重庆北碚区2022年数学九年级第一学期期末检测试题含解析

这是一份重庆北碚区2022年数学九年级第一学期期末检测试题含解析，共20页。

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．已知(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)是反比例函数y＝的图象上的三个点，且x10，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y32．下列事件中为必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放茂名新闻B．早晨的太阳从东方升起
C．随机掷一枚硬币，落地后正面朝上D．下雨后，天空出现彩虹
3．已知反比例函数，则下列结论正确的是（ ）
A．点(1，2)在它的图象上
B．其图象分别位于第一、三象限
C．随的增大而减小
D．如果点在它的图象上，则点也在它的图象上
4．已知二次函数的图象经过点，当自变量的值为时，函数的值为（ ）
A．B．C．D．
5．某树主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目小分支，主干、枝干和小分支总数共57根，则主干长出枝干的根数为 （ ）
A．7B．8C．9D．10
6．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P、Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（ ）
A．B．C．D．
7．把函数y＝﹣3x2的图象向右平移2个单位，所得到的新函数的表达式是（ ）
A．y＝﹣3x2﹣2B．y＝﹣3（x﹣2）2C．y＝﹣3x2+2D．y＝﹣3（x+2）2
8．如图，已知点在反比例函数上，轴，垂足为点，且的面积为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
9．二次函数的图象如图所示，其对称轴为，有下列结论：①；②；③；④对任意的实数，都有，其中正确的是（ ）
A．①②B．①④C．②③D．②④
10．如图，是的直径，四边形内接于，若，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，矩形中，边长，两条对角线相交所成的锐角为，是边的中点，是对角线上的一个动点，则的最小值是_______．
12．在反比例函数y=的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则m的取值范围是_____．
13．如图，在扇形中，，正方形的顶点是的中点，点在上，点在的延长线上，当正方形的边长为时，则阴影部分的面积为_________.（结果保留）
14．如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限内，点B在x轴上，∠AOB＝30°，AB＝BO，反比例函数y＝ (x＜0)的图象经过点A，若S△AOB＝，则k的值为________．
15．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+1=0有实数根，则a的取值范围为________．
16．如图，是的直径，弦与弦长度相同，已知，则________.
17．如图，在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1）．以原点O为位似中心，把△EFO扩大到原来的2倍，则点E的对应点E'的坐标为_____．
18．如图，在△ABC中，AC=4，将△ABC绕点C按逆时针旋转30°得到△FGC，则图中阴影部分的面积为_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）为给邓小平诞辰周年献礼，广安市政府对城市建设进行了整改，如图所示，已知斜坡长60米，坡角(即)为，，现计划在斜坡中点处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线的休闲平台和一条新的斜坡(下面两个小题结果都保留根号).
(1)若修建的斜坡BE的坡比为：1，求休闲平台的长是多少米？
(2)一座建筑物距离点米远(即米)，小亮在点测得建筑物顶部的仰角(即)为.点、、、，在同一个平面内，点、、在同一条直线上，且，问建筑物高为多少米？
20．（6分）已知二次函数y=a−4x+c的图象过点(−1，0)和点(2，−9)，
(1)求该二次函数的解析式并写出其对称轴；
(2)当x满足什么条件时，函数值大于0？(不写求解过程)，
21．（6分）如图，在电线杆上的点处引同样长度的拉线，固定电线杆，在离电线杆6米处安置测角仪（其中点、、、在同一条直线上），在处测得电线杆上点处的仰角为，测角仪的高为米．
（1）求电线杆上点离地面的距离；
（2）若拉线，的长度之和为18米，求固定点和之间的距离．
22．（8分）在平面直角坐标系中，已知抛物线的表达式为：y＝﹣x2+bx+c．
（1）根据表达式补全表格：
（2）在如图的坐标系中画出抛物线，并根据图象直接写出当y随x增大而减小时，自变量x的取值范围．
23．（8分）某游乐场试营业期间，每天运营成本为1000元.经统计发现，每天售出的门票张数（张）与门票售价（元/张）之间满足一次函数，设游乐场每天的利润为（元）.（利润=票房收入－运营成本）
（1）试求与之间的函数表达式.
（2）游乐场将门票售价定为多少元/张时，每天获利最大？最大利润是多少元？
24．（8分）现有红色和蓝色两个布袋，红色布袋中有三个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字1，2，3，蓝色布袋中有也三个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字2，3，4小明先从红布袋中随机取出一个小球，用m表示取出的球上标有的数字，再从蓝布袋中随机取出一个小球，用n表示取出的球上标有的数字．
（1）用列表法或树状图表示出两次取得的小球上所标数字的所有可能结果；
（2）若把m、n分别作为点A的横坐标和纵坐标，求点A（m，n）在函数y＝的图象上的概率．
25．（10分）已知：如图，中，平分，是上一点，且．判断与的数量关系并证明．
26．（10分）在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．
（1）如图1，过点C作⊙O的切线，与AB延长线相交于点P，若∠CAB=27°，求∠P的度数；
（2）如图2，D为弧AB上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接DC并延长，与AB的延长线交于点P，若∠CAB=10°，求∠P的大小．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【解析】试题分析：∵反比例函数中，k=－4＜0，
∴此函数的图象在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大.
∵x1＜x2＜0＜x3，∴0＜y1＜y2，y3＜0，∴y3＜y1＜y2
故选A．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．
2、B
【解析】分析：根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件：
A、打开电视机，正在播放茂名新闻，可能发生，也可能不发生，是随机事件，故本选项错误；
B、早晨的太阳从东方升起，是必然事件，故本选项正确；
C、随机掷一枚硬币，落地后可能正面朝上，也可能背面朝上，故本选项错误；
D、下雨后，天空出现彩虹，可能发生，也可能不发生，故本选项错误．
故选B．
3、D
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质解答即可．
【详解】解：∵
∴图象在二、四象限，y随x的增大而增大，选项A、B、C错误；
∵点在函数的图象上，
∴
∵点横纵坐标的乘积
∴则点也在函数的图象上，选项D正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查的知识点是反比例函数的的性质，掌握反比例函数图象的特征及其性质是解此题的关键．
4、B
【分析】把点代入，解得的值，得出函数解析式，再把=3即可得到的值.
【详解】把代入，得，解得=
把=3，代入==-4
故选B.
【点睛】
本题考查了二次函数的解析式，直接将坐标代入法是解题的关键.
5、A
【分析】分别设出枝干和小分支的数目，列出方程，解方程即可得出答案.
【详解】设枝干有x根，则小分支有根
根据题意可得：
解得：x=7或x=-8(不合题意，舍去)
故答案选择A.
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的应用，解题关键是根据题目意思列出方程.
6、C
【解析】如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1，求出OP1，如图当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2最大值＝5+3＝8，由此不难解决问题．
【详解】如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1，交⊙O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1．
∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，∴AB2＝AC2+BC2，∴∠C＝20°．
∵∠OP1B＝20°，∴OP1∥AC．
∵AO＝OB，∴P1C＝P1B，∴OP1AC＝4，∴P1Q1最小值为OP1﹣OQ1＝1，如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2经过圆心，经过圆心的弦最长，P2Q2最大值＝5+3＝8，∴PQ长的最大值与最小值的和是2．
故选C．
【点睛】
本题考查了切线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确找到点PQ取得最大值、最小值时的位置，属于中考常考题型．
7、B
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答．
【详解】二次函数y＝﹣3x1的图象向右平移1个单位，
得：y＝﹣3（x﹣1）1．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
8、C
【分析】根据反比例函数中的比例系数k的几何意义即可得出答案．
【详解】∵点在反比例函数，的面积为



故选：C．
【点睛】
本题主要考查反比例函数中的比例系数k的几何意义，掌握反比例函数中的比例系数k的几何意义是解题的关键．
9、B
【分析】根据二次函数的图象与性质（对称性、与x轴、y轴的交点）、二次函数与一元二次方程的关系逐个判断即可．
【详解】抛物线的开口向下
对称轴为
，异号，则
抛物线与y轴的交点在y轴的上方
，则①正确
由图象可知，时，，即
则，②错误
由对称性可知，和的函数值相等
则时，，即，③错误
可化为
关于m的一元二次方程的根的判别式
则二次函数的图象特征：抛物线的开口向下，与x轴只有一个交点
因此，，即，从而④正确
综上，正确的是①④
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、与x轴、y轴的交点）、二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握函数的图象与性质是解题关键．
10、C
【分析】如图，连接OD、OC．根据圆心角、弧、弦的关系证得△AOD是等边三角形，则⊙O的半径长为BC=4cm；然后由圆的周长公式进行计算．
【详解】解：如图，连接OC、OD．
∵AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，BC=CD=DA=4，
∴弧AD=弧CD=弧BC，
∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°．
又OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴OA=AD=4，
∴⊙O的周长=2×4π=8π．
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定与性质．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等，即四者有一个相等，则其它三个都相等．．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】根据对称性，作点B关于AC的对称点B′，连接B′M与AC的交点即为所求作的点P，再求直角三角形中30的临边即可．
【详解】如图，作点B关于AC的对称点B′，连接B′M，交AC于点P，
∴PB′＝PB，此时PB＋PM最小，
∵矩形ABCD中，两条对角线相交所成的锐角为60，
∴△ABP是等边三角形，
∴∠ABP＝60，
∴∠B′＝∠B′BP＝30，
∵∠DBC＝30，
∴∠BMB′＝90，
在Rt△BB′M中，BM＝4，∠B′＝30°，
∴BB’=2BM＝8
∴B′M＝，
∴PM＋PB′＝PM＋PB＝B′M =4．
故答案为4．
【点睛】
本题主要考查了最短路线问题，解决本题的关键是作点B关于AC的对称点B′．
12、m＞﹣
【详解】∵反比例函数y=的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，
∴1+2m＞0，
故m的取值范围是：m＞﹣，
故答案为：m＞﹣.
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象与性质，对于反比例函数，当k＞0,反比例函数图象的两个分支在第一、三象限,在每一象限内,y随x的增大而减小；当 k＜0,反比例函数图象的两个分支在第二、四象限,在每一象限内,y随x的增大而增大.
13、
【分析】连结OC，根据等腰三角形的性质可求OC的长，根据题意可得出阴影部分的面积=扇形BOC的面积-三角形ODC的面积，依此列式计算即可求解．
【详解】解：连接OC，
∵在扇形AOB中∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点，
∴∠COD=45°，
∴OC=CD=4，
∴阴影部分的面积=扇形BOC的面积-三角形ODC的面积
=-×4×4
=4π-1，
故答案为4π-1．
【点睛】
考查了正方形的性质和扇形面积的计算，解题的关键是得到扇形半径的长度．
14、－3
【解析】如图所示,过点A作AD⊥OD,根据∠AOB＝30°,AB＝BO,可得∠DAB＝60°,
∠OAB＝30°,所以∠BAD＝30°,在Rt△ADB中,即,因为AB＝BO,所以,所以,所以,,根据反比例函数k的几何意义可得:,因此,因为反比例函数图象在第二象限,所以
15、a≤且a≠1．
【分析】根据一元二次方程有实数根的条件列出关于a的不等式组，求出a的取值范围即可．
【详解】由题意得：△≥0，即（-1）2-4（a-1）×1≥0，
解得a≤，
又a-1≠0，
∴a≤且a≠1.
故答案为a≤且a≠1.
点睛：本题考查的是根的判别式及一元二次方程的定义，根据题意列出关于a的不等式组是解答此题的关键．
16、
【分析】连接BD交OC与E，得出，从而得出；再根据弦与弦长度相同得出，即可得出的度数.
【详解】
连接BD交OC与E
是的直径
弦与弦长度相同
故答案为.
【点睛】
本题考查了圆周角定理，辅助线得出是解题的关键.
17、（﹣8，4），（8，﹣4）
【分析】根据在平面直角坐标系中，位似变换的性质计算即可．
【详解】解：以原点O为位似中心，把△EFO扩大到原来的2倍，点E（﹣4，2），
∴点E的对应点E'的坐标为（﹣4×2，2×2）或（4×2，﹣2×2），
即（﹣8，4），（8，﹣4），
故答案为：（﹣8，4），（8，﹣4）．
【点睛】
本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
18、
【解析】根据旋转的性质可知△FGC的面积=△ABC的面积，观察图形可知阴影部分的面积就是扇形CAF的面积．
【详解】解：由题意得，△FGC的面积=△ABC的面积，∠ACF=30º，AC=4，
由图形可知，阴影部分的面积=△FGC的面积+扇形CAF的面积﹣△ABC的面积，
∴阴影部分的面积=扇形CAF的面积=.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了旋转的性质，不规则图形及扇形的面积计算.
三、解答题(共66分)
19、（1）m （2）米
【解析】分析：（1）由三角函数的定义，即可求得AM与AF的长，又由坡度的定义，即可求得NF的长，继而求得平台MN的长；（2）在RT△BMK中，求得BK=MK=50米，从而求得 EM=84米；在RT△HEM中， 求得，继而求得米．
详解：
（1）∵MF∥BC，∴∠AMF=∠ABC=45°，
∵斜坡AB长米，M是AB的中点，∴AM=（米），
∴AF=MF=AM•cs∠AMF=（米），
在中，∵斜坡AN的坡比为∶1，∴，
∴，
∴MN=MF-NF=50-=.

（2）在RT△BMK中，BM=，∴BK=MK=50（米），
EM=BG+BK=34+50=84（米）
在RT△HEM中，∠HME=30°，∴，
∴，
∴（米）
答：休闲平台DE的长是米；建筑物GH高为米.
点睛：本题考查了坡度坡角的问题以及俯角仰角的问题．解题的关键是根据题意构造直角三角形，将实际问题转化为解直角三角形的问题；掌握数形结合思想与方程思想在题中的运用.
20、（1），；（2）当x＜或x＞5时，函数值大于1．
【分析】（1）把（-1，1）和点（2，-9）代入y=ax2-4x+c，得到一个二元一次方程组，求出方程组的解，即可得到该二次函数的解析式，然后求出对称轴；
（2）求得抛物线与x轴的交点坐标后即可确定正确的答案．
【详解】解：（1）∵二次函数的图象过点(−1，1)和点(2，−9)，
∴，
解得：，
∴；
∴对称轴为：；
（2）令，
解得：，，
如图：
∴点A的坐标为（，1），点B的坐标为（5，1）；
∴结合图象得到，当x＜或x＞5时，函数值大于1．
【点睛】
本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式及抛物线与x轴的交点坐标的知识，解题的关键是正确的求得抛物线的解析式．
21、（1）米（2）米
【分析】（1）过点A作AH⊥CD于点H，可得四边形ABDH为矩形，根据A处测得电线杆上C处得仰角为30°，在△ACH中求出CH的长度，从而得出CD的长；
（2）然后在Rt△CDE中求出DE的长度，根据等腰三角形的性质，可得出DF=DE，从而得出EF的长．
【详解】解：（1）过作于，由条件知，为矩形，
∴，．
在中，，即，
∴．∴．
∴为米．
（2）∵，，∴，
在中，，，
∴，
∵，，∴，
∴，
∴、之间的距离为米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数解直角三角形．
22、（1）补全表格见解析；（1）图象见解析；当y随x增大而减小时，x的取值范围是x＞1．
【分析】（1）根据待定系数法，把点(1，0)，(0，-3)坐标代入得，则可确定抛物线解析式为，然后把它配成顶点式得到顶点的坐标；再根据对称性求出另一个交点坐标；
（1）根据函数解析式和（1）表、描点联线画出函数图像，再根据图象性质即可得出结论；
【详解】解：（1）把点(1，0)，(0，-3)坐标代入得：
，解得：，
抛物线解析式为，
化为顶点式为：，
故顶点坐标为(1，1)，对称轴为x=1，
又∵点(1，0)是交点，故另一个交点为（3，0）
补全表格如下：
（1）抛物线如图所示：

当y随x增大而减小时，x的取值范围是x＞1．
【点睛】
此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
23、（1）w=;（2）游乐场将门票售价定为25元/张时，每天获利最大，最大利润是1500元
【分析】（1）根据及利润=票房收入－运营成本即可得出化简即可.
（2）根据二次函数的性质及对称轴公式即可得最大值，及x的值.
【详解】（1）根据题意，得.
（2）∵中，，
∴有最大值.
当时，最大，最大值为1500.
答：游乐场将门票售价定为25元/张时，每天获利最大，最大利润是1500元.
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，结合二次函数的性质即可得到最大值.
24、（1）见解析；（2）．
【分析】（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果；
（2）利用，的值确定满足的个数，根据概率公式求出该事件的概率．
【详解】解：（1）所有可能情况如下表，且它们的可能性相
由列表知，（m，n）有9种可能；
（2）由（1）知，所有可能情况有9种，其中满足y＝的有（2，3）和（3，2）两种，
∴点A（m，n）在函数y＝的图象上的概率为．
【点睛】
本题考查了列表法求概率，反比例函数图象上点的坐标特点．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
25、，理由见解析.
【分析】根据题意，先证明∽，则，得到，然后得到结论成立.
【详解】证明：；
理由如下：如图：
∵平分，
∴，
∵，
∴∽，
∴，
∴，
∴.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，以及等角对等边，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质进行解题.
26、（1）∠P =36°；（2）∠P=30°．
【分析】（1）连接OC，首先根据切线的性质得到∠OCP=90°，利用∠CAB=27°得到∠COB=2∠CAB=54°，然后利用直角三角形两锐角互余即可求得答案；
（2）根据E为AC的中点得到OD⊥AC，从而求得∠AOE=90°﹣∠EAO=80°，然后利用圆周角定理求得∠ACD=∠AOD=40°，最后利用三角形的外角的性质求解即可．
【详解】解：（1）如图，连接OC，
∵⊙O与PC相切于点C，
∴OC⊥PC，即∠OCP=90°，
∵∠CAB=27°，
∴∠COB=2∠CAB=54°，
在Rt△AOE中，∠P+∠COP=90°，
∴∠P=90°﹣∠COP=36°；
（2）∵E为AC的中点，
∴OD⊥AC，即∠AEO=90°，
在Rt△AOE中，由∠EAO=10°，
得∠AOE=90°﹣∠EAO=80°，
∴∠ACD=∠AOD=40°，
∵∠ACD是△ACP的一个外角，
∴∠P=∠ACD﹣∠A=40°﹣10°=30°．
【点睛】
本题考查切线的性质．
抛物线
顶点坐标
与x轴交点坐标
与y轴交点坐标
(1,0)
（0，-3）
抛物线
顶点坐标
与x轴交点坐标
与y轴交点坐标
y＝﹣x1+4x-3
（1，1）
（1，0）
（3，0）
（0，-3）
n
m
2
3
4
1
（1，2）
（1，3）
（1，4）
2
（2，2）
（2，3）
（2，4）
3
（3，2）
（3，3）
（3，4）