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    (预习课)2024年高中数学高二暑假讲义04 空间向量及其运算(2份打包,原卷版+教师版)

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    第1课时 空间向量及其线性运算
    学习目标 1.理解空间向量的有关概念.2.类比平面向量,会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差.3.理解向量运算的交换律、结合律和分配律.
    知识点一 空间向量的概念
    1.定义:在空间,具有大小和方向的量叫做空间向量.
    2.长度或模:向量的大小.
    3.表示方法:
    ①几何表示法:空间向量用有向线段表示;
    ②字母表示法:用字母a,b,c,…表示;若向量a的起点是A,终点是B,也可记作eq \(AB,\s\up6(→)),其模记为|a|或|eq \(AB,\s\up6(→))|.
    4.几类特殊的空间向量
    思考 空间中的两个向量是不是共面向量?
    答案 是,空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内,成为同一平面内的两个向量.
    知识点二 空间向量的线性运算
    思考1 怎样作图表示三个向量的和,作出的和向量是否与相加的顺序有关?
    答案 可以利用三角形法则和平行四边形法则作出三个向量的和.加法运算是对有限个向量求和,交换相加向量的顺序,其和不变.
    思考2 由数乘λa=0,可否得出λ=0?
    答案 不能.λa=0⇔λ=0或a=0.
    1.两个有公共终点的向量,一定是共线向量.( × )
    2.在空间中,任意一个向量都可以进行平移.( √ )
    3.空间两非零向量相加时,一定可以用平行四边形法则运算.( × )
    4.向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))是共线向量,则A,B,C三点必在一条直线上.( √ )
    一、向量概念的应用
    例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是( )
    A.方向相反的两个向量是相反向量
    B.空间中任意两个单位向量必相等
    C.若向量eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(CD,\s\up6(→))满足|eq \(AB,\s\up6(→))|>|eq \(CD,\s\up6(→))|,则eq \(AB,\s\up6(→))>eq \(CD,\s\up6(→))
    D.相等向量其方向必相同
    答案 D
    解析 A中,方向相反,长度相等的两个向量是相反向量;B中,单位向量模都相等而方向不确定;C中,向量作为矢量不能比较大小,故选D.
    (2)(多选)下列说法中正确的是( )
    A.若|a|=|b|,则a,b的长度相同,方向相同或相反
    B.若向量a是向量b的相反向量,则|a|=|b|
    C.空间向量的加法满足结合律
    D.任一向量与它的相反向量不相等
    答案 BC
    解析 |a|=|b|,说明a与b模相等,但方向不确定;对于a的相反向量b=-a,故|a|=|b|,从而B正确;空间向量的加法满足结合律,C正确;零向量的相反向量仍是零向量.故选BC.
    反思感悟 空间向量的概念问题
    在空间中,向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致,两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等.两向量互为相反向量的充要条件是大小相等,方向相反.
    跟踪训练1 下列关于空间向量的命题中,正确的命题的序号是________.
    ①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量;
    ②平行且模相等的两个向量是相等向量;
    ③若a≠b,则|a|≠|b|;
    ④两个向量相等,则它们的起点与终点相同.
    答案 ①
    解析 根据向量的定义,知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量,①正确;平行且模相等的两个向量可能是相等向量,也可能是相反向量,②不正确;当a=-b时,也有|a|=|b|,③不正确;只要模相等、方向相同,两个向量就是相等向量,与向量的起点和终点无关,④不正确.综上可知只有①正确.
    二、空间向量的加减运算
    例2 如图,已知长方体ABCD-A′B′C′D′,化简下列向量表达式,并在图中标出化简结果的向量.
    (1)eq \(AA′,\s\up6(—→))-eq \(CB,\s\up6(→));
    (2)eq \(AA′,\s\up6(—→))+eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(B′C′,\s\up6(———→)).
    解 (1)eq \(AA′,\s\up6(—→))-eq \(CB,\s\up6(→))=eq \(AA′,\s\up6(—→))-eq \(DA,\s\up6(→))=eq \(AA′,\s\up6(—→))+eq \(AD,\s\up6(→))=eq \(AA′,\s\up6(—→))+eq \(A′D′,\s\up6(———→))=eq \(AD′,\s\up6(—→)).
    (2)eq \(AA′,\s\up6(—→))+eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(B′C′,\s\up6(——→))=(eq \(AA′,\s\up6(—→))+eq \(AB,\s\up6(→)))+eq \(B′C′,\s\up6(———→))=eq \(AA′,\s\up6(—→))+eq \(A′B′,\s\up6(———→))+eq \(B′C′,\s\up6(———→))
    =eq \(AB′,\s\up6(—→))+eq \(B′C′,\s\up6(———→))=eq \(AC′,\s\up6(—→)).
    向量eq \(AD′,\s\up6(—→)),eq \(AC′,\s\up6(—→))如图所示.
    延伸探究
    试把本例中的体对角线所对应向量eq \(AC′,\s\up6(—→))用向量eq \(AA′,\s\up6(—→)),eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(AD,\s\up6(→))表示.
    解 在平行四边形ACC′A′中,由平行四边形法则可得eq \(AC′,\s\up6(—→))=eq \(AC,\s\up6(→))+eq \(AA′,\s\up6(—→)),
    在平行四边形ABCD中,
    由平行四边形法则可得eq \(AC,\s\up6(→))=eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AD,\s\up6(→)).
    故eq \(AC′,\s\up6(—→))=eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AD,\s\up6(→))+eq \(AA′,\s\up6(—→)).
    反思感悟 空间向量加法、减法运算的两个技巧
    (1)巧用相反向量:向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键,灵活运用相反向量可使向量首尾相接.
    (2)巧用平移:利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时,务必注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.
    跟踪训练2 (多选)如图,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,下列各式运算结果为eq \(BD1,\s\up6(—→))的是( )
    A.eq \(A1D1,\s\up6(—→))-eq \(A1A,\s\up6(—→))-eq \(AB,\s\up6(→))
    B.eq \(BC,\s\up6(→))+eq \(BB1,\s\up6(—→))-eq \(D1C1,\s\up6(—→))
    C.eq \(AD,\s\up6(→))-eq \(AB,\s\up6(→))-eq \(DD1,\s\up6(—→))
    D.eq \(B1D1,\s\up6(—→))-eq \(A1A,\s\up6(—→))+eq \(DD1,\s\up6(—→))
    答案 AB
    解析 A中,eq \(A1D1,\s\up6(—→))-eq \(A1A,\s\up6(—→))-eq \(AB,\s\up6(→))=eq \(AD1,\s\up6(—→))-eq \(AB,\s\up6(→))=eq \(BD1,\s\up6(—→));
    B中,eq \(BC,\s\up6(→))+eq \(BB1,\s\up6(—→))-eq \(D1C1,\s\up6(—→))=eq \(BC1,\s\up6(—→))+eq \(C1D1,\s\up6(—→))=eq \(BD1,\s\up6(—→));
    C中,eq \(AD,\s\up6(→))-eq \(AB,\s\up6(→))-eq \(DD1,\s\up6(—→))=eq \(BD,\s\up6(→))-eq \(DD1,\s\up6(—→))=eq \(BD,\s\up6(→))-eq \(BB1,\s\up6(—→))=eq \(B1D,\s\up6(—→))≠eq \(BD1,\s\up6(—→));
    D中,eq \(B1D1,\s\up6(—→))-eq \(A1A,\s\up6(—→))+eq \(DD1,\s\up6(—→))=eq \(BD,\s\up6(→))+eq \(AA1,\s\up6(—→))+eq \(DD1,\s\up6(—→))=eq \(BD1,\s\up6(—→))+eq \(AA1,\s\up6(—→))≠eq \(BD1,\s\up6(—→)).故选AB.
    三、空间向量的线性运算
    例3 在空间四边形ABCD中,G为△BCD的重心,E,F,H分别为边CD,AD和BC的中点,化简下列各表达式.
    (1)eq \(AG,\s\up6(→))+eq \f(1,3)eq \(BE,\s\up6(→))+eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up6(→));
    (2)eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AC,\s\up6(→))-eq \(AD,\s\up6(→))).
    解 (1)因为G是△BCD的重心,所以|eq \(GE,\s\up6(→))|=eq \f(1,3)|eq \(BE,\s\up6(→))|,
    所以eq \f(1,3)eq \(BE,\s\up6(→))=eq \(GE,\s\up6(→)),又因为eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up6(→))=eq \(EF,\s\up6(→)),
    所以由向量的加法法则,可知eq \(AG,\s\up6(→))+eq \f(1,3)eq \(BE,\s\up6(→))+eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up6(→))=eq \(AG,\s\up6(→))+eq \(GE,\s\up6(→))+eq \(EF,\s\up6(→))=eq \(AE,\s\up6(→))+eq \(EF,\s\up6(→))=eq \(AF,\s\up6(→)).
    从而eq \(AG,\s\up6(→))+eq \f(1,3)eq \(BE,\s\up6(→))+eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up6(→))=eq \(AF,\s\up6(→)).
    (2)如图所示,分别取AB,AC的中点P,Q,连接PH,QH,
    则四边形APHQ为平行四边形,且有eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))=eq \(AP,\s\up6(→)),eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))=eq \(AQ,\s\up6(→)),而eq \(AP,\s\up6(→))+eq \(AQ,\s\up6(→))=eq \(AH,\s\up6(→)),eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))=eq \(AF,\s\up6(→)),
    所以eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AC,\s\up6(→))-eq \(AD,\s\up6(→)))=eq \(AP,\s\up6(→))+eq \(AQ,\s\up6(→))-eq \(AF,\s\up6(→))=eq \(AH,\s\up6(→))-eq \(AF,\s\up6(→))=eq \(FH,\s\up6(→)).
    反思感悟 利用数乘运算进行向量表示的注意点
    (1)数形结合:利用数乘运算解题时,要结合具体图形,利用三角形法则、平行四边形法则,将目标向量转化为已知向量.
    (2)明确目标:在化简过程中要有目标意识,巧妙利用线段的中点进行解题.
    跟踪训练3 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点.若eq \(A1B1,\s\up6(—→))=a,eq \(A1D1,\s\up6(—→))=b,eq \(A1A,\s\up6(—→))=c,则下列向量中与eq \(B1M,\s\up6(—→))相等的向量是( )
    A.-eq \f(1,2)a+eq \f(1,2)b+c
    B.eq \f(1,2)a+eq \f(1,2)b+c
    C.eq \f(1,2)a-eq \f(1,2)b+c
    D.-eq \f(1,2)a-eq \f(1,2)b+c
    答案 A
    解析 eq \(B1M,\s\up6(—→))=eq \(B1B,\s\up6(—→))+eq \(BM,\s\up6(→))=eq \(A1A,\s\up6(—→))+eq \f(1,2)(eq \(BA,\s\up6(→))+eq \(BC,\s\up6(→)))
    =c+eq \f(1,2)(-a+b)=-eq \f(1,2)a+eq \f(1,2)b+c.
    1.“两个非零空间向量的模相等”是“两个空间向量相等”的( )
    A.充分不必要条件
    B.必要不充分条件
    C.充要条件
    D.既不充分又不必要条件
    答案 B
    2.向量a,b互为相反向量,已知|b|=3,则下列结论正确的是( )
    A.a=b B.a+b为实数0
    C.a与b方向相同 D.|a|=3
    答案 D
    解析 向量a,b互为相反向量,则a,b模相等,方向相反,故选D.
    3.设A,B,C是空间任意三点,下列结论错误的是( )
    A.eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(BC,\s\up6(→))=eq \(AC,\s\up6(→)) B.eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(BC,\s\up6(→))+eq \(CA,\s\up6(→))=0
    C.eq \(AB,\s\up6(→))-eq \(AC,\s\up6(→))=eq \(CB,\s\up6(→)) D.eq \(AB,\s\up6(→))=-eq \(BA,\s\up6(→))
    答案 B
    4.设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且eq \(AO,\s\up6(→))+eq \(OB,\s\up6(→))=eq \(DO,\s\up6(→))+eq \(OC,\s\up6(→)),则四边形ABCD是( )
    A.平行四边形 B.空间四边形
    C.等腰梯形 D.矩形
    答案 A
    解析 ∵eq \(AO,\s\up6(→))+eq \(OB,\s\up6(→))=eq \(DO,\s\up6(→))+eq \(OC,\s\up6(→)),
    ∴eq \(AB,\s\up6(→))=eq \(DC,\s\up6(→)).
    ∴eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(DC,\s\up6(→))且|eq \(AB,\s\up6(→))|=|eq \(DC,\s\up6(→))|.
    ∴四边形ABCD为平行四边形.
    5.化简:5(3a-2b)+4(2b-3a)=________.
    答案 3a-2b
    1.知识清单:
    (1)向量的概念.
    (2)向量的线性运算(加法、减法和数乘).
    (3)向量的线性运算的运算律.
    2.方法归纳:
    三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想.
    3.常见误区:对空间向量的理解
    应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素,并注意它是一个“量”,而不是一个数.

    1.(多选)下列说法中,正确的是( )
    A.模为0是一个向量方向不确定的充要条件
    B.若向量eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(CD,\s\up6(→))满足|eq \(AB,\s\up6(→))|=|eq \(CD,\s\up6(→))|,eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))同向,则eq \(AB,\s\up6(→))>eq \(CD,\s\up6(→))
    C.若两个非零向量eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(CD,\s\up6(→))满足eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(CD,\s\up6(→))=0,则eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(CD,\s\up6(→))互为相反向量
    D.eq \(AB,\s\up6(→))=eq \(CD,\s\up6(→))的充要条件是A与C重合,B与D重合
    答案 AC
    解析 A正确,模不为0的向量方向是确定的.
    B错误,向量的模可以比较大小,但向量不能比较大小.
    C正确,由eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(CD,\s\up6(→))=0,得eq \(AB,\s\up6(→))=-eq \(CD,\s\up6(→)),所以eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(CD,\s\up6(→))互为相反向量.
    D错误,eq \(AB,\s\up6(→))=eq \(CD,\s\up6(→))的充要条件是|eq \(AB,\s\up6(→))|=|eq \(CD,\s\up6(→))|,且eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(CD,\s\up6(→))同向.但A与C,B与D不一定重合.
    2.化简eq \(PM,\s\up6(→))-eq \(PN,\s\up6(→))+eq \(MN,\s\up6(→))所得的结果是( )
    A.eq \(PM,\s\up6(→)) B.eq \(NP,\s\up6(→))
    C.0 D.eq \(MN,\s\up6(→))
    答案 C
    解析 eq \(PM,\s\up6(→))-eq \(PN,\s\up6(→))+eq \(MN,\s\up6(→))=eq \(NM,\s\up6(→))+eq \(MN,\s\up6(→))=eq \(NM,\s\up6(→))-eq \(NM,\s\up6(→))=0,故选C.
    3.在空间四边形OABC中,eq \(OA,\s\up6(→))+eq \(AB,\s\up6(→))-eq \(CB,\s\up6(→))等于( )
    A.eq \(OA,\s\up6(→)) B.eq \(AB,\s\up6(→))
    C.eq \(OC,\s\up6(→)) D.eq \(AC,\s\up6(→))
    答案 C
    4.在正方体ABCD -A1B1C1D1中,下列选项中化简后为零向量的是( )
    A.eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(A1D1,\s\up6(—→))+eq \(C1A1,\s\up6(—→)) B.eq \(AB,\s\up6(→))-eq \(AC,\s\up6(→))+eq \(BB1,\s\up6(—→))
    C.eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AD,\s\up6(→))+eq \(AA1,\s\up6(—→)) D.eq \(AC,\s\up6(→))+eq \(CB1,\s\up6(—→))
    答案 A
    解析 在A选项中,eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(A1D1,\s\up6(—→))+eq \(C1A1,\s\up6(—→))=(eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AD,\s\up6(→)))+eq \(CA,\s\up6(→))=eq \(AC,\s\up6(→))+eq \(CA,\s\up6(→))=0.
    5.如果向量eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(AC,\s\up6(→)),eq \(BC,\s\up6(→))满足|eq \(AB,\s\up6(→))|=|eq \(AC,\s\up6(→))|+|eq \(BC,\s\up6(→))|,则( )
    A.eq \(AB,\s\up6(→))=eq \(AC,\s\up6(→))+eq \(BC,\s\up6(→)) B.eq \(AB,\s\up6(→))=-eq \(AC,\s\up6(→))-eq \(BC,\s\up6(→))
    C.eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))同向 D.eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(CB,\s\up6(→))同向
    答案 D
    6.设A,B,C,D为空间任意四点,则eq \(AC,\s\up6(→))-eq \(BC,\s\up6(→))+eq \(BD,\s\up6(→))=________.
    答案 eq \(AD,\s\up6(→))
    解析 eq \(AC,\s\up6(→))-eq \(BC,\s\up6(→))+eq \(BD,\s\up6(→))=eq \(AC,\s\up6(→))+eq \(CB,\s\up6(→))+eq \(BD,\s\up6(→))=eq \(AD,\s\up6(→)).
    7.在正方体ABCD -A1B1C1D1中,化简eq \(AB,\s\up6(→))-eq \(CD,\s\up6(→))+eq \(BC,\s\up6(→))-eq \(DA,\s\up6(→))的结果是________.
    答案 2eq \(AC,\s\up6(→))
    解析 eq \(AB,\s\up6(→))-eq \(CD,\s\up6(→))+eq \(BC,\s\up6(→))-eq \(DA,\s\up6(→))=eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(BC,\s\up6(→))+eq \(DC,\s\up6(→))-eq \(DA,\s\up6(→))=eq \(AC,\s\up6(→))+eq \(AC,\s\up6(→))=2eq \(AC,\s\up6(→)).
    8.已知向量a,b,c互相平行,其中a,c同向,a,b反向,|a|=3,|b|=2,|c|=1,则|a+b+c|=________.
    答案 2
    9.如图所示的是平行六面体ABCD -A1B1C1D1,化简下列各式:
    (1)eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AD,\s\up6(→))+eq \(AA1,\s\up6(→));
    (2)eq \(DD1,\s\up6(—→))-eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(BC,\s\up6(→)).
    解 (1)eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AD,\s\up6(→))+eq \(AA1,\s\up6(—→))=eq \(AC,\s\up6(→))+eq \(AA1,\s\up6(—→))=eq \(AC1,\s\up6(—→)).
    (2)eq \(DD1,\s\up6(—→))-eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(BC,\s\up6(→))=eq \(AA1,\s\up6(—→))-eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(BC,\s\up6(→))=eq \(BA1,\s\up6(—→))+eq \(BC,\s\up6(→))=eq \(BD1,\s\up6(—→)).
    10.如图所示,已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,E,F,G分别是BC,CD,DB的中点,请化简:eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(BC,\s\up6(→))+eq \(CD,\s\up6(→)),eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(GD,\s\up6(→))+eq \(EC,\s\up6(→)),并标出化简结果的向量.
    解 eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(BC,\s\up6(→))+eq \(CD,\s\up6(→))=eq \(AC,\s\up6(→))+eq \(CD,\s\up6(→))=eq \(AD,\s\up6(→)).
    因为E,F,G分别为BC,CD,DB的中点,
    所以eq \(BE,\s\up6(→))=eq \(EC,\s\up6(→)),eq \(EF,\s\up6(→))=eq \(GD,\s\up6(→)).
    所以eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(GD,\s\up6(→))+eq \(EC,\s\up6(→))=eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(EF,\s\up6(→))+eq \(BE,\s\up6(→))=eq \(AF,\s\up6(→)).
    故所求向量为eq \(AD,\s\up6(→)),eq \(AF,\s\up6(→)),如图所示.
    11.已知空间中任意四个点A,B,C,D,则eq \(DA,\s\up6(→))+eq \(CD,\s\up6(→))-eq \(CB,\s\up6(→))等于( )
    A.eq \(DB,\s\up6(→)) B.eq \(AB,\s\up6(→))
    C.eq \(AC,\s\up6(→)) D.eq \(BA,\s\up6(→))
    答案 D
    解析 方法一 eq \(DA,\s\up6(→))+eq \(CD,\s\up6(→))-eq \(CB,\s\up6(→))=(eq \(CD,\s\up6(→))+eq \(DA,\s\up6(→)))-eq \(CB,\s\up6(→))=eq \(CA,\s\up6(→))-eq \(CB,\s\up6(→))=eq \(BA,\s\up6(→)).
    方法二 eq \(DA,\s\up6(→))+eq \(CD,\s\up6(→))-eq \(CB,\s\up6(→))=eq \(DA,\s\up6(→))+(eq \(CD,\s\up6(→))-eq \(CB,\s\up6(→)))=eq \(DA,\s\up6(→))+eq \(BD,\s\up6(→))=eq \(BA,\s\up6(→)).
    12.在三棱锥A-BCD 中,E是棱CD的中点,且eq \(BF,\s\up6(→))=eq \f(2,3)eq \(BE,\s\up6(→)),则 eq \(AF,\s\up6(→))等于( )
    A. eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))+eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))-eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→))
    B. eq \(AB,\s\up6(→))+eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))-eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→))
    C.-5eq \(AB,\s\up6(→))+3eq \(AC,\s\up6(→))+3eq \(AD,\s\up6(→))
    D.eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))+eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))+eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))
    答案 D
    解析 因为 E 是棱 CD 的中点,eq \(BF,\s\up6(→))=eq \f(2,3)eq \(BE,\s\up6(→)),
    所以 eq \(AF,\s\up6(→))=eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(BF,\s\up6(→))=eq \(AB,\s\up6(→))+eq \f(2,3)eq \(BE,\s\up6(→))=eq \(AB,\s\up6(→))+eq \f(2,3)(eq \(AE,\s\up6(→))-eq \(AB,\s\up6(→)))=eq \f(2,3)eq \(AE,\s\up6(→))+eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))
    =eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))+eq \(AD,\s\up6(→)))+eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))=eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))+eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))+eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→)).
    13.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,若eq \(CA,\s\up6(→))=a,eq \(CB,\s\up6(→))=b,eq \(CC1,\s\up6(→))=c,则eq \(A1B,\s\up6(→))=________.
    答案 -c-a+b
    解析 如图,
    eq \(A1B,\s\up6(—→))=eq \(B1B,\s\up6(—→))-eq \(B1A1,\s\up6(—→))
    =eq \(B1B,\s\up6(—→))-eq \(BA,\s\up6(→))=-eq \(CC1,\s\up6(—→))-(eq \(CA,\s\up6(→))-eq \(CB,\s\up6(→)))
    =-c-(a-b)=-c-a+b.
    14.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点.
    (1)化简eq \(A1O,\s\up6(—→))-eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))-eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))=________.
    (2)用eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(AD,\s\up6(→)),eq \(AA1,\s\up6(—→))表示eq \(OC1,\s\up6(—→)),则eq \(OC1,\s\up6(—→))=________.
    答案 (1)eq \(A1A,\s\up6(—→)) (2)eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))+eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))+eq \(AA1,\s\up6(—→))
    解析 (1)eq \(A1O,\s\up6(—→))-eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))-eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))=eq \(A1O,\s\up6(—→))-eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AD,\s\up6(→)))=eq \(A1O,\s\up6(—→))-eq \(AO,\s\up6(→))=eq \(A1O,\s\up6(—→))+eq \(OA,\s\up6(→))=eq \(A1A,\s\up6(—→)).
    (2)因为eq \(OC,\s\up6(→))=eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))=eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AD,\s\up6(→))),
    所以eq \(OC1,\s\up6(—→))=eq \(OC,\s\up6(→))+eq \(CC1,\s\up6(—→))=eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AD,\s\up6(→)))+eq \(AA1,\s\up6(—→))=eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))+eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))+eq \(AA1,\s\up6(—→)).
    15.在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中,若eq \(AC′,\s\up6(——→))=xeq \(AB,\s\up6(→))+eq \f(y,2)eq \(BC,\s\up6(→))+eq \f(z,3)eq \(CC′,\s\up6(——→)),则x+y+z=________.
    答案 6
    解析 在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中,eq \(AC′,\s\up6(——→))=eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(BC,\s\up6(→))+eq \(CC′,\s\up6(——→)),
    又eq \(AC′,\s\up6(——→))=xeq \(AB,\s\up6(→))+eq \f(y,2)eq \(BC,\s\up6(→))+eq \f(z,3)eq \(CC′,\s\up6(——→)),
    ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=1,,\f(y,2)=1,,\f(z,3)=1,))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=1,,y=2,,z=3,))
    ∴x+y+z=6.
    16.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设eq \(AA1,\s\up6(—→))=a,eq \(AB,\s\up6(→))=b,eq \(AD,\s\up6(→))=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:
    (1)eq \(AP,\s\up6(→));
    (2)eq \(A1N,\s\up6(—→));
    (3)eq \(MP,\s\up6(→)).
    解 (1)∵P是C1D1的中点,
    ∴eq \(AP,\s\up6(→))=eq \(AA1,\s\up6(—→))+eq \(A1D1,\s\up6(——→))+eq \(D1P,\s\up6(—→))=a+eq \(AD,\s\up6(→))+eq \f(1,2)eq \(D1C1,\s\up6(——→))
    =a+c+eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))=a+c+eq \f(1,2)b.
    (2)∵N是BC的中点,
    ∴eq \(A1N,\s\up6(—→))=eq \(A1A,\s\up6(—→))+eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(BN,\s\up6(→))=-a+b+eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))
    =-a+b+eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))=-a+b+eq \f(1,2)c.
    (3)∵M是AA1的中点,
    ∴eq \(MP,\s\up6(→))=eq \(MA,\s\up6(→))+eq \(AP,\s\up6(→))=eq \f(1,2)eq \(A1A,\s\up6(—→))+eq \(AP,\s\up6(→))
    =-eq \f(1,2)a+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a+c+\f(1,2)b))=eq \f(1,2)a+eq \f(1,2)b+c.
    第2课时 共线向量与共面向量
    学习目标 1.理解向量共线、向量共面的定义.2.掌握共线向量定理和共面向量定理,会证明空间三点共线、四点共面.
    知识点一 共线向量
    1.空间两个向量共线的充要条件
    对于空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb.
    2.直线的方向向量
    在直线l上取非零向量a,我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量.
    思考1 对于空间向量a,b,c,若a∥b且b∥c, 是否可以得到a∥c?
    答案 不能.若b=0,则对任意向量a,c都有a∥b且b∥c.
    思考2 怎样利用向量共线证明A,B,C三点共线?
    答案 只需证明向量eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(BC,\s\up6(→))(不唯一)共线即可.
    知识点二 共面向量
    1.共面向量
    如图,如果表示向量a的有向线段eq \(OA,\s\up6(→))所在的直线OA与直线l平行或重合,那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内,那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量,叫做共面向量.
    2.向量共面的充要条件
    如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.
    思考 已知空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,存在有序实数对(x,y),满足关系eq \(OP,\s\up6(→))=eq \(OA,\s\up6(→))+xeq \(AB,\s\up6(→))+yeq \(AC,\s\up6(→)),则点P与点A,B,C是否共面?
    答案 共面. 由eq \(OP,\s\up6(→))=eq \(OA,\s\up6(→))+xeq \(AB,\s\up6(→))+yeq \(AC,\s\up6(→)),可得eq \(AP,\s\up6(→))=xeq \(AB,\s\up6(→))+yeq \(AC,\s\up6(→)),所以向量eq \(AP,\s\up6(→))与向量eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(AC,\s\up6(→))共面,故点P与点A,B,C共面.
    1.向量eq \(AB,\s\up6(→))与向量eq \(CD,\s\up6(→))是共线向量,则点A,B,C,D必在同一条直线上.( × )
    2.若向量a,b,c共面,则表示这三个向量的有向线段所在的直线共面.( × )
    3.空间中任意三个向量一定是共面向量.( × )
    4.若P,M,A,B共面,则存在唯一的有序实数对(x,y),使eq \(MP,\s\up6(→))=xeq \(MA,\s\up6(→))+yeq \(MB,\s\up6(→)).( × )
    一、向量共线的判定及应用
    例1 如图所示,已知四边形ABCD是空间四边形,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边CB,CD上的点,且eq \(CF,\s\up6(→))=eq \f(2,3)eq \(CB,\s\up6(→)),eq \(CG,\s\up6(→))=eq \f(2,3)eq \(CD,\s\up6(→)).求证:四边形EFGH是梯形.
    证明 ∵E,H分别是AB,AD的中点,
    ∴eq \(AE,\s\up6(→))=eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(AH,\s\up6(→))=eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→)),
    则eq \(EH,\s\up6(→))=eq \(AH,\s\up6(→))-eq \(AE,\s\up6(→))=eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))-eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))=eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))
    =eq \f(1,2)(eq \(CD,\s\up6(→))-eq \(CB,\s\up6(→)))=eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)\(CG,\s\up6(→))-\f(3,2)\(CF,\s\up6(→))))=eq \f(3,4)(eq \(CG,\s\up6(→))-eq \(CF,\s\up6(→)))=eq \f(3,4)eq \(FG,\s\up6(→)),
    ∴eq \(EH,\s\up6(→))∥eq \(FG,\s\up6(→))且|eq \(EH,\s\up6(→))|=eq \f(3,4)|eq \(FG,\s\up6(→))|≠|eq \(FG,\s\up6(→))|.
    又F不在直线EH上,
    ∴四边形EFGH是梯形.
    反思感悟 向量共线的判定及应用
    (1)本题利用向量的共线证明了线线平行,解题时应注意向量共线与两直线平行的区别.
    (2)判断或证明两向量a,b(b≠0)共线,就是寻找实数λ,使a=λb成立,为此常结合题目图形,运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达.
    (3)判断或证明空间中的三点(如P,A,B)共线的方法:是否存在实数λ,使eq \(PA,\s\up6(→))=λeq \(PB,\s\up6(→));
    跟踪训练1 (1)已知A,B,C三点共线,O为直线外空间任意一点,若eq \(OC,\s\up6(→))=meq \(OA,\s\up6(→))+neq \(OB,\s\up6(→)),则m+n=________.
    答案 1
    解析 由于A,B,C三点共线,所以存在实数λ,使得eq \(AC,\s\up6(→))=λeq \(AB,\s\up6(→)),即eq \(OC,\s\up6(→))-eq \(OA,\s\up6(→))=λ(eq \(OB,\s\up6(→))-eq \(OA,\s\up6(→))),
    所以eq \(OC,\s\up6(→))=(1-λ)eq \(OA,\s\up6(→))+λeq \(OB,\s\up6(→)),所以m=1-λ,n=λ,
    所以m+n=1.
    (2)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E在A1D1上,且eq \(A1E,\s\up6(—→))=2eq \(ED1,\s\up6(—→)),F在对角线A1C上,且eq \(A1F,\s\up6(—→))=eq \f(2,3)eq \(FC,\s\up6(→)).
    求证:E,F,B三点共线.
    证明 设eq \(AB,\s\up6(→))=a,eq \(AD,\s\up6(→))=b,eq \(AA1,\s\up6(—→))=c,
    因为eq \(A1E,\s\up6(—→))=2eq \(ED1,\s\up6(—→)),eq \(A1F,\s\up6(—→))=eq \f(2,3)eq \(FC,\s\up6(→)),
    所以eq \(A1E,\s\up6(—→))=eq \f(2,3)eq \(A1D1,\s\up6(—→)),eq \(A1F,\s\up6(—→))=eq \f(2,5)eq \(A1C,\s\up6(—→)),
    所以eq \(A1E,\s\up6(—→))=eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))=eq \f(2,3)b,
    eq \(A1F,\s\up6(—→))=eq \f(2,5)(eq \(AC,\s\up6(→))-eq \(AA1,\s\up6(→)))=eq \f(2,5)(eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AD,\s\up6(→))-eq \(AA1,\s\up6(—→)))=eq \f(2,5)a+eq \f(2,5)b-eq \f(2,5)c,
    所以eq \(EF,\s\up6(→))=eq \(A1F,\s\up6(—→))-eq \(A1E,\s\up6(—→))
    =eq \f(2,5)a-eq \f(4,15)b-eq \f(2,5)c=eq \f(2,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a-\f(2,3)b-c)).
    又eq \(EB,\s\up6(→))=eq \(EA1,\s\up6(—→))+eq \(A1A,\s\up6(—→))+eq \(AB,\s\up6(→))=-eq \f(2,3)b-c+a=a-eq \f(2,3)b-c,
    所以eq \(EF,\s\up6(→))=eq \f(2,5)eq \(EB,\s\up6(→)),所以E,F,B三点共线.
    二、向量共面的判定
    例2 已知A,B,C三点不共线,平面ABC外一点M满足eq \(OM,\s\up6(→))=eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))+eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))+eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→)).
    (1)判断eq \(MA,\s\up6(→)),eq \(MB,\s\up6(→)),eq \(MC,\s\up6(→))三个向量是否共面;
    (2)判断M是否在平面ABC内.
    解 (1)∵eq \(OA,\s\up6(→))+eq \(OB,\s\up6(→))+eq \(OC,\s\up6(→))=3eq \(OM,\s\up6(→)),
    ∴eq \(OA,\s\up6(→))-eq \(OM,\s\up6(→))=(eq \(OM,\s\up6(→))-eq \(OB,\s\up6(→)))+(eq \(OM,\s\up6(→))-eq \(OC,\s\up6(→))),
    ∴eq \(MA,\s\up6(→))=eq \(BM,\s\up6(→))+eq \(CM,\s\up6(→))=-eq \(MB,\s\up6(→))-eq \(MC,\s\up6(→)),
    ∴向量eq \(MA,\s\up6(→)),eq \(MB,\s\up6(→)),eq \(MC,\s\up6(→))共面.
    (2)由(1)知,向量eq \(MA,\s\up6(→)),eq \(MB,\s\up6(→)),eq \(MC,\s\up6(→))共面,而它们有共同的起点M,且A,B,C三点不共线,
    ∴M,A,B,C共面,即M在平面ABC内.
    反思感悟 解决向量共面的策略
    (1)若已知点P在平面ABC内,则有eq \(AP,\s\up6(→))=xeq \(AB,\s\up6(→))+yeq \(AC,\s\up6(→))或eq \(OP,\s\up6(→))=xeq \(OA,\s\up6(→))+yeq \(OB,\s\up6(→))+zeq \(OC,\s\up6(→)) (x+y+z=1),然后利用指定向量表示出已知向量,用待定系数法求出参数.
    (2)证明三个向量共面(或四点共面),需利用共面向量定理,证明过程中要灵活进行向量的分解与合成,将其中一个向量用另外两个向量来表示.
    跟踪训练2 (1)如图所示,已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直,点M,N分别在对角线BD,AE上,且BM=eq \f(1,3)BD,AN=eq \f(1,3)AE.求证:向量eq \(MN,\s\up6(→)),eq \(CD,\s\up6(→)),eq \(DE,\s\up6(→))共面.
    证明 因为M在BD上,且BM=eq \f(1,3)BD,
    所以eq \(MB,\s\up6(→))=eq \f(1,3)eq \(DB,\s\up6(→))=eq \f(1,3)eq \(DA,\s\up6(→))+eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→)).
    同理eq \(AN,\s\up6(→))=eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))+eq \f(1,3)eq \(DE,\s\up6(→)).
    所以eq \(MN,\s\up6(→))=eq \(MB,\s\up6(→))+eq \(BA,\s\up6(→))+eq \(AN,\s\up6(→))
    =eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)\(DA,\s\up6(→))+\f(1,3)\(AB,\s\up6(→))))+eq \(BA,\s\up6(→))+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)\(AD,\s\up6(→))+\f(1,3)\(DE,\s\up6(→))))
    =eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up6(→))+eq \f(1,3)eq \(DE,\s\up6(→))=eq \f(2,3)eq \(CD,\s\up6(→))+eq \f(1,3)eq \(DE,\s\up6(→)).
    又eq \(CD,\s\up6(→))与eq \(DE,\s\up6(→))不共线,根据向量共面的充要条件可知eq \(MN,\s\up6(→)),eq \(CD,\s\up6(→)),eq \(DE,\s\up6(→))共面.
    (2)已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,求证:
    ①E,F,G,H四点共面.
    ②BD∥平面EFGH.
    证明 如图,连接EG,BG.
    ①因为eq \(EG,\s\up6(→))=eq \(EB,\s\up6(→))+eq \(BG,\s\up6(→))=eq \(EB,\s\up6(→))+eq \f(1,2)(eq \(BC,\s\up6(→))+eq \(BD,\s\up6(→)))=eq \(EB,\s\up6(→))+eq \(BF,\s\up6(→))+eq \(EH,\s\up6(→))=eq \(EF,\s\up6(→))+eq \(EH,\s\up6(→)),由向量共面的充要条件知向量eq \(EG,\s\up6(→)),eq \(EF,\s\up6(→)),eq \(EH,\s\up6(→))共面,即E,F,G,H四点共面.
    ②因为eq \(EH,\s\up6(→))=eq \(AH,\s\up6(→))-eq \(AE,\s\up6(→))=eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))-eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))=eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→)),所以EH∥BD.
    又EH⊂平面EFGH,BD⊄平面EFGH,所以BD∥平面EFGH.
    空间共线向量定理的应用
    典例 如图所示,已知四边形ABCD,ABEF都是平行四边形,且它们所在的平面不共面,M,N分别是AC,BF的中点,求证:CE∥MN.
    证明 ∵M,N分别是AC,BF的中点,
    又四边形ABCD,ABEF都是平行四边形,
    ∴eq \(MN,\s\up6(→))=eq \(MA,\s\up6(→))+eq \(AF,\s\up6(→))+eq \(FN,\s\up6(→))=eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up6(→))+eq \(AF,\s\up6(→))+eq \f(1,2)eq \(FB,\s\up6(→)),
    又∵eq \(MN,\s\up6(→))=eq \(MC,\s\up6(→))+eq \(CE,\s\up6(→))+eq \(EB,\s\up6(→))+eq \(BN,\s\up6(→))
    =-eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up6(→))+eq \(CE,\s\up6(→))-eq \(AF,\s\up6(→))-eq \f(1,2)eq \(FB,\s\up6(→)),
    ∴eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up6(→))+eq \(AF,\s\up6(→))+eq \f(1,2)eq \(FB,\s\up6(→))=-eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up6(→))+eq \(CE,\s\up6(→))-eq \(AF,\s\up6(→))-eq \f(1,2)eq \(FB,\s\up6(→)),
    ∴eq \(CE,\s\up6(→))=eq \(CA,\s\up6(→))+2eq \(AF,\s\up6(→))+eq \(FB,\s\up6(→))=2(eq \(MA,\s\up6(→))+eq \(AF,\s\up6(→))+eq \(FN,\s\up6(→))),
    ∴eq \(CE,\s\up6(→))=2eq \(MN,\s\up6(→)),∴eq \(CE,\s\up6(→))∥eq \(MN,\s\up6(→)).
    ∵点C不在MN上,∴CE∥MN.
    [素养提升] 证明空间图形中的两直线平行,可以转化为证明两直线的方向向量共线问题.这里关键是利用向量的线性运算,从而确定eq \(CE,\s\up6(→))=λeq \(MN,\s\up6(→))中的λ的值.
    1.满足下列条件,能说明空间不重合的A,B,C三点共线的是( )
    A.eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(BC,\s\up6(→))=eq \(AC,\s\up6(→)) B.eq \(AB,\s\up6(→))-eq \(BC,\s\up6(→))=eq \(AC,\s\up6(→))
    C.eq \(AB,\s\up6(→))=eq \(BC,\s\up6(→)) D.|eq \(AB,\s\up6(→))|=|eq \(BC,\s\up6(→))|
    答案 C
    2.若空间中任意四点O,A,B,P满足eq \(OP,\s\up6(→))=meq \(OA,\s\up6(→))+neq \(OB,\s\up6(→)),其中m+n=1,则( )
    A.P∈直线AB
    B.P∉直线AB
    C.点P可能在直线AB上,也可能不在直线AB上
    D.以上都不对
    答案 A
    解析 因为m+n=1,所以m=1-n,所以eq \(OP,\s\up6(→))=(1-n)·eq \(OA,\s\up6(→))+neq \(OB,\s\up6(→)),即eq \(OP,\s\up6(→))-eq \(OA,\s\up6(→))=n(eq \(OB,\s\up6(→))-eq \(OA,\s\up6(→))),即eq \(AP,\s\up6(→))=neq \(AB,\s\up6(→)),所以eq \(AP,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))共线.
    又eq \(AP,\s\up6(→)),eq \(AB,\s\up6(→))有公共起点A,所以P,A,B三点在同一直线上,即P∈直线AB.
    3.下列条件中,使M与A,B,C一定共面的是( )
    A.eq \(OM,\s\up6(→))=2eq \(OA,\s\up6(→))-eq \(OB,\s\up6(→))-eq \(OC,\s\up6(→))
    B.eq \(OM,\s\up6(→))=eq \f(1,5)eq \(OA,\s\up6(→))+eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))+eq \f(1,2)eq \(OC,\s\up6(→))
    C.eq \(MA,\s\up6(→))+eq \(MB,\s\up6(→))+eq \(MC,\s\up6(→))=0
    D.eq \(OM,\s\up6(→))+eq \(OA,\s\up6(→))+eq \(OB,\s\up6(→))+eq \(OC,\s\up6(→))=0
    答案 C
    解析 C选项中,eq \(MA,\s\up6(→))=-eq \(MB,\s\up6(→))-eq \(MC,\s\up6(→)),
    ∴点M,A,B,C共面.
    4.已知点M在平面ABC内,并且对空间任意一点O,有eq \(OM,\s\up6(→))=xeq \(OA,\s\up6(→))+eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))+eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→)),则x的值为( )
    A.1 B.0 C.3 D.eq \f(1,3)
    答案 D
    解析 ∵eq \(OM,\s\up6(→))=xeq \(OA,\s\up6(→))+eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))+eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→)),
    且M,A,B,C四点共面,
    ∴x+eq \f(1,3)+eq \f(1,3)=1,∴x=eq \f(1,3),故选D.
    5.已知非零向量e1,e2不共线,则使ke1+e2与e1+ke2共线的k的值是________.
    答案 ±1
    解析 若ke1+e2与e1+ke2共线,
    则ke1+e2=λ(e1+ke2),
    所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k=λ,,λk=1.))
    所以k=±1.
    1.知识清单:
    (1)空间向量共线的充要条件,直线的方向向量.
    (2)空间向量共面的充要条件.
    2.方法归纳 :转化化归.
    3.常见误区:
    混淆向量共线与线段共线、点共线.
    1.已知向量a,b,且eq \(AB,\s\up6(→))=a+2b,eq \(BC,\s\up6(→))=-5a+6b,eq \(CD,\s\up6(→))=7a-2b,则一定共线的三点是( )
    A.A,B,D B.A,B,C
    C.B,C,D D.A,C,D
    答案 A
    解析 因为eq \(AD,\s\up6(→))=eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(BC,\s\up6(→))+eq \(CD,\s\up6(→))=3a+6b=3(a+2b)=3eq \(AB,\s\up6(→)),故eq \(AD,\s\up6(→))∥eq \(AB,\s\up6(→)),又eq \(AD,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))有公共点A,
    所以A,B,D三点共线.
    2.对于空间的任意三个向量a,b,2a-b,它们一定是( )
    A.共面向量 B.共线向量
    C.不共面向量 D.既不共线也不共面的向量
    答案 A
    3.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量eq \(D1A,\s\up6(—→)),eq \(D1C,\s\up6(—→)),eq \(A1C1,\s\up6(—→))是( )
    A.有相同起点的向量 B.等长向量
    C.共面向量 D.不共面向量
    答案 C
    解析 因为eq \(D1C,\s\up6(—→))-eq \(D1A,\s\up6(—→))=eq \(AC,\s\up6(→)),且eq \(AC,\s\up6(→))=eq \(A1C1,\s\up6(—→)),
    所以eq \(D1C,\s\up6(—→))-eq \(D1A,\s\up6(—→))=eq \(A1C1,\s\up6(—→)),
    即eq \(D1C,\s\up6(—→))=eq \(D1A,\s\up6(—→))+eq \(A1C1,\s\up6(—→)).
    又eq \(D1A,\s\up6(—→))与eq \(A1C1,\s\up6(—→))不共线,
    所以eq \(D1C,\s\up6(—→)),eq \(D1A,\s\up6(—→)),eq \(A1C1,\s\up6(—→))三个向量共面.
    4.已知P为空间中任意一点,A,B,C,D四点满足任意三点均不共线,但四点共面,且eq \(PA,\s\up6(→))=eq \f(4,3)eq \(PB,\s\up6(→))-xeq \(PC,\s\up6(→))+eq \f(1,6)eq \(DB,\s\up6(→)),则实数x的值为( )
    A.eq \f(1,3) B.-eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.-eq \f(1,2)
    答案 A
    解析 eq \(PA,\s\up6(→))=eq \f(4,3)eq \(PB,\s\up6(→))-xeq \(PC,\s\up6(→))+eq \f(1,6)eq \(DB,\s\up6(→))=eq \f(4,3)eq \(PB,\s\up6(→))-xeq \(PC,\s\up6(→))+eq \f(1,6)(eq \(PB,\s\up6(→))-eq \(PD,\s\up6(→)))=eq \f(3,2)eq \(PB,\s\up6(→))-xeq \(PC,\s\up6(→))-eq \f(1,6)eq \(PD,\s\up6(→)).
    又∵P是空间任意一点,A,B,C,D四点满足任意三点均不共线,但四点共面,
    ∴eq \f(3,2)-x-eq \f(1,6)=1,解得x=eq \f(1,3).
    5.(多选)下列命题中错误的是( )
    A.若A,B,C,D是空间任意四点,则有eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(BC,\s\up6(→))+eq \(CD,\s\up6(→))+eq \(DA,\s\up6(→))=0
    B.|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件
    C.若eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(CD,\s\up6(→))共线,则AB∥CD
    D.对空间任意一点O与不共线的三点A,B,C,若eq \(OP,\s\up6(→))=xeq \(OA,\s\up6(→))+yeq \(OB,\s\up6(→))+zeq \(OC,\s\up6(→))(其中x,y,z∈R),则P,A,B,C四点共面
    答案 BCD
    解析 显然A正确;
    若a,b共线,则|a|+|b|=|a+b|或|a+b|=||a| -|b||,故B错误;
    若eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(CD,\s\up6(→))共线,则直线AB,CD可能重合,故C错误;
    只有当x+y+z=1时,P,A,B,C四点才共面,故D错误.
    6.在△ABC中,已知D是AB边上一点,若eq \(AD,\s\up6(→))=2eq \(DB,\s\up6(→)),eq \(CD,\s\up6(→))=eq \f(1,3)eq \(CA,\s\up6(→))+λeq \(CB,\s\up6(→)),则λ=________.
    答案 eq \f(2,3)
    解析 eq \(CD,\s\up6(→))=eq \(CB,\s\up6(→))-eq \(DB,\s\up6(→))=eq \(CB,\s\up6(→))-eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))=eq \(CB,\s\up6(→))-eq \f(1,3)(eq \(CB,\s\up6(→))-eq \(CA,\s\up6(→)))=eq \f(2,3)eq \(CB,\s\up6(→))+eq \f(1,3)eq \(CA,\s\up6(→)),
    又eq \(CD,\s\up6(→))=eq \f(1,3)eq \(CA,\s\up6(→))+λeq \(CB,\s\up6(→)),所以λ=eq \f(2,3).
    7.设e1,e2是空间两个不共线的向量,已知eq \(AB,\s\up6(→))=e1+ke2,eq \(BC,\s\up6(→))=5e1+4e2,eq \(DC,\s\up6(→))=-e1-2e2,且A,B,D三点共线,则实数k=________.
    答案 1
    解析 ∵eq \(AD,\s\up6(→))=eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(BC,\s\up6(→))+eq \(CD,\s\up6(→))=7e1+(k+6)e2,
    且eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AD,\s\up6(→))共线,故eq \(AD,\s\up6(→))=xeq \(AB,\s\up6(→)),
    即7e1+(k+6)e2=xe1+xke2,
    故(7-x)e1+(k+6-xk)e2=0,
    又∵e1,e2不共线,
    ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(7-x=0,,k+6-kx=0,))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=7,,k=1,))故k的值为1.
    8.已知O为空间任一点,A,B,C,D四点满足任意三点不共线,但四点共面,且eq \(OA,\s\up6(→))=2xeq \(BO,\s\up6(→))+3yeq \(CO,\s\up6(→))+4zeq \(DO,\s\up6(→)),则2x+3y+4z=________.
    答案 -1
    解析 由题意知A,B,C,D共面的充要条件是:对空间任意一点O,存在实数x1,y1,z1,使得eq \(OA,\s\up6(→))=x1eq \(OB,\s\up6(→))+y1eq \(OC,\s\up6(→))+z1eq \(OD,\s\up6(→)),且x1+y1+z1=1,因此,2x+3y+4z=-1.
    9.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1D1,AB的中点,E在AA1上且AE=2EA1,F在CC1上且CF=eq \f(1,2)FC1,判断eq \(ME,\s\up6(→))与eq \(NF,\s\up6(→))是否共线.
    解 由题意,得eq \(ME,\s\up6(→))=eq \(MD1,\s\up6(—→))+eq \(D1A1,\s\up6(—→))+eq \(A1E,\s\up6(—→))
    =eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))+eq \(CB,\s\up6(→))+eq \f(1,3)eq \(A1A,\s\up6(—→))=eq \(BN,\s\up6(→))+eq \(CB,\s\up6(→))+eq \f(1,3)eq \(C1C,\s\up6(—→))
    =eq \(CN,\s\up6(→))+eq \(FC,\s\up6(→))=eq \(FN,\s\up6(→))=-eq \(NF,\s\up6(→)).
    即eq \(ME,\s\up6(→))=-eq \(NF,\s\up6(→)),∴eq \(ME,\s\up6(→))与eq \(NF,\s\up6(→))共线.
    10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M为DD1的中点,点N在AC上,且AN∶NC=2∶1,求证:eq \(A1N,\s\up6(—→))与eq \(A1B,\s\up6(—→)),eq \(A1M,\s\up6(—→))共面.
    证明 ∵eq \(A1B,\s\up6(—→))=eq \(AB,\s\up6(→))-eq \(AA1,\s\up6(—→)),eq \(A1M,\s\up6(—→))=eq \(A1D1,\s\up6(—→))+eq \(D1M,\s\up6(—→))=eq \(AD,\s\up6(→))-eq \f(1,2)eq \(AA1,\s\up6(—→)),eq \(AN,\s\up6(→))=eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))=eq \f(2,3)(eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AD,\s\up6(→))),
    ∴eq \(A1N,\s\up6(—→))=eq \(AN,\s\up6(→))-eq \(AA1,\s\up6(—→))=eq \f(2,3)(eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AD,\s\up6(→)))-eq \(AA1,\s\up6(—→))=eq \f(2,3)(eq \(AB,\s\up6(→))-eq \(AA1,\s\up6(—→)))+eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))-\f(1,2)\(AA1,\s\up6(—→))))
    =eq \f(2,3)eq \(A1B,\s\up6(—→))+eq \f(2,3)eq \(A1M,\s\up6(—→)),
    ∴eq \(A1N,\s\up6(—→))与eq \(A1B,\s\up6(—→)),eq \(A1M,\s\up6(—→))共面.
    11.若P,A,B,C为空间四点,且有eq \(PA,\s\up6(→))=αeq \(PB,\s\up6(→))+βeq \(PC,\s\up6(→)),则α+β=1是A,B,C三点共线的( )
    A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
    C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
    答案 C
    解析 若α+β=1,则eq \(PA,\s\up6(→))-eq \(PB,\s\up6(→))=β(eq \(PC,\s\up6(→))-eq \(PB,\s\up6(→))),即eq \(BA,\s\up6(→))=βeq \(BC,\s\up6(→)),显然,A,B,C三点共线;若A,B,C三点共线,则有eq \(AB,\s\up6(→))=λeq \(BC,\s\up6(→)),故eq \(PB,\s\up6(→))-eq \(PA,\s\up6(→))=λ(eq \(PC,\s\up6(→))-eq \(PB,\s\up6(→))),整理得eq \(PA,\s\up6(→))=(1+λ)eq \(PB,\s\up6(→))-λeq \(PC,\s\up6(→)),令α=1+λ,β=-λ,则α+β=1,故选C.
    12.平面α内有五点A,B,C,D,E,其中无三点共线,O为空间一点,满足eq \(OA,\s\up6(→))=eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))+xeq \(OC,\s\up6(→))+yeq \(OD,\s\up6(→)),eq \(OB,\s\up6(→))=2xeq \(OC,\s\up6(→))+eq \f(1,3)eq \(OD,\s\up6(→))+yeq \(OE,\s\up6(→)),则x+3y等于( )
    A.eq \f(5,6) B.eq \f(7,6) C.eq \f(5,3) D.eq \f(7,3)
    答案 B
    解析 由点A,B,C,D共面得x+y=eq \f(1,2),
    又由点B,C,D,E共面得2x+y=eq \f(2,3),
    联立方程组解得x=eq \f(1,6),y=eq \f(1,3),
    所以x+3y=eq \f(7,6).
    13.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,M为空间任意两点,如果有eq \(PM,\s\up6(→))=eq \(PB1,\s\up6(—→))+7eq \(BA,\s\up6(→))+6eq \(AA1,\s\up6(—→))-4eq \(A1D1,\s\up6(—→)),那么M必( )
    A.在平面BAD1内 B.在平面BA1D内
    C.在平面BA1D1内 D.在平面AB1C1内
    答案 C
    解析 eq \(PM,\s\up6(→))=eq \(PB1,\s\up6(—→))+7eq \(BA,\s\up6(→))+6eq \(AA1,\s\up6(—→))-4eq \(A1D1,\s\up6(—→))
    =eq \(PB1,\s\up6(—→))+eq \(BA,\s\up6(→))+6eq \(BA1,\s\up6(—→))-4eq \(A1D1,\s\up6(—→))
    =eq \(PB1,\s\up6(—→))+eq \(B1A1,\s\up6(—→))+6eq \(BA1,\s\up6(—→))-4eq \(A1D1,\s\up6(—→))
    =eq \(PA1,\s\up6(—→))+6(eq \(PA1,\s\up6(—→))-eq \(PB,\s\up6(→)))-4(eq \(PD1,\s\up6(—→))-eq \(PA1,\s\up6(—→)))
    =11eq \(PA1,\s\up6(—→))-6eq \(PB,\s\up6(→))-4eq \(PD1,\s\up6(—→)),
    于是M,B,A1,D1四点共面.
    14.有下列命题:
    ①若eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(CD,\s\up6(→)),则A,B,C,D四点共线;
    ②若eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(AC,\s\up6(→)),则A,B,C三点共线;
    ③若e1,e2为不共线的非零向量,a=4e1-eq \f(2,5)e2,b=-e1+eq \f(1,10)e2,则a∥b;
    ④若向量e1,e2,e3是三个不共面的向量,且满足等式k1e1+k2e2+k3e3=0,则k1=k2=k3=0.
    其中是真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上).
    答案 ②③④
    解析 根据共线向量的定义,若eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(CD,\s\up6(→)),则AB∥CD或A,B,C,D四点共线,故①错;
    因为eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(AC,\s\up6(→))且eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(AC,\s\up6(→))有公共点A,所以②正确;
    由于a=4e1-eq \f(2,5)e2=-4b,所以a∥b.故③正确;易知④也正确.
    15.已知A,B,C三点不共线,O是平面ABC外任意一点,若由eq \(OP,\s\up6(→))=eq \f(1,5)eq \(OA,\s\up6(→))+eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up6(→))+λeq \(OC,\s\up6(→))确定的一点P与A,B,C三点共面,则λ=________.
    答案 eq \f(2,15)
    解析 根据P,A,B,C四点共面的条件,知存在实数x,y,z,使得eq \(OP,\s\up6(→))=xeq \(OA,\s\up6(→))+yeq \(OB,\s\up6(→))+zeq \(OC,\s\up6(→))成立,其中x+y+z=1,于是eq \f(1,5)+eq \f(2,3)+λ=1,所以λ=eq \f(2,15).
    16.如图,已知M,N分别为四面体A-BCD的面BCD与面ACD的重心,G为AM上一点,且GM∶GA=1∶3.
    求证:B,G,N三点共线.
    证明 设eq \(AB,\s\up6(→))=a,eq \(AC,\s\up6(→))=b,eq \(AD,\s\up6(→))=c,
    则eq \(AM,\s\up6(→))=eq \(AB,\s\up6(→))+eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \(BC,\s\up6(→))+eq \(BD,\s\up6(→)))
    =eq \(AB,\s\up6(→))+eq \f(1,3)(eq \(BC,\s\up6(→))+eq \(BD,\s\up6(→)))
    =eq \(AB,\s\up6(→))+eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))-eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AD,\s\up6(→))-eq \(AB,\s\up6(→)))
    =eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AC,\s\up6(→))+eq \(AD,\s\up6(→)))
    =eq \f(1,3)(a+b+c),
    eq \(BG,\s\up6(→))=eq \(BA,\s\up6(→))+eq \(AG,\s\up6(→))=eq \(BA,\s\up6(→))+eq \f(3,4)eq \(AM,\s\up6(→))
    =-a+eq \f(1,4)(a+b+c)
    =-eq \f(3,4)a+eq \f(1,4)b+eq \f(1,4)c,
    eq \(BN,\s\up6(→))=eq \(BA,\s\up6(→))+eq \(AN,\s\up6(→))=eq \(BA,\s\up6(→))+eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))+eq \(AD,\s\up6(→)))
    =-a+eq \f(1,3)b+eq \f(1,3)c=eq \f(4,3)eq \(BG,\s\up6(→)),
    ∴eq \(BN,\s\up6(→))∥eq \(BG,\s\up6(→)).
    又BN∩BG=B,∴B,G,N三点共线.
    1.1.2 空间向量的数量积运算
    学习目标 1.会识别空间向量的夹角.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法.3.能用空间向量数量积解决简单的立体几何问题.
    知识点一 空间向量的夹角
    1.定义:已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作eq \(OA,\s\up6(→))=a,eq \(OB,\s\up6(→))=b,则∠AOB叫做向量a,b的夹角,记作〈a,b〉.
    2.范围:0≤〈a,b〉≤π.
    特别地,当〈a,b〉=eq \f(π,2)时,a⊥b.
    思考 当〈a,b〉=0和〈a,b〉=π时,向量a与b有什么关系?
    答案 当〈a,b〉=0时,a与b同向;当〈a,b〉=π时,a与b反向.
    知识点二 空间向量的数量积
    思考1 向量的数量积运算是否满足结合律?
    答案 不满足结合律,(a·b)·c=a·(b·c)是错误的.
    思考2 对于向量 a,b,若a·b=k,能否写成a=eq \f(k,b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或b=\f(k,a)))?
    答案 不能,向量没有除法.
    知识点三 向量a的投影
    1.如图(1),在空间,向量a向向量b投影,由于它们是自由向量,因此可以先将它们平移到同一个平面α内,进而利用平面上向量的投影,得到与向量b共线的向量c,c=|a|cs〈a,b〉eq \f(b,|b|),向量c称为向量a在向量b上的投影向量.类似地,可以将向量a向直线l投影(如图(2)).
    2.如图(3),向量a向平面β投影,就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线,垂足分别为A′,B′,得到eq \(A′B′,\s\up6(———→)),向量eq \(A′B′,\s\up6(———→))称为向量a在平面β上的投影向量.这时,向量a,eq \(A′B′,\s\up6(———→))的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角.
    1.向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))的夹角等于向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(DC,\s\up6(→))的夹角.( × )
    2.若a·b=0,则a=0或b=0.( × )
    3.对于非零向量b,由a·b=b·c,可得a=c.( × )
    4.若非零向量a,b为共线且同向的向量,则a·b=|a||b|.( √ )
    一、数量积的计算
    例1 如图所示,在棱长为1的正四面体A-BCD中,E,F分别是AB,AD的中点,求:
    (1)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→));
    (2)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→));
    (3)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→));
    (4)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→)).
    解 (1)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))=eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))
    =eq \f(1,2)|eq \(BD,\s\up6(→))||eq \(BA,\s\up6(→))|·cs〈eq \(BD,\s\up6(→)),eq \(BA,\s\up6(→))〉
    =eq \f(1,2)cs 60°=eq \f(1,4).
    (2)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))=eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))=eq \f(1,2)|eq \(BD,\s\up6(→))|2=eq \f(1,2).
    (3)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))=eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))
    =eq \f(1,2)|eq \(BD,\s\up6(→))|·|eq \(DC,\s\up6(→))|cs〈eq \(BD,\s\up6(→)),eq \(DC,\s\up6(→))〉
    =eq \f(1,2)cs 120°=-eq \f(1,4).
    (4)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))=eq \(AB,\s\up6(→))·(eq \(AD,\s\up6(→))-eq \(AC,\s\up6(→)))
    =eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))-eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))
    =|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AD,\s\up6(→))|cs〈eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(AD,\s\up6(→))〉-|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|cs〈eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(AC,\s\up6(→))〉
    =cs 60°-cs 60°=0.
    反思感悟 求空间向量数量积的步骤
    (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.
    (2)利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积.
    (3)代入a·b=|a||b|cs〈a,b〉求解.
    跟踪训练1 (1) 已知a=3p-2q,b=p+q,p和q是相互垂直的单位向量,则a·b等于( )
    A.1 B.2
    C.3 D.4
    答案 A
    解析 ∵p⊥q且|p|=|q|=1,∴a·b=(3p-2q)·(p+q)=3p2+p·q-2q2=3+0-2=1.
    (2)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))=________.
    答案 2
    解析 ∵eq \(AE,\s\up6(→))=eq \(AD,\s\up6(→))+eq \(DE,\s\up6(→))=eq \(AD,\s\up6(→))+eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(BD,\s\up6(→))=eq \(AD,\s\up6(→))-eq \(AB,\s\up6(→)),
    ∴eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))+\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))))·(eq \(AD,\s\up6(→))-eq \(AB,\s\up6(→)))=eq \(AD,\s\up6(→))2 -eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))+eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))-eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))2=4-0+0-2=2.
    二、利用数量积证明垂直问题
    例2 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC与BD的交点,G为CC1的中点,求证:A1O⊥平面GBD.
    证明 设eq \(A1B1,\s\up6(—→))=a,eq \(A1D1,\s\up6(—→))=b,eq \(A1A,\s\up6(—→))=c,
    则a·b=0,b·c=0,a·c=0,|a|=|b|=|c|.
    ∵eq \(A1O,\s\up6(—→))=eq \(A1A,\s\up6(—→))+eq \(AO,\s\up6(→))=eq \(A1A,\s\up6(—→))+eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AD,\s\up6(→)))
    =c+eq \f(1,2)a+eq \f(1,2)b,
    eq \(BD,\s\up6(→))=eq \(AD,\s\up6(→))-eq \(AB,\s\up6(→))=b-a,
    eq \(OG,\s\up6(→))=eq \(OC,\s\up6(→))+eq \(CG,\s\up6(→))=eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AD,\s\up6(→)))+eq \f(1,2)eq \(CC1,\s\up6(—→))
    =eq \f(1,2)a+eq \f(1,2)b-eq \f(1,2)c,
    ∴eq \(A1O,\s\up6(—→))·eq \(BD,\s\up6(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c+\f(1,2)a+\f(1,2)b))·(b-a)
    =c·b-c·a+eq \f(1,2)a·b-eq \f(1,2)a2+eq \f(1,2)b2-eq \f(1,2)b·a
    =eq \f(1,2)(b2-a2)
    =eq \f(1,2)(|b|2-|a|2)=0.
    于是eq \(A1O,\s\up6(—→))⊥eq \(BD,\s\up6(→)),即A1O⊥BD.
    同理可证eq \(A1O,\s\up6(—→))⊥eq \(OG,\s\up6(→)),即A1O⊥OG.
    又∵OG∩BD=O,OG⊂平面GBD,BD⊂平面GBD,
    ∴A1O⊥平面GBD.
    反思感悟 用向量法证明几何中垂直关系问题的思路
    (1)要证两直线垂直,可分别构造与两直线平行的向量,只要证明这两个向量的数量积为0即可.
    (2)用向量法证明线面垂直,需将线面垂直转化为线线垂直,然后利用向量数量积证明线线垂直即可.
    跟踪训练2 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.求证:PA⊥BD.
    证明 在△ADB中,∠DAB=60°,AB=2AD,
    由余弦定理得,BD=eq \r(3)AD,
    所以AD2+BD2=AB2,
    所以DA⊥BD,则eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(DA,\s\up6(→))=0.
    由PD⊥底面ABCD,知PD⊥BD,则eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))=0.
    又eq \(PA,\s\up6(→))=eq \(PD,\s\up6(→))+eq \(DA,\s\up6(→)),
    所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))=(eq \(PD,\s\up6(→))+eq \(DA,\s\up6(→)))·eq \(BD,\s\up6(→))=eq \(PD,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))+eq \(DA,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))=0,即PA⊥BD.
    三、用数量积求解夹角和模
    例3 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,点N为AA1的中点.
    (1)求eq \(BN,\s\up6(→))的模;
    (2)求cs〈eq \(BA1,\s\up6(—→)),eq \(CB1,\s\up6(—→))〉的值.
    解 由已知得|eq \(CA,\s\up6(→))|=|eq \(CB,\s\up6(→))|=1,|eq \(CC1,\s\up6(—→))|=|eq \(AA1,\s\up6(—→))|=2,eq \(AN,\s\up6(→))=eq \f(1,2)eq \(AA1,\s\up6(—→))=eq \f(1,2)eq \(CC1,\s\up6(—→)).
    〈eq \(CA,\s\up6(→)),eq \(CC1,\s\up6(—→))〉=〈eq \(CB,\s\up6(→)),eq \(CC1,\s\up6(—→))〉=〈eq \(CA,\s\up6(→)),eq \(CB,\s\up6(→))〉=90°,
    所以eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CC1,\s\up6(—→))=eq \(CB,\s\up6(→))·eq \(CC1,\s\up6(—→))=eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))=0.
    (1)因为eq \(BN,\s\up6(→))=eq \(CN,\s\up6(→))-eq \(CB,\s\up6(→))=eq \(CA,\s\up6(→))+eq \(AN,\s\up6(→))-eq \(CB,\s\up6(→))=eq \(CA,\s\up6(→))+eq \f(1,2)eq \(CC1,\s\up6(—→))-eq \(CB,\s\up6(→)),
    所以|eq \(BN,\s\up6(→))|2=eq \(BN,\s\up6(→))2=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(CA,\s\up6(→))+\f(1,2)\(CC1,\s\up6(—→))-\(CB,\s\up6(→))))2
    =eq \(CA,\s\up6(→))2+eq \f(1,4)eq \(CC1,\s\up6(—→))2+eq \(CB,\s\up6(→))2=12+eq \f(1,4)×22+12=3,
    所以|eq \(BN,\s\up6(→))|=eq \r(|\(BN,\s\up6(→))|2)=eq \r(3).
    (2)因为eq \(BA1,\s\up6(—→))=eq \(CA1,\s\up6(—→))-eq \(CB,\s\up6(→))=eq \(CA,\s\up6(→))+eq \(CC1,\s\up6(—→))-eq \(CB,\s\up6(→)),
    eq \(CB1,\s\up6(—→))=eq \(CB,\s\up6(→))+eq \(CC1,\s\up6(—→)),
    所以|eq \(BA1,\s\up6(—→))|2=eq \(BA1,\s\up6(—→))2=(eq \(CA,\s\up6(→))+eq \(CC1,\s\up6(→))-eq \(CB,\s\up6(→)))2=eq \(CA,\s\up6(→))2+eq \(CC1,\s\up6(—→))2+eq \(CB,\s\up6(→))2=12+22+12=6,|eq \(BA1,\s\up6(—→))|=eq \r(6),
    |eq \(CB1,\s\up6(—→))|2=eq \(CB1,\s\up6(—→))2=(eq \(CB,\s\up6(→))+eq \(CC1,\s\up6(—→)))2=eq \(CB,\s\up6(→))2+eq \(CC1,\s\up6(—→))2=12+22=5,|eq \(CB1,\s\up6(—→))|=eq \r(5),
    eq \(BA1,\s\up6(—→))·eq \(CB1,\s\up6(—→))=(eq \(CA,\s\up6(→))+eq \(CC1,\s\up6(—→))-eq \(CB,\s\up6(→)))·(eq \(CB,\s\up6(→))+eq \(CC1,\s\up6(—→)))
    =eq \(CC1,\s\up6(—→))2-eq \(CB,\s\up6(→))2=22 -12=3,
    所以cs〈eq \(BA1,\s\up6(—→)),eq \(CB1,\s\up6(—→))〉=eq \f(\(BA1,\s\up6(—→))·\(CB1,\s\up6(—→)),|\(BA1,\s\up6(—→))||\(CB1,\s\up6(—→))|)=eq \f(3,\r(6)×\r(5))=eq \f(\r(30),10).
    延伸探究
    1.(变结论)本例中条件不变,求eq \(BN,\s\up6(→))与eq \(CB1,\s\up6(—→))夹角的余弦值.
    解 由例题知,|eq \(BN,\s\up6(→))|=eq \r(3),|eq \(CB1,\s\up6(—→))|=eq \r(5),
    eq \(BN,\s\up6(→))·eq \(CB1,\s\up6(—→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(CA,\s\up6(→))+\f(1,2)\(CC1,\s\up6(—→))-\(CB,\s\up6(→))))·(eq \(CB,\s\up6(→))+eq \(CC1,\s\up6(—→)))
    =eq \f(1,2)eq \(CC1,\s\up6(—→))2-eq \(CB,\s\up6(→))2=eq \f(1,2)×22 -12=1.
    所以cs〈eq \(BN,\s\up6(→)),eq \(CB1,\s\up6(→))〉=eq \f(\(BN,\s\up6(→))·\(CB1,\s\up6(→)),|\(BN,\s\up6(→))||\(CB1,\s\up6(→))|)=eq \f(1,\r(3)×\r(5))=eq \f(\r(15),15).
    所以eq \(BN,\s\up6(→))与eq \(CB1,\s\up6(→))夹角的余弦值为eq \f(\r(15),15).
    2.(变条件)本例中,若CA=CB=AA1=1,其他条件不变,求异面直线CA1与AB的夹角.
    解 由已知得|eq \(CA,\s\up6(→))|=|eq \(CB,\s\up6(→))|=|eq \(CC1,\s\up6(—→))|=1,eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CC1,\s\up6(—→))=eq \(CB,\s\up6(→))·eq \(CC1,\s\up6(—→))=eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))=0,
    因为|eq \(CA1,\s\up6(—→))|2=eq \(CA1,\s\up6(—→))2=(eq \(CA,\s\up6(→))+eq \(CC1,\s\up6(—→)))2=eq \(CA,\s\up6(→))2+eq \(CC1,\s\up6(—→))2=12+12=2,
    所以|eq \(CA1,\s\up6(—→))|=eq \r(2),
    因为|eq \(AB,\s\up6(→))|2=eq \(AB,\s\up6(→))2=(eq \(CB,\s\up6(→))-eq \(CA,\s\up6(→)))2=eq \(CB,\s\up6(→))2+eq \(CA,\s\up6(→))2=12+12=2,
    所以|eq \(AB,\s\up6(→))|=eq \r(2),
    又因为eq \(CA1,\s\up6(—→))·eq \(AB,\s\up6(→))=(eq \(CA,\s\up6(→))+eq \(CC1,\s\up6(—→)))·(eq \(CB,\s\up6(→))-eq \(CA,\s\up6(→)))=-eq \(CA,\s\up6(→))2=-1.
    所以cs〈eq \(CA1,\s\up6(—→)),eq \(AB,\s\up6(→))〉=eq \f(\(CA1,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→)),|\(CA1,\s\up6(—→))||\(AB,\s\up6(→))|)=eq \f( -1,\r(2)×\r(2))=-eq \f(1,2).
    所以〈eq \(CA1,\s\up6(—→)),eq \(AB,\s\up6(→))〉=120°,
    所以异面直线CA1与AB的夹角为60°.
    反思感悟 求向量的夹角和模
    (1)求两个向量的夹角:利用公式cs〈a,b〉=eq \f(a·b,|a||b|)求cs〈a,b〉,进而确定〈a,b〉.
    (2)求线段长度(距离):①取此线段对应的向量; ②用其他已知夹角和模的向量表示该向量;③利用|a|=eq \r(a2),计算出|a|,即得所求长度(距离).
    跟踪训练3 (1)已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1,设eq \(AB,\s\up6(→))=a,eq \(AD,\s\up6(→))=b,eq \(AA′,\s\up6(——→))=c,则〈eq \(A′B,\s\up6(——→)),eq \(B′D′,\s\up6(———→))〉等于( )
    A.30° B.60°
    C.90° D.120°
    答案 D
    (2)已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=AD=1,且这三条棱彼此之间的夹角都是60°,则AC1的长为( )
    A.6 B.eq \r(6)
    C.3 D.eq \r(3)
    答案 B
    解析 设eq \(AB,\s\up6(→))=a,eq \(AD,\s\up6(→))=b,eq \(AA1,\s\up6(—→))=c,则|a|=|b|=|c|=1,
    且〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°,
    因此a·b=b·c=c·a=eq \f(1,2).
    由eq \(AC1,\s\up6(—→))=a+b+c得|eq \(AC1,\s\up6(—→))|2=eq \(AC1,\s\up6(—→))2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=6.
    所以|eq \(AC1,\s\up6(—→))|=eq \r(6),故选B.
    1.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各组向量的夹角为45°的是( )
    A.eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(A1C1,\s\up6(—→))
    B.eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(C1A1,\s\up6(—→))
    C.eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(A1D1,\s\up6(—→))
    D.eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(B1A1,\s\up6(—→))
    答案 A
    2.设ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,则有( )
    A.eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(C1A,\s\up6(—→))=a2 B.eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(A1C1,\s\up6(—→))=eq \r(2)a2
    C.eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(A1C,\s\up6(—→))=a2 D.eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(C1A1,\s\up6(—→))=a2
    答案 C
    3.已知空间四边形OABC中,OB=OC,∠AOB=∠AOC=eq \f(π,3),则cs〈eq \(OA,\s\up6(→)),eq \(BC,\s\up6(→))〉的值为( )
    A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.-eq \f(1,2) D.0
    答案 D
    解析 eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))=eq \(OA,\s\up6(→))·(eq \(OC,\s\up6(→))-eq \(OB,\s\up6(→)))=eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))-eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))=|eq \(OA,\s\up6(→))||eq \(OC,\s\up6(→))|cs∠AOC-|eq \(OA,\s\up6(→))||eq \(OB,\s\up6(→))|cs∠AOB
    =eq \f(1,2)|eq \(OA,\s\up6(→))||eq \(OC,\s\up6(→))|-eq \f(1,2)|eq \(OA,\s\up6(→))||eq \(OB,\s\up6(→))|=0,
    所以eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→)).所以cs〈eq \(OA,\s\up6(→)),eq \(BC,\s\up6(→))〉=0.
    4.若a,b,c为空间两两夹角都是60°的三个单位向量,则|a-b+2c|=________.
    答案 eq \r(5)
    解析 |a-b+2c|2=(a-b+2c)2
    =a2+b2+4c2-2a·b+4a·c-4b·c
    =5.
    ∴|a-b+2c|=eq \r(5).
    5.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,设AD=AA1=1,AB=2,P是C1D1的中点,则eq \(B1C,\s\up6(—→))与eq \(A1P,\s\up6(—→))所成角的大小为________,eq \(B1C,\s\up6(—→))·eq \(A1P,\s\up6(—→))=________.
    答案 60° 1
    解析 方法一 连接A1D(图略),则∠PA1D就是eq \(B1C,\s\up6(—→))与eq \(A1P,\s\up6(—→))所成角,连接PD,在△PA1D中,易得PA1=DA1=PD=eq \r(2),即△PA1D为等边三角形,从而∠PA1D=60°,即eq \(B1C,\s\up6(—→))与eq \(A1P,\s\up6(—→))所成角的大小为60°,因此eq \(B1C,\s\up6(—→))·eq \(A1P,\s\up6(—→))=eq \r(2)×eq \r(2)×cs 60°=1.
    方法二 根据向量的线性运算可得
    eq \(B1C,\s\up6(—→))·eq \(A1P,\s\up6(—→))=(eq \(A1A,\s\up6(—→))+eq \(AD,\s\up6(→)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))+\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))))=eq \(AD,\s\up6(→))2=1.
    由题意可得PA1=B1C=eq \r(2),则eq \r(2)×eq \r(2)×cs〈eq \(B1C,\s\up6(→)),eq \(A1P,\s\up6(→))〉=1,
    从而〈eq \(B1C,\s\up6(→)),eq \(A1P,\s\up6(→))〉=60°.
    1.知识清单:
    (1)空间向量的夹角、投影.
    (2)空间向量数量积、性质及运算律.
    2.方法归纳:化归转化.
    3.常见误区:空间向量的数量积的三点注意
    (1)数量积的符号由夹角的余弦值决定.
    (2)当a≠0,由a·b=0可得a⊥b或b=0.
    1.已知向量a和b的夹角为120°,且|a|=2,|b|=5,则(2a-b)·a等于( )
    A.12 B.8+eq \r(13)
    C.4 D.13
    答案 D
    解析 (2a-b)·a=2a2-b·a=2|a|2-|a||b|cs 120°
    =2×4-2×5×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2)))=13.
    2.已知两异面直线的方向向量分别为a,b,且|a|=|b|=1,a·b=-eq \f(1,2),则两直线的夹角为( )
    A.30° B.60°
    C.120° D.150°
    答案 B
    解析 设向量a,b的夹角为θ,则cs θ=eq \f(a·b,|a||b|)=-eq \f(1,2),所以θ=120°,
    则两个方向向量对应的直线的夹角为180°-120°=60°.
    3.已知e1,e2为单位向量,且e1⊥e2,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,a⊥b,则实数k的值为( )
    A.-6 B.6 C.3 D.-3
    答案 B
    解析 由题意可得a·b=0,e1·e2=0,|e1|=|e2|=1,
    所以(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=0,
    所以2k-12=0,
    所以k=6.
    4.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))的值为( )
    A.a2 B.eq \f(1,2)a2 C.eq \f(1,4)a2 D.eq \f(\r(3),4)a2
    答案 C
    解析 eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))=eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AC,\s\up6(→)))·eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))
    =eq \f(1,4)(eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))+eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→)))
    =eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a×a×\f(1,2)+a×a×\f(1,2)))=eq \f(1,4)a2.
    5.已知四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积不为零的是( )
    A.eq \(PC,\s\up6(→))与eq \(BD,\s\up6(→)) B.eq \(DA,\s\up6(→))与eq \(PB,\s\up6(→))
    C.eq \(PD,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→)) D.eq \(PA,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))
    答案 A
    解析 可用排除法.因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD,eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))=0,排除D.
    又由AD⊥AB,AD⊥PA可得AD⊥平面PAB,所以AD⊥PB,所以eq \(DA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))=0,
    同理eq \(PD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))=0,排除B,C,故选A.
    6.已知|a|=13,|b|=19,|a+b|=24,则|a-b|=________.
    答案 22
    解析 |a+b|2=a2+2a·b+b2=132+2a·b+192=242,
    ∴2a·b=46,|a-b|2=a2-2a·b+b2=530-46=484,故|a-b|=22.
    7.已知a+3b与7a-5b垂直,且a-4b与7a-2b垂直,则〈a,b〉=________.
    答案 60°
    解析 由条件知(a+3b)·(7a-5b)=7|a|2-15|b|2+16a·b=0,
    (a-4b)·(7a-2b)=7|a|2+8|b|2-30a·b=0,两式相减得46a·b=23|b|2,所以a·b=eq \f(1,2)|b|2,
    代入上面两个式子中的任意一个,得|a|=|b|,
    所以cs〈a,b〉=eq \f(a·b,|a||b|)=eq \f(\f(1,2)|b|2,|b|2)=eq \f(1,2),所以〈a,b〉=60°.
    8.如图,在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,O,O1分别是对角线AC,A1C1的中点,则〈eq \(AO,\s\up6(→)),eq \(OC,\s\up6(→))〉=________,〈eq \(AO,\s\up6(→)),eq \(O1C1,\s\up6(—→))〉=________,〈eq \(OO1,\s\up6(—→)),eq \(A1B1,\s\up6(—→))〉=________.
    答案 0° 0° 90°
    解析 由题意得eq \(AO,\s\up6(→)),eq \(OC,\s\up6(→))方向相同,是在同一条直线AC上,故〈eq \(AO,\s\up6(→)),eq \(OC,\s\up6(→))〉=0°;eq \(O1C1,\s\up6(—→))可平移到直线AC上,与eq \(OC,\s\up6(→))方向相同,故〈eq \(AO,\s\up6(→)),eq \(O1C1,\s\up6(—→))〉=0°;由题意知OO1是正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高,故OO1⊥平面A1B1C1D1,所以OO1⊥A1B1,故〈eq \(OO1,\s\up6(—→)),eq \(A1B1,\s\up6(—→))〉=90°.
    9.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求异面直线A1B与AC所成的角.
    解 不妨设正方体的棱长为1,
    设eq \(AB,\s\up6(→))=a,eq \(AD,\s\up6(→))=b,eq \(AA1,\s\up6(—→))=c,
    则|a|=|b|=|c|=1,
    a·b=b·c=c·a=0,eq \(A1B,\s\up6(—→))=a-c,eq \(AC,\s\up6(→))=a+b.
    ∴eq \(A1B,\s\up6(—→))·eq \(AC,\s\up6(→))=(a-c)·(a+b)
    =|a|2+a·b-a·c-b·c=1,
    而|eq \(A1B,\s\up6(—→))|=|eq \(AC,\s\up6(→))|=eq \r(2),
    ∴cs〈eq \(A1B,\s\up6(—→)),eq \(AC,\s\up6(→))〉=eq \f(\(A1B,\s\up6(—→))·\(AC,\s\up6(→)),|\(A1B,\s\up6(—→))||\(AC,\s\up6(→))|)=eq \f(1,\r(2)×\r(2))=eq \f(1,2),
    ∵0°≤〈eq \(A1B,\s\up6(—→)),eq \(AC,\s\up6(→))〉≤180°,
    ∴〈eq \(A1B,\s\up6(—→)),eq \(AC,\s\up6(→))〉=60°.
    ∴异面直线A1B与AC所成的角为60°.
    10.如图,正四棱锥P-ABCD的各棱长都为a.
    (1)用向量法证明BD⊥PC;
    (2)求|eq \(AC,\s\up6(→))+eq \(PC,\s\up6(→))|的值.
    (1)证明 ∵eq \(BD,\s\up6(→))=eq \(BC,\s\up6(→))+eq \(CD,\s\up6(→)),
    ∴eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))=(eq \(BC,\s\up6(→))+eq \(CD,\s\up6(→)))·eq \(PC,\s\up6(→))=eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))+eq \(CD,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))
    =|eq \(BC,\s\up6(→))||eq \(PC,\s\up6(→))|·cs 60°+|eq \(CD,\s\up6(→))||eq \(PC,\s\up6(→))|cs 120°
    =eq \f(1,2)a2-eq \f(1,2)a2=0.
    ∴eq \(BD,\s\up6(→))⊥eq \(PC,\s\up6(→)),
    ∴BD⊥PC.
    (2)解 ∵eq \(AC,\s\up6(→))+eq \(PC,\s\up6(→))=eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(BC,\s\up6(→))+eq \(PC,\s\up6(→)),
    ∴|eq \(AC,\s\up6(→))+eq \(PC,\s\up6(→))|2=|eq \(AB,\s\up6(→))|2+|eq \(BC,\s\up6(→))|2+|eq \(PC,\s\up6(→))|2+2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))+2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))+2eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))
    =a2+a2+a2+0+2a2cs 60°+2a2cs 60°=5a2,
    ∴|eq \(AC,\s\up6(→))+eq \(PC,\s\up6(→))|=eq \r(5)a.
    11.设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(eq \(DB,\s\up6(→))+eq \(DC,\s\up6(→))-2eq \(DA,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))-eq \(AC,\s\up6(→)))=0,则△ABC是( )
    A.直角三角形 B.等腰三角形
    C.等腰直角三角形 D.等边三角形
    答案 B
    解析 因为eq \(DB,\s\up6(→))+eq \(DC,\s\up6(→))-2eq \(DA,\s\up6(→))=(eq \(DB,\s\up6(→))-eq \(DA,\s\up6(→)))+(eq \(DC,\s\up6(→))-eq \(DA,\s\up6(→)))=eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AC,\s\up6(→)),
    所以(eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AC,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))-eq \(AC,\s\up6(→)))=|eq \(AB,\s\up6(→))|2-|eq \(AC,\s\up6(→))|2=0,所以|eq \(AB,\s\up6(→))|=|eq \(AC,\s\up6(→))|,
    即△ABC是等腰三角形.
    12.已知a,b是异面直线,A,B∈a,C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,则a与b所成的角是( )
    A.30° B.45° C.60° D.90°
    答案 C
    解析 ∵eq \(AB,\s\up6(→))=eq \(AC,\s\up6(→))+eq \(CD,\s\up6(→))+eq \(DB,\s\up6(→)),
    ∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))=(eq \(AC,\s\up6(→))+eq \(CD,\s\up6(→))+eq \(DB,\s\up6(→)))·eq \(CD,\s\up6(→))=eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))+eq \(CD,\s\up6(→))2+eq \(DB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))=0+12+0=1,
    又|eq \(AB,\s\up6(→))|=2,|eq \(CD,\s\up6(→))|=1.
    ∴cs〈eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(CD,\s\up6(→))〉=eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(CD,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))||\(CD,\s\up6(→))|)=eq \f(1,2×1)=eq \f(1,2).
    ∵异面直线所成的角是锐角或直角,
    ∴a与b所成的角是60°.
    13.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=3,|b|=1,|c|=4,则a·b+b·c+c·a的值为( )
    A.-13 B.-5 C.5 D.13
    答案 A
    解析 ∵a+b+c=0,∴(a+b+c)2=0,
    ∴a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=0,
    ∴a·b+b·c+c·a=-eq \f(32+12+42,2)=-13.
    14. 已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1,则eq \(AO1,\s\up6(—→))·eq \(AC,\s\up6(→))的值为________.
    答案 1
    解析 由于eq \(AO1,\s\up6(—→))=eq \(AA1,\s\up6(—→))+eq \(A1O1,\s\up6(—→))=eq \(AA1,\s\up6(—→))+eq \f(1,2)(eq \(A1B1,\s\up6(—→))+eq \(A1D1,\s\up6(—→)))=eq \(AA1,\s\up6(—→))+eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AD,\s\up6(→))),而eq \(AC,\s\up6(→))=eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AD,\s\up6(→)),
    则eq \(AO1,\s\up6(—→))·eq \(AC,\s\up6(→))=eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(AA1,\s\up6(—→))+\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))+\(AD,\s\up6(→))))·(eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AD,\s\up6(→)))=eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AD,\s\up6(→)))2=1.
    15.等边△ABC中,P在线段AB上,且eq \(AP,\s\up6(→))=λeq \(AB,\s\up6(→)),若eq \(CP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))=eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→)),则实数λ的值为________.
    答案 1-eq \f(\r(2),2)
    解析 如图,eq \(CP,\s\up6(→))=-eq \(AC,\s\up6(→))+eq \(AP,\s\up6(→))=-eq \(AC,\s\up6(→))+λeq \(AB,\s\up6(→)),
    故eq \(CP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))=(λeq \(AB,\s\up6(→))-eq \(AC,\s\up6(→)))·eq \(AB,\s\up6(→))
    =λ|eq \(AB,\s\up6(→))|2-|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|cs A
    eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))=(-λeq \(AB,\s\up6(→)))·(1-λ)eq \(AB,\s\up6(→))=λ(λ-1)|eq \(AB,\s\up6(→))|2,
    设|eq \(AB,\s\up6(→))|=a(a>0),则a2λ-eq \f(1,2)a2=λ(λ-1)a2,
    解得λ=1-eq \f(\r(2),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ=1+\f(\r(2),2)舍)).
    16.如图所示,已知线段AB在平面α内,线段AC⊥α,线段BD⊥AB,且AB=7,AC=BD=24,线段BD与α所成的角为30°,求CD的长.
    解 由AC⊥α,可知AC⊥AB,
    过点D作DD1⊥α,
    D1为垂足,连接BD1,
    则∠DBD1为BD与α所成的角,
    即∠DBD1=30°,
    所以∠BDD1=60°,
    因为AC⊥α,DD1⊥α,所以AC∥DD1,
    所以〈eq \(CA,\s\up6(→)),eq \(DB,\s\up6(→))〉=60°,所以〈eq \(CA,\s\up6(→)),eq \(BD,\s\up6(→))〉=120°.
    又eq \(CD,\s\up6(→))=eq \(CA,\s\up6(→))+eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(BD,\s\up6(→)),
    所以|eq \(CD,\s\up6(→))|2=(eq \(CA,\s\up6(→))+eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(BD,\s\up6(→)))2
    =|eq \(CA,\s\up6(→))|2+|eq \(AB,\s\up6(→))|2+|eq \(BD,\s\up6(→))|2+2eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))+2eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))+2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→)).
    因为BD⊥AB,AC⊥AB,
    所以eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))=0,eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))=0.
    故|eq \(CD,\s\up6(→))|2=|eq \(CA,\s\up6(→))|2+|eq \(AB,\s\up6(→))|2+|eq \(BD,\s\up6(→))|2+2eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))
    =242+72+242+2×24×24×cs 120°=625,
    所以|eq \(CD,\s\up6(→))|=25,即CD的长为25.
    名称
    定义及表示
    零向量
    长度为0的向量叫做零向量,记为0
    单位向量
    模为1的向量称为单位向量
    相反向量
    与向量a长度相等而方向相反的向量,称为a的相反向量,记为 -a
    共线向量(平行向量)
    如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定:对于任意向量a,都有0∥a
    相等向量
    方向相同且模相等的向量称为相等向量
    空间向量的线性运算
    加法
    a+b=eq \(OA,\s\up6(→))+ eq \(AB,\s\up6(→)) =eq \(OB,\s\up6(→))
    减法
    a-b=eq \(OA,\s\up6(→))-eq \(OC,\s\up6(→))=eq \(CA,\s\up6(→))
    数乘
    当λ>0时,λa=λeq \(OA,\s\up6(→))=eq \(PQ,\s\up6(→));
    当λ<0时,λa=λeq \(OA,\s\up6(→))=eq \(MN,\s\up6(→));
    当λ=0时,λa=0
    运算律
    交换律:a+b=b+a;
    结合律:a+(b+c)=(a+b)+c,λ(μa)=(λμ)a;
    分配律:(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb.
    定义
    已知两个非零向量a,b,则|a||b|cs 〈a,b〉叫做a,b的数量积,记作a·b.
    即a·b=|a||b|cs〈a,b〉.
    规定:零向量与任何向量的数量积都为0.
    性质
    ①a⊥b⇔a·b=0
    ②a·a=a2=|a|2
    运算律
    ①(λa)·b=λ(a·b),λ∈R.
    ②a·b=b·a(交换律).
    ③a·(b+c)=a·b+a·c(分配律).
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