新高考数学一轮复习微专题专练38空间向量及其运算（含详解）

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一、选择题
1．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量，，是( )
A．有相同起点的向量 B．等长向量
C．共面向量 D．不共面向量
2．已知向量a＝(2m＋1，3，m－1)，b＝(2，m，－m)，且a∥b，则实数m的值为( )
A． eq \f(3,2) B．－2
C．0 D． eq \f(3,2) 或－2
3．已知空间两点P(－1，2，－3)，Q(3，－2，－1)，则P，Q两点间的距离是( )
A．6 B．2 eq \r(2)
C．36 D．2 eq \r(5)
4．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝a， eq \(AD,\s\up6(→)) ＝b，＝c，则下列向量中与 eq \(BM,\s\up6(→)) 相等的向量是( )
A.－ eq \f(1,2) a＋ eq \f(1,2) b＋c
B． eq \f(1,2) a＋ eq \f(1,2) b＋c
C．－ eq \f(1,2) a－ eq \f(1,2) b＋c
D． eq \f(1,2) a－ eq \f(1,2) b＋c
5．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于( )
A． eq \f(62,7) B． eq \f(63,7) C． eq \f(64,7) D． eq \f(65,7)
6．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若 eq \(PA,\s\up6(→)) ＝a， eq \(PB,\s\up6(→)) ＝b， eq \(PC,\s\up6(→)) ＝c，则 eq \(BE,\s\up6(→)) ＝( )
A. eq \f(1,2) a－ eq \f(1,2) b＋ eq \f(1,2) c
B． eq \f(1,2) a－ eq \f(1,2) b－ eq \f(1,2) c
C． eq \f(1,2) a－ eq \f(3,2) b＋ eq \f(1,2) c
D． eq \f(1,2) a－ eq \f(1,2) b＋ eq \f(3,2) c
7．已知向量a＝(1，0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是( )
A．(－1，1，0) B．(1，－1，0)
C．(0，－1，1) D．(－1，0，1)
8．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－4，y，2)，且a⊥(a＋b)，则y的值为( )
A．6 B．10 C．12 D．14
9．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则 eq \(AE,\s\up6(→)) · eq \(AF,\s\up6(→)) ＝( )
A．a2 B． eq \f(1,2) a2 C． eq \f(1,4) a2 D． eq \f(\r(3),4) a2
二、填空题
10．已知a＝(0，－1，1)，b＝(4，1，0)，|λa＋b|＝ eq \r(29) ，且λ>0，则λ＝________．
11．在空间直角坐标系中，以点A(4，1，9)，B(10，－1，6)，C(x，4，3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，则实数x的值为________．
12．在三棱锥O－ABC中，M，N分别为OA，BC的中点，设 eq \(OA,\s\up6(→)) ＝a， eq \(OB,\s\up6(→)) ＝b， eq \(OC,\s\up6(→)) ＝c，则 eq \(MN,\s\up6(→)) ＝________．
[能力提升]
13．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列向量的数量积一定不为0的是( )
14．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为2，O是底面ABCD的中心，E，F分别为CC1，AD的中点，则异面直线OE与FD1所成角的余弦值为( )
A． eq \f(\r(10),5) B． eq \f(\r(15),5)
C． eq \f(4,5) D． eq \f(2,3)
15．如图所示，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是( )
A． eq \r(3) B． eq \r(2)
C．1 D． eq \r(3－\r(2))
16.
已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD， eq \(VP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \(VC,\s\up6(→)) ， eq \(VM,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \(VB,\s\up6(→)) ， eq \(VN,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \(VD,\s\up6(→)) ，则VA与平面PMN的位置关系是________．
专练38 空间向量及其运算
1．C ∵＝ eq \(AC,\s\up6(→)) ，
又AC，D1A，D1C共面，
∴ eq \(AC,\s\up6(→)) ，，共面，即：，，共面．
2．B ∵a∥b，∴b＝λa， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2＝（2m＋1）λ，,m＝3λ，,－m＝λ（m－1），)) 得m＝－2.
3．A |PQ|＝ eq \r([3－（－1）]2＋（－2－2）2＋[－1－（－3）]2) ＝ eq \r(16＋16＋4) ＝ eq \r(36) ＝6.
4．A 由题意知 eq \(BM,\s\up6(→)) ＝ eq \(BA,\s\up6(→)) ＋＋＝－a＋c＋ eq \f(1,2) (a＋b)＝－ eq \f(1,2) a＋ eq \f(1,2) b＋c.
5．D ∵a，b，c共面，∴c＝xa＋yb.
∴(7，5，λ)＝(2x，－x，3x)＋(－y，4y，－2y)，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－y＝7，,－x＋4y＝5，,3x－2y＝λ，)) 得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(17,7)，,x＝\f(33,7)，,λ＝\f(65,7)．))
6．C ∵E为PD的中点，∴ eq \(BE,\s\up6(→)) ＝ eq \f(\(BP,\s\up6(→))＋\(BD,\s\up6(→)),2)
＝ eq \f(1,2) (－ eq \(PB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BD,\s\up6(→)) )
＝ eq \f(1,2) (－ eq \(PB,\s\up6(→)) ＋ eq \(PA,\s\up6(→)) － eq \(PB,\s\up6(→)) ＋ eq \(PC,\s\up6(→)) － eq \(PB,\s\up6(→)) )
＝－ eq \f(3,2) eq \(PB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \(PA,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \(PC,\s\up6(→))
＝ eq \f(1,2) a－ eq \f(3,2) b＋ eq \f(1,2) c
7．B ∵|a|＝ eq \r(12＋02＋（－1）2) ＝ eq \r(2) ，设b＝(－1，1，0)，|b|＝ eq \r(2) ，a·b＝－1<0，故A不正确；对于B，设c＝(1，－1，0)，a·c＝1，|c|＝ eq \r(2) .∴cs 〈a，c〉＝ eq \f(a·c,|a||c|) ＝ eq \f(1,2) ，
∴〈a，c〉＝60°，同理可得C、D不正确．
8．C a＋b＝(－2，y－1，5)，∵a⊥(a＋b)，
∴－2×2－(y－1)＋3×5＝0，得y＝12.
9．C 依题意，
点E，F为BC，AD的中点，如图所示， eq \(AE,\s\up6(→)) · eq \(AF,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) ( eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) )· eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,4) ( eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AD,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) · eq \(AD,\s\up6(→)) )＝ eq \f(1,4) (a2cs 60°＋a2cs 60°)＝ eq \f(1,4) a2.
10．3
解析：∵λa＋b＝(4，1－λ，λ)，
∴|λa＋b|＝ eq \r(42＋（1－λ）2＋λ2) ＝ eq \r(29) ，∴17＋2λ2－2λ＝29，
∴λ＝3或λ＝－2(舍).
11．2
解析：由题意得 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→)) ＝0，| eq \(AB,\s\up6(→)) |＝| eq \(AC,\s\up6(→)) |，
又 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(6，－2，－3)， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝(x－4，3，－6)
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(6（x－4）－6＋18＝0，,（x－4）2＝4，)) 得x＝2.
12. eq \f(1,2) (b＋c－a)
解析： eq \(MN,\s\up6(→)) ＝ eq \(ON,\s\up6(→)) － eq \(OM,\s\up6(→))
＝ eq \f(1,2) ( eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \(OC,\s\up6(→)) )－ eq \f(1,2) eq \(OA,\s\up6(→))
＝ eq \f(1,2) (b＋c－a)
13．D
14．B ∵ eq \(OE,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) ＝ eq \f(1,2) ( eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AD,\s\up6(→)) ＋)，
＝ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→)) ＋，
∴ eq \(OE,\s\up6(→)) ·＝ eq \f(1,2) ( eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AD,\s\up6(→)) ＋)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(AD,\s\up6(→))＋AA1)) ＝ eq \f(1,2) ( eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AD,\s\up6(→)) ＋ eq \(AB,\s\up6(→)) ·＋ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→)) 2＋ eq \(AD,\s\up6(→)) ·＋ eq \f(1,2) · eq \(AD,\s\up6(→)) ＋2)＝3.
而| eq \(OE,\s\up6(→)) |＝ eq \f(1,2) eq \r(22＋22＋22) ＝ eq \r(3) ，||＝ eq \r(5) ，
∴cs 〈 eq \(OE,\s\up6(→)) ，〉＝ eq \f(\(OE,\s\up6(→))·FD1,|\(OE,\s\up6(→))||FD1|) ＝ eq \f(\r(15),5) .
15．D ∵ eq \(BD,\s\up6(→)) ＝ eq \(BF,\s\up6(→)) ＋ eq \(FE,\s\up6(→)) ＋ eq \(ED,\s\up6(→)) ，
∴| eq \(BD,\s\up6(→)) |2＝| eq \(BF,\s\up6(→)) |2＋| eq \(FE,\s\up6(→)) |2＋| eq \(ED,\s\up6(→)) |2＋2( eq \(BF,\s\up6(→)) · eq \(FE,\s\up6(→)) ＋ eq \(FE,\s\up6(→)) · eq \(ED,\s\up6(→)) ＋ eq \(ED,\s\up6(→)) · eq \(BF,\s\up6(→)) )＝1＋1＋1＋2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＋0－\f(\r(2),2))) ＝3－ eq \r(2) .
∴| eq \(BD,\s\up6(→)) |＝ eq \r(3－\r(2)) .
16．平行
解析：设 eq \(VA,\s\up6(→)) ＝a， eq \(VB,\s\up6(→)) ＝b，
eq \(VC,\s\up6(→)) ＝c，
则 eq \(VD,\s\up6(→)) ＝a＋c－b，
eq \(PM,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) b－ eq \f(1,3) c，
eq \(PN,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \(VD,\s\up6(→)) － eq \f(1,3) eq \(VC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) a－ eq \f(2,3) b＋ eq \f(1,3) c，
∴ eq \(VA,\s\up6(→)) ＝ eq \f(3,2) eq \(PM,\s\up6(→)) ＋ eq \f(3,2) eq \(PN,\s\up6(→)) ，∴ eq \(VA,\s\up6(→)) ， eq \(PM,\s\up6(→)) ， eq \(PN,\s\up6(→)) 共面，
又VA⊄平面PMN，∴VA∥平面PMN.