（预习课）2024年高中数学高二暑假讲义04 空间向量及其运算（2份打包，原卷版+教师版）

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第1课时 空间向量及其线性运算
学习目标 1.理解空间向量的有关概念.2.类比平面向量，会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差.3.理解向量运算的交换律、结合律和分配律．
知识点一 空间向量的概念
1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
2．长度或模：向量的大小．
3．表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作eq \(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq \(AB,\s\up6(→))|.
4．几类特殊的空间向量
思考 空间中的两个向量是不是共面向量？
答案 是，空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量．
知识点二 空间向量的线性运算
思考1 怎样作图表示三个向量的和，作出的和向量是否与相加的顺序有关？
答案 可以利用三角形法则和平行四边形法则作出三个向量的和．加法运算是对有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变．
思考2 由数乘λa＝0，可否得出λ＝0?
答案 不能．λa＝0⇔λ＝0或a＝0.
1．两个有公共终点的向量，一定是共线向量．( × )
2．在空间中，任意一个向量都可以进行平移．( √ )
3．空间两非零向量相加时，一定可以用平行四边形法则运算．( × )
4．向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上．( √ )
一、向量概念的应用
例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是( )
A．方向相反的两个向量是相反向量
B．空间中任意两个单位向量必相等
C．若向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))满足|eq \(AB,\s\up6(→))|＞|eq \(CD,\s\up6(→))|，则eq \(AB,\s\up6(→))＞eq \(CD,\s\up6(→))
D．相等向量其方向必相同
答案 D
解析 A中，方向相反，长度相等的两个向量是相反向量；B中，单位向量模都相等而方向不确定；C中，向量作为矢量不能比较大小，故选D.
(2)(多选)下列说法中正确的是( )
A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反
B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|
C．空间向量的加法满足结合律
D．任一向量与它的相反向量不相等
答案 BC
解析 |a|＝|b|，说明a与b模相等，但方向不确定；对于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，从而B正确；空间向量的加法满足结合律，C正确；零向量的相反向量仍是零向量．故选BC.
反思感悟 空间向量的概念问题
在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．
跟踪训练1 下列关于空间向量的命题中，正确的命题的序号是________．
①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；
②平行且模相等的两个向量是相等向量；
③若a≠b，则|a|≠|b|；
④两个向量相等，则它们的起点与终点相同．
答案 ①
解析 根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，①正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，②不正确；当a＝－b时，也有|a|＝|b|，③不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点和终点无关，④不正确．综上可知只有①正确．
二、空间向量的加减运算
例2 如图，已知长方体ABCD－A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．
(1)eq \(AA′,\s\up6(—→))－eq \(CB,\s\up6(→))；
(2)eq \(AA′,\s\up6(—→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(B′C′,\s\up6(———→)).
解 (1)eq \(AA′,\s\up6(—→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(AA′,\s\up6(—→))－eq \(DA,\s\up6(→))＝eq \(AA′,\s\up6(—→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AA′,\s\up6(—→))＋eq \(A′D′,\s\up6(———→))＝eq \(AD′,\s\up6(—→)).
(2)eq \(AA′,\s\up6(—→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(B′C′,\s\up6(——→))＝(eq \(AA′,\s\up6(—→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))＋eq \(B′C′,\s\up6(———→))＝eq \(AA′,\s\up6(—→))＋eq \(A′B′,\s\up6(———→))＋eq \(B′C′,\s\up6(———→))
＝eq \(AB′,\s\up6(—→))＋eq \(B′C′,\s\up6(———→))＝eq \(AC′,\s\up6(—→)).
向量eq \(AD′,\s\up6(—→))，eq \(AC′,\s\up6(—→))如图所示．
延伸探究
试把本例中的体对角线所对应向量eq \(AC′,\s\up6(—→))用向量eq \(AA′,\s\up6(—→))，eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))表示．
解 在平行四边形ACC′A′中，由平行四边形法则可得eq \(AC′,\s\up6(—→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AA′,\s\up6(—→))，
在平行四边形ABCD中，
由平行四边形法则可得eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)).
故eq \(AC′,\s\up6(—→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA′,\s\up6(—→)).
反思感悟 空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．
跟踪训练2 (多选)如图，在正方体ABCD －A1B1C1D1中，下列各式运算结果为eq \(BD1,\s\up6(—→))的是( )
A.eq \(A1D1,\s\up6(—→))－eq \(A1A,\s\up6(—→))－eq \(AB,\s\up6(→))
B.eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(—→))－eq \(D1C1,\s\up6(—→))
C.eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(DD1,\s\up6(—→))
D.eq \(B1D1,\s\up6(—→))－eq \(A1A,\s\up6(—→))＋eq \(DD1,\s\up6(—→))
答案 AB
解析 A中，eq \(A1D1,\s\up6(—→))－eq \(A1A,\s\up6(—→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AD1,\s\up6(—→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(BD1,\s\up6(—→))；
B中，eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(—→))－eq \(D1C1,\s\up6(—→))＝eq \(BC1,\s\up6(—→))＋eq \(C1D1,\s\up6(—→))＝eq \(BD1,\s\up6(—→))；
C中，eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(DD1,\s\up6(—→))＝eq \(BD,\s\up6(→))－eq \(DD1,\s\up6(—→))＝eq \(BD,\s\up6(→))－eq \(BB1,\s\up6(—→))＝eq \(B1D,\s\up6(—→))≠eq \(BD1,\s\up6(—→))；
D中，eq \(B1D1,\s\up6(—→))－eq \(A1A,\s\up6(—→))＋eq \(DD1,\s\up6(—→))＝eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(—→))＋eq \(DD1,\s\up6(—→))＝eq \(BD1,\s\up6(—→))＋eq \(AA1,\s\up6(—→))≠eq \(BD1,\s\up6(—→)).故选AB.
三、空间向量的线性运算
例3 在空间四边形ABCD中，G为△BCD的重心，E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点，化简下列各表达式．
(1)eq \(AG,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up6(→))；
(2)eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)))．
解 (1)因为G是△BCD的重心，所以|eq \(GE,\s\up6(→))|＝eq \f(1,3)|eq \(BE,\s\up6(→))|，
所以eq \f(1,3)eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(GE,\s\up6(→))，又因为eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(EF,\s\up6(→))，
所以由向量的加法法则，可知eq \(AG,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(AG,\s\up6(→))＋eq \(GE,\s\up6(→))＋eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→)).
从而eq \(AG,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→)).
(2)如图所示，分别取AB，AC的中点P，Q，连接PH，QH，
则四边形APHQ为平行四边形，且有eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AP,\s\up6(→))，eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AQ,\s\up6(→))，而eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \(AQ,\s\up6(→))＝eq \(AH,\s\up6(→))，eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))，
所以eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \(AQ,\s\up6(→))－eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(AH,\s\up6(→))－eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(FH,\s\up6(→)).
反思感悟 利用数乘运算进行向量表示的注意点
(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．
(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙利用线段的中点进行解题．
跟踪训练3 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点．若eq \(A1B1,\s\up6(—→))＝a，eq \(A1D1,\s\up6(—→))＝b，eq \(A1A,\s\up6(—→))＝c，则下列向量中与eq \(B1M,\s\up6(—→))相等的向量是( )
A．－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c
B.eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c
C.eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c
D．－eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c
答案 A
解析 eq \(B1M,\s\up6(—→))＝eq \(B1B,\s\up6(—→))＋eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(A1A,\s\up6(—→))＋eq \f(1,2)(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))
＝c＋eq \f(1,2)(－a＋b)＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c.
1．“两个非零空间向量的模相等”是“两个空间向量相等”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 B
2．向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是( )
A．a＝b B．a＋b为实数0
C．a与b方向相同 D．|a|＝3
答案 D
解析 向量a，b互为相反向量，则a，b模相等，方向相反，故选D.
3．设A，B，C是空间任意三点，下列结论错误的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→)) B.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝0
C.eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→)) D.eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \(BA,\s\up6(→))
答案 B
4．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(DO,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．空间四边形
C．等腰梯形 D．矩形
答案 A
解析 ∵eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(DO,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))，
∴eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→)).
∴eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(DC,\s\up6(→))且|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(DC,\s\up6(→))|.
∴四边形ABCD为平行四边形．
5．化简：5(3a－2b)＋4(2b－3a)＝________.
答案 3a－2b
1．知识清单：
(1)向量的概念．
(2)向量的线性运算(加法、减法和数乘)．
(3)向量的线性运算的运算律．
2．方法归纳：
三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想．
3．常见误区：对空间向量的理解
应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数．

1．(多选)下列说法中，正确的是( )
A．模为0是一个向量方向不确定的充要条件
B．若向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))满足|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(CD,\s\up6(→))|，eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))同向，则eq \(AB,\s\up6(→))＞eq \(CD,\s\up6(→))
C．若两个非零向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))满足eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝0，则eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))互为相反向量
D.eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))的充要条件是A与C重合，B与D重合
答案 AC
解析 A正确，模不为0的向量方向是确定的．
B错误，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小．
C正确，由eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝0，得eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \(CD,\s\up6(→))，所以eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))互为相反向量．
D错误，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))的充要条件是|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(CD,\s\up6(→))|，且eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))同向．但A与C，B与D不一定重合．
2．化简eq \(PM,\s\up6(→))－eq \(PN,\s\up6(→))＋eq \(MN,\s\up6(→))所得的结果是( )
A.eq \(PM,\s\up6(→)) B.eq \(NP,\s\up6(→))
C．0 D.eq \(MN,\s\up6(→))
答案 C
解析 eq \(PM,\s\up6(→))－eq \(PN,\s\up6(→))＋eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(NM,\s\up6(→))＋eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(NM,\s\up6(→))－eq \(NM,\s\up6(→))＝0，故选C.
3．在空间四边形OABC中，eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))等于( )
A.eq \(OA,\s\up6(→)) B.eq \(AB,\s\up6(→))
C.eq \(OC,\s\up6(→)) D.eq \(AC,\s\up6(→))
答案 C
4．在正方体ABCD －A1B1C1D1中，下列选项中化简后为零向量的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(A1D1,\s\up6(—→))＋eq \(C1A1,\s\up6(—→)) B.eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(—→))
C.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(—→)) D.eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CB1,\s\up6(—→))
答案 A
解析 在A选项中，eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(A1D1,\s\up6(—→))＋eq \(C1A1,\s\up6(—→))＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝0.
5．如果向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))满足|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|＋|eq \(BC,\s\up6(→))|，则( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)) B.eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))
C.eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))同向 D.eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(CB,\s\up6(→))同向
答案 D
6．设A，B，C，D为空间任意四点，则eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝________.
答案 eq \(AD,\s\up6(→))
解析 eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→)).
7．在正方体ABCD －A1B1C1D1中，化简eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(DA,\s\up6(→))的结果是________．
答案 2eq \(AC,\s\up6(→))
解析 eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(DA,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))－eq \(DA,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AC,\s\up6(→)).
8．已知向量a，b，c互相平行，其中a，c同向，a，b反向，|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1，则|a＋b＋c|＝________.
答案 2
9.如图所示的是平行六面体ABCD －A1B1C1D1，化简下列各式：
(1)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))；
(2)eq \(DD1,\s\up6(—→))－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)).
解 (1)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(—→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(—→))＝eq \(AC1,\s\up6(—→)).
(2)eq \(DD1,\s\up6(—→))－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AA1,\s\up6(—→))－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(BA1,\s\up6(—→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(BD1,\s\up6(—→)).
10．如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简：eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(GD,\s\up6(→))＋eq \(EC,\s\up6(→))，并标出化简结果的向量．
解 eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→)).
因为E，F，G分别为BC，CD，DB的中点，
所以eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(EC,\s\up6(→))，eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(GD,\s\up6(→)).
所以eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(GD,\s\up6(→))＋eq \(EC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(EF,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→)).
故所求向量为eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))，如图所示．
11．已知空间中任意四个点A，B，C，D，则eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))等于( )
A.eq \(DB,\s\up6(→)) B.eq \(AB,\s\up6(→))
C.eq \(AC,\s\up6(→)) D.eq \(BA,\s\up6(→))
答案 D
解析 方法一 eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝(eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→)))－eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→)).
方法二 eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(DA,\s\up6(→))＋(eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→)))＝eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→)).
12．在三棱锥A－BCD 中，E是棱CD的中点，且eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BE,\s\up6(→))，则 eq \(AF,\s\up6(→))等于( )
A. eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→))
B. eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→))
C．－5eq \(AB,\s\up6(→))＋3eq \(AC,\s\up6(→))＋3eq \(AD,\s\up6(→))
D.eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))
答案 D
解析 因为 E 是棱 CD 的中点，eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BE,\s\up6(→))，
所以 eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(AE,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(2,3)eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))
＝eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→)).
13．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若eq \(CA,\s\up6(→))＝a，eq \(CB,\s\up6(→))＝b，eq \(CC1,\s\up6(→))＝c，则eq \(A1B,\s\up6(→))＝________.
答案 －c－a＋b
解析 如图，
eq \(A1B,\s\up6(—→))＝eq \(B1B,\s\up6(—→))－eq \(B1A1,\s\up6(—→))
＝eq \(B1B,\s\up6(—→))－eq \(BA,\s\up6(→))＝－eq \(CC1,\s\up6(—→))－(eq \(CA,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→)))
＝－c－(a－b)＝－c－a＋b.
14．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．
(1)化简eq \(A1O,\s\up6(—→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝________.
(2)用eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AA1,\s\up6(—→))表示eq \(OC1,\s\up6(—→))，则eq \(OC1,\s\up6(—→))＝________.
答案 (1)eq \(A1A,\s\up6(—→)) (2)eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(—→))
解析 (1)eq \(A1O,\s\up6(—→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(A1O,\s\up6(—→))－eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \(A1O,\s\up6(—→))－eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(A1O,\s\up6(—→))＋eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(A1A,\s\up6(—→)).
(2)因为eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))，
所以eq \(OC1,\s\up6(—→))＝eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(—→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＋eq \(AA1,\s\up6(—→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(—→)).
15．在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，若eq \(AC′,\s\up6(——→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(y,2)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(z,3)eq \(CC′,\s\up6(——→))，则x＋y＋z＝________.
答案 6
解析 在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，eq \(AC′,\s\up6(——→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CC′,\s\up6(——→))，
又eq \(AC′,\s\up6(——→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(y,2)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(z,3)eq \(CC′,\s\up6(——→))，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,\f(y,2)＝1，,\f(z,3)＝1，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2，,z＝3，))
∴x＋y＋z＝6.
16.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设eq \(AA1,\s\up6(—→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，eq \(AD,\s\up6(→))＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1)eq \(AP,\s\up6(→))；
(2)eq \(A1N,\s\up6(—→))；
(3)eq \(MP,\s\up6(→)).
解 (1)∵P是C1D1的中点，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AA1,\s\up6(—→))＋eq \(A1D1,\s\up6(——→))＋eq \(D1P,\s\up6(—→))＝a＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(D1C1,\s\up6(——→))
＝a＋c＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋c＋eq \f(1,2)b.
(2)∵N是BC的中点，
∴eq \(A1N,\s\up6(—→))＝eq \(A1A,\s\up6(—→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BN,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))
＝－a＋b＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq \f(1,2)c.
(3)∵M是AA1的中点，
∴eq \(MP,\s\up6(→))＝eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(A1A,\s\up6(—→))＋eq \(AP,\s\up6(→))
＝－eq \f(1,2)a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋c＋\f(1,2)b))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c.
第2课时 共线向量与共面向量
学习目标 1.理解向量共线、向量共面的定义.2.掌握共线向量定理和共面向量定理，会证明空间三点共线、四点共面．
知识点一 共线向量
1．空间两个向量共线的充要条件
对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
2．直线的方向向量
在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量．
思考1 对于空间向量a，b，c，若a∥b且b∥c， 是否可以得到a∥c?
答案 不能．若b＝0，则对任意向量a，c都有a∥b且b∥c.
思考2 怎样利用向量共线证明A，B，C三点共线？
答案 只需证明向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))(不唯一)共线即可．
知识点二 共面向量
1．共面向量
如图，如果表示向量a的有向线段eq \(OA,\s\up6(→))所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
2．向量共面的充要条件
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
思考 已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，存在有序实数对(x，y)，满足关系eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，则点P与点A，B，C是否共面？
答案 共面. 由eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，可得eq \(AP,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，所以向量eq \(AP,\s\up6(→))与向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))共面，故点P与点A，B，C共面．
1．向量eq \(AB,\s\up6(→))与向量eq \(CD,\s\up6(→))是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上．( × )
2．若向量a，b，c共面，则表示这三个向量的有向线段所在的直线共面．( × )
3．空间中任意三个向量一定是共面向量．( × )
4．若P，M，A，B共面，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使eq \(MP,\s\up6(→))＝xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→)).( × )
一、向量共线的判定及应用
例1 如图所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(CB,\s\up6(→))，eq \(CG,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(CD,\s\up6(→)).求证：四边形EFGH是梯形．
证明 ∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AH,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))，
则eq \(EH,\s\up6(→))＝eq \(AH,\s\up6(→))－eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)(eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)\(CG,\s\up6(→))－\f(3,2)\(CF,\s\up6(→))))＝eq \f(3,4)(eq \(CG,\s\up6(→))－eq \(CF,\s\up6(→)))＝eq \f(3,4)eq \(FG,\s\up6(→))，
∴eq \(EH,\s\up6(→))∥eq \(FG,\s\up6(→))且|eq \(EH,\s\up6(→))|＝eq \f(3,4)|eq \(FG,\s\up6(→))|≠|eq \(FG,\s\up6(→))|.
又F不在直线EH上，
∴四边形EFGH是梯形．
反思感悟 向量共线的判定及应用
(1)本题利用向量的共线证明了线线平行，解题时应注意向量共线与两直线平行的区别．
(2)判断或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a＝λb成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达．
(3)判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法：是否存在实数λ，使eq \(PA,\s\up6(→))＝λeq \(PB,\s\up6(→))；
跟踪训练1 (1)已知A，B，C三点共线，O为直线外空间任意一点，若eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))，则m＋n＝________.
答案 1
解析 由于A，B，C三点共线，所以存在实数λ，使得eq \(AC,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))，即eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝λ(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))，
所以eq \(OC,\s\up6(→))＝(1－λ)eq \(OA,\s\up6(→))＋λeq \(OB,\s\up6(→))，所以m＝1－λ，n＝λ，
所以m＋n＝1.
(2)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在A1D1上，且eq \(A1E,\s\up6(—→))＝2eq \(ED1,\s\up6(—→))，F在对角线A1C上，且eq \(A1F,\s\up6(—→))＝eq \f(2,3)eq \(FC,\s\up6(→)).
求证：E，F，B三点共线．
证明 设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(—→))＝c，
因为eq \(A1E,\s\up6(—→))＝2eq \(ED1,\s\up6(—→))，eq \(A1F,\s\up6(—→))＝eq \f(2,3)eq \(FC,\s\up6(→))，
所以eq \(A1E,\s\up6(—→))＝eq \f(2,3)eq \(A1D1,\s\up6(—→))，eq \(A1F,\s\up6(—→))＝eq \f(2,5)eq \(A1C,\s\up6(—→))，
所以eq \(A1E,\s\up6(—→))＝eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)b，
eq \(A1F,\s\up6(—→))＝eq \f(2,5)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AA1,\s\up6(→)))＝eq \f(2,5)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AA1,\s\up6(—→)))＝eq \f(2,5)a＋eq \f(2,5)b－eq \f(2,5)c，
所以eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(A1F,\s\up6(—→))－eq \(A1E,\s\up6(—→))
＝eq \f(2,5)a－eq \f(4,15)b－eq \f(2,5)c＝eq \f(2,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(2,3)b－c)).
又eq \(EB,\s\up6(→))＝eq \(EA1,\s\up6(—→))＋eq \(A1A,\s\up6(—→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)b－c＋a＝a－eq \f(2,3)b－c，
所以eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(2,5)eq \(EB,\s\up6(→))，所以E，F，B三点共线．
二、向量共面的判定
例2 已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点M满足eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→)).
(1)判断eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))，eq \(MC,\s\up6(→))三个向量是否共面；
(2)判断M是否在平面ABC内．
解 (1)∵eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝3eq \(OM,\s\up6(→))，
∴eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OM,\s\up6(→))＝(eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))＋(eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→)))，
∴eq \(MA,\s\up6(→))＝eq \(BM,\s\up6(→))＋eq \(CM,\s\up6(→))＝－eq \(MB,\s\up6(→))－eq \(MC,\s\up6(→))，
∴向量eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))，eq \(MC,\s\up6(→))共面．
(2)由(1)知，向量eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))，eq \(MC,\s\up6(→))共面，而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，
∴M，A，B，C共面，即M在平面ABC内．
反思感悟 解决向量共面的策略
(1)若已知点P在平面ABC内，则有eq \(AP,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))或eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→)) (x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．
(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示．
跟踪训练2 (1)如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝eq \f(1,3)BD，AN＝eq \f(1,3)AE.求证：向量eq \(MN,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))，eq \(DE,\s\up6(→))共面．
证明 因为M在BD上，且BM＝eq \f(1,3)BD，
所以eq \(MB,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→)).
同理eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(DE,\s\up6(→)).
所以eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AN,\s\up6(→))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)\(DA,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(AB,\s\up6(→))))＋eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)\(AD,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(DE,\s\up6(→))))
＝eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(DE,\s\up6(→)).
又eq \(CD,\s\up6(→))与eq \(DE,\s\up6(→))不共线，根据向量共面的充要条件可知eq \(MN,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))，eq \(DE,\s\up6(→))共面．
(2)已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：
①E，F，G，H四点共面．
②BD∥平面EFGH.
证明 如图，连接EG，BG.
①因为eq \(EG,\s\up6(→))＝eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(BG,\s\up6(→))＝eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→)))＝eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→))＋eq \(EH,\s\up6(→))＝eq \(EF,\s\up6(→))＋eq \(EH,\s\up6(→))，由向量共面的充要条件知向量eq \(EG,\s\up6(→))，eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(EH,\s\up6(→))共面，即E，F，G，H四点共面．
②因为eq \(EH,\s\up6(→))＝eq \(AH,\s\up6(→))－eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))，所以EH∥BD.
又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.
空间共线向量定理的应用
典例 如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，且它们所在的平面不共面，M，N分别是AC，BF的中点，求证：CE∥MN.
证明 ∵M，N分别是AC，BF的中点，
又四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，
∴eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))＋eq \(FN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(FB,\s\up6(→))，
又∵eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))＋eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(BN,\s\up6(→))
＝－eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))－eq \(AF,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(FB,\s\up6(→))，
∴eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(FB,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))－eq \(AF,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(FB,\s\up6(→))，
∴eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋2eq \(AF,\s\up6(→))＋eq \(FB,\s\up6(→))＝2(eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))＋eq \(FN,\s\up6(→)))，
∴eq \(CE,\s\up6(→))＝2eq \(MN,\s\up6(→))，∴eq \(CE,\s\up6(→))∥eq \(MN,\s\up6(→)).
∵点C不在MN上，∴CE∥MN.
[素养提升] 证明空间图形中的两直线平行，可以转化为证明两直线的方向向量共线问题．这里关键是利用向量的线性运算，从而确定eq \(CE,\s\up6(→))＝λeq \(MN,\s\up6(→))中的λ的值．
1．满足下列条件，能说明空间不重合的A，B，C三点共线的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→)) B.eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))
C.eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→)) D．|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|
答案 C
2．若空间中任意四点O，A，B，P满足eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))，其中m＋n＝1，则( )
A．P∈直线AB
B．P∉直线AB
C．点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上
D．以上都不对
答案 A
解析 因为m＋n＝1，所以m＝1－n，所以eq \(OP,\s\up6(→))＝(1－n)·eq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))，即eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝n(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))，即eq \(AP,\s\up6(→))＝neq \(AB,\s\up6(→))，所以eq \(AP,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))共线．
又eq \(AP,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈直线AB.
3．下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是( )
A.eq \(OM,\s\up6(→))＝2eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))
B.eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,5)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OC,\s\up6(→))
C.eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→))＝0
D.eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0
答案 C
解析 C选项中，eq \(MA,\s\up6(→))＝－eq \(MB,\s\up6(→))－eq \(MC,\s\up6(→))，
∴点M，A，B，C共面．
4．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有eq \(OM,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))，则x的值为( )
A．1 B．0 C．3 D.eq \f(1,3)
答案 D
解析 ∵eq \(OM,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))，
且M，A，B，C四点共面，
∴x＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)＝1，∴x＝eq \f(1,3)，故选D.
5．已知非零向量e1，e2不共线，则使ke1＋e2与e1＋ke2共线的k的值是________．
答案 ±1
解析 若ke1＋e2与e1＋ke2共线，
则ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝λ，,λk＝1.))
所以k＝±1.
1．知识清单：
(1)空间向量共线的充要条件，直线的方向向量．
(2)空间向量共面的充要条件．
2．方法归纳 ：转化化归．
3．常见误区：
混淆向量共线与线段共线、点共线．
1．已知向量a，b，且eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq \(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq \(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
答案 A
解析 因为eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3eq \(AB,\s\up6(→))，故eq \(AD,\s\up6(→))∥eq \(AB,\s\up6(→))，又eq \(AD,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))有公共点A，
所以A，B，D三点共线．
2．对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是( )
A．共面向量 B．共线向量
C．不共面向量 D．既不共线也不共面的向量
答案 A
3．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量eq \(D1A,\s\up6(—→))，eq \(D1C,\s\up6(—→))，eq \(A1C1,\s\up6(—→))是( )
A．有相同起点的向量 B．等长向量
C．共面向量 D．不共面向量
答案 C
解析 因为eq \(D1C,\s\up6(—→))－eq \(D1A,\s\up6(—→))＝eq \(AC,\s\up6(→))，且eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(A1C1,\s\up6(—→))，
所以eq \(D1C,\s\up6(—→))－eq \(D1A,\s\up6(—→))＝eq \(A1C1,\s\up6(—→))，
即eq \(D1C,\s\up6(—→))＝eq \(D1A,\s\up6(—→))＋eq \(A1C1,\s\up6(—→)).
又eq \(D1A,\s\up6(—→))与eq \(A1C1,\s\up6(—→))不共线，
所以eq \(D1C,\s\up6(—→))，eq \(D1A,\s\up6(—→))，eq \(A1C1,\s\up6(—→))三个向量共面．
4．已知P为空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \f(4,3)eq \(PB,\s\up6(→))－xeq \(PC,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(DB,\s\up6(→))，则实数x的值为( )
A.eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)
答案 A
解析 eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \f(4,3)eq \(PB,\s\up6(→))－xeq \(PC,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \f(4,3)eq \(PB,\s\up6(→))－xeq \(PC,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)(eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(PD,\s\up6(→)))＝eq \f(3,2)eq \(PB,\s\up6(→))－xeq \(PC,\s\up6(→))－eq \f(1,6)eq \(PD,\s\up6(→)).
又∵P是空间任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，
∴eq \f(3,2)－x－eq \f(1,6)＝1，解得x＝eq \f(1,3).
5．(多选)下列命题中错误的是( )
A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＝0
B．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
C．若eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))共线，则AB∥CD
D．对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面
答案 BCD
解析 显然A正确；
若a，b共线，则|a|＋|b|＝|a＋b|或|a＋b|＝||a| －|b||，故B错误；
若eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))共线，则直线AB，CD可能重合，故C错误；
只有当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点才共面，故D错误．
6．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若eq \(AD,\s\up6(→))＝2eq \(DB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(CA,\s\up6(→))＋λeq \(CB,\s\up6(→))，则λ＝________.
答案 eq \f(2,3)
解析 eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))－eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))－eq \f(1,3)(eq \(CB,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→)))＝eq \f(2,3)eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(CA,\s\up6(→))，
又eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(CA,\s\up6(→))＋λeq \(CB,\s\up6(→))，所以λ＝eq \f(2,3).
7．设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知eq \(AB,\s\up6(→))＝e1＋ke2，eq \(BC,\s\up6(→))＝5e1＋4e2，eq \(DC,\s\up6(→))＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，则实数k＝________.
答案 1
解析 ∵eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝7e1＋(k＋6)e2，
且eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AD,\s\up6(→))共线，故eq \(AD,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))，
即7e1＋(k＋6)e2＝xe1＋xke2，
故(7－x)e1＋(k＋6－xk)e2＝0，
又∵e1，e2不共线，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(7－x＝0，,k＋6－kx＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝7，,k＝1，))故k的值为1.
8．已知O为空间任一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且eq \(OA,\s\up6(→))＝2xeq \(BO,\s\up6(→))＋3yeq \(CO,\s\up6(→))＋4zeq \(DO,\s\up6(→))，则2x＋3y＋4z＝________.
答案 －1
解析 由题意知A，B，C，D共面的充要条件是：对空间任意一点O，存在实数x1，y1，z1，使得eq \(OA,\s\up6(→))＝x1eq \(OB,\s\up6(→))＋y1eq \(OC,\s\up6(→))＋z1eq \(OD,\s\up6(→))，且x1＋y1＋z1＝1，因此，2x＋3y＋4z＝－1.
9.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1D1，AB的中点，E在AA1上且AE＝2EA1，F在CC1上且CF＝eq \f(1,2)FC1，判断eq \(ME,\s\up6(→))与eq \(NF,\s\up6(→))是否共线．
解 由题意，得eq \(ME,\s\up6(→))＝eq \(MD1,\s\up6(—→))＋eq \(D1A1,\s\up6(—→))＋eq \(A1E,\s\up6(—→))
＝eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(A1A,\s\up6(—→))＝eq \(BN,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(C1C,\s\up6(—→))
＝eq \(CN,\s\up6(→))＋eq \(FC,\s\up6(→))＝eq \(FN,\s\up6(→))＝－eq \(NF,\s\up6(→)).
即eq \(ME,\s\up6(→))＝－eq \(NF,\s\up6(→))，∴eq \(ME,\s\up6(→))与eq \(NF,\s\up6(→))共线．
10．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，点N在AC上，且AN∶NC＝2∶1，求证：eq \(A1N,\s\up6(—→))与eq \(A1B,\s\up6(—→))，eq \(A1M,\s\up6(—→))共面．
证明 ∵eq \(A1B,\s\up6(—→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AA1,\s\up6(—→))，eq \(A1M,\s\up6(—→))＝eq \(A1D1,\s\up6(—→))＋eq \(D1M,\s\up6(—→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AA1,\s\up6(—→))，eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))，
∴eq \(A1N,\s\up6(—→))＝eq \(AN,\s\up6(→))－eq \(AA1,\s\up6(—→))＝eq \f(2,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))－eq \(AA1,\s\up6(—→))＝eq \f(2,3)(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AA1,\s\up6(—→)))＋eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))－\f(1,2)\(AA1,\s\up6(—→))))
＝eq \f(2,3)eq \(A1B,\s\up6(—→))＋eq \f(2,3)eq \(A1M,\s\up6(—→))，
∴eq \(A1N,\s\up6(—→))与eq \(A1B,\s\up6(—→))，eq \(A1M,\s\up6(—→))共面．
11．若P，A，B，C为空间四点，且有eq \(PA,\s\up6(→))＝αeq \(PB,\s\up6(→))＋βeq \(PC,\s\up6(→))，则α＋β＝1是A，B，C三点共线的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案 C
解析 若α＋β＝1，则eq \(PA,\s\up6(→))－eq \(PB,\s\up6(→))＝β(eq \(PC,\s\up6(→))－eq \(PB,\s\up6(→)))，即eq \(BA,\s\up6(→))＝βeq \(BC,\s\up6(→))，显然，A，B，C三点共线；若A，B，C三点共线，则有eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))，故eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(PA,\s\up6(→))＝λ(eq \(PC,\s\up6(→))－eq \(PB,\s\up6(→)))，整理得eq \(PA,\s\up6(→))＝(1＋λ)eq \(PB,\s\up6(→))－λeq \(PC,\s\up6(→))，令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1，故选C.
12．平面α内有五点A，B，C，D，E，其中无三点共线，O为空间一点，满足eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))＋xeq \(OC,\s\up6(→))＋yeq \(OD,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))＝2xeq \(OC,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OD,\s\up6(→))＋yeq \(OE,\s\up6(→))，则x＋3y等于( )
A.eq \f(5,6) B.eq \f(7,6) C.eq \f(5,3) D.eq \f(7,3)
答案 B
解析 由点A，B，C，D共面得x＋y＝eq \f(1,2)，
又由点B，C，D，E共面得2x＋y＝eq \f(2,3)，
联立方程组解得x＝eq \f(1,6)，y＝eq \f(1,3)，
所以x＋3y＝eq \f(7,6).
13．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果有eq \(PM,\s\up6(→))＝eq \(PB1,\s\up6(—→))＋7eq \(BA,\s\up6(→))＋6eq \(AA1,\s\up6(—→))－4eq \(A1D1,\s\up6(—→))，那么M必( )
A．在平面BAD1内 B．在平面BA1D内
C．在平面BA1D1内 D．在平面AB1C1内
答案 C
解析 eq \(PM,\s\up6(→))＝eq \(PB1,\s\up6(—→))＋7eq \(BA,\s\up6(→))＋6eq \(AA1,\s\up6(—→))－4eq \(A1D1,\s\up6(—→))
＝eq \(PB1,\s\up6(—→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＋6eq \(BA1,\s\up6(—→))－4eq \(A1D1,\s\up6(—→))
＝eq \(PB1,\s\up6(—→))＋eq \(B1A1,\s\up6(—→))＋6eq \(BA1,\s\up6(—→))－4eq \(A1D1,\s\up6(—→))
＝eq \(PA1,\s\up6(—→))＋6(eq \(PA1,\s\up6(—→))－eq \(PB,\s\up6(→)))－4(eq \(PD1,\s\up6(—→))－eq \(PA1,\s\up6(—→)))
＝11eq \(PA1,\s\up6(—→))－6eq \(PB,\s\up6(→))－4eq \(PD1,\s\up6(—→))，
于是M，B，A1，D1四点共面．
14．有下列命题：
①若eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(CD,\s\up6(→))，则A，B，C，D四点共线；
②若eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(AC,\s\up6(→))，则A，B，C三点共线；
③若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－eq \f(2,5)e2，b＝－e1＋eq \f(1,10)e2，则a∥b；
④若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0.
其中是真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上)．
答案 ②③④
解析 根据共线向量的定义，若eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(CD,\s\up6(→))，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故①错；
因为eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(AC,\s\up6(→))且eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))有公共点A，所以②正确；
由于a＝4e1－eq \f(2,5)e2＝－4b，所以a∥b.故③正确；易知④也正确．
15．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若由eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,5)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋λeq \(OC,\s\up6(→))确定的一点P与A，B，C三点共面，则λ＝________.
答案 eq \f(2,15)
解析 根据P，A，B，C四点共面的条件，知存在实数x，y，z，使得eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))成立，其中x＋y＋z＝1，于是eq \f(1,5)＋eq \f(2,3)＋λ＝1，所以λ＝eq \f(2,15).
16.如图，已知M，N分别为四面体A－BCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.
求证：B，G，N三点共线．
证明 设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，eq \(AD,\s\up6(→))＝c，
则eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→)))
＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→)))
＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,3)(a＋b＋c)，
eq \(BG,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AM,\s\up6(→))
＝－a＋eq \f(1,4)(a＋b＋c)
＝－eq \f(3,4)a＋eq \f(1,4)b＋eq \f(1,4)c，
eq \(BN,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))
＝－a＋eq \f(1,3)b＋eq \f(1,3)c＝eq \f(4,3)eq \(BG,\s\up6(→))，
∴eq \(BN,\s\up6(→))∥eq \(BG,\s\up6(→)).
又BN∩BG＝B，∴B，G，N三点共线．
1．1.2 空间向量的数量积运算
学习目标 1.会识别空间向量的夹角.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法.3.能用空间向量数量积解决简单的立体几何问题．
知识点一 空间向量的夹角
1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
2．范围：0≤〈a，b〉≤π.
特别地，当〈a，b〉＝eq \f(π,2)时，a⊥b.
思考 当〈a，b〉＝0和〈a，b〉＝π时，向量a与b有什么关系？
答案 当〈a，b〉＝0时，a与b同向；当〈a，b〉＝π时，a与b反向．
知识点二 空间向量的数量积
思考1 向量的数量积运算是否满足结合律？
答案 不满足结合律，(a·b)·c＝a·(b·c)是错误的．
思考2 对于向量 a，b，若a·b＝k，能否写成a＝eq \f(k,b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或b＝\f(k,a)))？
答案 不能，向量没有除法．
知识点三 向量a的投影
1．如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cs〈a，b〉eq \f(b,|b|)，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))．
2．如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到eq \(A′B′,\s\up6(———→))，向量eq \(A′B′,\s\up6(———→))称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，eq \(A′B′,\s\up6(———→))的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．
1．向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))的夹角等于向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(DC,\s\up6(→))的夹角．( × )
2．若a·b＝0，则a＝0或b＝0.( × )
3．对于非零向量b，由a·b＝b·c，可得a＝c.( × )
4．若非零向量a，b为共线且同向的向量，则a·b＝|a||b|.( √ )
一、数量积的计算
例1 如图所示，在棱长为1的正四面体A－BCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：
(1)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))；
(2)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))；
(3)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))；
(4)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→)).
解 (1)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)|eq \(BD,\s\up6(→))||eq \(BA,\s\up6(→))|·cs〈eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(BA,\s\up6(→))〉
＝eq \f(1,2)cs 60°＝eq \f(1,4).
(2)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)|eq \(BD,\s\up6(→))|2＝eq \f(1,2).
(3)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)|eq \(BD,\s\up6(→))|·|eq \(DC,\s\up6(→))|cs〈eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))〉
＝eq \f(1,2)cs 120°＝－eq \f(1,4).
(4)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))·(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))
＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))
＝|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AD,\s\up6(→))|cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))〉－|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉
＝cs 60°－cs 60°＝0.
反思感悟 求空间向量数量积的步骤
(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．
(3)代入a·b＝|a||b|cs〈a，b〉求解．
跟踪训练1 (1) 已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 A
解析 ∵p⊥q且|p|＝|q|＝1，∴a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝3＋0－2＝1.
(2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝________.
答案 2
解析 ∵eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))，
∴eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))))·(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \(AD,\s\up6(→))2 －eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))2＝4－0＋0－2＝2.
二、利用数量积证明垂直问题
例2 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.
证明 设eq \(A1B1,\s\up6(—→))＝a，eq \(A1D1,\s\up6(—→))＝b，eq \(A1A,\s\up6(—→))＝c，
则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|.
∵eq \(A1O,\s\up6(—→))＝eq \(A1A,\s\up6(—→))＋eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(A1A,\s\up6(—→))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))
＝c＋eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b，
eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝b－a，
eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(CG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)eq \(CC1,\s\up6(—→))
＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)c，
∴eq \(A1O,\s\up6(—→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c＋\f(1,2)a＋\f(1,2)b))·(b－a)
＝c·b－c·a＋eq \f(1,2)a·b－eq \f(1,2)a2＋eq \f(1,2)b2－eq \f(1,2)b·a
＝eq \f(1,2)(b2－a2)
＝eq \f(1,2)(|b|2－|a|2)＝0.
于是eq \(A1O,\s\up6(—→))⊥eq \(BD,\s\up6(→))，即A1O⊥BD.
同理可证eq \(A1O,\s\up6(—→))⊥eq \(OG,\s\up6(→))，即A1O⊥OG.
又∵OG∩BD＝O，OG⊂平面GBD，BD⊂平面GBD，
∴A1O⊥平面GBD.
反思感悟 用向量法证明几何中垂直关系问题的思路
(1)要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可．
(2)用向量法证明线面垂直，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量数量积证明线线垂直即可．
跟踪训练2 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.求证：PA⊥BD.
证明 在△ADB中，∠DAB＝60°，AB＝2AD，
由余弦定理得，BD＝eq \r(3)AD，
所以AD2＋BD2＝AB2，
所以DA⊥BD，则eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(DA,\s\up6(→))＝0.
由PD⊥底面ABCD，知PD⊥BD，则eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))＝0.
又eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \(PD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))，
所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝(eq \(PD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→)))·eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(PD,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝0，即PA⊥BD.
三、用数量积求解夹角和模
例3 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，点N为AA1的中点．
(1)求eq \(BN,\s\up6(→))的模；
(2)求cs〈eq \(BA1,\s\up6(—→))，eq \(CB1,\s\up6(—→))〉的值．
解 由已知得|eq \(CA,\s\up6(→))|＝|eq \(CB,\s\up6(→))|＝1，|eq \(CC1,\s\up6(—→))|＝|eq \(AA1,\s\up6(—→))|＝2，eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AA1,\s\up6(—→))＝eq \f(1,2)eq \(CC1,\s\up6(—→)).
〈eq \(CA,\s\up6(→))，eq \(CC1,\s\up6(—→))〉＝〈eq \(CB,\s\up6(→))，eq \(CC1,\s\up6(—→))〉＝〈eq \(CA,\s\up6(→))，eq \(CB,\s\up6(→))〉＝90°，
所以eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CC1,\s\up6(—→))＝eq \(CB,\s\up6(→))·eq \(CC1,\s\up6(—→))＝eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝0.
(1)因为eq \(BN,\s\up6(→))＝eq \(CN,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AN,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(CC1,\s\up6(—→))－eq \(CB,\s\up6(→))，
所以|eq \(BN,\s\up6(→))|2＝eq \(BN,\s\up6(→))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(CA,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(CC1,\s\up6(—→))－\(CB,\s\up6(→))))2
＝eq \(CA,\s\up6(→))2＋eq \f(1,4)eq \(CC1,\s\up6(—→))2＋eq \(CB,\s\up6(→))2＝12＋eq \f(1,4)×22＋12＝3，
所以|eq \(BN,\s\up6(→))|＝eq \r(|\(BN,\s\up6(→))|2)＝eq \r(3).
(2)因为eq \(BA1,\s\up6(—→))＝eq \(CA1,\s\up6(—→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(—→))－eq \(CB,\s\up6(→))，
eq \(CB1,\s\up6(—→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(—→))，
所以|eq \(BA1,\s\up6(—→))|2＝eq \(BA1,\s\up6(—→))2＝(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→)))2＝eq \(CA,\s\up6(→))2＋eq \(CC1,\s\up6(—→))2＋eq \(CB,\s\up6(→))2＝12＋22＋12＝6，|eq \(BA1,\s\up6(—→))|＝eq \r(6)，
|eq \(CB1,\s\up6(—→))|2＝eq \(CB1,\s\up6(—→))2＝(eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(—→)))2＝eq \(CB,\s\up6(→))2＋eq \(CC1,\s\up6(—→))2＝12＋22＝5，|eq \(CB1,\s\up6(—→))|＝eq \r(5)，
eq \(BA1,\s\up6(—→))·eq \(CB1,\s\up6(—→))＝(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(—→))－eq \(CB,\s\up6(→)))·(eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(—→)))
＝eq \(CC1,\s\up6(—→))2－eq \(CB,\s\up6(→))2＝22 －12＝3，
所以cs〈eq \(BA1,\s\up6(—→))，eq \(CB1,\s\up6(—→))〉＝eq \f(\(BA1,\s\up6(—→))·\(CB1,\s\up6(—→)),|\(BA1,\s\up6(—→))||\(CB1,\s\up6(—→))|)＝eq \f(3,\r(6)×\r(5))＝eq \f(\r(30),10).
延伸探究
1．(变结论)本例中条件不变，求eq \(BN,\s\up6(→))与eq \(CB1,\s\up6(—→))夹角的余弦值．
解 由例题知，|eq \(BN,\s\up6(→))|＝eq \r(3)，|eq \(CB1,\s\up6(—→))|＝eq \r(5)，
eq \(BN,\s\up6(→))·eq \(CB1,\s\up6(—→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(CA,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(CC1,\s\up6(—→))－\(CB,\s\up6(→))))·(eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(—→)))
＝eq \f(1,2)eq \(CC1,\s\up6(—→))2－eq \(CB,\s\up6(→))2＝eq \f(1,2)×22 －12＝1.
所以cs〈eq \(BN,\s\up6(→))，eq \(CB1,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(BN,\s\up6(→))·\(CB1,\s\up6(→)),|\(BN,\s\up6(→))||\(CB1,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,\r(3)×\r(5))＝eq \f(\r(15),15).
所以eq \(BN,\s\up6(→))与eq \(CB1,\s\up6(→))夹角的余弦值为eq \f(\r(15),15).
2．(变条件)本例中，若CA＝CB＝AA1＝1，其他条件不变，求异面直线CA1与AB的夹角．
解 由已知得|eq \(CA,\s\up6(→))|＝|eq \(CB,\s\up6(→))|＝|eq \(CC1,\s\up6(—→))|＝1，eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CC1,\s\up6(—→))＝eq \(CB,\s\up6(→))·eq \(CC1,\s\up6(—→))＝eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝0，
因为|eq \(CA1,\s\up6(—→))|2＝eq \(CA1,\s\up6(—→))2＝(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(—→)))2＝eq \(CA,\s\up6(→))2＋eq \(CC1,\s\up6(—→))2＝12＋12＝2，
所以|eq \(CA1,\s\up6(—→))|＝eq \r(2)，
因为|eq \(AB,\s\up6(→))|2＝eq \(AB,\s\up6(→))2＝(eq \(CB,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→)))2＝eq \(CB,\s\up6(→))2＋eq \(CA,\s\up6(→))2＝12＋12＝2，
所以|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，
又因为eq \(CA1,\s\up6(—→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(—→)))·(eq \(CB,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→)))＝－eq \(CA,\s\up6(→))2＝－1.
所以cs〈eq \(CA1,\s\up6(—→))，eq \(AB,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(CA1,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→)),|\(CA1,\s\up6(—→))||\(AB,\s\up6(→))|)＝eq \f( －1,\r(2)×\r(2))＝－eq \f(1,2).
所以〈eq \(CA1,\s\up6(—→))，eq \(AB,\s\up6(→))〉＝120°，
所以异面直线CA1与AB的夹角为60°.
反思感悟 求向量的夹角和模
(1)求两个向量的夹角：利用公式cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)求cs〈a，b〉，进而确定〈a，b〉．
(2)求线段长度(距离)：①取此线段对应的向量； ②用其他已知夹角和模的向量表示该向量；③利用|a|＝eq \r(a2)，计算出|a|，即得所求长度(距离)．
跟踪训练3 (1)已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA′,\s\up6(——→))＝c，则〈eq \(A′B,\s\up6(——→))，eq \(B′D′,\s\up6(———→))〉等于( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
答案 D
(2)已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝AD＝1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60°，则AC1的长为( )
A．6 B.eq \r(6)
C．3 D.eq \r(3)
答案 B
解析 设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(—→))＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，
且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
因此a·b＝b·c＝c·a＝eq \f(1,2).
由eq \(AC1,\s\up6(—→))＝a＋b＋c得|eq \(AC1,\s\up6(—→))|2＝eq \(AC1,\s\up6(—→))2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝6.
所以|eq \(AC1,\s\up6(—→))|＝eq \r(6)，故选B.
1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(A1C1,\s\up6(—→))
B.eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(C1A1,\s\up6(—→))
C.eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(A1D1,\s\up6(—→))
D.eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(B1A1,\s\up6(—→))
答案 A
2．设ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，则有( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(C1A,\s\up6(—→))＝a2 B.eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(A1C1,\s\up6(—→))＝eq \r(2)a2
C.eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(A1C,\s\up6(—→))＝a2 D.eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(C1A1,\s\up6(—→))＝a2
答案 C
3．已知空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝eq \f(π,3)，则cs〈eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉的值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C．－eq \f(1,2) D．0
答案 D
解析 eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))·(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))＝eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝|eq \(OA,\s\up6(→))||eq \(OC,\s\up6(→))|cs∠AOC－|eq \(OA,\s\up6(→))||eq \(OB,\s\up6(→))|cs∠AOB
＝eq \f(1,2)|eq \(OA,\s\up6(→))||eq \(OC,\s\up6(→))|－eq \f(1,2)|eq \(OA,\s\up6(→))||eq \(OB,\s\up6(→))|＝0，
所以eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→)).所以cs〈eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉＝0.
4．若a，b，c为空间两两夹角都是60°的三个单位向量，则|a－b＋2c|＝________.
答案 eq \r(5)
解析 |a－b＋2c|2＝(a－b＋2c)2
＝a2＋b2＋4c2－2a·b＋4a·c－4b·c
＝5.
∴|a－b＋2c|＝eq \r(5).
5.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则eq \(B1C,\s\up6(—→))与eq \(A1P,\s\up6(—→))所成角的大小为________，eq \(B1C,\s\up6(—→))·eq \(A1P,\s\up6(—→))＝________.
答案 60° 1
解析 方法一 连接A1D(图略)，则∠PA1D就是eq \(B1C,\s\up6(—→))与eq \(A1P,\s\up6(—→))所成角，连接PD，在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝eq \r(2)，即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°，即eq \(B1C,\s\up6(—→))与eq \(A1P,\s\up6(—→))所成角的大小为60°，因此eq \(B1C,\s\up6(—→))·eq \(A1P,\s\up6(—→))＝eq \r(2)×eq \r(2)×cs 60°＝1.
方法二 根据向量的线性运算可得
eq \(B1C,\s\up6(—→))·eq \(A1P,\s\up6(—→))＝(eq \(A1A,\s\up6(—→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))))＝eq \(AD,\s\up6(→))2＝1.
由题意可得PA1＝B1C＝eq \r(2)，则eq \r(2)×eq \r(2)×cs〈eq \(B1C,\s\up6(→))，eq \(A1P,\s\up6(→))〉＝1，
从而〈eq \(B1C,\s\up6(→))，eq \(A1P,\s\up6(→))〉＝60°.
1．知识清单：
(1)空间向量的夹角、投影．
(2)空间向量数量积、性质及运算律．
2．方法归纳：化归转化．
3．常见误区：空间向量的数量积的三点注意
(1)数量积的符号由夹角的余弦值决定．
(2)当a≠0，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0.
1．已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于( )
A．12 B．8＋eq \r(13)
C．4 D．13
答案 D
解析 (2a－b)·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|cs 120°
＝2×4－2×5×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝13.
2．已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝－eq \f(1,2)，则两直线的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
答案 B
解析 设向量a，b的夹角为θ，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝－eq \f(1,2)，所以θ＝120°，
则两个方向向量对应的直线的夹角为180°－120°＝60°.
3．已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为( )
A．－6 B．6 C．3 D．－3
答案 B
解析 由题意可得a·b＝0，e1·e2＝0，|e1|＝|e2|＝1，
所以(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，
所以2k－12＝0，
所以k＝6.
4．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))的值为( )
A．a2 B.eq \f(1,2)a2 C.eq \f(1,4)a2 D.eq \f(\r(3),4)a2
答案 C
解析 eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))·eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))
＝eq \f(1,4)(eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a×a×\f(1,2)＋a×a×\f(1,2)))＝eq \f(1,4)a2.
5．已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是( )
A.eq \(PC,\s\up6(→))与eq \(BD,\s\up6(→)) B.eq \(DA,\s\up6(→))与eq \(PB,\s\up6(→))
C.eq \(PD,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→)) D.eq \(PA,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))
答案 A
解析 可用排除法．因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝0，排除D.
又由AD⊥AB，AD⊥PA可得AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB，所以eq \(DA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝0，
同理eq \(PD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，排除B，C，故选A.
6．已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝________.
答案 22
解析 |a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝132＋2a·b＋192＝242，
∴2a·b＝46，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝530－46＝484，故|a－b|＝22.
7．已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝________.
答案 60°
解析 由条件知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0，
(a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0，两式相减得46a·b＝23|b|2，所以a·b＝eq \f(1,2)|b|2，
代入上面两个式子中的任意一个，得|a|＝|b|，
所以cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(\f(1,2)|b|2,|b|2)＝eq \f(1,2)，所以〈a，b〉＝60°.
8．如图，在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，O，O1分别是对角线AC，A1C1的中点，则〈eq \(AO,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))〉＝________，〈eq \(AO,\s\up6(→))，eq \(O1C1,\s\up6(—→))〉＝________，〈eq \(OO1,\s\up6(—→))，eq \(A1B1,\s\up6(—→))〉＝________.
答案 0° 0° 90°
解析 由题意得eq \(AO,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))方向相同，是在同一条直线AC上，故〈eq \(AO,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))〉＝0°；eq \(O1C1,\s\up6(—→))可平移到直线AC上，与eq \(OC,\s\up6(→))方向相同，故〈eq \(AO,\s\up6(→))，eq \(O1C1,\s\up6(—→))〉＝0°；由题意知OO1是正四棱台ABCD－A1B1C1D1的高，故OO1⊥平面A1B1C1D1，所以OO1⊥A1B1，故〈eq \(OO1,\s\up6(—→))，eq \(A1B1,\s\up6(—→))〉＝90°.
9.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求异面直线A1B与AC所成的角．
解 不妨设正方体的棱长为1，
设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(—→))＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，
a·b＝b·c＝c·a＝0，eq \(A1B,\s\up6(—→))＝a－c，eq \(AC,\s\up6(→))＝a＋b.
∴eq \(A1B,\s\up6(—→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝(a－c)·(a＋b)
＝|a|2＋a·b－a·c－b·c＝1，
而|eq \(A1B,\s\up6(—→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，
∴cs〈eq \(A1B,\s\up6(—→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(A1B,\s\up6(—→))·\(AC,\s\up6(→)),|\(A1B,\s\up6(—→))||\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,\r(2)×\r(2))＝eq \f(1,2)，
∵0°≤〈eq \(A1B,\s\up6(—→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉≤180°，
∴〈eq \(A1B,\s\up6(—→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝60°.
∴异面直线A1B与AC所成的角为60°.
10.如图，正四棱锥P－ABCD的各棱长都为a.
(1)用向量法证明BD⊥PC；
(2)求|eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))|的值．
(1)证明 ∵eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))，
∴eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→)))·eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))
＝|eq \(BC,\s\up6(→))||eq \(PC,\s\up6(→))|·cs 60°＋|eq \(CD,\s\up6(→))||eq \(PC,\s\up6(→))|cs 120°
＝eq \f(1,2)a2－eq \f(1,2)a2＝0.
∴eq \(BD,\s\up6(→))⊥eq \(PC,\s\up6(→))，
∴BD⊥PC.
(2)解 ∵eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))，
∴|eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))|2＝|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋|eq \(BC,\s\up6(→))|2＋|eq \(PC,\s\up6(→))|2＋2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＋2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＋2eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))
＝a2＋a2＋a2＋0＋2a2cs 60°＋2a2cs 60°＝5a2，
∴|eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))|＝eq \r(5)a.
11．设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))－2eq \(DA,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝0，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
答案 B
解析 因为eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))－2eq \(DA,\s\up6(→))＝(eq \(DB,\s\up6(→))－eq \(DA,\s\up6(→)))＋(eq \(DC,\s\up6(→))－eq \(DA,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))，
所以(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝|eq \(AB,\s\up6(→))|2－|eq \(AC,\s\up6(→))|2＝0，所以|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|，
即△ABC是等腰三角形．
12．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案 C
解析 ∵eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))，
∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→)))·eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))2＋eq \(DB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝0＋12＋0＝1，
又|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2，|eq \(CD,\s\up6(→))|＝1.
∴cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(CD,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))||\(CD,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,2×1)＝eq \f(1,2).
∵异面直线所成的角是锐角或直角，
∴a与b所成的角是60°.
13．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为( )
A．－13 B．－5 C．5 D．13
答案 A
解析 ∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，
∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
∴a·b＋b·c＋c·a＝－eq \f(32＋12＋42,2)＝－13.
14. 已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则eq \(AO1,\s\up6(—→))·eq \(AC,\s\up6(→))的值为________．
答案 1
解析 由于eq \(AO1,\s\up6(—→))＝eq \(AA1,\s\up6(—→))＋eq \(A1O1,\s\up6(—→))＝eq \(AA1,\s\up6(—→))＋eq \f(1,2)(eq \(A1B1,\s\up6(—→))＋eq \(A1D1,\s\up6(—→)))＝eq \(AA1,\s\up6(—→))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))，而eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))，
则eq \(AO1,\s\up6(—→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(AA1,\s\up6(—→))＋\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))＋\(AD,\s\up6(→))))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))2＝1.
15．等边△ABC中，P在线段AB上，且eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))，若eq \(CP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))，则实数λ的值为________．
答案 1－eq \f(\r(2),2)
解析 如图，eq \(CP,\s\up6(→))＝－eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AP,\s\up6(→))＝－eq \(AC,\s\up6(→))＋λeq \(AB,\s\up6(→))，
故eq \(CP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝(λeq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))·eq \(AB,\s\up6(→))
＝λ|eq \(AB,\s\up6(→))|2－|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|cs A
eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝(－λeq \(AB,\s\up6(→)))·(1－λ)eq \(AB,\s\up6(→))＝λ(λ－1)|eq \(AB,\s\up6(→))|2，
设|eq \(AB,\s\up6(→))|＝a(a＞0)，则a2λ－eq \f(1,2)a2＝λ(λ－1)a2，
解得λ＝1－eq \f(\r(2),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ＝1＋\f(\r(2),2)舍)).
16.如图所示，已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且AB＝7，AC＝BD＝24，线段BD与α所成的角为30°，求CD的长．
解 由AC⊥α，可知AC⊥AB，
过点D作DD1⊥α，
D1为垂足，连接BD1，
则∠DBD1为BD与α所成的角，
即∠DBD1＝30°，
所以∠BDD1＝60°，
因为AC⊥α，DD1⊥α，所以AC∥DD1，
所以〈eq \(CA,\s\up6(→))，eq \(DB,\s\up6(→))〉＝60°，所以〈eq \(CA,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))〉＝120°.
又eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))，
所以|eq \(CD,\s\up6(→))|2＝(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→)))2
＝|eq \(CA,\s\up6(→))|2＋|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋|eq \(BD,\s\up6(→))|2＋2eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＋2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→)).
因为BD⊥AB，AC⊥AB，
所以eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0.
故|eq \(CD,\s\up6(→))|2＝|eq \(CA,\s\up6(→))|2＋|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋|eq \(BD,\s\up6(→))|2＋2eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))
＝242＋72＋242＋2×24×24×cs 120°＝625，
所以|eq \(CD,\s\up6(→))|＝25，即CD的长为25.
名称
定义及表示
零向量
长度为0的向量叫做零向量，记为0
单位向量
模为1的向量称为单位向量
相反向量
与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a
共线向量(平行向量)
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a
相等向量
方向相同且模相等的向量称为相等向量
空间向量的线性运算
加法
a＋b＝eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(AB,\s\up6(→)) ＝eq \(OB,\s\up6(→))
减法
a－b＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))
数乘
当λ>0时，λa＝λeq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(PQ,\s\up6(→))；
当λ<0时，λa＝λeq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(MN,\s\up6(→))；
当λ＝0时，λa＝0
运算律
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；
分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
定义
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cs 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.
即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
性质
①a⊥b⇔a·b＝0
②a·a＝a2＝|a|2
运算律
①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.
②a·b＝b·a(交换律)．
③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).