＝a， eq \(PB,\s\up6(→))＝b， eq \(PC,\s\up6(→))＝c，则 eq \(BE,\s\up6(→))＝( )
A. eq \f(1,2)a－ eq \f(1,2)b＋ eq \f(1,2)c
B． eq \f(1,2)a－ eq \f(1,2)b－ eq \f(1,2)c
C． eq \f(1,2)a－ eq \f(3,2)b＋ eq \f(1,2)c
D． eq \f(1,2)a－ eq \f(1,2)b＋ eq \f(3,2)c
答案：C
解析：∵E为PD的中点，∴ eq \(BE,\s\up6(→))＝ eq \f(\(BP,\s\up6(→))＋\(BD,\s\up6(→)),2)
＝ eq \f(1,2)(－ eq \(PB,\s\up6(→))＋ eq \(BD,\s\up6(→)))
＝ eq \f(1,2)(－ eq \(PB,\s\up6(→))＋ eq \(PA,\s\up6(→))－ eq \(PB,\s\up6(→))＋ eq \(PC,\s\up6(→))－ eq \(PB,\s\up6(→)))
＝－ eq \f(3,2) eq \(PB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(PA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(PC,\s\up6(→))
＝ eq \f(1,2)a－ eq \f(3,2)b＋ eq \f(1,2)c
7．已知向量a＝(1，0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是( )
A．(－1，1，0) B．(1，－1，0)
C．(0，－1，1) D．(－1，0，1)
答案：B
解析：∵|a|＝ eq \r(12＋02＋（－1）2)＝ eq \r(2)，设b＝(－1，1，0)，|b|＝ eq \r(2)，a·b＝－10，则λ＝________．
答案：3
解析：∵λa＋b＝(4，1－λ，λ)，
∴|λa＋b|＝ eq \r(42＋（1－λ）2＋λ2)＝ eq \r(29)，∴17＋2λ2－2λ＝29，
∴λ＝3或λ＝－2(舍).
11．在空间直角坐标系中，以点A(4，1，9)，B(10，－1，6)，C(x，4，3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，则实数x的值为________．
答案：2
解析：由题意得 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))＝0，| eq \(AB,\s\up6(→))|＝| eq \(AC,\s\up6(→))|，
又 eq \(AB,\s\up6(→))＝(6，－2，－3)， eq \(AC,\s\up6(→))＝(x－4，3，－6)
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(6（x－4）－6＋18＝0，,（x－4）2＝4，))得x＝2.
12．在三棱锥O－ABC中，M，N分别为OA，BC的中点，设 eq \(OA,\s\up6(→))＝a， eq \(OB,\s\up6(→))＝b， eq \(OC,\s\up6(→))＝c，则 eq \(MN,\s\up6(→))＝________．
答案： eq \f(1,2)(b＋c－a)
解析： eq \(MN,\s\up6(→))＝ eq \(ON,\s\up6(→))－ eq \(OM,\s\up6(→))
＝ eq \f(1,2)( eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→)))－ eq \f(1,2) eq \(OA,\s\up6(→))
＝ eq \f(1,2)(b＋c－a)
[能力提升]
13．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列向量的数量积一定不为0的是( )
A.·
B．· eq \(AC,\s\up6(→))
C． eq \(AB,\s\up6(→))·
D．· eq \(BC,\s\up6(→))
答案：D
14．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为2，O是底面ABCD的中心，E，F分别为CC1，AD的中点，则异面直线OE与FD1所成角的余弦值为( )
A． eq \f(\r(10),5) B． eq \f(\r(15),5)
C． eq \f(4,5) D． eq \f(2,3)
答案：B
解析：∵ eq \(OE,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)＝ eq \f(1,2)( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))＋)，
＝ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→))＋，
∴ eq \(OE,\s\up6(→))·＝ eq \f(1,2)( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))＋)·＝ eq \f(1,2)( eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(AB,\s\up6(→))·＋＋ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→))2＋ eq \(AD,\s\up6(→))·＋＋ eq \f(1,2)· eq \(AD,\s\up6(→))＋＝3.
而| eq \(OE,\s\up6(→))|＝ eq \f(1,2) eq \r(22＋22＋22)＝ eq \r(3)，|FD1|＝ eq \r(5)，
∴cs 〈 eq \(OE,\s\up6(→))，〉＝＝ eq \f(\r(15),5).
15．如图所示，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是( )
A． eq \r(3) B． eq \r(2)
C．1 D． eq \r(3－\r(2))
答案：D
解析：∵ eq \(BD,\s\up6(→))＝ eq \(BF,\s\up6(→))＋ eq \(FE,\s\up6(→))＋ eq \(ED,\s\up6(→))，
∴| eq \(BD,\s\up6(→))|2＝| eq \(BF,\s\up6(→))|2＋| eq \(FE,\s\up6(→))|2＋| eq \(ED,\s\up6(→))|2＋2( eq \(BF,\s\up6(→))· eq \(FE,\s\up6(→))＋ eq \(FE,\s\up6(→))· eq \(ED,\s\up6(→))＋ eq \(ED,\s\up6(→))· eq \(BF,\s\up6(→)))＝1＋1＋1＋2(0＋0－ eq \f(\r(2),2))＝3－ eq \r(2).
∴| eq \(BD,\s\up6(→))|＝ eq \r(3－\r(2)).
16.
已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD， eq \(VP,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(VC,\s\up6(→))， eq \(VM,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \(VB,\s\up6(→))， eq \(VN,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \(VD,\s\up6(→))，则VA与平面PMN的位置关系是________．
答案：平行
解析：设 eq \(VA,\s\up6(→))＝a， eq \(VB,\s\up6(→))＝b，
eq \(VC,\s\up6(→))＝c，
则 eq \(VD,\s\up6(→))＝a＋c－b，
eq \(PM,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3)b－ eq \f(1,3)c，
eq \(PN,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \(VD,\s\up6(→))－ eq \f(1,3) eq \(VC,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3)a－ eq \f(2,3)b＋ eq \f(1,3)c，
∴ eq \(VA,\s\up6(→))＝ eq \f(3,2) eq \(PM,\s\up6(→))＋ eq \f(3,2) eq \(PN,\s\up6(→))，∴ eq \(VA,\s\up6(→))， eq \(PM,\s\up6(→))， eq \(PN,\s\up6(→))共面，
又VA⊄平面PMN，∴VA∥平面PMN.