2025版高考数学一轮复习微专题小练习专练39空间向量的应用

这是一份2025版高考数学一轮复习微专题小练习专练39空间向量的应用，共6页。
一、选择题
1．若两不重合直线l1和l2的方向向量分别为V1＝(1，0，－1)，V2＝(－3，0，3)，则l1和l2的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．垂直 D．不确定
答案：A
解析：∵V1＝－ eq \f(1,3)V2，∴l1∥l2.
2．若a＝(2，－2，－2)，b＝(2，0，4)，则a与b的夹角的余弦值为( )
A． eq \f(4\r(85),85) B． eq \f(\r(69),85)
C．－ eq \f(\r(15),15) D．0
答案：C
解析：∵|a|＝ eq \r(22＋（－2）2＋（－2）2)＝2 eq \r(3)，|b|＝ eq \r(22＋02＋42)＝2 eq \r(5)，
a·b＝2×2＋(－2)×0＋(－2)×4＝－4，
∴cs 〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a||b|)＝ eq \f(－4,2\r(3)×2\r(5))＝－ eq \f(\r(15),15).
3．若直线l的一个方向向量a＝(2，2，－2)，平面α的一个法向量b＝(1，1，－1)，则( )
A．l⊥α B．l∥α
C．l⊂α D．A，C都有可能
答案：A
解析：∵a＝2b，∴a与b共线，∴l⊥α.
4．在空间四边形ABCD中， eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(CD,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))· eq \(DB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))· eq \(BC,\s\up6(→))＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．不确定
答案：B
解析：
如图，令 eq \(AB,\s\up6(→))＝a， eq \(AC,\s\up6(→))＝b， eq \(AD,\s\up6(→))＝c，
则 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(CD,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))· eq \(DB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))· eq \(BC,\s\up6(→))
＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)
＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.
故选B.
5．若平面α，β的法向量分别为m＝(2，－3，5)，n＝(－3，1，－4)，则( )
A．α∥β B．α⊥β
C．α，β相交，但不垂直 D．以上均不正确
答案：C
解析：∵m与n不共线，且m·n＝－6－3－20≠0，
∴α与β相交但不垂直．
6.
如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC＝( )
A．6 eq \r(2) B．6
C．12 D．144
答案：C
解析：∵AB＝BC＝6，∠ABC＝120°，∴AC＝6 eq \r(3)，
建立如图所示的空间直角坐标系，其中O为AC的中点，
则P(0，－3 eq \r(3)，6)，C(0，3 eq \r(3)，0)
∴|PC|＝ eq \r(（0－0）2＋（3\r(3)＋3\r(3)）2＋62)
＝12.
7.
如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与AB1夹角的余弦值为( )
A． eq \f(\r(5),5) B． eq \f(\r(5),3)
C． eq \f(2\r(5),5) D． eq \f(3,5)
答案：A
解析：设BC＝1，则B(0，0，1)，C1(0，2，0)，A(2，0，0)，B1(0，2，1)，
＝(0，2，－1)，＝(－2，2，1)，
·＝0×(－2)＋2×2＋(－1)×1＝3.
＝ eq \r(5)，＝3，
∴cs 〈，〉＝＝ eq \f(3,\r(5)×3)＝ eq \f(\r(5),5).
8．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝ eq \r(3)，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
答案：A
解析：
∵AB＝1，AC＝2，BC＝ eq \r(3)，∴AB2＋BC2＝AC2，
∴AB⊥BC，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，C1(0， eq \r(3)，h)，B1(0，0，h)，B(0，0，0)
∴D( eq \f(1,2)， eq \f(\r(3),2)， eq \f(h,2))，E eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(h,2))).
∴ eq \(DE,\s\up6(→))＝(－ eq \f(1,2)，－ eq \f(\r(3),2)，0)，显然面BB1C1C的法向量为m＝(1，0，0)，
∴ eq \(DE,\s\up6(→))与平面BB1C1C所成角α满足
sin α＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(DE,\s\up6(→))·m,|\(DE,\s\up6(→))|·|m|)))＝ eq \f(\f(1,2),1×1)＝ eq \f(1,2)，
又α∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0°，90°))，
∴α＝30°.
9．过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥面ABCD，若AB＝PA，则平面ADP与平面CDP所成的二面角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
答案：D
解析：
建立如图所示的空间直角坐标系，
设AB＝1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，C(1，1，0)，P(0，0，1)，
显然面ADP的法向量m＝(1，0，0)，
设平面CDP的法向量n＝(x，y，z)，
eq \(CD,\s\up6(→))＝(－1，0，0)， eq \(CP,\s\up6(→))＝(－1，－1，1)，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x＝0，,－x－y＋z＝0，))令y＝1，则z＝1，
∴n＝(0，1，1)，
m·n＝1×0＋0×1＋0×1＝0，∴m⊥n，
∴平面ADP与平面CDP所成的角为90°.
二、填空题
10．已知四边形ABCD为平行四边形，且A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C(3，7，－5)，则顶点D的坐标为________．
答案：(5，13，－3)
解析：设D(x，y，z)，由题意得 eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \(BC,\s\up6(→))，
∴(x－4，y－1，z－3)＝(1，12，－6)
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝13，,z＝－3，))∴D(5，13，－3).
11．已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)，则以 eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(AC,\s\up6(→))为邻边的平行四边形的面积为________．
答案：7 eq \r(3)
解析： eq \(AB,\s\up6(→))＝(－2，－1，3)， eq \(AC,\s\up6(→))＝(1，－3，2)，
∴ eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))＝－2＋3＋6＝7，| eq \(AB,\s\up6(→))|＝ eq \r(14)，| eq \(AC,\s\up6(→))|＝ eq \r(14).
又cs 〈 eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(AC,\s\up6(→))〉＝ eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))||\(AC,\s\up6(→))|)＝ eq \f(7,\r(14)×\r(14))＝ eq \f(1,2)，
∴sin 〈 eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(AC,\s\up6(→))〉＝ eq \f(\r(3),2)，
∴平行四边形的面积S＝| eq \(AB,\s\up6(→))|×| eq \(AC,\s\up6(→))|×sin 〈 eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(AC,\s\up6(→))〉＝7 eq \r(3).
12．设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则D1点到平面A1BD的距离为________．
答案： eq \f(2\r(3),3)
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，
则D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，D(0，0，0)，B(2，2，0)，
∴＝(2，0，0)，＝(2，0，2)， eq \(DB,\s\up6(→))＝(2，2，0).
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
则
令x＝1，则n＝(1，－1，－1)，
∴点D1到平面A1BD的距离是
[能力提升]
13.
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝ eq \f(\r(2)a,3)，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )
A.斜交
B．平行
C．垂直
D．MN在平面BB1C1C内
答案：B
解析：建立如图所示
的空间直角坐标系，由于A1M＝AN＝ eq \f(\r(2)a,3)，
则M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(2a,3)，\f(a,3)))，N eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2a,3)，\f(2a,3)，a))，
eq \(MN,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,3)，0，\f(2a,3))).又C1D1⊥平面BB1C1C，所以C1D1＝(0，a，0)为平面BB1C1C的一个法向量．因为 eq \(MN,\s\up6(→))·＝0，所以 eq \(MN,\s\up6(→))⊥，所以MN∥平面BB1C1C.
14．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
答案：C
解析：
如图所示，以A1为坐标原点，A1B1所在直线为x轴，A1B1为单位长度，A1C1所在直线为y轴，A1A所在直线为z轴，建立空间直角坐标系A1－xyz.则可得A1(0，0，0)，B1(1，0，0，)，C1(0，1，0)，A(0，0，1)，B(1，0，1).所以A1B＝(1，0，1)，AC1＝(0，1，－1).
15．若平面α的一个法向量n＝(2，1，1)，直线l的一个方向向量为a＝(1，2，3)，则α与l所成角的正弦值为________．
答案： eq \f(\r(21),6)
解析：设直线l与平面α所成的角为θ，
则sin θ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(n·a,|n||a|)))＝
eq \f(|2×1＋1×2＋1×3|,\r(22＋12＋12)·\r(12＋22＋32))＝ eq \f(\r(21),6).
16.
如图所示，四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC＝45°，BC＝2 eq \r(2)，AB＝2，SA＝SB＝ eq \r(3).求直线SD与平面SAB所成角的正弦值为________.
答案： eq \f(\r(22),11)
解析：如图所示，
作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD.
由SA＝SB，可得OA＝OB.又由∠ABC＝45°，得△ABO为等腰直角三角形，OA⊥OB.建立如图所示空间直角坐标系O－xyz，则A( eq \r(2)，0，0)，B(0， eq \r(2)，0)，C(0，－ eq \r(2)，0)，S(0，0，1)，D( eq \r(2)，－2 eq \r(2)，0)， eq \(DS,\s\up6(→))＝(－ eq \r(2)，2 eq \r(2)，1)， eq \(SA,\s\up6(→))＝( eq \r(2)，0，－1)， eq \(SB,\s\up6(→))＝(0， eq \r(2)，－1).
设平面SAB的法向量为n＝(x1，y1，z1)，
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(SA,\s\up6(→))＝0，,n·\(SB,\s\up6(→))＝0))得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\r(2)x1－z1＝0，,\r(2)y1－z1＝0，))
令z1＝ eq \r(2)，得n＝(1，1， eq \r(2)).
设直线SD与平面SAB所成角为θ，
则sin θ＝|cs 〈 eq \(DS,\s\up6(→))，n〉|＝ eq \f(|\(DS,\s\up6(→))·n|,|\(DS,\s\up6(→))||n|)＝ eq \f(|－\r(2)＋2\r(2)＋\r(2)|,\r(11)×2)＝ eq \f(\r(22),11).
所以直线SD与平面SAB所成角的正弦值为 eq \f(\r(22),11).