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    2022-2023学年山东省济南市历下区九年级上学期数学期中试题及答案
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    2022-2023学年山东省济南市历下区九年级上学期数学期中试题及答案

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    这是一份2022-2023学年山东省济南市历下区九年级上学期数学期中试题及答案,共33页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题,选做题等内容,欢迎下载使用。

    一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
    1. 若反比例函数的图像经过点,则的值是( )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】将代入函数中,即可求出结果;
    【详解】解:∵反比例函数的图象经过点

    故选:C.
    【点睛】本题考查了反比例函数的性质,熟练掌握反比例函数图像上的点的坐标与函数的表达式的关系是解题的关键.
    2. 位于大明湖畔的超然楼是一座拥有几百年历史的名楼,并在年入选“中国名楼”.超然楼与著名的黄鹤楼相距约千米,画在一副图上是6厘米,这幅图的比例尺是( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】由比例尺=图上距离:实际距离,即可解答.
    【详解】因为千米厘米,
    所以比例尺为:.
    故选:B.
    【点睛】本题考查了比例尺的计算,掌握比例尺的概念是关键,注意图上距离与实际距离的单位要统一.
    3. 任意的两个( )不一定是相似图形.
    A. 等边三角形B. 等腰直角三角形C. 矩形D. 正方形
    【答案】C
    【解析】
    【分析】分别根据相似图形的定义逐项判断即可.
    【详解】因为任意两个等边三角形的对应边成比例,对应角相等,是相似图形,所以A不符合题意;
    因为任意两个等腰直角三角形的对应边成比例,对应角相等,是相似图形,所以B不符合题意;
    因为任意两个矩形的对应边不一定成比例,对应角相等,不是相似图形,所以C符合题意;
    因为任意两个正方形的对应边成比例,对应角相等,是相似图形,所以D不符合题意.
    故选:C.
    【点睛】本题主要考查了相似图形的判断,掌握定义是解题的关键.即对应角相等,对应边成比例的两个图形是相似图形.
    4. 一个几何体如图水平放置,它的俯视图是( )
    B.
    C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】俯视图是从上往下看,能看到的面与线用实线表示,看不到又确实存在的用虚线表示,由此即可求解.
    【详解】解:根据几何体俯视图的特点得,能看到的是顶面,
    故选:A.
    【点睛】本题主要考查的是立体几何的三视图,理解各视图的特点是解题的关键.
    5. 如图,在中,,,分别是边,,上的点,且,,那么的值为( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】,,可证四边形是平行四边形,则,,,根据相似三角形的性质,边相等的关系即可求解.
    【详解】解:∵,,
    ∴四边形是平行四边形,则,,
    ∴,,
    ∴,
    ∴,
    ∵,,,
    ∴,即,
    故选:.
    【点睛】本题主要考查平行四边形的判断和性质,相似三角形的判断和性质,掌握平行四边形的性质,相似三角形的性质是解题的关键.
    6. 如图,在和中,,且,,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】先根据三角形的内角和定理求出的度数,再证明,根据相似三角形的性质即可求解.
    【详解】在中,,,
    ,
    在和中,



    故选:B.
    【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及相似三角形的判定和性质,熟练掌握知识点是解题的关键.
    7. 如图,图1是装满了液体的高脚杯(数据如图),用去部分液体后,放在水平的桌面上如图2所示,此时液面距离杯口的距离( )
    A. B. 2cmC. D. 3cm
    【答案】A
    【解析】
    【分析】根据图示可知装满了液体的高脚杯中的液体可以看作是三角形(图示见详解),用去部分液体后剩下的液体看作是三角形,因为容器一样,则对应边相等,根据平行线分线段成比例,三角形相似的性质即可求解.
    【详解】解:如图所示,
    ,,,
    根据题意得,是等腰三角形,则过点作于,交于点,
    ∴根据等腰三角形的性质可知,垂直平分,垂直平分,
    在,中,,且,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,即液面距离杯口的距离h,
    故选:.
    【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例,相似三角形的判断和性质,掌握平行线分线段成比例是解题的关键.
    8. 若点都在反比例函数图象上,则,,的大小关系是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】将点分别代入反比例函数,求得,,的值后,再来比较一下它们的大小.
    【详解】解:∵点都在反比例函数的图象上,


    故选:D.
    【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,所有反比例函数图象上的点的坐标都满足该函数的解析式.
    9. 图1是小玉制作的简易投石机的示意图,是杠杆,点A为支点,,支架垂直于地面,且.如图2,当投石机准备时,点G恰好与点B重合,且此时和互相垂直,线段()
    A. 4B. C. 6D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】先求出及的长,再证明,再根据相似三角形的性质列比例式求解即可.
    【详解】解:





    ∴=
    ∵=,




    故选:B.
    【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,勾股定理,等腰三角形的性质,熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键.
    10. 小明同学根据函数的学习经验,对函数进行探究,小明通过列表、描点、连线,画出该函数的图象,观察函数图象,下列关于函数性质的描述正确的是( )
    ①当时,y随x的增大而增大;
    ②当时,y随x的增大而减小;
    ③当时,函数值y取得最大值.
    ④过点(0,m)作直线l平行于x轴,若直线l与函数y的图象有两个交点,则m的取值范围是.
    ①②③B. ①②④
    C. ②③④D. ①②③④
    【答案】D
    【解析】
    【分析】画出函数图像逐一判断结论.
    【详解】画出函数的图像为:
    ①当时,函数的图像中y随x的增大而增大,①正确;
    ②当时,函数图像上y随x的增大而减小,②正确;
    ③当时,函数图像有最高点,即有函数值y最大,③正确;
    ④由图像可知当l函数y的图象有两个交点时,m的取值范围是,④正确;
    所以①②③④都正确.
    故选D.
    【点睛】本题考查函数的图像和性质,正确画出函数的图像是解题的关键.
    第Ⅱ卷(非选择题 共110分)
    二、填空题(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)
    11. a,b,c,d是成比例线段,,,,线段a的长度为______.
    【答案】2
    【解析】
    【分析】由题意可得,由比例的基本性质即可求得线段a的长度.
    【详解】解:由题意可得,

    即,
    解得,
    故答案为:2.
    【点睛】本题考查了比例的基本性质,掌握此性质是关键.
    12. 如果,则______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】利用比例的基本性质变形为,由,直接代入即可.
    【详解】∵,
    ∴,
    ∴,
    故答案为:.
    【点睛】本题考查了比例的基本性质,由比例的基本性质进行变形是关键.
    13. 如图,太阳光线与地面成30°的角,照射在小木棒AB上,小木棒在地面上的投影CD的长是8cm,则小木棒AB的长是______cm.
    【答案】4
    【解析】
    【分析】过点D作于E,在中利用对边等于斜边一半即可求得的长,从而求得木棒的长.
    【详解】如图,过点D作于E,
    ∵,
    ∴,
    在中,,
    由题意知,,
    故答案为:4.
    【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,作从而转化为直角三角形问题是解题的关键.
    14. 已知点在函数(是常数,)的图象上,若将点C先向下平移个单位,再向左平移个单位,得点D,点D恰好落在此函数的图象上,的值是______.
    【答案】##
    【解析】
    【分析】先表示出点的坐标,根据点、点均在函数上,构造方程求解即可;
    【详解】解:点向下平移个单位,再向左平移个单位得;

    ∵点、点均在函数上
    ∴,

    解得:
    故答案为:
    【点睛】本题考查了反比例函数的性质、平面直角坐标系中点的平移变换;熟练掌握反比例函数图像与函数表达式的关系是解题的关键.
    15. 在平面直角坐标系中,对于不在坐标轴上的任意一点,我们把点称为点P的“逆倒数点”.如图,在矩形中,点B的坐标为,反比例函数的图象经过矩形对角线交点M.点D是该反比例函数图象上的点,点E是对角线上的一点,且点E是点D的“逆倒数点”,点E的坐标为______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】取线段的中点F,连结,由矩形性质及三角形中位线定理可求得点M的坐标,从而可求得反比例函数的解析式;设点的坐标,则可得点E的坐标,求出直线的解析式,把点E的坐标代入直线解析式中即可求得点E的坐标.
    【详解】取线段的中点F,连结,如图,
    ∵四边形为矩形,
    ∴M为的中点,
    ∴为的中位线,
    ∴,,
    ∵,即,,
    ∴,,
    ∴,
    ∵点M在反比例函数的图象上,
    ∴,即,
    ∴反比例函数解析式为;
    由题意设,则,
    设直线解析式为,把点的坐标代入得:,
    ∴,即直线解析式为,
    ∵点E在直线上,
    ∴,
    解得:或(舍去),
    所以点E的坐标为;
    故答案为:.
    【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质,三角形的中位线性质,矩形的性质、正比例函数解析式等知识,理解题中的“逆倒数点”是解题的关键.
    16. 如图,在菱形ABCD中,,,点M为边中点,点E为菱形四条边上的一个动点,沿的方向运动,连接,以为边作直角三角形,其中,,在点E运动的过程中,线段长度的最大值为______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】根据点E在菱形的边、、、的运动,可确定点F的运动路径,即可求得的最大值.
    【详解】如图,当点E在上时,则点F在射线运动,当运动到点B时,点F点运动到点,且;当点E在上时,则点F在线段上运动,且;当点E在上时,则点F在线段上运动,且;当点E在上时,,则点F在线段上运动,且,;所以点F的运动路径是一个菱形,其边长为4,当点E与点D重合,点F与点重合时,最长;连结;
    ∵在菱形ABCD中,,,点M为边中点,
    ∴,,
    ∴,
    由勾股定理得:,
    ∴在中,;
    所以线段长度的最大值为.
    故答案为:.
    【点睛】本题考查了菱形的性质与判定,等腰三角形的性质,勾股定理等知识,确定点F的运动路径是解题的关键与难点.
    三、解答题(本大题共10题,满分86分)
    17. 如图,在地面上竖直安装着、、三根立柱,在同一时刻同一光源下立柱、形成的影子为与.
    (1)判断此光源下形成的投影是:______(填“平行”或“中心”)投影;
    (2)标出光源位置并画出立柱在此光源下所形成影子.
    【答案】(1)中心 (2)见解析
    【解析】
    【分析】(1)根据在同一时刻同一光源下立柱、形成的影子为与,连接、并延长交于点,据此判断即可;
    (2)连接并延长交直线于,于是得到结论.
    【小问1详解】
    解:如图所示:此光源下形成的投影是:中心投影,
    故答案为:中心;
    【小问2详解】
    如图所示,线段为立柱在此光源下所形成的影子.
    【点睛】本题考查了中心投影,正确的作出图形是解题的关键.
    18. 如图,2022年国际世界乒乓球锦标赛的吉祥物是一只大熊猫.这只大熊猫的头身比接近黄金比.小兰将熊猫的头画成,熊猫的身体画成,与的直径的比按照黄金比画就,若的直径为4,请计算的周长.
    【答案】
    【解析】
    【分析】先利用黄金分割的定义求出的直径,然后再利用圆的周长公式,进行计算即可解答.
    【详解】解:与的直径的比按照黄金比画,的直径为4,
    的直径,
    的周长,
    周长为.
    【点睛】本题考查了黄金分割,解题的关键是熟练掌握黄金分割的定义.
    19. 如图,点B、C在线段上,且,,是边长为6的等边三角形.
    求证:.
    【答案】见解析
    【解析】
    【分析】根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似,即可证明.
    【详解】证明: 是边长为6的等边三角形,
    ,,

    又,,
    ,,


    【点睛】本题主要考查相似三角形的判定,掌握两边成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键.
    20. 如图,在平面直角坐标系中,A,B两点的坐标分别为,.现以原点O为位似中心,在y轴左侧将放大到原来的2倍,并画出放大后的.
    (1)请画出,并直接写出的坐标;
    (2)求出的长.
    【答案】(1)图见解析,
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)由于所作位似图形与在位似中心的两侧,只要把A、B两个点的横纵坐标分别乘,即可得、的坐标,然后描出点,再依次连结各点即可得到求作的位似图形;
    (2)由点的坐标,运用勾股定理即可求得的长.
    【小问1详解】
    解:如图,即为所求做,.
    【小问2详解】
    ∵,
    ∴.
    【点睛】本题考查了作位似图形,勾股定理等知识,当放大倍数为k时,若所作的位似图形与原图形在位似中心的同侧,则放大后的点的两个坐标乘k,若所作的位似图形与原图形在位似中心的异侧,则放大后的点的两个坐标乘.
    21. 已知图中的曲线是反比例函数y=(m为常数)图象的一支.
    (1)根据图象位置,求m的取值范围;
    (2)若该函数的图象任取一点A,过A点作x轴的垂线,垂足为B,当△OAB的面积为4时,求m的值.

    【答案】(1)m>5;(2)m=13.
    【解析】
    【分析】(1)由反比例函数图象位于第一象限得到m﹣5大于0,即可求出m的范围;
    (2)根据反比例函数系数k的几何意义得出(m﹣5)=4,解得即可.
    【详解】解:(1)∵这个反比例函数的图象分布在第一、第三象限,
    ∴m﹣5>0,
    解得m>5;
    (2)∵S△OAB=|k|,△OAB的面积为4,
    ∴(m﹣5)=4,
    ∴m=13.
    【点睛】此题考查了反比例函数系数k的几何意义,反比例函数的图象与性质,根据系数k的几何意义得出(m−5)=4是解题的关键.
    22. 1896年,挪威生理学家古德贝发现,每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点,这就导致每个人在蒙上眼睛行走时,虽然主观上沿某一方向直线前进,但实际上走出的是一个大圆圈!这就是有趣的“瞎转圈”现象.经研究,某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径/米是其两腿迈出的步长之差/厘米()的反比例函数,与之间有如下关系:
    请根据表中的信息解决下列问题:
    (1)直接写出与之间的函数表达式是______;
    (2)当某人两腿迈出的步长之差为厘米时,他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为______米;
    (3)若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米,则其两腿迈出的步长之差最多是多少厘米?
    【答案】(1)
    (2)
    (3)两腿迈出的步长之差最多是厘米
    【解析】
    【分析】(1)某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径/米是其两腿迈出的步长之差/厘米()的反比例函数,设反比例函数的解析式为,并将表格中的数据代入即可求解;
    (2)某人两腿迈出的步长之差为厘米代入反比例函数解析式即可求解;
    (3)某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米,代入反比例函数解析式即可求解.
    【小问1详解】
    解:根据题意,设反比例函数解析式为,当时,,
    ∴,即,
    ∴与之间的函数表达式是.
    【小问2详解】
    解:某人两腿迈出的步长之差为厘米,即,
    ∴,
    ∴某人两腿迈出的步长之差为厘米时,他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为米.
    【小问3详解】
    解:某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米,将代入反比例函数,
    ∴,解方程得,,
    ∵当时,y随x的增大而减小,
    ∴两腿迈出的步长之差最多是厘米.
    【点睛】本题主要考查反比例函数与实际的综合应用,理解反比例函数的定义,及图像的特点是解题的关键.
    23. 伴随着每周的升旗仪式,同学们想到用所学知识测量校园内的旗杆的高度.曼曼找来了一根2米长的杆子竖直立在自己(线段)和旗杆(线段)之间,保证自己的眼睛C、杆顶E、旗杆顶端A,三点恰好在一条直线上(如图).可测得曼曼的眼睛距地面的高度为1.5米,脚跟到杆底的距离为1.5米,杆底距离旗杆底部长度是46.5米,求旗杆的高度.
    【答案】旗杆的高度为米
    【解析】
    【分析】过点C作,根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论.
    【详解】解:如图,过点C作,分别交,于点G,H,
    ∵,
    ∴,,且,
    ∴,
    ∴,
    ∵米,(米),
    (米).
    ∴米,则(米).
    答:旗杆的高度为米.
    【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,正确地作出辅助线是解题的关键.
    24. 如图,直线与双曲线交于,两点,直线与双曲线在第一象限交于点,连接.
    (1)求点的坐标;
    (2)根据函数图像,直接写出不等式的解集是______.
    (3)求的面积.
    【答案】(1)
    (2)或
    (3)
    【解析】
    【分析】(1)将点坐标代入直线解析式,求出直线解析式,再把点的坐标代入,即可求解;
    (2)根据函数图像,即可求解;
    (3)根据题意求出的直线方程,由此可求出点的坐标,根据点,点的坐标求出所在的直线方程,并延交轴于,设直线交轴于,构造,,,即可求出三角形的各边长的关系,根据,由此即可求解.
    【小问1详解】
    解:将代入,得,,
    ∴,即直线解析式:,
    将代入,得,,
    ∴,即.
    【小问2详解】
    解:根据函数图像,当或时,直线在双曲线的上方,
    ∴不等式的解集是或;
    【小问3详解】
    解:已知点,点,设直线的解析式为,
    ∴,且直线与双曲线在第一象限交于点,即,
    ∴,解方程组得,,即,且,,
    设所在位置的直线解析式为,
    ∴,解方程组得,即所在位置的直线解析式为,
    ∴如图所示,延长交轴于,直线,交轴于,
    ∴,,,,,
    ∴,,,点到轴的距离是,点到轴的距离是,点到轴的距离是,
    ∴,即,
    ∴的面积为.
    【点睛】本题主要考查一次函数图形,反比例图像综合应用,掌握一次函数解析式的求解,反比例函数解析式的求解,以及图像上点坐标的特点是解题的关键.
    25. 如图,把两块全等的等腰直角三角板和叠放在一起,使三角板的锐角顶点与三角板的斜边中点重合,其中,,.把三角板固定不动,三角板由图1所示的位置绕点沿顺时针方向旋转,设旋转角为,其中.设射线与射线相交于点,射线与线段相交于点(当三角板旋转到图3所示位置时,线段交线段于点).
    (1)如图1,当射线经过点,即点与点重合时,易证.此时,______;
    (2)当三角板转到如图2的位置时,的值是否改变?说明你的理由;
    (3)在三角板旋转的过程中,两三角板重合部分的面积是否可能为?若可能,直接写出此时的长;若不可能,请说明理由.
    【答案】(1)
    (2)不变,
    (3)或
    【解析】
    【分析】(1)两块全等的等腰直角三角板和叠放在一起,点与三角板的斜边中点重合,其中,,,可求出,,根据相似三角形的性质即可求解;
    (2)是等腰直角三角形,且点是边中点,,可求出的长,是等腰直角三角形,,可证,根据相似三角形的性质即可求解;
    (3)由(1),(2)的结论,过点作于,根据相似三角形的性质和函数解析式得最值即可求解.
    【小问1详解】
    解:根据题意,为的垂直平分线,点与点重合,
    ∴,且平分,则,且,
    ∴,
    ∵,
    ∴,即,
    ∴,
    故答案为:.
    【小问2详解】
    解:不变,.
    理由:∵是等腰直角三角形,且点是边中点,
    ∴在和中,,
    且,
    ∵是等腰直角三角形,
    ∴,
    ∵,
    ∴,

    ∴,
    ∴.
    【小问3详解】
    解:如图所示,过点作于,此时重叠部分为,
    设为,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,即,解方程得,,
    ∴,设重叠部分的面积为,
    ∴,
    当时,代入得,,整理得,,
    ∵或,
    ∴存在使面积为,
    ∴或.
    【点睛】本题主要考查图形变换,等腰直角三角形的性质、相似三角形相似判定与性质例,掌握图形变换时三角形相似的判定和性质是解题的关键.
    26. 如图1,在平面直角坐标系中,矩形的边,分别在轴和轴正半轴上,连接.将绕点逆时针旋转,得到,点的对应点为点,点的对应点为点,且点在轴正半轴上,与相交于点,反比例函数的图象经过点,交于点,点的坐标是.
    (1)如图1,k=______,点E的坐标为______;
    (2)若P为第三象限反比例函数图象上一点,连接,当线段被y轴分成长度比为的两部分时,求点P的横坐标;
    (3)我们把有两个内角是直角,且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”(如图2).设M是第三象限内的反比例函数图象上一点,N是平面内一点,连接,当四边形是“完美筝形”时,直接写出M,N两点的坐标.
    【答案】(1)8;
    (2)或
    (3),
    【解析】
    【分析】(1)在中,,在中,,解得:,即可求解;
    (2)当线段被轴分成长度比为的两部分时,则或2,即或2,即可求解;
    (3)证明,则,求出的坐标为,进而求解.
    【小问1详解】
    解:将点的坐标代入反比例函数表达式得:,解得:,
    则反比例函数表达式为:,
    由图形的旋转知:,,
    在中,,
    在中,,解得:,
    当时,,故点的坐标为,
    故答案为:8,;
    【小问2详解】
    设交轴于点,
    当线段被轴分成长度比为的两部分时,则或2,
    过点作轴于点,

    或2,

    解得或1,
    即点的横坐标为或;
    【小问3详解】
    过点作轴的平行线交过点与轴的平行线于点,交过点与轴的平行线于点,
    由(1)知,点、、,设点,
    ,,

    ①,
    ②,
    联立上述①②并解得,
    即点的坐标为,
    由点、的坐标得,直线得表达式为③,
    根据筝形的定义,设交于点,则是的中点,
    则设直线的表达式为,
    将点的坐标代入上式得:,解得,
    故直线得表达式为④,
    联立③④并解得,
    即点的坐标为,,
    是的中点,
    由中点坐标公式得,点的坐标为,,
    即点、的坐标分别为、,.
    【点睛】本题是反比例函数综合题,考查了一次函数的应用、反比例函数的应用、解直角三角形和待定系数法等知识,灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.
    四、选做题(本大题共1题,满分25分)
    27. (1)小明用红色和蓝色对一个正方体的所有顶点染色,使得对任意一个顶点,其颜色与相邻三个顶点中占多数的颜色相同,则小明染色方案的总数是( )
    A.7 B.8 C.9 D.10
    (2)给定正实数a,b且.若实数x,y满足,那么:的最大值与最小值的和是( )
    A. B. C. D.
    (3)如图已知中三条内角平分线交于一点I,垂足为D,过D且垂直于的直线分别交直线、于G、H.求证:.
    【答案】(1)B;(2)C;(3)见详解
    【解析】
    【分析】(1)分类讨论:全红全蓝满足要求;再根据任意一个顶点的颜色与相邻三个顶点中占多数的颜色相同,可知此时正方体的四个顶点是四红四蓝,且四个红点在一个面,四个蓝点在与其对应的一个面上,据此即可作答;
    (2)由,可得,即有,即有,根据,可得,即可得;根据 ,同理可得,则问题得解;
    (3)过I点作于F点,过I点作于E点,在上取点K,使得,在的延长线上取点T,使得,连接,,,,,,先证明点I、D、C、E四点共圆,即有,根据角平分线的定义可得,即可得,进而有,,再证明,即有,,即可得点G与点K重合,则有;同理先证明点I、D、B、F四点共圆,再证明,接着证明,即可得点T与点H重合,即有,随之可得,是等腰三角形,问题随之得解.
    【详解】(1)解:根据题意可知,正方体八个顶点全部屠城全红或者全蓝满足要求,此时有2种方案;
    当使用两种颜射时,可知此时正方体的四个顶点是四红四蓝,且四个红点在一个面,四个蓝点在与其对应的一个面上,如图,
    根据正方形有六个面,可得四个红色的点可以在6个不同的面上,对应的蓝色的点也相应的有6个不同的面可以放置,此时有6种方案,
    即总的方案有8种,
    故选:B.
    (2)∵,a,b为正实数且,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴的最大值为,
    ∵,a,b为正实数且,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴的最小值为,
    ∴,
    故选:C.
    (3)证明:过I点作于F点,过I点作于E点,在上取点K,使得,在的延长线上取点T,使得,连接,,,,,,
    根据题意可知,平分、,
    即点I是的内心,,,
    ∴平分,
    ∴,
    ∵,,
    ∴,,
    ∴点I、D、C、E四点共圆,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,,
    ∴,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,,
    ∵,,
    ∴,
    ∴点G与点K重合,
    ∴,
    同理可得:点I、D、B、F四点共圆,
    ∴,
    ∵,

    ∵,
    ∴,
    ∴,,
    ∴,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,,
    ∵,,
    ∴,
    ∴点T与点H重合,
    ∴,
    ∴平分,
    ∴,
    ∵,,
    ∴,,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴是等腰三角形,
    ∵,
    ∴.
    【点睛】本题考查了立体图形的认识,完全平方公式与不等式的关系,四点共圆,圆周角定理以及相似三角形的判定与性质等知识,题目的难点在第(3)问,构造合理的辅助线是解答本题的关键./厘米
    /米
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