重庆江南新区2022年九年级数学第一学期期末联考试题含解析

这是一份重庆江南新区2022年九年级数学第一学期期末联考试题含解析，共22页。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图所示，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a =2；④方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．能判断一个平行四边形是矩形的条件是（ ）
A．两条对角线互相平分B．一组邻边相等
C．两条对角线互相垂直D．两条对角线相等
3．如图，矩形ABCD中，E为DC的中点，AD：AB＝：2，CP：BP＝1：2，连接EP并延长，交AB的延长线于点F，AP、BE相交于点O．下列结论：①EP平分∠CEB；②＝PB•EF；③PF•EF＝2；④EF•EP＝4AO•PO．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．③④
4．如图，AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为D，若⊙O的直径为5，BC＝4，则AB的长为（ ）
A．2B．2C．4D．5
5．在九年级体育中考中，某班参加仰卧起坐测试的一组女生（每组8人）测试成绩如下（单位：次/分）：46,44,45,42,48,46,47,46.则这组数据的中位数为（ ）
A．42B．45C．46D．48
6．下列二次函数的开口方向一定向上的是（ ）
A．y=-3x2-1B．y=-x2+1C．y=x2+3D．y=-x2-5
7．已知是关于的一元二次方程的两个根，且满足，则的值为（ ）
A．2B．C．1D．
8．一次抽奖活动特等奖的中奖率为,把用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为25，DE=3，则AE的长为( )
A．B．5C．8D．4
10．对于二次函数的图象，下列结论错误的是( )
A．顶点为原点B．开口向上C．除顶点外图象都在轴上方D．当时，有最大值
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．一种微粒的半径是1．11114米，这个数据用科学记数法表示为____．
12．二次函数向左、下各平移个单位，所得的函数解析式_______．
13．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，OP，AB，设OP与AB相交于点C，若∠APB=60°，OC=2cm，则PC=_________cm．
14．已知圆锥的侧面积为20πcm2，母线长为5cm，则圆锥底面半径为______cm．
15．关于x的一元二次方程3（x﹣1）＝x（1﹣x）的解是_____．
16．已知圆锥的底面圆半径是1，母线是3，则圆锥的侧面积是______．
17．某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同，则该商品每次降价的百分率为_____．
18．已知抛物线y＝（1﹣3m）x2﹣2x﹣1的开口向上，设关于x的一元二次方程（1﹣3m）x2﹣2x﹣1＝0的两根分别为x1、x2，若﹣1＜x1＜0，x2＞2，则m的取值范围为_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，直线y＝1x+1与y轴交于A点，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，且tan∠AHO＝1．
（1）求H点的坐标及k的值；
（1）点P在y轴上，使△AMP是以AM为腰的等腰三角形，请直接写出所有满足条件的P点坐标；
（3）点N（a，1）是反比例函数y＝（x＞0）图象上的点，点Q（m，0）是x轴上的动点，当△MNQ的面积为3时，请求出所有满足条件的m的值．
20．（6分）如图，中，，以为直径作，交于点，交于点．
（1）求证：．
（2）若，求的度数．
21．（6分）如图，的直径，半径，为上一动点（不包括两点），，垂足分别为．
（1）求的长．
（2）若点为的中点，
①求劣弧的长度，
②者点为直径上一动点，直接写出的最小值．
22．（8分）如图，∠MAN=90°，，分别为射线，上的两个动点，将线段绕点逆时针旋转到，连接交于点．
（1）当∠ACB=30°时，依题意补全图形，并直接写出的值；
（2）写出一个∠ACB的度数，使得，并证明．
23．（8分）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，连接，点为轴上一点，，连接．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求的面积．
24．（8分）解不等式组并求出最大整数解.
25．（10分）富平因取“富庶太平”之意而得名，是华夏文明重要发祥地之一.某班举行关于“美丽的富平”的演讲活动.小明和小丽都想第一个演讲，于是他们通过做游戏来决定谁第一个来演.讲游戏规则是：在一个不透明的袋子中有一个黑球a和两个白球b、c，(除颜色外其它均相同)，小丽从袋子中摸出一个球，放回后搅匀，小明再从袋子中摸出一个球，若两次摸到的球颜色相同，则小丽获胜，否则小明获胜，请你用树状图或列表的方法分别求出小丽与小明获胜的概率，并说明这个游戏规则对双方公平吗？
26．（10分）如图，为了测量山脚到塔顶的高度（即的长），某同学在山脚处用测角仪测得塔顶的仰角为，再沿坡度为的小山坡前进400米到达点，在处测得塔顶的仰角为.
（1）求坡面的铅垂高度（即的长）；
（2）求的长.（结果保留根号，测角仪的高度忽略不计）.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】先从二次函数图像获取信息，运用二次函数的性质一—判断即可．
【详解】解：∵二次函数与x轴有两个交点，∴b2-4ac>0，故①错误；
∵抛物线与x轴的另一个交点为在（0，0）和（1，0）之间，且抛物线开口向下，
∴当x=1时,有y=a+b+c＜0，故②正确;
∵函数图像的顶点为（-1，2）
∴a-b+c=2，
又∵由函数的对称轴为x=-1，
∴=-1,即b=2a
∴a-b+c =a-2a+c=c-a=2，故③正确；
由①得b2-4ac>0，则ax2+bx+c =0有两个不等的实数根，故④错误；
综上，正确的有两个．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像与系数的关系，从二次函数图像上获取有用信息和灵活运用数形结合思想是解答本题的关键．
2、D
【分析】根据矩形的判定进行分析即可；
【详解】选项A中，两条对角线互相平分是平行四边形，故选项A错误；
选项B中，一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项B错误；
选项C中，两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项C错误；
选项D中，两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项D正确；
故选D.
【点睛】
本题主要考查了矩形的判定，掌握矩形的判定是解题的关键.
3、B
【解析】由条件设AD=x，AB=2x，就可以表示出CP=x，BP=x，用三角函数值可以求出∠EBC的度数和∠CEP的度数，则∠CEP=∠BEP，运用勾股定理及三角函数值就可以求出就可以求出BF、EF的值，从而可以求出结论．
【详解】解：设AD=x，AB=2x
∵四边形ABCD是矩形
∴AD=BC，CD=AB，∠D=∠C=∠ABC=90°．DC∥AB
∴BC=x，CD=2x
∵CP：BP=1：2
∴CP=x，BP=x
∵E为DC的中点，
∴CE=CD=x，
∴tan∠CEP==，tan∠EBC==
∴∠CEP=30°，∠EBC=30°
∴∠CEB=60°
∴∠PEB=30°
∴∠CEP=∠PEB
∴EP平分∠CEB，故①正确；
∵DC∥AB，
∴∠CEP=∠F=30°，
∴∠F=∠EBP=30°，∠F=∠BEF=30°，
∴△EBP∽△EFB，
∴
∴BE·BF=EF·BP
∵∠F=∠BEF，
∴BE=BF
∴＝PB·EF，故②正确
∵∠F=30°，
∴PF=2PB=x，
过点E作EG⊥AF于G，
∴∠EGF=90°，
∴EF=2EG=2x
∴PF·EF=x·2x=8x2
2AD2=2×（x）2=6x2，
∴PF·EF≠2AD2，故③错误.
在Rt△ECP中，
∵∠CEP=30°，
∴EP=2PC=x
∵tan∠PAB==
∴∠PAB=30°
∴∠APB=60°
∴∠AOB=90°
在Rt△AOB和Rt△POB中，由勾股定理得，
AO=x，PO=x
∴4AO·PO=4×x·x=4x2
又EF·EP=2x·x=4x2
∴EF·EP=4AO·PO．故④正确．
故选，B
【点睛】
本题考查了矩形的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，特殊角的正切值的运用，勾股定理的运用及直角三角形的性质的运用，解答时根据比例关系设出未知数表示出线段的长度是关键．
4、A
【分析】连接BO,根据垂径定理得出BD,在△BOD中利用勾股定理解出OD,从而得出AD,在△ABD中利用勾股定理解出AB即可．
【详解】连接OB，
∵AO⊥BC，AO过O，BC＝4，
∴BD＝CD＝2，∠BDO＝90°，
由勾股定理得：OD＝＝＝，
∴AD＝OA+OD＝+＝4，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB＝＝＝2，
故选：A．
【点睛】
本题考查圆的垂径定理及勾股定理的应用,关键在于熟练掌握相关的基础性质．
5、C
【解析】根据中位数的定义，把8个数据从小到大的顺序依次排列后，求第4，第5位两数的平均数即为本组数据的中位数.
【详解】解：把数据由小到大排列为：42,44,45,46,46,46,47,48
∴中位数为.
故答案为：46.
【点睛】
找中位数的时候一定要先排好大小顺序，再根据奇数个数和偶数个数来确定中位数.如果是奇数个，则正中间的数字即为中位数；如果是偶数个，则找中间两个数的平均数为中位数.先将数据按从小到大顺序排列是求中位数的关键.
6、C
【解析】根据二次函数图象的开口方向与二次项系数的关系逐一判断即可.
【详解】解: A. y=-3x2-1中,﹣3＜0, 二次函数图象的开口向下,故A不符合题意;
B. y=-x2+1中, -＜0, 二次函数图象的开口向下,故B不符合题意;
C. y=x2+3中, ＞0, 二次函数图象的开口向上,故C符合题意;
D. y=-x2-5中, -1＜0, 二次函数图象的开口向下,故D不符合题意;
故选:C.
【点睛】
此题考查的是判断二次函数图像的开口方向，掌握二次函数图象的开口方向与二次项系数的关系是解决此题的关键.
7、B
【分析】根据根与系数的关系，即韦达定理可得，易求,从而可得,解可求,再利用根的判别式求出符合题意的.
【详解】由题意可得，a=1，b=k，c=-1，
∵ 满足，
∴ ①
根据韦达定理 ②
把②式代入①式，可得：k=-2
故选B.
【点睛】
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合进行解题.
8、D
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】0.00002=2×10﹣1．
故选D．
【点睛】
本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
9、A
【分析】利用旋转的性质得出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案．
【详解】把顺时针旋转的位置，
四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25，
，
，
中，．
故选A．
【点睛】
此题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应边关系是解题关键．
10、D
【分析】根据二次函数的性质逐项判断即可.
【详解】根据二次函数的性质，可得：
二次函数顶点坐标为（0，0），开口向上，故除顶点外图象都在x轴上方，
故A、B、C正确；当x=0时，y有最小值为0，故D错误.
故选：D.
【点睛】
本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数顶点坐标，开口方向，最值与系数之间的关系是解题的关键.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【解析】试题分析：科学计数法是指a×，且1≤＜11，小数点向右移动几位，则n的相反数就是几．
考点：科学计数法
12、
【分析】根据二次函数图象的平移规律即可得．
【详解】二次函数向左平移2个单位所得的函数解析式为，再向下平移2个单位所得的函数解析式为，即，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数图象的平移规律，掌握理解二次函数图象的平移规律是解题关键．
13、6
【分析】由切线长定理可知PA=PB，由垂径定理可知OP垂直平分AB，所以OP平分，可得,利用直角三角形30度角的性质可得OA、OP的长，即可.
【详解】解：PA，PB是⊙O的两条切线
，
由垂径定理可知OP垂直平分AB，
OP平分，

在中，
在中，
故答案为：6
【点睛】
本题主要考查了圆的性质与三角形的性质，涉及的知识点主要有切线长定理、垂径定理、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质，灵活的将圆与三角形相结合是解题的关键.
14、1
【分析】由圆锥的母线长是5cm，侧面积是20πcm2，求圆锥侧面展开扇形的弧长，然后再根据锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求解．
【详解】解：由圆锥的母线长是5cm，侧面积是20πcm2，
根据圆锥的侧面展开扇形的弧长为：=8π，
再根据锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，
可得=1cm．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查圆锥的计算，掌握公式正确计算是解题关键．
15、
【分析】由题意直接利用因式分解法进行计算求解即可得出答案．
【详解】解：∵1（x﹣1）＝﹣x（x﹣1），
∴1（x﹣1）+x（x﹣1）＝0，
∴（x﹣1）（x+1）＝0，
则x﹣1＝0或x+1＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣1，
故答案为：x1＝1，x2＝﹣1．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
16、3π．
【解析】∵圆锥的底面圆半径是1，∴圆锥的底面圆的周长=2π，则圆锥的侧面积=×2π×3=3π，
故答案为3π．
17、10%
【解析】设该种商品每次降价的百分率为x%，根据“两次降价后的售价=原价×（1-降价百分比）的平方”，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论．
【详解】设该种商品每次降价的百分率为x%，
依题意得：400×（1-x%）2=324，
解得：x=10，或x=190（舍去）．
答：该种商品每次降价的百分率为10%．
故答案为：10%
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据数量关系得出关于x的一元二次方程．
18、﹣＜m＜
【分析】首先由抛物线开口向上可得：1﹣3m＞0，再由1＜x1＜0可得：2＞3m，最后由x2＞2可得：1﹣3m＜，由以上三点即可求出m的取值范围．
【详解】∵抛物线y＝（1﹣3m）x2﹣2x﹣1的开口向上，
∴1﹣3m＞0，①
∵﹣1＜x1＜0，
∴当x＝﹣1时，y＞0，
即2＞3m，②
∵x2＞2，
∴当x＝2时，y＜0，
即1﹣3m＜，③
由①②③可得：﹣＜m＜，
故答案为：﹣＜m＜．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点的问题，解题时应掌握△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
三、解答题(共66分)
19、（1）k＝4；（1）点P的坐标为（0，6）或（0，1+），或（0，1﹣）；（2）m＝7或2．
【解析】（1）先求出OA=1，结合tan∠AHO=1可得OH的长，即可得知点M的横坐标，代入直线解析式可得点M坐标，代入反比例解析式可得k的值；
（1）分AM=AP和AM=PM两种情况分别求解可得；
（2）先求出点N（4，1），延长MN交x轴于点C，待定系数法求出直线MN解析式为y=-x+3．据此求得OC=3，再由S△MNQ=S△MQC-S△NQC=2知QC=1，再进一步求解可得．
【详解】（1）由y＝1x+1可知A（0，1），即OA＝1，
∵tan∠AHO＝1，
∴OH＝1，
∴H（1，0），
∵MH⊥x轴，
∴点M的横坐标为1，
∵点M在直线y＝1x+1上，
∴点M的纵坐标为4，即M（1，4），
∵点M在y＝上，
∴k＝1×4＝4；
（1）①当AM＝AP时，
∵A（0，1），M（1，4），
∴AM＝，
则AP＝AM＝，
∴此时点P的坐标为（0，1﹣）或（0，1+）；
②若AM＝PM时，
设P（0，y），
则PM＝ ，
∴＝，
解得y＝1（舍）或y＝6，
此时点P的坐标为（0，6），
综上所述，点P的坐标为（0，6）或（0，1+），或（0，1﹣）；
（2）∵点N（a，1）在反比例函数y＝（x＞0）图象上，
∴a＝4，
∴点N（4，1），
延长MN交x轴于点C，
设直线MN的解析式为y＝mx+n，
则有
解得，
∴直线MN的解析式为y＝﹣x+3．
∵点C是直线y＝﹣x+3与x轴的交点，
∴点C的坐标为（3，0），OC＝3，
∵S△MNQ＝2，
∴S△MNQ＝S△MQC﹣S△NQC＝×QC×4﹣×QC×1＝QC＝2，
∴QC＝1，
∵C（3，0），Q（m，0），
∴|m﹣3|＝1，
∴m＝7或2，
故答案为7或2．
【点睛】
本题是反比例函数综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、等腰三角形的判定与性质、两点之间的距离公式及三角形的面积计算．
20、（1）证明见解析；（2）80°
【分析】（1）连接AD，根据圆周角定理和等腰三角形的三线合一，可得，利用相等的圆周角所对的弧相等即可得证；
（2）连接BE，利用同弧所对的圆周角相等可得，再利用等腰三角形的性质可求得利用圆周角定理即可求解．
【详解】解：（1）连接AD，
，
∵为的直径，
∴，即，
∵在中，，
∴，
∴；
（2）连接BE，
，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴的度数为．
【点睛】
本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，弧、弦、圆心角和圆周角之间的关系，熟练应用圆的基本性质定理是解题的关键．
21、（1）（2）①②
【分析】（1）求出圆的半径，再判断出四边形OFDE是矩形，然后根据矩形的对角线相等解答即可；
（2）①根据线段中点的定义得到OE=OC=OD，根据三角形的内角和得到∠DOE=60°，于是得到结论；
②延长CO交⊙O于G，连接DG交AB于P，则PC+PD的最小值等于DG长，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：（1）如图，连接，
∵的直径，
∴圆的半径为.
∵，
∴四边形是矩形，
∴.
（2）①∵点为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴劣弧的长度为.
②.
延长交于点，连接交于点，
则的最小值为.
∵，，
∴，
∴的最小值为.
【点睛】
本题考查了圆周角定理，矩形的判定和性质，轴对称-最短路线问题，正确的作出辅助线是解题的关键．
22、（1）；（2）∠．
【分析】（1）按照题意补全图形即可，由已知可证△∽△，再由相似三角形的性质可知，从而可得答案；
（2）过点作于点，由已知可证△∽△，从而有，再利用∠ACB的度数可求出，从而可得出答案.
【详解】解：（1）正确补全图形；

∵
∴△∽△
∴
∵
∴．
（2）解：∠．
证明：∵，
∴．
∵，
∴．
过点作于点，
∴
∵，
∴．
∵，
∴．
∵∠．
∴△∽△．
∴．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握旋转的性质及相似三角形的判定是解题的关键.
23、（1）y1＝x＋1，；（2）14
【分析】（1）将分别代入两个函数解析式得到方程组，解方程组后即可得出函数解析式；
（2）根据勾股定理得出OD＝OA＝5，根据题意得出，OC＝1，CD＝4；最后根据S△ABD＝S△DCB＋S△DCA即可得出答案．
【详解】解：(1)由题意得，
解得，
∴，
∴y1＝x＋1，
（2）由勾股定理得，A（3，4）
∴OA＝，
∴OD＝OA＝5，
当y1＝0时，0＝x＋1
∴x＝－1，OC＝1，CD＝4
S△ABD＝S△DCB＋S△DCA＝．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，代入求值法是解题的关键．
24、最大整数解为
【分析】先求出不等式组的解集，根据不等式组的解集求出即可.
【详解】解：
由①得：
由②得：
不等式组的解为：
所以满足范围的最大整数解为
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解的应用，关键是求出不等式组的解集.
25、小丽为，小军为，这个游戏不公平，见解析
【分析】画出树状图，得出总情况数及两次模到的球颜色相同和不同的情况数，即可得小丽与小明获胜的概率，根据概率即可得游戏是否公平.
【详解】根据题意两图如下：
共有种等情况数，其中两次模到的球颜色相同的情况数有种，不同的有种，
小丽获胜的概率是
小军获胜的概率是，所以这个游戏不公平.
【点睛】
本题考查游戏公平性的判断，判断游戏的公平性要计算每个参与者获胜的概率，概率相等则游戏公平，否则游戏不公平，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.
26、（1）200；（2）.
【分析】(1) 根据AB的坡度得，再根据∠BAH的正弦和斜边长度即可解答；（2）过点作于点，得到矩形，再设米，再由∠DBE=60°的正切值，用含x的代数式表示DE的长，而矩形中，CE=BH=200米，可得DC的长，米，最后根据△ADC是等腰三角形即可解答.
【详解】解：（1）在中，，∴
∴米
（2）过点作于点，如图：
∴四边形是矩形，∴米
设米
∴在中，米
∴米
在中
∴米
在中，，∴
即
解得
∴米
（本题也可通过证明矩形是正方形求解.）
【点睛】
本题考查解直角三角形，解题关键是构造直角三角形，利用三角函数表示出相关线段的长度．