统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练44空间向量及其运算理

这是一份统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练44空间向量及其运算理，共6页。

[基础强化]
一、选择题
1．[2023·重庆八中高三月考]若{a，b，c}构成空间的一个基底，则下列向量也可以构成空间中的一个基底的是( )
A．{a＋b，b＋c，c＋a}
B．{a－b，b－c，c－a}
C．{a＋b，c，a＋b＋c}
D．{a－b＋c，a＋b－c，3a－b＋c}
2．已知向量a＝(2m＋1，3，m－1)，b＝(2，m，－m)，且a∥b，则实数m的值为( )
A． eq \f(3,2) B．－2
C．0 D． eq \f(3,2)或－2
3．已知空间两点P(－1，2，－3)，Q(3，－2，－1)，则P，Q两点间的距离是( )
A．6 B．2 eq \r(2) C．36 D．2 eq \r(5)
4．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若 eq \(AB,\s\up6(→))＝a， eq \(AD,\s\up6(→))＝b，＝c，则下列向量中与 eq \(BM,\s\up6(→))相等的向量是( )
A．－ eq \f(1,2)a＋ eq \f(1,2)b＋c B． eq \f(1,2)a＋ eq \f(1,2)b＋c
C．－ eq \f(1,2)a－ eq \f(1,2)b＋c D． eq \f(1,2)a－ eq \f(1,2)b＋c
5．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于( )
A． eq \f(62,7) B． eq \f(63,7) C． eq \f(64,7) D． eq \f(65,7)
6．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若 eq \(PA,\s\up6(→))＝a， eq \(PB,\s\up6(→))＝b， eq \(PC,\s\up6(→))＝c，则 eq \(BE,\s\up6(→))＝( )
A. eq \f(1,2)a－ eq \f(1,2)b＋ eq \f(1,2)c
B． eq \f(1,2)a－ eq \f(1,2)b－ eq \f(1,2)c
C． eq \f(1,2)a－ eq \f(3,2)b＋ eq \f(1,2)c
D． eq \f(1,2)a－ eq \f(1,2)b＋ eq \f(3,2)c
7．已知向量a＝(1，0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是( )
A．(－1，1，0) B．(1，－1，0)
C．(0，－1，1) D．(－1，0，1)
8．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－4，y，2)，且a⊥(a＋b)，则y的值为( )
A．6 B．10 C．12 D．14
9．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则 eq \(AE,\s\up6(→))· eq \(AF,\s\up6(→))＝( )
A．a2 B． eq \f(1,2)a2 C． eq \f(1,4)a2 D． eq \f(\r(3),4)a2
二、填空题
10．已知a＝(0，－1，1)，b＝(4，1，0)，|λa＋b|＝ eq \r(29)，且λ>0，则λ＝________．
11．在空间直角坐标系中，以点A(4，1，9)，B(10，－1，6)，C(x，4，3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，则实数x的值为________．
12．在三棱锥O－ABC中，M，N分别为OA，BC的中点，设 eq \(OA,\s\up6(→))＝a， eq \(OB,\s\up6(→))＝b， eq \(OC,\s\up6(→))＝c，则 eq \(MN,\s\up6(→))＝________．
[能力提升]
13．[2023·长春一中高三测试]已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列向量的数量积一定不为0的是( )
A.·
B．· eq \(AC,\s\up6(→))
C． eq \(AB,\s\up6(→))·
D．· eq \(BC,\s\up6(→))
14．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为2，O是底面ABCD的中心，E，F分别为CC1，AD的中点，则异面直线OE与FD1所成角的余弦值为( )
A． eq \f(\r(10),5) B． eq \f(\r(15),5) C． eq \f(4,5) D． eq \f(2,3)
15.
如图所示，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是( )
A． eq \r(3) B． eq \r(2) C．1 D． eq \r(3－\r(2))
16．[2023·江苏南通模拟]已知正四棱台ABCD­A1B1C1D1的上、下底面边长分别为1和2，P是上底面A1B1C1D1的边界上一点．若 eq \(PA,\s\up6(→))· eq \(PC,\s\up6(→))的最小值为 eq \f(1,2)，则该正四棱台的体积为( )
A． eq \f(7,2) B．3 C． eq \f(5,2) D．1
专练44 空间向量及其运算
1．A 令c＋a＝λ(a＋b)＋μ(b＋c)，则λ，μ∈∅，A正确；因为c－a＝－(a－b)－(b－c)，所以{a－b，b－c，c－a}不能构成基底；因为a＋b＋c＝(a＋b)＋c，所以{a＋b，c，a＋b＋c}不能构成基底；因为3a－b＋c＝2(a－b＋c)＋(a＋b－c)，所以{a－b＋c，a＋b－c，3a－b＋c}不能构成基底．
2．B ∵a∥b，∴b＝λa， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2＝（2m＋1）λ，,m＝3λ，,－m＝λ（m－1），))
得m＝－2.
3．A |PQ|＝ eq \r([3－（－1）]2＋（－2－2）2＋[－1－（－3）]2)＝ eq \r(16＋16＋4)＝ eq \r(36)＝6.
4．A 由题意知 eq \(BM,\s\up6(→))＝ eq \(BA,\s\up6(→))＋＋＝－a＋c＋ eq \f(1,2)(a＋b)＝－ eq \f(1,2)a＋ eq \f(1,2)b＋c.
5．D ∵a，b，c共面，∴c＝xa＋yb.
∴(7，5，λ)＝(2x，－x，3x)＋(－y，4y，－2y)，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－y＝7，,－x＋4y＝5，,3x－2y＝λ，))得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(17,7)，,x＝\f(33,7)，,λ＝\f(65,7)．))
6．C ∵E为PD的中点，∴ eq \(BE,\s\up6(→))＝ eq \f(\(BP,\s\up6(→))＋\(BD,\s\up6(→)),2)
＝ eq \f(1,2)(－ eq \(PB,\s\up6(→))＋ eq \(BD,\s\up6(→)))
＝ eq \f(1,2)(－ eq \(PB,\s\up6(→))＋ eq \(PA,\s\up6(→))－ eq \(PB,\s\up6(→))＋ eq \(PC,\s\up6(→))－ eq \(PB,\s\up6(→)))
＝－ eq \f(3,2) eq \(PB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(PA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(PC,\s\up6(→))
＝ eq \f(1,2)a－ eq \f(3,2)b＋ eq \f(1,2)c.
7．B ∵|a|＝ eq \r(12＋02＋（－1）2)＝ eq \r(2)，设b＝(－1，1，0)，|b|＝ eq \r(2)，a·b＝－1<0，故A不正确；对于B，设c＝(1，－1，0)，a·c＝1，|c|＝ eq \r(2).∴cs 〈a，c〉＝ eq \f(a·c,|a||c|)＝ eq \f(1,2)，
∴〈a，c〉＝60°，同理可得C、D不正确．
8．C a＋b＝(－2，y－1，5)，∵a⊥(a＋b)，
∴－2×2－(y－1)＋3×5＝0，得y＝12.
9．C
依题意，点E，F为BC，AD的中点，如图所示， eq \(AE,\s\up6(→))· eq \(AF,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→)))· eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,4)( eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))· eq \(AD,\s\up6(→)))＝ eq \f(1,4)(a2cs 60°＋a2cs 60°)＝ eq \f(1,4)a2.
10．3
解析：∵λa＋b＝(4，1－λ，λ)，
∴|λa＋b|＝ eq \r(42＋（1－λ）2＋λ2)＝ eq \r(29)，∴17＋2λ2－2λ＝29，
∴λ＝3或λ＝－2(舍).
11．2
解析：由题意得 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))＝0，| eq \(AB,\s\up6(→))|＝| eq \(AC,\s\up6(→))|，
又 eq \(AB,\s\up6(→))＝(6，－2，－3)， eq \(AC,\s\up6(→))＝(x－4，3，－6)
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(6（x－4）－6＋18＝0，,（x－4）2＝4，))得x＝2.
12. eq \f(1,2)(b＋c－a)
解析： eq \(MN,\s\up6(→))＝ eq \(ON,\s\up6(→))－ eq \(OM,\s\up6(→))
＝ eq \f(1,2)( eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→)))－ eq \f(1,2) eq \(OA,\s\up6(→))
＝ eq \f(1,2)(b＋c－a).
13．D
14．B ∵ eq \(OE,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)＝ eq \f(1,2)( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))＋)，
＝ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→))＋，
∴ eq \(OE,\s\up6(→))·＝ eq \f(1,2)( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))＋)·( eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→))＋)＝ eq \f(1,2)( eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(AB,\s\up6(→))·＋ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→))2＋ eq \(AD,\s\up6(→))·＋ eq \f(1,2)· eq \(AD,\s\up6(→))＋2)＝3.
而| eq \(OE,\s\up6(→))|＝ eq \f(1,2) eq \r(22＋22＋22)＝ eq \r(3)，||＝ eq \r(5)，
∴cs 〈 eq \(OE,\s\up6(→))，〉＝＝ eq \f(\r(15),5).
15．D ∵ eq \(BD,\s\up6(→))＝ eq \(BF,\s\up6(→))＋ eq \(FE,\s\up6(→))＋ eq \(ED,\s\up6(→))，
∴| eq \(BD,\s\up6(→))|2＝| eq \(BF,\s\up6(→))|2＋| eq \(FE,\s\up6(→))|2＋| eq \(ED,\s\up6(→))|2＋2( eq \(BF,\s\up6(→))· eq \(FE,\s\up6(→))＋ eq \(FE,\s\up6(→))· eq \(ED,\s\up6(→))＋ eq \(ED,\s\up6(→))· eq \(BF,\s\up6(→)))＝1＋1＋1＋2(0＋0－ eq \f(\r(2),2))＝3－ eq \r(2).
∴| eq \(BD,\s\up6(→))|＝ eq \r(3－\r(2)).
16．A 由题意可知，以O为坐标原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O－xyz，如图所示
A(0，－ eq \r(2)，0)，C(0， eq \r(2)，0)，由对称性，点P在A1B1，B1C1，A1D1，C1D1是相同的，
故只考虑P在B1C1上时，设正四棱台的高为h，则
B1( eq \f(\r(2),2)，0，h)，C1(0， eq \f(\r(2),2)，h)，
设P(x，y，z)，＝(－x， eq \f(\r(2),2)－y，h－z)，
＝(－ eq \f(\r(2),2)， eq \f(\r(2),2)，0)，
因为P在B1C1上，所以＝λ (0≤λ≤1)，
∴P( eq \f(\r(2),2)λ， eq \f(\r(2),2)－ eq \f(\r(2),2)λ，h)，
∴ eq \(PA,\s\up6(→))＝(－ eq \f(\r(2),2)λ，－ eq \r(2)－ eq \f(\r(2),2)＋ eq \f(\r(2),2)λ，－h)
＝(－ eq \f(\r(2),2)λ，－ eq \f(3\r(2),2)＋ eq \f(\r(2),2)λ，－h)，
∴ eq \(PC,\s\up6(→))＝(－ eq \f(\r(2),2)λ， eq \r(2)－ eq \f(\r(2),2)＋ eq \f(\r(2),2)λ，－h)
＝(－ eq \f(\r(2),2)λ， eq \f(\r(2),2)＋ eq \f(\r(2),2)λ，－h)，
所以 eq \(PA,\s\up6(→))· eq \(PC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)λ2＋( eq \f(\r(2),2)λ－ eq \f(3\r(2),2))( eq \f(\r(2),2)λ＋ eq \f(\r(2),2))＋h2
＝ eq \f(1,2)λ2＋ eq \f(1,2)λ2＋ eq \f(1,2)λ－ eq \f(3,2)λ－ eq \f(3,2)＋h2
＝λ2－λ－ eq \f(3,2)＋h2＝(λ－ eq \f(1,2))2－ eq \f(7,4)＋h2.
由二次函数的性质知，当λ＝ eq \f(1,2)时， eq \(PA,\s\up6(→))· eq \(PC,\s\up6(→))取得最小值为h2－ eq \f(7,4)，
又因为 eq \(PA,\s\up6(→))· eq \(PC,\s\up6(→))的最小值为 eq \f(1,2)，所以h2－ eq \f(7,4)＝ eq \f(1,2)，解得h＝± eq \f(3,2)(负舍)，
故正四棱台的体积为V＝ eq \f(1,3)(S1＋ eq \r(S1S2)＋S2)h＝ eq \f(1,3)(2×2＋ eq \r(2×2×1×1)＋1×1)× eq \f(3,2)＝ eq \f(7,2).