重庆第二外国语学校2022年数学九上期末考试模拟试题含解析

这是一份重庆第二外国语学校2022年数学九上期末考试模拟试题含解析，共26页。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．在反比例函数y＝的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当0＞x1＞x2时，有y1＞y2，则k的取值范围是（ ）
A．k≤B．k
2．如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，已知AD＝2，BC＝5，则AB＋CD的值是
A．14B．12C．9D．7
3．在中，，，下列结论中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，∠AOB=90°，∠B=30°，△A′O B′可以看作是由△AOB绕点O顺时针旋转角度得到的．若点A′在AB上，则旋转角的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
5．关于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象过（1，2）点B．图象在第一、三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而减小D．当x＜0时，y随x的增大而增大
6．甲、乙两位同学在一次用频率估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，给出的 统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是 （ ）
A．掷一枚硬币，出现正面朝上的概率
B．掷一枚硬币，出现反面朝上的概率
C．掷一枚骰子，出现 点的概率
D．从只有颜色不同的两个红球和一个黄球中，随机取出一个球是黄球的概率
7．如图，中，、分别是、边上一点，是、的交点，，，交于，若，则长度为（ ）
A．B．C．D．
8．斜坡坡角等于，一个人沿着斜坡由到向上走了米，下列结论
①斜坡的坡度是； ②这个人水平位移大约米；
③这个人竖直升高米； ④由看的俯角为．
其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．如图，AB是半径为1的⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB＝30°，D为劣弧CB的中点，点P是直径AB上一个动点，则PC+PD的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．
10．已知如图，则下列4个三角形中，与相似的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．图甲是小张同学设计的带图案的花边作品，该作品由形如图乙的矩形图案设计拼接面成（不重叠，无缝隙）．图乙中，点E、F、G、H分别为矩形AB、BC、CD、DA的中点，若AB＝4，BC＝6，则图乙中阴影部分的面积为
_____．
12．反比例函数y=的图象分布在第一、三象限内，则k的取值范围是 ______．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为_____．
14．若一个反比例函数的图像经过点和，则这个反比例函数的表达式为__________．
15．在如图所示的几何体中，其三视图中有三角形的是______（填序号）．
16．若3a＝4b（b≠0），则＝_____．
17．如图，矩形中，，连接，将线段分别绕点顺时针旋转90°至，线段与弧交于点，连接，则图中阴影部分面积为____．
18．若关于x的方程x2-kx+9=0（k为常数）有两个相等的实数根，则k=_____.
三、解答题(共66分)
19．（10分）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，a=2. 求b和c.
20．（6分）解答下列问题：
（1）计算：；
（2）解方程：；
21．（6分）如图，在社会实践活动中，某数学兴趣小组想测量在楼房CD顶上广告牌DE的高度，他们先在点A处测得广告牌顶端E的仰角为60°,底端D的仰角为30°，然后沿AC方向前行20m，到达B点，在B处测得D的仰角为45°（C，D，E三点在同一直线上）.请你根据他们的测量数据计算这广告牌DE的高度（结果保留小数点后一位，参考数据：，）.
22．（8分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，E是AB边上一点，D是AC边上一点，且点D不与A、C重合，ED⊥AC．
（1）当sinB=时，
①求证：BE＝2CD．
②当△ADE绕点A旋转到如图2的位置时（45°＜∠CAD＜90°）．BE＝2CD是否成立？若成立，请给出证明；若不成立．请说明理由．
（2）当sinB=时，将△ADE绕点A旋转到∠DEB＝90°，若AC＝10，AD＝2，求线段CD的长．
23．（8分）已知：如图,在⊙O中,弦交于点,.
求证：.
24．（8分）若，且3a+2b﹣4c=9，求a+b﹣c的值是多少？
25．（10分）在，，．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．
（1）观察猜想
如图1，当时，的值是 ，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是 ．
（2）类比探究
如图2，当时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．
（3）解决问题
当时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．
26．（10分）如图，在中，，为上一点，，．
（1）求的长；（2）求的值．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【解析】根据题意可以得到1-3k＜0，从而可以求得k的取值范围，本题得以解决．
【详解】∵反比例函数y=的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当0＞x1＞x2时，有y1＞y2，
∴1-3k＜0，
解得，k＞，
故选D．
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
2、D
【分析】根据切线长定理，可以证明圆的外切四边形的对边和相等，由此即可解决问题．
【详解】∵AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，
∴可以假设切点分别为E、H、G、F，
∴AF＝AE，BE＝BH，CH＝CG，DG＝DF，
∴AD＋BC＝AF＋DF＋BH＋CH＝AE＋BE＋DG＋CG＝AB＋CD，
∵AD＝2，BC＝5，
∴AB＋CD＝AD＋BC＝7，
故选D.
【点睛】
本题考查切线的性质、切线长定理等知识，解题的关键是证明圆的外切四边形的对边和相等，属于中考常考题型．
3、C
【分析】直接利用锐角三角函数关系分别计算得出答案．
【详解】∵，，
∴，
∴，
故选项A，B错误，
∵，
∴，
故选项C正确；选项D错误．
故选C．
【点睛】
此题主要考查了锐角三角函数关系，熟练掌握锐角三角函数关系是解题关键．
4、C
【分析】根据旋转的性质得出AO=A′O，得出等边三角形AOA′，根据等边三角形的性质推出即可．
【详解】解：∵∠AOB=90°，∠B=30°，
∴∠A=60°，
∵△A′OB′可以看作是△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的，点A′在AB上，
∴AO=A′O，
∴△AOA′是等边三角形，
∴∠AOA′=60°，
即旋转角α的度数是60°，
故选：C
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质和判定，旋转的性质等知识点，关键是得出△AOA′是等边三角形，题目比较典型，难度不大．
5、D
【解析】试题分析：根据反比例函数y=（k≠0）的图象k＞0时位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；k＜0时位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大；在不同象限内，y随x的增大而增大．可由k=-2＜0，所以函数图象位于二四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，图象是轴对称图象，故A、B、C错误．
故选D．
考点：反比例函数图象的性质
6、D
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．
【详解】解：A. 掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意；
B. 掷一枚硬币，出现反面朝上的概率为，故此选项不符合题意；
C. 掷一枚骰子，出现 点的概率为，故此选项不符合题意；
D. 从只有颜色不同的两个红球和一个黄球中，随机取出一个球是黄球的概率为，故此选项符合题意；
故选：D.
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
7、D
【分析】根据AAS证明△BDF≌△ENF，得到NE=BD=1，再由NE∥BC，得到△ANE∽△ADC，根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论．
【详解】∵NE∥BC，
∴∠ENF=∠BDF，∠NEF=∠DBF．
∵BF=EF，
∴△BDF≌△ENF，
∴NE=BD=1．
∵NE∥BC，
∴△ANE∽△ADC，
∴，
∴，
∴DC=2．
故选：D．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质．求出NE的长是解答本题的关键．
8、C
【解析】由题意对每个结论一一分析即可得出其中正确的个数．
【详解】解：如图，
斜坡的坡度为tan30°= =1： ，正确．
②AB=20米，这个人水平位移是AC，
AC=AB•cs30°=20× ≈17.3（米），正确．
③这个人竖直升高的距离是BC，
BC=AB•sin30°=20×=10（米），正确．
④由平行线的性质可得由B看A的俯角为30°．所以由B看A的俯角为60°不正确．
所以①②③正确．
故选：C．
【点睛】
此题考查的知识点是解直角三角形的应用-坡度坡角-仰角俯角问题，关键是熟练掌握相关概念．
9、C
【分析】作D点关于AB的对称点E，连接OC．OE、CE，CE交AB于P'，如图，利用对称的性质得到P'E=P'D，，再根据两点之间线段最短判断点P点在P'时，PC+PD的值最小，接着根据圆周角定理得到∠BOC=60°，∠BOE=30°，然后通过证明△COE为等腰直角三角形得到CE的长即可．
【详解】作D点关于AB的对称点E，连接OC、OE、CE，CE交AB于P'，如图，
∵点D与点E关于AB对称，
∴P'E=P'D，，
∴P'C+P'D=P'C+P'E=CE，
∴点P点在P'时，PC+PD的值最小，最小值为CE的长度．
∵∠BOC=2∠CAB=2×30°=60°，
而D为的中点，
∴∠BOE∠BOC=30°，
∴∠COE=60°+30°=90°，
∴△COE为等腰直角三角形，
∴CEOC，
∴PC+PD的最小值为．
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
10、C
【分析】根据相似三角形的判定定理逐一分析即可．
【详解】解: ∵AB=AC=6，∠B=75°
∴∠B=∠C=75°
∴∠A=180°－∠B－∠C=30°，
对于A选项，如下图所示

∵，但∠A≠∠E
∴与△EFD不相似，故本选项不符合题意；
对于B选项，如下图所示

∵DE=DF=EF
∴△DEF是等边三角形
∴∠E=60°
∴，但∠A≠∠E
∴与△EFD不相似，故本选项不符合题意；
对于C选项，如下图所示
∵，∠A=∠E=30°
∴∽△EFD，故本选项符合题意；
对于D选项，如下图所示
∵，但∠A≠∠D
∴与△DEF不相似，故本选项不符合题意；
故选C．
【点睛】
此题考查的是相似三角形的判定，掌握有两组对应边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似是解决此题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】根据S阴＝S菱形PHQF﹣2S△HTN，再求出菱形PHQF的面积，△HTN的面积即可解决问题．
【详解】如图，设FM＝HN＝a．
由题意点E、F、G、H分别为矩形AB、BC、CD、DA的中点，
∴四边形DFBH和四边形CFAH为平行四边形，
∴DF∥BH,CH∥AF，
∴四边形HQFP是平行四边形
又HP=CH=DP=PF，
∴平行四边形HQFP是菱形，它的面积＝S矩形ABCD＝×4×6＝6，
∵FM∥BJ，CF＝FB，
∴CM＝MJ，
∴BJ＝2FM＝2a，
∵EJ∥AN，AE＝EB，
∴BJ＝JN＝2a，
∵S△HBC＝•6•4＝12，HJ＝BH，
∴S△HCJ＝×12＝，
∵TN∥CJ，
∴△HTN∽△HCJ，
∴＝（）2＝，
∴S△HTN＝×＝，
∴S阴＝S菱形PHQF﹣2S△HTN＝6﹣＝，
故答案为．
【点睛】
此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知矩形的性质、菱形的判定与性质及相似三角形的性质.
12、k＞0
【详解】∵反比例函数的图象在一、三象限，
∴k＞0，
13、60°
【解析】试题解析：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠A=90°-30°=60°，
∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C时点A′恰好落在AB上，
∴AC=A′C，
∴△A′AC是等边三角形，
∴∠ACA′=60°，
∴旋转角为60°．
故答案为60°.
14、
【分析】这个反比例函数的表达式为，将A、B两点坐标代入，列出方程即可求出k的值，从而求出反比例函数的表达式．
【详解】解：设这个反比例函数的表达式为
将点和代入，得
化简，得
解得：（反比例函数与坐标轴无交点，故舍去）
解得：
∴这个反比例函数的表达式为
故答案为：．
【点睛】
此题考查的是求反比例函数的表达式，掌握待定系数法是解决此题的关键．
15、①
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，据此
【详解】解：圆锥的主视图、左视图是等腰三角形，俯视图是带有圆心的圆，
长方体主视图，左视图，俯视图都是矩形，
圆柱体的主视图是矩形，左视图是矩形，俯视图是圆，
所以三视图中有三角形的是①.
故答案为①
【点睛】
本题主要考查三视图的知识，熟练掌握常见几何体的三视图是解题的关键．
16、
【分析】依据3a＝4b，即可得到a＝b，代入代数式进行计算即可．
【详解】解：∵3a＝4b，
∴a＝b，
∴＝＝＝．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了比例的性质，求出a＝b是解题的关键．
17、
【分析】根据勾股定理得到、由三角函数的定义得到、根据旋转的性质得到、求得，然后根据图形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：∵四边形是矩形
∴
∵，
∴，
∴
∵线段分别绕点顺时针旋转至
∴
∴
∴
．
故答案是：
【点睛】
本题考查了矩形的性质、勾股定理、锐角三角函数、直角三角形的面积、扇形的面积、将求不规则图形面积问题转化为求规则图形面积相加减问题，解题的关键在于面积问题的转化．
18、±1
【分析】根据方程x2-kx+9=0有两个相等的实数根，所以根的判别式△=b2-4ac=0，即k2-4×1×9=0，然后解方程即可．
【详解】∵方程x2+kx+9=0有两个相等的实数根，
∴△=0，即k2-4×1×9=0，解得k=±1．
故答案为±1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的根判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
三、解答题(共66分)
19、
【分析】根据题意画出图形，结合锐角三角函数的定义选择合适的函数即可。
【详解】∵∠B=60°，a=2
【点睛】
本题考查解直角三角形，根据已知条件选择合适的三角函数是解题的关键。
20、（1）；（2），
【分析】（1）先按照二次根式的乘除法计算，然后去条绝对值，再计算加减法；
（2）采用配方法解方程即可.
【详解】解：（1）原式；
（2）
∴，
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算与解一元二次方程，熟练掌握二次根式的乘除运算法则和配方法是解题的关键.
21、广告牌的高度为54.6米.
【分析】由题可知：，，，先得到CD=CB，在三角形ACD中，利用正切列出关于CD的等式并解出，从而求出BC的值，加上AB的值得到AC的值，在三角形ACE中利用正切得到CE的长度，最后用CE-CD即为所求.
【详解】解：∵
又，
在中，
即
答：广告牌的高度为54.6米.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解，注意利用两个直角三角形的公共边求解是解答此类题型的关键.
22、（1）①证明见解析；②BE＝2CD成立.理由见解析；（2）2或4．
【分析】（1）①作EH⊥BC于点H，由sinB=可得∠B=30°，∠A=60°，根据ED⊥AC可证明四边形CDEH是矩形，根据矩形的性质可得EH=CD，根据正弦的定义即可得BE＝2CD；
②根据旋转的性质可得∠BAC＝∠EAD，利用角的和差关系可得∠CAD＝∠BAE，根据=可证明△ACD∽△ABE，及相似三角形的性质可得，进而可得BE=2CD；
（2）由sinB=可得∠ABC＝∠BAC＝∠DAE＝45°，根据ED⊥AC可得AD＝DE，AC＝BC，如图，分两种情况讨论，通过证明△ACD∽△ABE，求出CD的长即可.
【详解】（1）①作EH⊥BC于点H，
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB=，
∴∠B=30°，
∴∠A=60°，
∵ED⊥AC
∴∠ADE＝∠C＝90°，
∴四边形CDEH是矩形，即EH=CD.
∴在Rt△BEH中，∠B=30°
∴BE＝2EH
∴BE＝2CD.
②BE＝2CD成立．
理由：∵△ADE绕点A旋转到如图2的位置，
∴∠BAC＝∠EAD＝60°，
∴∠BAC+∠BAD=∠EAD+∠BAD，即∠CAD＝∠BAE，
∵AC：AB＝1：2，AD：AE＝1：2，
∴，
∴△ACD∽△ABE，
∴，
又∵Rt△ABC中，＝2，
∴＝2，即BE＝2CD.
（2）∵sinB=，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠DAE＝45°，
∵ED⊥AC，
∴∠AED＝∠BAC＝45°，
∴AD＝DE，AC＝BC，
将△ADE绕点A旋转，∠DEB＝90°，分两种情况：
①如图所示，过A作AF⊥BE于F，则∠F＝90°，
当∠DEB＝90°时，∠ADE＝∠DEF＝90°，
又∵AD＝DE，
∴四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF＝EF＝2，
∵AC＝10＝BC，
∴AB＝10，
∴Rt△ABF中，BF＝＝6，
∴BE＝BF﹣EF＝4，
又∵△ABC和△ADE都是直角三角形，
且∠BAC＝∠EAD＝45°，
∴∠CAD＝∠BAE，
∵AC：AB＝1：，AD：AE＝1：，
∴，
∴△ACD∽△ABE，
∴＝，即＝，
∴CD＝2；
②如图所示，过A作AF⊥BE于F，则∠AFE＝∠AFB＝90°，
当∠DEB＝90°，∠DEB＝∠ADE＝90°，
又∵AD＝ED，
∴四边形ADEF是正方形，
∴AD＝EF＝AF＝2，
又∵AC＝10＝BC，
∴AB＝10，
∴Rt△ABF中，BF＝＝6，
∴BE＝BF+EF＝8，
又∵△ACD∽△ABE，
∴＝，即＝，
∴CD＝4，
综上所述，线段CD的长为2或4．
【点睛】
本题考查三角函数的定义、特殊角的三角函数值及相似三角形的判定与性质，根据正弦值得出∠ABC的度数并熟练掌握相似三角形的判定定理解题关键.
23、证明见解析.
【分析】由圆周角定理可得∠ADE=∠CBE，从而利用AAS可证明△ADE≌△CBE，继而可得出结论．
【详解】证明:∵同弧所对的圆周角相等,
在和中,
【点睛】
本题考查了圆周角定理及全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是由圆周角定理得出∠ADE=∠CBE．
24、﹣1．
【分析】设k，利用比例性质得到a=3k，b=5k，c=7k，所以9k+10k﹣28k=9，求出k后得到a、b、c的值，然后计算代数式的值．
【详解】设k，则a=3k，b=5k，c=7k．
∵3a+2b﹣4c=9，
∴9k+10k﹣28k=9，
解得：k=﹣1，
∴a=﹣3，b=﹣5，c=﹣7，
∴a+b﹣c=﹣3﹣5﹣(﹣7)=﹣1．
【点睛】
本题考查了比例的性质：灵活应用比例性质(内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质)进行计算．
25、（1）1，（2）45°（3），
【解析】（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．证明，即可解决问题．
（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．证明，即可解决问题．
（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．证明即可解决问题．
②如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：解决问题．
【详解】解：（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．
，
，
，，
，
，，
，
，
，线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是，
故答案为1，．
（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．
，
，
，
，
，，
，
，
直线BD与直线CP相交所成的小角的度数为．
（3）如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
A，D，C，B四点共圆，
，，
，
，设，则，，
c．
如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：，设，则，，
，
．
【点睛】
本题属于相似形综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
26、（1）；（2）.
【分析】（1）根据，可设，得，再由勾股定理列出的方程求得，进而由勾股定理求；
（2）过点作于点，解直角三角形求得与，进而求得结果．
【详解】解：（1）∵，可设，得，
∵，
∴，
解得，（舍去），或，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）过点作于点，
∵，可设，则，
∵，
∴，
解得，（舍），或，
∴，
∴．
【点睛】
考核知识点：解直角三角形.理解三角函数的定义是关键.