2022-2023学年山东省济南市济南高新技术产业开发区九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2022-2023学年山东省济南市济南高新技术产业开发区九年级上学期数学期中试题及答案，共28页。试卷主要包含了 如图，∽，等内容，欢迎下载使用。
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效．
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本题共10小题，共40分）
1. 下面的几何体中，主视图为圆的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：A、的主视图是矩形，故A不符合题意；
B、的主视图是正方形，故B不符合题意；
C、的主视图是圆，故C符合题意；
D、的主视图是三角形，故D不符合题意；
故选：C．
2. 反比例函数y=﹣中常数k为（ ）
A. ﹣3B. 2C. ﹣D. ﹣
【答案】D
【解析】
【详解】试题解析：反比例函数y=-中常数k为.
故选D．
3. 若，则的值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】∵，
∴==，
故选：D
4. 如图，已知直线，直线，与，，分别交于点，，，，，，若，，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论．
【详解】解：∵直线，，，，
∴，
即，
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键．
5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=12，则下列三角函数表示正确是（ ）
A. sinA=B. csA=C. tanA=D. tanB=
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：∵在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13，∴AC==5，∴sinA=．故选A．
考点：1．锐角三角函数的定义；2．勾股定理．
6. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一次函数和反比例函数的图像与系数的关系，即可判断各选项是否正确．
【详解】解：∵与y轴的交点为（0，1）
∴可排除B、D选项；
当时，的图像y随x的增大而增大，不经过第四象限，在第一、三象限；C符合；
当时，的图像y随x的增大而减小，不经过第三象限，的图像在第二、四象限，无选项符合；
故选C．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数图像与系数的关系，掌握相关知识并熟练使用，分类讨论是本题的解题关键．
7. 如图，∽，：：，其中，的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：：：，
：：，
∽，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质．
8. 如图，在中，，，点D是AC上一点，连接BD．若，，则CD的长为（ ）

A. B. 3C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】先根据锐角三角函数值求出，再由勾股定理求出过点D作于点E，依据三角函数值可得从而得，再由得AE=2，DE=1，由勾股定理得AD=，从而可求出CD．
【详解】解：在中，，，
∴
∴
由勾股定理得,
过点D作于点E，如图，

∵，，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴,
在中,
∴
∵
∴
故选：C
【点睛】本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出DE的长是解答本题的关键．
9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，是的中线，点、在反比例函数的图象上，则的面积等于（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】设点的坐标为，然后根据中线的性质分别用含有的代数式表示点和点的坐标，然后计算的面积即可．
【详解】解：设点
∵是的中线，
∴点是的中点，
∴
∵点、在反比例函数的图象上，
∴
∴
∴
∴
∴
故选B．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象的面积问题，能够运用中线的性质表示点的坐标并代入运算是解决本题的关键．
10. 在正方形中，，点E是边的中点，连接，延长至点F，使得，过点F作，分别交、于N、G两点，连接、、，下列正确的是：①；②；③；④（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】解：①中由即可得到，再由正切等于对边比邻边即可求解；
②中先证明得到EM=EC，DM=FC，再证明即可求解；
③中先证明GECM，得到即可求解；
④中由得到，再由即可求解．
【详解】解：①∵，
∴∠DMF=90°=∠NCF，且对顶角∠MND=∠CNF，
∴∠GFB=∠EDC，
∵ABCD为正方形，E是BC的中点，
∴BC=CD，
∴，①正确；
②由①知，
又，已知，
∴()，
∴，
∴，
∵，，，
∴()，
∴，故②正确；
③∵，，
∴BE=ME，
且∠B=∠GME=90°，GE为和的公共边，
∴（），
∴，
∵，
∴，
由三角形外角定理可知：，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，故③错误；
④由上述可知：，，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确．
故选B．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
二、填空题（本题共6小题，共24分）
11. 计算：2sin60°=______．
【答案】．
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值计算．
【详解】解：2sin60°=2×．
12. 如图，四边形四边形，则的度数是______．
【答案】##100度
【解析】
【分析】利用相似多边形对应角相等、对应边成比例即可求解．
【详解】解：四边形四边形，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是知道相似多边形的对应边的比相等，对应角相等．
13. 如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4m．则路灯的高度OP为_____m．
【答案】
【解析】
【分析】由于OP和AB与地面垂直，则AB∥OP，根据相似三角形的判定可证△ABC∽△OPC，然后利用相似三角形的性质即可求出OP的长．
【详解】解：∵AB∥OP，
∴△ABC∽△OPC，
∴，
即，
∴OP＝m．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
14. 如图，河坝横断面迎水坡的坡比为坝高为，则的长度为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据坡比的定义可得，即可得，再结合勾股定理可得答案．
【详解】解：∵迎水坡的坡比为，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，．
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用－坡度坡角问题、勾股定理，熟练掌握坡比的定义以及勾股定理是解答本题的关键．
15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，矩形的边在上，．反比例函数的图象经过点B，若阴影部分面积为4，则k的值为_________．

【答案】8
【解析】
【分析】可设，则，由，根据矩形得出，可证，求出，又B在反比例函数图象上，即可得知k值．
【详解】解：可设，交于M，

则，
∴，
∵四边形与四边形均为矩形，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
则，
又B在反比例函数图象上，
∴．
故答案为：8．
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数，矩形的性质和全等三角形的性质和判定，不规则图形面积，掌握待定系数法求反比例函数方法，矩形的性质和全等三角形的性质和判定，把不规则图形面积转化为规则图形面积是解题关键．
16. 如图，在边长为7的正方形ABCD中放入四个小正方形后形成一个中心对称图形，其中两顶点E，F分别在边BC，AD上，则放入的四个小正方形的面积之和为___ ．
【答案】22
【解析】
【分析】作GH⊥BC，证明△GHE∽△EMN，根据相似三角形的性质得到GH=2EM，HE=2MN ，根据正方形的性质列方程求出MN，根据勾股定理、正方形的面积公式计算，得到答案.
【详解】解：如图，作GH⊥BC，
则∠HGE+∠HEG=∠HEG+∠MEN=90°,
∴∠HGE=∠MEN，
∵∠GHE=∠EMN=90°，
∴△GHE∽△EMN，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
即：，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴四个小正方形的面积之和.
故答案为：22.
【点睛】本题考查是相似三角形的判定和性质、中心对称图形的概念，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键.
三、解答题（本题共10小题，共86分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据特殊角的三角函数计算即可．
详解】
=
=．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和二次根式的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
18. 已知和中，有,且和的周长之差为15厘米，求和的周长.
【答案】分别是30厘米和45厘米.
【解析】
【分析】根据已知的三边对应成比例,得到△ABC和△DEF相似,再根据相似三角形的周长之比等于相似比,得到△ABC和△DEF的周长之比,由和的周长之差为15厘米,可出△ABC和△DEF的周长的方程，可求出答案.
【详解】解：设和的周长分别是x厘米和y厘米.

①..
由题意可得： ②
由①式得 ③
将③式代入①式得：
...
将代入②式得：
...
答：和的周长分别是30厘米和45厘米.
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质,要求学生掌握相似三角形的相似比,周长比及面积比之间的关系,即相似三角形的对应边之比与周长之比都等于相似比,面积比等于相似比的平方.
19. 如图，在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，（正方形网格中，每个小正方形的边长为1）．
（1）以点为位似中心，在第一象限画出的位似图形，使与的位似比为；
（2）求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）12
【解析】
【分析】（1）把点、、的横纵坐标都乘以得到点、、的坐标，然后描点即可；
（2）用一个矩形的面积去减去三个直角三角形的面积去计算的面积．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
的面积．
【点睛】本题考查了作图—位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
20. 小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB．
【答案】旗杆的高AB为3米．
【解析】
【分析】证明△AOD∽△EFG，利用相似比计算出AO的长，再证明△BOC∽△AOD，然后利用相似比计算OB的长，进一步计算即可求解．
【详解】解：∵AD∥EG，
∴∠ADO=∠EGF．
又∵∠AOD=∠EFG=90°，
∴△AOD∽△EFG．
∴．
∴．
同理，△BOC∽△AOD．
∴．
∴．
∴AB=OA−OB=3（米）．
∴旗杆的高AB为3米．
【点睛】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．
21. 已知：如图，点，在线段上，是等边三角形，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长度．
【答案】（1）见解析 （2）2
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，由三角形的内角定理可得答案；
（2）根据相似三角形的性质及等边三角形的性质可得答案．
【小问1详解】
证明：为等边三角形，
．
，
，
．
，
，
，
．
【小问2详解】
解：，
，
为等边三角形，
设，
，
解得，
．
【点睛】此题考查的是相似三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
22. 为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、两地间的公路进行修建．如图，A、两地之间有一座山，汽车原来从A地到地需途经地沿折线行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线行驶，已知千米，，，
（1）开通隧道前，汽车从A地到地大约要走多少千米？
（2）开通隧道后，汽车从A地到地大约可以少走多少千米？（结果精确到千米）（参考数据：，）
【答案】（1）千米
（2）米
【解析】
【分析】（1）过点作，垂足为构造、，利用锐角三角函数关系及特殊角的三角函数值，根据的长，分别求出、、、的长．计算即可；
（2）计算 即可．
【小问1详解】
解：过点作，垂足为．
在中，，，
∴（千米），
在中，，
∴（千米），
∴ （千米），
答：开通隧道前，汽车从地到地大约要走千米．
【小问2详解】
解：在中，
，，
∴
（千米），
在中，，
∴ （千米），
∴
，
（千米）
（千米），
答：开通隧道后，汽车从地到地大约少走千米．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、直角三角形的三边关系等知识点，过点作，构造直角三角形是解决本题的关键．
23. 近两年，人们与新冠病毒进行着长期的抗争．每周末，学校都要对教室来进行消杀．已知消杀时，教室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成正比例；消杀后，与成反比例（如图所示）．现测得消杀8分钟结束时，教室内空气中每立方米的含药量为6毫克，请你根据题中所提供的信息，解答下列问题．
（1）消杀时关于的函数关系式为________，自变量的取值范围是________；消杀后与的函数关系式为________；
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消杀是否有效？为什么?
【答案】（1），；
（2）有效，理由见解析
【解析】
【分析】（1）消杀时，设y=kx(k≠0)，把点(8，6)代入即可，从图上即可得此时自变量x的取值范围；消杀后，设，把点(8，6)代入即可；
（2）把y=3分别代入正比例函数与反比例函数中，可求得对应的自变量x的值，即可得到起始与结束时间，从而可作出判断．
【小问1详解】
∵消杀时，与时间成正比例
∴设y=kx(k≠0)
把点(8，6)代入得：8k=6
解得：
∴
由图知此时自变量x的取值范围为
∵消杀后与成反比例
∴设
把点(8，6)代入反比例函数解析式中，得
∴m=48
∴
故答案为：，；
【小问2详解】
当y=3时，，则x=4；当y=3时，，则x=16
即消杀3分钟后开始有效，16分钟后失效
所以持续时间为：16-4=12（分钟）>10分钟
所以此次消杀有效
【点睛】本题是反比例函数的应用，考查了待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，求自变量的值，关键是确定函数关系式．
24. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm. 点P从点A出发，沿AB边以2 cm/s的速度向点B匀速移动；点Q从点B出发，沿BC边以1 cm/s的速度向点C匀速移动， 当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动，设运动的时间为t(s).
（1）当PQ∥AC时，求t的值；
（2）当t为何值时，△PBQ的面积等于cm 2.
【答案】（1）t=；（2）当t为2s或3s时，△PBQ的面积等于cm 2.
【解析】
【分析】（1）根据PQ∥AC得到△PBQ∽△ABC，列出比例式即可求解；
（2）解法一：过点Q作QE⊥AB于E，利用△BQE∽△BCA，得到，得到QE=t，根据S△PBQ =BP·QE=列出方程即可求解；
解法二：过点P作PE⊥BC于E，则PE∥AC，得到△BPE∽△BAC，则，求出PE=(10-2t).，利用S△PBQ =BQ·PE=列出方程即可求解.
【详解】（1）由题意得，BQ= tcm，AP=2 cm，则BP=（10—2t）cm
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm

∵ PQ∥AC， ∴ △PBQ∽△ABC，
∴ ，即 ，
解得 t=
（2）解法一:
如图3，过点Q作QE⊥AB于E，则∠QEB =∠C=90°.
∵ ∠B =∠B,∴ △BQE∽△BCA，
∴ ，即 ， 解得 QE=t.
∴ S△PBQ =BP·QE=， 即·(10-2t)·t =.
整理，得t2-5t+6=0. 解这个方程，得t1=2，t2=3.
∵ 0＜t＜5，∴ 当t为2s或3s时，△PBQ的面积等于cm 2.
解法二：过点P作PE⊥BC于E，则PE∥AC（如图4）.
∵ PE∥AC.
∴ △BPE∽△BAC，
∴ ，即 ， 解得 PE=(10-2t).
∴ S△PBQ =BQ·PE=， 即·t·(10-2t)=
整理，得t2-5t+6=0. 解这个方程，得t1=2，t2=3.
∵ 0＜t＜5，
∴ 当t为2s或3s时，△PBQ的面积等于cm 2.
【点睛】
此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理、适当构造辅助线进行求解.
25. 如图，一次函数（）的图象经过点，与轴交于点，与反比例函数（）的图象交于点．连接，且的面积为6．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）结合图象直接写出当时，的解集；
（3）设点是反比例函数（）的图象上一点，点是直线上一点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，求出点的坐标．
【答案】（1）y=x+6，；（2）0＜x＜2；（3）（4，10）或（，）或（-4，2）
【解析】
【分析】（1）由一次函数的图象经过点，得，解出，得一次函数解析式为；当时，，由的面积为6．得，求出，写出点坐标，即可求解；
（2）结合图象可知当时，解集是；
（3）①当为边时，如图1，且，设点坐标为，则点的坐标为，得，当时，解得或舍去）此时点坐标为；当时，解得或（负值舍去），此时点坐标为，；②当为对角线时，如图2，则与互相平分，设点坐标为，点的坐标为，由中点坐标公式得，解得，，此时点坐标为，即可求解．
【详解】解：（1）一次函数的图象经过点，
，得，
一次函数解析式为；
当时，，
，
的面积为6．
，
，
当时，，
点坐标，
反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的解析式为：；
（2）结合图象可知当时，的解集是；
（3）①当为边时，如图1，且，
设点坐标为，则点的坐标为，
，
，
当时，
解得或舍去）此时点坐标为；
当时，
解得或（负值舍去），此时点坐标为，；
②当为对角线时，如图2，则与互相平分，
设点坐标为，点的坐标为，
由中点坐标公式得，
解得，，此时点坐标为，
综上．点坐标为或，或．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数关系式求法，反比例函数一次函数与平行四边形的综合运用，关键是分类讨论，①当CO为边时；②当CO为对角线时．
26. 如图1，在中，于点D，在DA上取点E，使，连接BE、CE．
（1）直接写出CE与AB的位置关系；
（2）如图2，将绕点D旋转，得到（点，分别与点B，E对应），连接，在旋转的过程中与的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致?请说明理由；
（3）如图3，当绕点D顺时针旋转30°时，射线与AD、分别交于点G、F，若，求的长．
【答案】（1）CE⊥AB，理由见解析
（2）一致，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠DAB=45°，∠DCE=∠DEC=∠AEH=45°，可得结论；
（2）通过证明，可得，由余角的性质可得结论；
（3）由等腰直角的性质和直角三角形的性质可得，即可求解．
【小问1详解】
如图，延长CE交AB于H，
∵∠ABC=45°，AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，∠ABC=∠DAB=45°，
∵DE=CD，
∴∠DCE=∠DEC=∠AEH=45°，
∴∠BHC=∠BAD+∠AEH=90°，
∴CE⊥AB；
【小问2详解】
在旋转的过程中与的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是一致的，理由如下：
如图2，延长交于H，
由旋转可得：CD=，=AD，
∵∠ADC=∠ADB=90°，
∴，
∵，
∴,
，
∵+∠DGC=90°，∠DGC=∠AGH，
∴∠DA+∠AGH=90°，
∴∠AHC=90°，
；
【小问3详解】
如图3，过点D作DH于点H，
∵△BED绕点D顺时针旋转30°，
∴，
，
，
∴AD=2DH，AH=DH=，
，
由（2）可知：，
，
∵AD⊥BC，CD=，
∴DG=1，CG=2DG=2，
∴CG=FG=2，
，
∴AG=2GF=4，
∴AD=AG+DG=4+1=5，
∴．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质等知识，证明三角形相似是解题的关键．