（人教A版）2024年高中数学高二暑假讲义新课预习-专题强化2：空间向量和立体几何考点精练

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1．如图，已知空间四边形ABCD的对角线为AC，BD，设G是CD的中点，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据空间向量的线性运算即可.
【详解】G是CD的中点,所以
故选：A.
2．已知空间向量，，若，，，共面，则实数的值为（ ）
A．B．6C．D．12
【答案】A
【分析】根据向量共面，建立方程组，解得答案.
【详解】由，，共面，可设，则，
由，解得，代入第三个方程可得：，解得.
故选：A.
3．已知向量分别是直线，的方向向量，若，则（ ）
A．8B．20C．D．
【答案】A
【分析】根据空间向量平行的坐标表示求解可得.
【详解】因为，则存在实数使得，
所以，即，解得，，，
所以.
故选：.
4．如图，设为平行四边形所在平面外任意一点，为的中点，若，则的值是（ ）
A．B．0C．D．
【答案】B
【分析】根据向量的线性运算的几何表示，得出，结合条件即可得出答案.
【详解】为的中点，
，
四边形为平行四边形，，
.
，
，，
，
故选：B.
5．在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数即可求解.
【详解】关于轴对称点的横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数，
对称点为.
故选：C.
6．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若直线与平面平行，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依题意可得，即可得到，从而得到方程，解得即可.
【详解】因为直线的方向向量为，平面的法向量为，
若直线与平面平行，则，即，即，解得.
故选：C．
7．二面角的平面角为60°，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面α，β内，，且AB=AC=1，BD=2，则CD的长为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】利用二面角、空间向量的数量积运算、空间向量的模、夹角与距离求解问题
【详解】∵二面角的平面角为60°，
是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面α、β内，，，
，，，
故选：D.
8．如图，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则与所成的角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，分别求得，再利用向量的夹角公式求解.
【详解】解：建立如图所示空间直角坐标系：
，
则，
，
，
故选：C
9．（多选）已知向量，，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．不存在实数，使得
D．若，则
【答案】ACD
【分析】运用空间向量的垂直、共线的表示及应用，以及空间向量的数量积的运算、模的运算，逐项判断即可.
【详解】对于A项，由可得，解得，故A项正确；
对于B项，由可得，解得，故B项错误；
对于C项，假设存在实数，使得，则，所以不存在实数，使得，故C项正确；
对于D项，由可得，解得，所以，故D项正确.
故选：ACD.
10．（多选）已知直线的方向向量为，两个不重合的平面，的法向量分别为，，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】ACD
【分析】对于A：利用法向量的定义直接判断；对于B：判断出或在面内；对于C：由垂直于同一直线的两平面平行即可判断；对于D：由面面垂直的判定定理判断.
【详解】对于A：因为，为平面的法向量，所以为平面的一个法向量，所以.故A正确；
对于B：因为为平面的法向量，直线的方向向量为，且，所以或在面内.故B错误；
对于C：因为两个不重合的平面，的法向量分别为，，且，由垂直于同一直线的两平面平行可知：.故C正确；
对于D：因为，所以.
又因为两个不重合的平面，的法向量分别为，，
所以由面面垂直的判定定理可得：.故D正确.
故选：ACD
11．在空间直角坐标系中，点与点之间的距离__________．
【答案】
【分析】由空间中两点间距离公式即可求解.
【详解】由空间中两点间距离公式可得,
故答案为：
12．已知向量，且与互相垂直，则实数__________.
【答案】
【分析】求出，根据向量模长公式列出方程，求出.再分与两种情况，根据向量垂直列出方程，求出实数k的值.
【详解】，
所以，解得.
当时，
，
，
因为与互相垂直，
所以，解得.
当时，，
因为与互相垂直，
所以，解得，
综上：.
故答案为：
13．在平行六面体中，E，F分别是棱，的中点，记，，，则等于__________（用，，表示）．
【答案】
【分析】连接，利用空间向量的线性运算求解.
【详解】连接，，
故答案为：
14．如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，则点C到平面的距离等于_____.
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离.
【详解】
如图，建立空间直角坐标系，则，，，，
，，设平面的一个法向量为，
，即，取，又，
所以点到面的距离，
故答案为：.
15．已知，若夹角为钝角，则实数的取值范围是________．
【答案】且
【分析】根据题意得出且与不共线，然后根据向量数量积的定义及向量共线的条件即可求出答案.
【详解】因为与的夹角为钝角，所以且与不共线，
因为，所以，解得，
当与共线时，，即，则，解得，
所以且.
故答案为：且.
16．正方体中，E为线段的中点，则直线与平面所成角的正弦值为__________．
【答案】
【分析】建立空间坐标系，利用法向量求解线面角.
【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图，设正方体的棱长为2，则;
；
设平面的一个法向量为，则，，
令，则.
设直线与平面所成角为，则.
故答案为：.
【综合运用】
17．（多选）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，则（ ）．
A．B．与平面所成角为
C．异面直线与所成角的余弦值为D．二面角的正弦值为
【答案】ABD
【分析】连接，由已知结合余弦定理与勾股定理逆定理可得，于是可建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算逐项判断即可.
【详解】连接，因为，设，
由余弦定理得，
所以，则，
则，即，又底面，底面，
所以，
如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
则
对于A，所以，，则，
所以，故A正确；
对于B，又，因为底面，所以是平面的一个法向量，所以，
则与平面所成角的正弦值为，即与平面所成角为，故B正确；
对于C，，
则，
则异面直线与所成角的余弦值为，故C错误；
对于D，设平面的法向量为，则，令，则，
设平面的法向量为，则，令，则，
所以，
令二面角所成角为，则
则平面与平面的夹角的余弦值为，
所以，故D正确.
故选：ABD.
18．在空间直角坐标系中，已知，，，则三棱锥的体积为________．
【答案】
【分析】求出平面的一个法向量，从而可求点到平面的距离，求出即可得棱锥的体积.
【详解】,设平面的法向量为，
则，令,可得,所以.
所以点到平面的距离为.
又，
所以，
所以.
故答案为:.
19．如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为___________.
【答案】
【分析】设,由可得，又，得，利用数量积的运算律可得.
【详解】正三棱锥中，设, 且侧棱长相等，
因为，
所以，又，
所以，
即，
解得，即的余弦值为.
故答案为：
20．在三棱锥P－ABC中，底面ABC，底面ABC为正三角形，PA＝AB，则异面直线PB与AC所成角的余弦值为______
【答案】
【分析】以 为基底，运用空间向量求解.
【详解】设 ，则 ，
；
故答案为： .
【拓广探究】
21．如图所示，正方体的棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz，点P在正方体的体对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上．当点P为体对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，求|PQ|的最小值．
【详解】依题意可得Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，\f(1,2)))，
设点Q(0,1，z)(0≤z≤1)，则
|eq \(PQ,\s\up6(→))|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－1))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－z))2)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(z－\f(1,2)))2＋\f(1,2))，
所以当z＝eq \f(1,2)时，|PQ|min＝eq \f(\r(2),2)，
此时Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(1,2)))，Q恰为CD的中点．
所以|PQ|的最小值为eq \f(\r(2),2).
22．如图，在四棱锥中，为等边三角形，为的中点，，，，，平面平面．
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）根据题意，由面面垂直的性质定理可得平面，从而得到，再由线面垂直的判定定理即可得到证明；
（2）根据题意，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算即可得到结果.
【详解】（1）证明：因为平面平面，平面平面，，
平面，所以平面，
又平面，所以，
又因为为等边三角形，为的中点，所以，
因为平面，
所以平面.
（2）
以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图空间直角坐标系，
则，，
由（1）可知， 平面的一个法向量，
设是平面的一个法向量，，
所以，即，
取，则，所以，
所以，
平面与平面所成锐二面角的余弦值为