2022-2023学年山东省济南市章丘区九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2022-2023学年山东省济南市章丘区九年级上学期数学期中试题及答案，共29页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

（选择题部分共40分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 下列判断中不正确的是（ ）
A. 四个角相等的四边形是矩形B. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形D. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
【答案】B
【解析】
【分析】由矩形的判定可判断A，由正方形的判定可判断B，由菱形的判定可判断C，由平行四边形的判定可判断D，从而可得答案．
【详解】解：四个角相等的四边形是矩形，判断正确，故A不符合题意；
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故原判断不准确，故B符合题意；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判断正确，故C不符合题意；
两组对边分别平行的四边形是平行四边形，判断正确，故D不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定，矩形，菱形，正方形的判定，掌握“特殊四边形的判定方法”是解本题的关键．
2. 不解方程，判断方程2x2﹣4x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A. 没有实数根B. 有两个相等实数根
C. 有两个不相等实数根D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】把a=2，b=-4，c=-1代入判别式Δ=b2-4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．
【详解】解：∵a=2，b=-4，c=-1，
∴Δ=b2-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=24＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式Δ=b2-4ac．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
3. 若，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知可设，，代入原式，计算化简即可．
【详解】∵，
∴设，，
将，，代入中得：
，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，运用分式基本性质进行正确运算是解题的关键．
4. 某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，用列表法求出概率即可．
【详解】根据题意，设三个宣传队分别为列表如下：
总共由9种等可能情况，她们恰好选择同一个宣传队的情况有3种，
则她们恰好选到同一个宣传队的概率是．
故选C
【点睛】本题考查了用列表法求概率，掌握列表法求概率是解题的关键．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比．
5. 如图，DE∥BC，且：：，，则的长为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由平行线分线段成比例定理得，即可得出结论．
【详解】解：，
，
即，
解得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
6. 某省加快新旧动能转换，促进企业创新发展．某企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3990万元．若设月平均增长率是x，那么可列出的方程是（ ）
A. 1000（1+x）2＝3990
B. 1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3990
C. 1000（1+2x）＝3990
D. 1000+1000（1+x）+1000（1+2x）＝3990
【答案】B
【解析】
【分析】设月平均增长的百分率是x，则该超市二月份的营业额为100（1+x）万元，三月份的营业额为100（1+x）2万元，根据该超市第一季度的总营业额是3990万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设月平均增长的百分率是x，则该超市二月份的营业额为100（1+x）万元，三月份的营业额为100（1+x）2万元，
依题意，得1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3990．
故选B．
【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是熟知增长率问题的求解.
7. 如图，在菱形中，对角线，分别为16和12，于点，则（ ）
A. B. C. 10D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据菱形的性质和面积公式，即可求出的值．
【详解】∵四边形是菱形
∴且平分对角线
又∵，
∴AO=8,BO=6,
∴
∵菱形的面积等于对角线乘积的一半，等于底乘高
∴
∴
故选：A．
【点睛】本题考查菱形的性质和面积公式，熟练掌握菱形的性质和面积公式是解题的关键．
8. 下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】根据勾股定理，AB=，
BC=，
AC=，
所以△ABC的三边之比为=，
A、三角形的三边分别为2，，，三边之比为2：=，故本选项错误，不符合题意;
B、三角形的三边分别为2，4，，三边之比为2：4：2=1：2：，故本选项正确，符合题意；
C、三角形的三边分别为2，3，，三边之比为2：3：，故本选项错误，不符合题意；
D、三角形的三边分别为，，4，三边之比为：4，故本选项错误，不符合题意．
故选：B．
9. 如图，在矩形ABCD中，AB＝24，BC＝12，点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形．则AE的长是（ ）
A. 15B. 20C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接EF交AC于点O，连接CE，证明△CFO≌△AEO，可得CF＝AE，再根据勾股定理可得CE的长，进而可得结论．
【详解】解：如图，连接EF交AC于点O，连接CE，
∵四边形EGFH是菱形，
∴EF⊥GH，OE＝OF，DCAB，
∴CF＝CE，，
在△CFO和△AEO中，，
∴△CFO≌△AEO（AAS），
∴CF＝AE，
∴CE＝AE，
∴BE＝AB−AE＝24−CE，
在Rt△CEB中，根据勾股定理，得，
∴，
解得CE＝15，
∴AE＝15，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，解决本题的关键是证明△CFO≌△AEO，求出CF＝AE．
10. 如图，在矩形纸片ABCD中，，，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕，再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段上的点处，EF为折痕，连接．若，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，设，用表示、，再证明，由勾股定理解题，通过进行等量代换，列出一元二次方程，利用因式分解法便可求得的值，再进一步解得，即可解题．
【详解】连接，
设，则，，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，，
当时，，，
不符合题意，故舍去，
当时，，，
，
，
故答案为：B．
【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、因式分解法解一元二次方程等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
（非选择题部分共110分）
二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 关于的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是__________．
【答案】-3
【解析】
【分析】由题意可把x=2代入一元二次方程进行求解a的值，然后再进行求解方程的另一个根．
【详解】解：由题意把x=2代入一元二次方程得：
，解得：，
∴原方程为，
解方程得：，
∴方程的另一个根为-3；
故答案为-3．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解及其解法，熟练掌握一元二次方程的解及其解法是解题的关键．
12. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠AOB＝60°，AC＝2，则边BC长为________．
【答案】
【解析】
【分析】先证明△AOB是等边三角形，得∠BAC＝60°，后运用sin60°=计算即可．
【详解】∵ 四边形ABCD是矩形，
∴AO=BO，
∵∠AOB＝60°，AC＝2，
∴△AOB是等边三角形，∠BAC＝60°，
∴sin60°=
∴BC=AC sin60°==，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，熟练掌握等边三角形的判定和性质，灵活运用特殊角的三角函数值是解题的关键．
13. 梭梭树因其顽强的生命力和防风固沙的作用，被称为“沙漠植被之王”．新疆北部某沙漠2020年有16万亩梭梭树，经过两年的人工种植和自然繁殖，2022年达到25万亩，求这两年的平均增长率 _____．
【答案】25%
【解析】
【分析】设这两年的平均增长率为x，利用新疆北部某沙漠2022年梭梭树的种植面积＝新疆北部某沙漠2020年梭梭树的种植面积×，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设这两年的平均增长率为x，依题意得：，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝-2.25（不符合题意，舍去），
∴这两年的平均增长率为25%．
故答案为：25%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是_________．
【答案】且##k≠-2且k≥-3
【解析】
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：Δ=4+4（k+2）≥0，
∴解得：k≥-3，
∵k+2≠0，
∴k≥-3且k≠-2，
故答案为：且．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
15. 如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH.若OB=4，S菱形ABCD=24，则OH的长为______________.

【答案】3
【解析】
【分析】由四边形ABCD是菱形，OB=4，根据菱形性质可得BD=8，在根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半求得AC=6，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求得OH的长.
【详解】∵四边形ABCD是菱形，OB=4，
∴OA=OC，BD=2OB=8；
∵S菱形ABCD=24，
∴AC=6；
∵AH⊥BC，OA=OC，
∴OH=AC=3.
故答案为3.
【点睛】本题考查了菱形的性质及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的性质，根据菱形的面积公式（菱形的面积等于两条对角线乘积的一半）求得AC=6是解题的关键.
16. 如图，点F，G分别在正方形ABCD的边BC，CD上，E为AB中点，连结ED，正方形FGQP的边PQ恰好在DE上，记正方形ABCD面积为，正方形FPQG面积为，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据，设，，根据正切，求得，根据，求得，之比，即可求得面积比．
【详解】四边形，FGQP是正方形，
，
，，
E为AB中点，
，
，
设，，
则，，
，，
，，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形，正方形的性质，求得，的比值是解题的关键．
17. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）根据直接开平方法可进行求解；
（2）根据公式法可进行求解方程．
【小问1详解】
∵
∴
∴，
∴，
【小问2详解】
∵，，，
∴，
∴，
∴，
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
18. 如图，、相交于点，连接、，且，，，，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】先证明得，从而即可求解．
【详解】解：，，
，
，
，
的长为．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
19. 如图，点，分别在菱形的边，上，且．求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】根据菱形的性质得出，，结合已知条件，证明 ，根据全等三角形的性质即可求解．
【详解】∵四边形是菱形，
∴，，
又∵，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
20. 如图，在一块长13m，宽7m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，若栽种花草的面积是，则道路的宽应设计为多少m?
【答案】
【解析】
【分析】先把两条小路平移靠长方形的边，设小路的宽应为米，则空白部分长方形的长为，宽为，再利用栽种花草的面积是，列方程，解方程并检验即可
【详解】如图，把两条垂直的小路通过平移得到如下图形，
设小路的宽应为米，则空白部分长方形的长为m，宽为m，
则
整理得：
解得：，，
经检验：不符合题意，
∴，
答：小路的宽应为1米
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，掌握“利用平移的性质与利用一元二次方程解决图形面积问题”是解本题的关键
21. 如图，O为矩形ABCD对角线AC的中点，EF⊥AC于点O，交AD，BC于点E，F，连接AF，CE．
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若AB=2，BC=4，求AE的长．
【答案】（1）见解析 （2）2.5
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质可知AD//BC，则，再根据，，证得，得出，再根据平行四边形的判定和菱形的判定得出结论；
（2）设，则，在Rt△ABF中，根据勾股定理列方程求出x，即可得到答案．
【小问1详解】
证明：四边形是矩形，
，
，
点是矩形的对角线的中点，
，
，
（AAS），
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形为菱形；
【小问2详解】
解：四边形是菱形，
，
设，则，
在Rt△ABF中，，
根据勾股定理得，，即，
解得：，
，
．
【点睛】本题考查了菱形的判定，矩形的性质，勾股定理以及全等三角形的判定和性质等知识，熟记矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等．
22. 如图，正方形中，E，F分别是边，上的点，，，连接并延长交的延长线于点G．
（1）求证：；
（2）若正方形的边长为6，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）15
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质及相似三角形的判定定理证明即可；
（2）由正方形及平行线的性质可得，再由对顶角相等，可得，利用相似三角形的对应边成比例即可得．
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，正方形的边长为6，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查正方形的性质及相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题关键．
23. 某中学在艺术节期间向全校学生征集书画作品，美术王老师从全校随机抽取了四个班级记作A、B、C、D，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图．
（1）王老师抽查的四个班级共征集到作品多少件？
（2）请把图2的条形统计图补充完整；
（3）若全校参展作品中有四名同学获得一等奖，其中有二名男生、二名女生．现在要在其中抽两名同学去参加学校总结表彰座谈会，请用画树状图或列表的方法求恰好抽中一名男生一名女生的概率．
【答案】（1）12件；（2）作图见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）根据扇形统计图算出C班作品数量占整体的份数，然后再计算整体件数即可；
（2）由第一问知道作品总件数，算出B班件数，画图即可；
（3）画出表格或树状图，然后计算概率即可
【详解】解：（1）（件）
（2）12-2-5-2=3，补充作图如下：
（3）列表如下：
由列表知，共有12种等可能结果，其中抽到一男一女的情况有8种，所以恰好抽到一男生一女生的概率为
【点睛】本题考查数据的收集处理，用列表和树状图计算概率等知识点，牢记相关内容是解题关键，
24. 如图，，，，．点P从点C出发，以的速度沿向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿向点C匀速运动，设点P、Q运动时间为t，当一个点到达终点时，另一个点随之停止．
（1）求经过几秒后，的面积等于？
（2）经过几秒，与相似？
（3）①是否存在t，使得的面积等于？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由；②设四边形的面积为S，请直接写出S的最大值或最小值．
【答案】（1）秒
（2）秒，或秒
（3）①不存在，理由见解析；②的最小值是
【解析】
【分析】（1）根据的面积等于，建立方程求解，即可得出答案
（2）分和，得出比例式，建立方程求解，即可得出结果
（3）①假设存在t，利用的面积等于，建立方程，判断方程得方程无实数根，即可得出结论；②先得出，即可求出答案
小问1详解】
解：由题意知，，，
∵，，
∴，，
∵的面积等于，
∴
∴，即
∴
即经过秒后，的面积等于
【小问2详解】
∵，
∴①当时，
∴，
解得：；
②当时，
∴，
解得：；
由①②可得：当经过秒或秒与相似
【小问3详解】
①不存在，理由:
假设存在t，使得面积等于，
∴
∴，
∴，
而，
∴此方程无实数根，
∴不存在t，使得面积等于
②设四边形的面积为
∴
∴当时，S有最小值，最小值
【点睛】此题是相似三角形形综合题，主要考查了直角三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质，二次函数的应用，用方程的思想解决问题是解本题的关键
25. 如图1四边形和四边形有公共顶点A
（1）如图2，若四边形和四边形都是正方形，当正方形绕点A逆时针旋转角（）时，BM和DN的数量关系是______，位置关系是______；
（2）如图3，若四边形和四边形都是矩形，且，判断和的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若，，矩形绕点A逆时针旋转角（），当时，求线段的长．
【答案】（1）相等，垂直；
（2）数量关系：；位置关系：．
（3）3，或
【解析】
【分析】（1）先证明得到和的数量关系，同时得到．然后延长交、于点E、F，在和中用三角形内角和公式即可得到和的位置关系；
（2）由已知条件可推出，得到和的数量关系，同时得到．然后使用同(1)中相同的方法可得到和的位置关系；
（3）当时，由已知条件可证得以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，此时存在两种位置情况，故进行分类讨论：①当位于上方时， 由平行四边形的性质可推出，再利用小问(2)的结论可求出的长；②当位于下方时，由平行四边形的性质可推出，且能证明B、N、P在同一直线上，因此可在中使用勾股定理求出BM的长，再利用小问(2)的结论可求出的长．
【小问1详解】
相等，垂直．理由如下：
如图：
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，，
∴，即：，
∴，
∴，．
延长交、于点E、F，
在和中，
∵，，且，
∴，
∴．
【小问2详解】
数量关系：，位置关系：．理由如下：
如图：
∵四边形和四边形都是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
延长交于点O，交于点H，
∵，
∴，
又∵，
∴，即．
【小问3详解】
∵，，，
∴，
分类讨论：连结．
①如图：
当位于上方时，
在中，由勾股定理得，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴．
②如图：
当位于下方时，连结，
同理可得，四边形是平行四边形，
∴，，
∴
又，
∴B、N、P在一条直线上，
∴，
∴，，
∴在中，，
∵，
∴．
综上所述，DN的长为或．
【点睛】本题是一道几何综合探究题．先从特殊的图形探究发现规律，再拓展到一般的图形，然后使用发现的规律来解决相应的几何问题．在探究的过程中，重点考查了正方形、矩形、平行四边形的性质，全等三角形、相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用等，涉及到的数学思想方法有图形运动思想，分类讨论思想等．其中，善于发现特殊图形和一般规律是解决这一类问题的关键．
26. 如图，在正方形外取一点E，连接，，，过点D作的垂线交于点P，交于点Q，，．
（1）求证：
①；
②求的大小；
（2）求正方形的面积；
（3）求线段的长．
【答案】（1）①见解析；②
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）①根据正方形的性质，结合，证明；
②根据，可得，利用，，即可求得；
（2）过点作交延长线于点，根据，，利用勾股定理得出，根据已知条件，证明，即可得出，利用勾股定理得出，算出，根据勾股定理算出，即可得出正方形的面积；
（3）先证明，根据相似三角形的性质，得出，最后根据，得出结果即可．
【小问1详解】
①，
，
∵在正方形中，
∴，，
，
在和中，
；
②，
，
又，，
，
【小问2详解】
过点作交延长线于点，
，，
，
，
，
，
∵，
∴，
∴，
在中，，
，
在中，，
正方形的面积为：．
【小问3详解】
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，三角形外角的性质，垂线的定义，直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．小华\小丽