重庆市兼善中学2022年数学九上期末考试模拟试题含解析

这是一份重庆市兼善中学2022年数学九上期末考试模拟试题含解析，共23页。试卷主要包含了计算，已知二次函数y＝x2﹣2x+m等内容，欢迎下载使用。

1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点且CD＝4，则OE等于( )
A．1B．2C．3D．4
2．在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠B=90º，E为AB上一点，且ED平分∠ADC，EC平分∠BCD，则下列结论：①DE⊥EC；②点E是AB的中点；③AD∙BC=BE∙DE；④CD=AD+BC．其中正确的有（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④
3．如图，P为平行四边形ABCD的对称中心，以P为圆心作圆，过P的任意直线与圆相交于点M，N．则线段BM，DN的大小关系是（ ）
A．BM＞DNB．BM＜DNC．BM=DND．无法确定
4．已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．若此蓄电池为某用电器的电源，限制电流不能超过12A，那么用电器的可变电阻R应控制在什么范围？（ ）
A．R≥3ΩB．R≤3ΩC．R≥12ΩD．R≥24Ω
5．计算：tan45°＋sin30°＝（ ）
A．B．C．D．
6．如图，AB是⊙的直径，AC是⊙的切线，A为切点，BC与⊙交于点D，连结OD．若，则∠AOD的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．已知二次函数y＝x2﹣2x+m（m为常数）的图象与x轴的一个点为（3，0），则关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两个实数根是（ ）
A．x1＝﹣1，x2＝3B．x1＝1，x2＝3C．x1＝﹣1，x2＝1D．x1＝3，x2＝﹣5
8．一张圆心角为的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形，边长都为4，已知，则扇形纸板和圆形纸板的半径之比是（ ）
A．B．C．D．
9．下列二次函数中有一个函数的图像与x轴有两个不同的交点，这个函数是（ ）
A．B．C．D．
10．关于反比例函数，下列说法错误的是（ ）
A．随的增大而减小B．图象位于一、三象限
C．图象过点D．图象关于原点成中心对称
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．在Rt△ABC中，AC：BC＝1：2，则sinB＝______.
12．计算：_____．
13．若方程的解为，则的值为_____________．
14．如图，正六边形ABCDEF内接于O，点M是边CD的中点，连结AM，若圆O的半径为2，则AM=____________.
15．，两点都在二次函数的图像上，则的大小关系是____________．
16．要使式子在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是________．
17．如图，反比例函数y=的图象经过▱ABCD对角线的交点P，已知点A，C，D在坐标轴上，BD⊥DC，▱ABCD的面积为6，则k=_____．
18．如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度是__________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图1，抛物线y=－x2＋bx＋c的顶点为Q，与x轴交于A（－1，0）、B(5，0)两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式及其顶点Q的坐标；
(2)在该抛物线的对称轴上求一点P，使得△PAC的周长最小，请在图中画出点P的位置，并求点P的坐标；
(3)如图2，若点D是第一象限抛物线上的一个动点，过D作DE⊥x轴，垂足为E．
①有一个同学说：“在第一象限抛物线上的所有点中，抛物线的顶点Q与x轴相距最远，所以当点D运动至点Q时，折线D－E－O的长度最长”，这个同学的说法正确吗？请说明理由．
②若DE与直线BC交于点F．试探究：四边形DCEB能否为平行四边形？若能，请直接写出点D的坐标；若不能，请简要说明理由．
20．（6分）先化简，再求值：，其中．
21．（6分）如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．
22．（8分）如图，于，以直径作，交于点恰有，连接．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接分别交，于点连接试探究与之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的基础上，若，求的长．
23．（8分）已知：如图,在⊙O中,弦交于点,.
求证：.
24．（8分）超速行驶被称为“马路第一杀手”为了让驾驶员自觉遵守交通规则，湖浔大道公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，如图所示，已知检测点设在距离公路10米的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时间为1.35秒．已知∠B＝45°，∠C＝30°．
（1）求B，C之间的距离（结果保留根号）；
（2）如果此地限速为70km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．（参考数据；≈1.7，≈1.4）
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连接AC，过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG=FG．
（1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）延长AB交GE的延长线于点M，若AH=2，，求OM的长．
26．（10分）已知反比例函数的图象经过点（2，﹣2）．
（I）求此反比例函数的解析式；
（II）当y≥2时，求x的取值范围．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】利用菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案．
【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD＝4，AC⊥BD，
又∵点E是边AB的中点，
∴OE＝AB＝1．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出OE=AB是解题关键．
2、C
【解析】如图（见解析），过点E作，根据平行线的性质、角平分线的性质、相似三角形的判定定理与性质逐个判断即可.
【详解】如图，过点E作
，即
ED平分，EC平分
，即
，故①正确
又ED平分，EC平分，
点E是AB的中点，故②正确
在和中，
同理可证：
，故④正确
又
，即
在中，
，故③错误
综上，正确的有①②④
故选：C.
【点睛】
本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、相似三角形的判定定理与性质，通过作辅助线，构造垂线和两组全等的三角形是解题关键.
3、C
【解析】分析：连接BD，根据平行四边形的性质得出BP=DP，根据圆的性质得出PM=PN，结合对顶角的性质得出∠DPN=∠BPM，从而得出三角形全等，得出答案．
详解：连接BD，因为P为平行四边形ABCD的对称中心，则P是平行四边形两对角线的交点，即BD必过点P，且BP=DP， ∵以P为圆心作圆， ∴P又是圆的对称中心，
∵过P的任意直线与圆相交于点M、N， ∴PN=PM， ∵∠DPN=∠BPM，
∴△PDN≌△PBM（SAS）， ∴BM=DN．
点睛：本题主要考查的是平行四边形的性质以及三角形全等的证明，属于中等难度的题型．理解平行四边形的中心对称性是解决这个问题的关键．
4、A
【分析】直接利用图象上点的坐标得出函数解析式，进而利用限制电流不能超过12A，得出电器的可变电阻R应控制范围．
【详解】解：设I＝，把（9，4）代入得：U＝36，故I＝，
∵限制电流不能超过12A，
∴用电器的可变电阻R≥3，
故选：A．
【点睛】
本题考查了反比例的实际应用，数形结合，利用图像解不等式是解题的关键
5、C
【解析】代入45°角的正切函数值和30°角的正弦函数值计算即可．
【详解】解：原式=
故选C．
【点睛】
熟记“45°角的正切函数值和30°角的正弦函数值”是正确解答本题的关键．
6、C
【分析】由AC是⊙的切线可得∠CAB=,又由，可得∠ABC=40;再由OD=OB，则∠BDO=40最后由∠AOD=∠OBD+∠OBD计算即可.
【详解】解：∵AC是⊙的切线
∴∠CAB=,
又∵
∴∠ABC=-=40
又∵OD=OB
∴∠BDO=∠ABC=40
又∵∠AOD=∠OBD+∠OBD
∴∠AOD=40+40=80
故答案为C.
【点睛】
本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形以及三角形外角的概念.其中解题关键是运用圆的切线垂直于半径的性质.
7、A
【分析】利用抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个点为（﹣1，0），然后利用抛物线与x轴的交点问题求解．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
而抛物线与x轴的一个点为（1，0），
∴抛物线与x轴的另一个点为（﹣1，0），
∴关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两个实数根是x1＝﹣1，x2＝1．
故选：A．
【点睛】
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
8、A
【分析】分别求出扇形和圆的半径，即可求出比值．
【详解】如图，连接OD，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB＝∠ABO＝90°，AB＝BC＝CD＝4，
∵=，
∴OB＝AB＝3，∴CO=7
由勾股定理得：OD＝=r1；
如图2，连接MB、MC，

∵四边形ABCD是⊙M的内接四边形，四边形ABCD是正方形，
∴∠BMC＝90°，MB＝MC，
∴∠MCB＝∠MBC＝45°，
∵BC＝4，
∴MC＝MB＝=r2
∴扇形和圆形纸板的半径比是：=
故选：A．
【点睛】
本题考查了正方形性质、圆内接四边形性质；解此题的关键是求出扇形和圆的半径，题目比较好，难度适中．
9、D
【解析】试题分析：分别对A、B、C、D四个选项进行一一验证，令y=1，转化为一元二次方程，根据根的判别式来判断方程是否有根．
A、令y=1，得x2=1，△=1-4×1×1=1，则函数图形与x轴没有两个交点，故A错误；
B、令y=1，得x2+4=1，△=1-4×1×1=-4＜1，则函数图形与x轴没有两个交点，故B错误；
C、令y=1，得3x2-2x+5=1，△=4-4×3×5=-56＜1，则函数图形与x轴没有两个交点，故C错误；
D、令y=1，得3x2+5x-1=1，△=25-4×3×（-1）=37＞1，则函数图形与x轴有两个交点，故D正确；
故选D．
考点：本题考查的是抛物线与x轴的交点
点评：解答本题的关键是熟练掌握当二次函数与x轴有两个交点时，b2-4ac＞1，与x轴有一个交点时，b2-4ac=1，与x轴没有交点时，b2-4ac＜1．
10、A
【分析】根据反比例函数的性质用排除法解答．
【详解】A、反比例函数解析式中k=2＞0，则在同一个象限内，y随x增大而减小，选项中没有提到每个象限，故错误；
B、2＞0，图象经过一三象限，故正确；
C、把x=-1代入函数解析式，求得y=-2，故正确；
D、反比例函数图象都是关于原点对称的，故正确．
故选：A．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是要明确反比例函数的增减性必须要强调在同一个象限内．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、或
【分析】根据可知，因此分和两种情况讨论，当时，；当时，利用勾股定理求出斜边AB，再由即可得.
【详解】
（1）当时，BC为斜边，AC为所对的直角边
则
（2）当时，AB为斜边，AC为所对的直角边
设，则
由勾股定理得：
则
综上，答案为或.
【点睛】
本题考查了直角三角形中锐角三角函数，熟记锐角三角函数的计算方法是解题关键.
12、3
【解析】根据二次根式的乘法法则和零指数幂的意义运算
【详解】原式=+1
=2+1
=3.
【点睛】
本题考查了二次根式的混合计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算．
13、
【分析】根据根与系数的关系可得出、，将其代入式中即可求出结果．
【详解】解：∵方程的两根是，
∴、，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记如果一元二次方程有两根，那么两根之和等于、两根之积等于是解题的关键．
14、
【分析】连接AD,过M作MG⊥AD于G,根据正六边形的相关性质，求得AD,MD的值，再根据∠CDG=60°，求出DG,MG的值，最后利用勾股定理求出AM的值.
【详解】解：连接AD,过M作MG⊥AD于G,则由正六边形可得，
AD=2AB=4，∠CDA=60°，
又MD=CD=1，
∴DG=,MG=,
∴AG=AD-DG=,
∴AM=
故答案为．
【点睛】
本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、三角函数、勾股定理；熟练掌握正六边形的性质，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.
15、＞
【分析】根据二次函数的性质，可以判断y1，y2的大小关系，本题得以解决．
【详解】∵二次函数，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大，
∵点在二次函数的图象上，
∵-1＞-2，
∴＞，
故答案为：＞．
【点睛】
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
16、 .
【分析】根据二次根式被开方数大于等于0，对于分式，分母不能为0，列式计算即可得解．
【详解】既是二次根式，又是分式的分母，
∴
解得：
∴实数的取值范围是：
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了二次根式及分式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键．
17、-3
【解析】分析：由平行四边形面积转化为矩形BDOA面积，在得到矩形PDOE面积，应用反比例函数比例系数k的意义即可．
详解：过点P做PE⊥y轴于点E，
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB=CD
又∵BD⊥x轴
∴ABDO为矩形
∴AB=DO
∴S矩形ABDO=S▱ABCD=6
∵P为对角线交点，PE⊥y轴
∴四边形PDOE为矩形面积为3
即DO•EO=3
∴设P点坐标为（x，y）
k=xy=﹣3
故答案为：﹣3
点睛：本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义以及平行四边形的性质．
18、
【分析】先根据坡比求出AB的长度，再利用勾股定理即可求出BC的长度．
【详解】


故答案为：．
【点睛】
本题主要考查坡比及勾股定理，掌握坡比的定义及勾股定理是解题的关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）y-（x-2）2+9，Q（2，9）；（2）（2，3）；作图见解析；（3）①不正确，理由见解析；②不能，理由见解析.
【分析】（1）将A（-1，0）、B（1，0）分别代入y=-x2+bx+c中即可确定b、c的值，然后配方后即可确定其顶点坐标；
（2）连接BC，交对称轴于点P，连接AP、AC．求得C点的坐标后然后确定直线BC的解析式，最后求得其与x=2与直线BC的交点坐标即为点P的坐标；
（3）①设D（t，-t2+4t+1），设折线D-E-O的长度为L，求得L的最大值后与当点D与Q重合时L=9+2=11＜相比较即可得到答案；
②假设四边形DCEB为平行四边形，则可得到EF=DF，CF=BF．然后根据DE∥y轴求得DF，得到DF＞EF，这与EF=DF相矛盾，从而否定是平行四边形．
【详解】解:（1）将A（-1，0）、B（1，0）分别代入y=-x2+bx+c中，得
，解得
∴y=-x2+4x+1．
∵y=-x2+4x+1=-（x-2）2+9，
∴Q（2，9）．
（2）如图1，连接BC，交对称轴于点P，连接AP、AC．
∵AC长为定值，∴要使△PAC的周长最小，只需PA+PC最小．
∵点A关于对称轴x=2的对称点是点B（1，0），抛物线y=-x2+4x+1与y轴交点C的坐标为（0，1）．
∴由几何知识可知，PA+PC=PB+PC为最小．
设直线BC的解析式为y=kx+1，将B（1，0）代入1k+1=0，得k=-1，
∴y=-x+1，
∴当x=2时，y=3，
∴点P的坐标为（2，3）．
（3）①这个同学的说法不正确．
∵设D（t，-t2+4t+1），设折线D-E-O的长度为L，则L=−t2+4t+1+t=−t2+1t+1=−(t−)2+，
∵a＜0，
∴当t=时，L最大值=．
而当点D与Q重合时，L=9+2=11＜，
∴该该同学的说法不正确．
②四边形DCEB不能为平行四边形．
如图2，若四边形DCEB为平行四边形，则EF=DF，CF=BF．
∵DE∥y轴，
∴，即OE=BE=2.1．
当xF=2.1时，yF=-2.1+1=2.1，即EF=2.1；
当xD=2.1时，yD=−(2.1−2)2+9=8.71，即DE=8.71．
∴DF=DE-EF=8.71-2.1=6.21＞2.1．即DF＞EF，这与EF=DF相矛盾，
∴四边形DCEB不能为平行四边形．
【点睛】
本题考查二次函数及四边形的综合，难度较大．
20、1
【分析】注意到可以利用完全平方公式进行展开，利润平方差公式可化为，则将各项合并即可化简，最后代入进行计算．
【详解】解：原式
将代入原式
【点睛】
考查整式的混合运算，灵活运用两条乘法公式：完全平方公式和平方差公式是解题的关键，同时，在去括号的过程中要注意括号前的符号，若为负号，去括号后，括号里面的符号要改变.
21、48mm
【分析】设正方形的边长为x，表示出AI的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解．
【详解】设正方形的边长为x mm，
则AI＝AD﹣x＝80﹣x，
∵EFHG是正方形，
∴EF∥GH，
∴△AEF∽△ABC，
∴,
即，
解得x＝48 mm，
∴这个正方形零件的边长是48mm．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形判定与性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
22、（1）证明见解析；（2）；理由见解析；（3）．
【分析】（1）由直径所对圆周角等于90度可得，进而易证，再根据即可证明；
（2）由，可得，进而可知，再由同弧所对圆周角相等可得，再分别证明， ，从而可得，即可解决问题；
（3）设，，由，可得，可得，由，可得，设，，根据，可得，求出即可解决问题．
【详解】解：（1）证明： 是直径，
，
∵，
，
，
，
，
又∵，
（AAS）．
（2）结论：．理由如下：
由（1）可得：，
，
，
是直径，
∴，
，
，
又∵，
∴，
∴
，
，，
，
，
．
（3）解：设，，
，
，
整理得，
或（舍弃），
，
，
又∵由（2）可知，
，
，
∵，
∴，
∴，
设，，
，
，
，
【点睛】
本题综合考查了圆与相似，涉及了圆的性质、切线的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
23、证明见解析.
【分析】由圆周角定理可得∠ADE=∠CBE，从而利用AAS可证明△ADE≌△CBE，继而可得出结论．
【详解】证明:∵同弧所对的圆周角相等,
在和中,
【点睛】
本题考查了圆周角定理及全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是由圆周角定理得出∠ADE=∠CBE．
24、（1）BC＝（10+10）m；（2）这辆汽车超速．理由见解析．
【分析】（1）作AD⊥BC于D,则AD=10m,求出CD、BD即可解决问题;
（2）求出汽车的速度,即可解决问题,注意统一单位．
【详解】（1）如图作AD⊥BC于D,
则AD＝10m,
在Rt△ABD中,∵∠B＝45°,
∴BD＝AD＝10m,
在Rt△ACD中,∵∠C＝30°,
∴tan30°＝,
∴CD＝AD＝10m,
∴BC＝BD+DC＝（10+10）m;
（2）结论:这辆汽车超速．
理由:∵BC＝10+10≈27m,
∴汽车速度＝＝20m/s＝72km/h,
∵72km/h＞70km/h,
∴这辆汽车超速．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用,锐角三角函数、速度、时间、路程之间的关系等知识, 解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题.
25、（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）连接OE，如图，通过证明∠GEA+∠OEA=90°得到OE⊥GE，然后根据切线的判定定理得到EG是⊙O的切线；
（2）连接OC，如图，设⊙O的半径为r，则OC=r，OH=r-2，利用勾股定理得到，解得r=3，然后证明Rt△OEM∽Rt△CHA，再利用相似比计算OM的长．
【详解】（1）证明：连接OE，如图，
∵GE=GF，
∴∠GEF=∠GFE，
而∠GFE=∠AFH，
∴∠GEF=∠AFH，
∵AB⊥CD，
∴∠OAF+∠AFH=90°，
∴∠GEA+∠OAF=90°，
∵OA=OE，
∴∠OEA=∠OAF，
∴∠GEA+∠OEA=90°，即∠GEO=90°，
∴OE⊥GE，
∴EG是⊙O的切线；
（2）解：连接OC，如图，
设⊙O的半径为r，则OC=r，OH=r-2，
在Rt△OCH中，，
解得r=3，
在Rt△ACH中，AC= ，
∵AC∥GE，
∴∠M=∠CAH，
∴Rt△OEM∽Rt△CHA，
∴ ，
即，
解得：OM=．
【点睛】
本题考查了切线的判断与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径．也考查了勾股定理．
26、 (I) y＝﹣；(II) 当y≥2时，﹣2≤x＜1
【分析】（I）利用待定系数法可得反比例函数解析式；
（II）利用反比例函数的解析式不求出的点，利用函数图象即可求得答案.
【详解】（I）设解析式为y＝，
把点（2，﹣2）代入解析式得，
﹣2＝，
解得：k＝﹣4
∴反比例函数的解析式y＝﹣；
（II）当y＝2时，x＝﹣2，
如图，
所以当y≥2时，﹣2≤x＜1．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数的性质以及待定系数法求反比例函数解析式，关键是正确求出函数解析式，画出函数图象的草图．