2023-2024学年山东省济南市历下区九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2023-2024学年山东省济南市历下区九年级上学期数学期中试题及答案，共30页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题共40分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 一个几何体如图水平放置，它的俯视图是（ ）
B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查俯视图，根据俯视图定义直接判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
的俯视图是A选项图形，
故选：A．
2. 在中，，如果，，那么的正切值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角函数定义即可得出结果．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义的应用，熟记三角函数的定义是解题的关键．
3. 如图，两条直线被三条平行线所截，若，，则为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由两条直线被三条平行线所截，可得，进行计算即可得出答案，熟练掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解此题的关键．
【详解】解：两条直线被三条平行线所截，
，
，，
，
，
故选：B．
4. 如图，小明同学利用相似三角形测量旗杆的高度，若测得木杆长，它的影长为，旗杆的影长为，则旗杆的高度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形在实际生活中的应用，根据“同一时刻物高与影长成正比”列式计算即可，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
【详解】解：同一时刻物高与影长成正比，
，
木杆长，它的影长为，旗杆的影长为，
，
，
故选：D．
5. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，先分别求出的值，再进行比较即可，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：点，，都在反比例函数的图象上，
，，，
，
，
故选：B．
6. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和1个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同．从中随机摸出一个棋子，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个棋子，则两次摸到相同颜色的棋子的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率等知识点，先画树状图展示所有9种等可能的结果，再找出两次摸到相同颜色的棋子的结果数，然后根据概率公式计算，熟练掌握其画图或列表得出所有可能结果数是解决此题的关键．
【详解】画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中两次摸到相同颜色的棋子的结果数为5种，
∴两次摸到相同颜色的棋子的概率，
故选：C．
7. 一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，根据反比例函数图象所在象限可以判定的符号，根据的符号来确定直线所经过的象限，逐项判断即可，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象是解此题的关键．
【详解】解：A、双曲线经过第一、三象限，则，则一次函数应该经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意；
B、双曲线经过第一、三象限，则，则一次函数应该经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意；
C、双曲线经过第二、四象限，则，则一次函数应该经过第一、三、四象限，故本选项不符合题意；
D、双曲线经过第二、四象限，则，则一次函数应该经过第一、三、四象限，故本选项符合题意；
故选：D．
8. 如图，在边长都为1的方格纸上，小明同学绘制了艺术字体“A”，已知点，都在格点上，点在格线上，则点与点之间的距离为（ ）
A. 5B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，作交于点，交于，由图可得：，，，，则，从而得到，代入数值进行计算即可，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键．
【详解】解：如图，作交于点，交于，
，
由图可得：，，，，
，
，即，
，
故选：D．
9. 如图，在中，，，点D为边上一点，将沿折叠，点B恰好落在边上的点E处．若，则为（ ）

A. B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据翻折的性质可得，，设，则，，利用锐角三角函数即可求解，此题考查了翻折的性质、锐角三角函数，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】解：由翻折的性质可得，，
设，则，，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
故选：B
10. 定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”．在平面直角坐标系中，若反比例函数图象上的点与点都是点的“倍增点”，连接，，则的面积为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，根据反比例函数图象上的点与点都是点的“倍增点”，求出、的坐标，从而得到直线的解析式，得到点的坐标，根据进行计算即可得出答案，求出、的坐标是解此题的关键．
【详解】解：如图，
，
反比例函数图象上的点与点都是点的“倍增点”，
，
整理得：，
解得：，，
当时，，当时，，
，，
设直线解析式为，
将，代入解析式得：，
解得：，
直线解析式为，
当时，，
，
，
，
故选：A．
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
11. 已知点 M（1，2）在反比例函数的图象上，则 k＝____．
【答案】2
【解析】
【分析】把点M（1，2）代入反比例函数中求出k的值即可．
【详解】解：把点M（1，2）代入得：xy=1×2=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．
12. 已知，若b+d≠0，则＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】分别设a=2m，c=2n，根据可用m、n表示出b、d，代入所给代数式即可得答案.
【详解】设a=2m，c=2n，
∵，
∴b=3m，d=3n，
∴==，
故答案为：
【点睛】本题考查等比性质的应用，若，则=k，熟练掌握等比性质是解题关键.
13. 为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中打捞条鱼，在每一条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞条鱼．如果在这条鱼中有条鱼是有记号的，那么估计鱼塘中鱼的条数为______条．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了统计中用样本估计总体的思想，根据样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数．
【详解】解：估计鱼塘中鱼的条数为（条），
故答案为：．
14. 2023年第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点C可看做是线段的黄金分割点（），，则______．（结果保留根号）
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割，解题关键是根据黄金分割的定义列式计算，即可解答．
【详解】解：点可看作是线段的黄金分割点，，
，
故答案为：．
15. 如图，反比例函数的图象经过菱形的顶点，点在轴上，过点作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点．若，则点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，根据题意得出是等边三角形，从而表示点的坐标为，再根据反比例函数图象上点的坐标特征代入函数解析式进行计算即可求得菱形边长，把代入解析式即可求得点的横坐标．
【详解】解：设菱形的边长为，
，
是等边三角形，
点的坐标为，
反比例函数的图象经过菱形的顶点，
，
（负数舍去），
菱形的边长为2，
点的纵坐标为2，
把代入得，，
解得，
点的坐标是．
故答案为：．
16. 如图，在矩形中，平分，交于点，，交于点，以，为边，作矩形，与相交于点．若，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是得到．首先证明，推导出，结合矩形，推导出四边形为正方形，然后利用，，推导出，，进而得到，代入数据得到．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，，
，
平分，
，
在中，，
在和中，
，
，
，
在矩形中，，
四边形为正方形，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查特殊角三角函数值的混合运算，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
（1）将特殊角三角函数值代入计算即可；
（2）将特殊角三角函数值代入计算即可．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：
18. 如图，小树在路灯的照射下形成投影．
（1）此光源下形成投影属于______；（填“平行投影”或“中心投影”）
（2）已知树高为，树影为，树与路灯的水平距离为．求路灯的高度．
【答案】（1）中心投影；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了中心投影，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
（1）由中心投影的定义确定答案即可；
（2）先判断相似三角形，再利用相似三角形的性质求解．
【小问1详解】
此光源属于点光源，
此光源下形成的投影属于中心投影，
故答案为：中心投影；
【小问2详解】
，，
，
，
，
即：，
解得：，
路灯的高度为5米．
19. 如图，相交于点，已知，，，，求证：．
【答案】证明详见解析
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据，，得出，结合即可证明，利用相似三角形的性质即可求证，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键．
【详解】证明：∵在和中，，，，，
，，
，
，
．
20. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，五边形的五个顶点坐标分别为，，，，．
（1）以原点O为位似中心，在原点O的同侧作五边形的位似图形，使它与五边形的相似比为．
（2）写出的坐标______．
（3）已知五边形的面积为，则五边形的面积为______．
【答案】（1）图见解析
（2）
（3）54
【解析】
【分析】本题主要考查了画位似图形，位似图形的性质，求位似图形对应点坐标，熟知位似图形的性质是解题的关键；
（1）根据位似比为，把A、B、C、D的横纵坐标都乘以2得到的坐标，再顺次连接即可；
（2）根据（1）所求，写出的坐标即可；
（3）根据位似图形面积之比等于位似比的平方进行求解即可．
【小问1详解】
解：如图所示，五边形即为所求；
【小问2详解】
解：由题意得，点的坐标为，
故答案为：
【小问3详解】
解：∵五边形与五边形关于原点位似，且位似比为，五边形的面积为，
∴五边形的面积为，
故答案为：．
21. 九年级组织“11·9全国消防日”消防安全知识竞赛活动，其中本次竞赛成绩分为“优秀”“良好”“一般”“较差”四个等级，为了解全体九年级同学的消防安全知识水平，随机抽取了m个同学的竞赛成绩进行统计整理，根据成绩绘制成如下两幅不完整的统计图：
请结合以上信息完成下列问题：
（1）______；
（2）如果九年级共有600名学生参加本次活动，那么可估计竞赛成绩为“优秀”的学生有______人；
（3）此次活动中有五名同学获得满分，其中有三名女生和两名男生．现从这五名同学中随机挑选两名同学参加校外比赛，请用列表法或画树状图法求出选中的两名同学恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）120；
（2）120； （3）．
【解析】
【分析】本题主要考查了列表法与树状图法，以及扇形统计图、条形统计图的应用，样本估计总体．
（1）用“较差”人数和其所占百分百即可求解；
（2）根据竞赛成绩为“优秀”学生的占比乘以600即可求解；
（3）列出表格得可能出现的所有情况，再由概率公式即可得出答案．
解题的关键是从统计图表中获取信息．
【小问1详解】
解：由题意可知：，
故答案为：120；
【小问2详解】
竞赛成绩为“优秀”的学生有人，
故答案为：120；
【小问3详解】
将三名女生，分别记作“女1，女2，女3”两名男生分别记作“男1，男2”，列表如下：
总共有20种结果，每种结果出现的可能性相同，
其中两名同学恰好是一男一女的有12种，
P（两名同学恰好是一男一女）
22. 为确保身体健康，自来水最好烧开（加热到）后再饮用．某款家用饮水机，具有加热、保温等功能．现将的自来水加入到饮水机中，先加热到．此后停止加热，水温开始下降，达到设置的饮用温度后开始保温．比如事先设置饮用温度为，则水温下降到后不再改变，此时可以正常饮用．整个过程中，水温与通电时间之间的函数关系如图所示．
（1）水温从加热到，需要______；请直接写出加热过程中水温与通电时间之间的函数关系式：______；
（2）观察判断：在水温下降过程中，与的函数关系是______函数，并尝试求该函数的解析式；
（3）已知冲泡奶粉的最佳温度在左右，某家庭为了给婴儿冲泡奶粉，将饮用温度设置为．现将的自来水加入到饮水机中，此后开始正常加热．则从加入自来水开始，需要等待多长时间才可以接水冲泡奶粉？
【答案】（1）4；；
（2）反，
（3）14分钟．
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、反比例函数解析式，反比例函数的应用，理解题意，正确求出解析式是解此题的关键．
（1）由图可得水温从加热到，需要，设加热过程中水温与通电时间之间函数关系式为：，将，代入解析式得：，求出的值即可；
（2）观察判断：在水温下降过程中，与的函数关系是反函数，设在水温下降过程中，与的函数关系为，将代入解析式得：，求出的值即可；
（3）在中，当时，，解得：，再由题意列式计算即可．
【小问1详解】
解：由图可得：水温从加热到，需要，
设加热过程中水温与通电时间之间的函数关系式为：，
将，代入解析式得：，
解得：，
加热过程中水温与通电时间之间的函数关系式为：，
故答案为：4，；
【小问2详解】
解：观察判断：在水温下降过程中，与的函数关系是反函数，
设在水温下降过程中，与的函数关系为，
将代入解析式得：，
解得：，
在水温下降过程中，与的函数关系为：，
故答案为：反；
【小问3详解】
解：由题意得：在中，当时，，
解得：，
从加入自来水开始，需要等待的时间为：，
则从加入自来水开始，需要等待14分钟时间才可以接水冲泡奶粉．
23. 在“济南天下第一泉”风景区随处可以看到历代名人雅士留下的匾额和楹联，它们丰富了园林的人文内涵．如图1，趵突泉公园南门上悬挂着的匾额，图2中的线段AB就是这块匾额的截面示意图．已知米，．从水平地面点C处看点B，仰角，且视线经过射线上的点D，从点E处看点A，，且米．（参考数据：）AI
（1）求点B到水平距离；
（2）求线段的长；
（3）求匾额上点A到地面的距离的长．
【答案】（1）米；
（2）米；
（3）米．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的判定和性质，．
（1）过点B作，垂足为H，由米，，结合即可求解；
（2）在中，可得米，由，可得，易知米，结合即可求解；
（3）在中，可得，在中，，可得，易知，结合即可求解．
掌握作出适当的辅助线构建直角三角形是解题的关键．
【小问1详解】
解：过点B作，垂足为H，如图所示：
在中，米，，
米，
答：点B到的水平距离是米；
【小问2详解】
在中，米，，
米．
，，
，
，
米，
米，
答：的长为米．
【小问3详解】
在中，，则，
．
在中，，
∴．
，
，
解得米，
答：匾额上点A到地面的距离约为3.8米．
24. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，其中．
（1）求的值；
（2）根据函数图象，直接写出不等式的解集；
（3）若点在轴上，且的面积为16，求点的坐标．
【答案】（1），；
（2）或；
（3）或．
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握面积的计算方法是解答本题的关键．
（1）根据点的坐标求的值即可；
（2）根据函数图象可直接写出不等式的解集；
（3）设，利用，求出的值即可得到答案．
【小问1详解】
解：将代入，得，
解得，
将代入，得，
解得，
，；
【小问2详解】
解：由反比例函数图象的对称性可得点的坐标为，
由图象可得：不等式的解集为或；
【小问3详解】
解：由反比例函数图像的中心对称性知点，
设，则，
解得，
或．
25. 【问题情境】
如图1，小明把三角板（）放置到矩形中，使得顶点E、F、G分别落在、、上，你发现线段与有什么数量关系？
直接写出结论：______（不用证明）．
【变式探究】
如图2，小明把三角板（）放置到矩形中，使得顶点E、F、G分别在边上，若，，求的长．
【拓展应用】
如图3，小明把三角形放置到平行四边形中，使得顶点E、F、G分别落在边上，若，，，求出的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】问题情境：先根据特殊角三角函数得出，再证明，根据相似三角形对应边成比例可得；
变式探究：过点F作，同（1）可证，根据相似三角形对应边成比例可得，求出，再证四边形是矩形，即可求解；
拓展应用：过点F作交的延长线于点M，交于点K．则，再结合平行四边形的性质、平行线的性质，证明，再证，推出，再证，，代入可得的值．
【详解】解：问题情境：
三角板中，，
．
四边形是矩形，
，
，
由题意知，
，
，
又，
，
，
．
故答案为：．
变式探究：
如图，过点F作，垂足为H，
，
，
，，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
．
拓展应用：
如图，过点F作交的延长线于点M，交于点K．
，
，
∵四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，，
，
，
即，
，
，
，
，，
．
【点睛】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，矩形的判定和性质等，通过添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．
26. 小静发现希腊数学家曾利用反比例函数图象将一个角三等分，具体方法如下：
第一步：建立平面直角坐标系，将已知锐角的顶点与原点重合，角的一边与轴正方向重合．在平面直角坐标系里，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点．
第二步：以为圆心、以为半径作弧，交函数的图象于点．
第三步：分别过点和作轴和轴的平行线，两线相交于点，连接，得到（如图1）．
这时．
为什么？小静想要证明这个结论却没有思路，便询问老师．
老师进行了指导：分别过点和作轴和轴的平行线，两线交于点（如图2），解答这道题的关键就是证明三点共线，在平面直角坐标系中，证明三点共线最直接的做法是先用两点确定一条直线的表达式，再证明第三点在这条直线上．
老师指导后，小静若有所思．请你和小静一起，完成下列问题．

（1）已知，，，请说明三点共线；
（2）在“三等分角”的作图中（如图2），请证明三点共线；
（3）在（2）的基础上，请证明．
【答案】（1）详见解析；
（2）详见解析； （3）详见解析．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求出直线解析，把点的坐标代入解析式判断即可；
（2）设，，则，待定系数法求出的解析式，把点的坐标代入解析式判断即可；
（3）设交于点，由题意得四边形为矩形，从而得到，由外角定理，，再结合矩形的性质可得，即可得证．
【小问1详解】
解：设直线解析式为，将，代入得，
，
解得，
，
将代入得，，
在直线上，
三点共线；
【小问2详解】
解：轴，轴，
设，，
，
设的解析式为，
，
，
直线的解析式为：，
当时，，
，
点在直线上；
【小问3详解】
解：设交于点，
，
∵过作轴的平行线，
四边形为矩形，
，
由外角定理，，
，
，
，
又四边形为矩形，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质、等腰三角形的性质，掌握待定系数法求函数解析式是解此题的关键．女1
女2
女3
男1
男2
女1
（女1，女2）
（女1，女3）
（女1，男1）
（女1，男2）
女2
（女2，女1）
（女2，女3）
（女2，男1）
（女2，男2）
女3
（女3，女1）
（女3，女2）
（女3，男1）
（女3，男2）
男1
（男1，女1）
（男1，女2）
（男1，女3）
（男1，男2）
男2
（男2，女1）
（男2，女2）
（男2，女3）
（男2，男1）