第23讲 抛物线及其标准方程5种常见考法归类-新高二数学暑假衔接试题（人教版）

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2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程.
知识点1 抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
注：①在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”，点的轨迹还是抛物线吗？
不一定是，若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．
②定义的实质可归纳为“一动三定”
一个动点M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1)．
知识点2 抛物线标准方程的几种形式
注：1、抛物线方程的推导：
我们取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立平面直角坐标系Oxy.设|KF|＝p(p>0)，那么焦点F的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，准线l的方程为x＝－eq \f(p,2).
设M(x，y)是抛物线上任意一点，点M到准线l的距离为d.由抛物线的定义，抛物线是点的集合P＝{M||MF|＝d}．
则M到F的距离为|MF|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))2＋y2)，M到直线l的距离为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x＋\f(p,2)))，
所以eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))2＋y2)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x＋\f(p,2)))，
将上式两边平方并化简，得y2＝2px(p>0)．
2、p的几何意义是焦点到准线的距离．标准方程的结构特征：顶点在坐标原点、焦点在坐标轴上．
抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于一次项变量(x或y)的取值范围．
3、四个标准方程的区分
焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向．
4、（1）通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于，通径是过焦点最短的弦.
（2）抛物线（）上一点到焦点的距离，也称为抛物线的焦半径.
1、求抛物线的标准方程的方法
注：当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程．
2、用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
3、抛物线定义的两种应用
(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题．
(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．
4、求抛物线实际应用的五个步骤
考点一：抛物线的标准方程
例1．（2022秋·高二课时练习）根据下列条件写出抛物线的标准方程：
(1)准线方程是；
(2)过点；
(3)焦点到准线的距离为.
【答案】(1)
(2)或
(3)或或或
【分析】（1）（2）（3）利用抛物线的定义及其性质即可得出．
【详解】（1）由准线方程为知抛物线的焦点在轴负半轴上，且，
则，故所求抛物线的标准方程为．
（2）点在第二象限，
设所求抛物线的标准方程为或，
将点代入，得，解得，
所以抛物线方程为；
将点代入，得，解得，
所以抛物线方程为．
综上所求抛物线的标准方程为或．
（3）由焦点到准线的距离为，所以，
故所求抛物线的标准方程为或或或．
变式1．（2023秋·高二课时练习）若抛物线的顶点是原点，准线为直线，则此抛物线的方程为 .
【答案】
【分析】设出抛物线解析式，通过准线求出的值，即可求出此抛物线的方程.
【详解】由题意，
抛物线的顶点是原点，准线为直线，
∴设抛物线的方程为，
∴，解得：，
∴此抛物线的方程为：，
故答案为：.

变式2．（2023·全国·高三专题练习）若抛物线的焦点到准线的距离为，且的开口朝上，则的标准方程为 ．
【答案】
【分析】根据焦点到准线的距离为，所以，再结合条件，可得的标准方程.
【详解】依题意的开口朝上,可设的标准方程为，
因为的焦点到准线的距离为，所以，
所以的标准方程为．
故答案为: .
变式3．（2023春·河南洛阳·高二校考阶段练习）点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（ ）
A．B．或
C．或D．
【答案】C
【分析】由抛物线的准线方程,分类讨论求参数的值.
【详解】当时，抛物线开口向上，准线方程，
点到准线的距离为，解得，
所以抛物线方程为；
当时，抛物线开口向下，准线方程，
点到准线的距离为，解得或（舍去），
所以抛物线方程为．
所以抛物线的方程为或．
故选：C
变式4．（2022秋·福建莆田·高二校联考期末）已知抛物线C与双曲线有相同的焦点，且顶点在原点，求抛物线C的方程.
【答案】
【分析】求出双曲线的焦点坐标，即抛物线的焦点坐标，即可得解.
【详解】因为双曲线的焦点为.
设抛物线方程为，则，所以，
所以抛物线方程为x.
变式5．（2021秋·高二课时练习）抛物线上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出抛物线的准线方程，利用几何性质求出参数的值，即可求出抛物线的方程.
【详解】由题意，
在抛物线中，
准线方程，
∵到准线的距离等于它到焦点的距离，
∴，解得：，
∴抛物线方程为：，
故选：A.
变式6．（2022秋·高二单元测试）已知抛物线（）上一点M的纵坐标为，该点到准线的距离为6，则该抛物线的标准方程为（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】D
【分析】根据已知条件可得点M坐标，代入抛物线方程求解即可.
【详解】因为抛物线的准线方程是，而点M到准线的距离为6，
所以点M的横坐标是.
所以点M的坐标为，
又因为点M在抛物线上，
所以32=2p，解得p=8或p=4，
故该抛物线的标准方程为或.
故选：D.
考点二：根据抛物线方程求焦点或准线
例2．【多选】（2022秋·高二课时练习）对抛物线，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为
B．开口向右，准线方程为-
C．开口向右，焦点为
D．开口向上，准线方程为
【答案】AD
【分析】把抛物线化为标准形式，结合抛物线的几何性质，即可求解.
【详解】由题意，把抛物线化为标准形式，
则抛物线的开口向上，且，所以焦点为，直线方程为.
故选：AD.
变式1．（2023秋·高二课时练习）抛物线的焦点关于直线的对称点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出抛物线焦点坐标为，设关于直线的对称点的坐标是，列出关于的方程组求解即可.
【详解】抛物线即，其焦点坐标为，
设关于直线的对称点的坐标是，
则，解得，则，
故选：A．
变式2．（2023秋·浙江嘉兴·高二统考期末）已知是抛物线：的焦点，点在上且，则的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由结合抛物线的定义可求出的值，进而可求的坐标.
【详解】因为是抛物线：的焦点，所以，
又，由抛物线的定义可知，解得，所以.
故选：A
变式3．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）设O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，直线与抛物线C交于A，B两点，若，则抛物线C的准线方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【分析】根据题意，由条件可得，然后结合抛物线的定义，列出方程，即可求得结果.
【详解】设直线与轴交点为，
由抛物线的对称性，易知为直角三角形，且，
，即，去绝对值，解得或，
所以抛物线的准线方程为或.
故选：C.
变式4．（2023春·福建泉州·高二校联考期中）抛物线绕其顶点逆时针旋转之后，得到的图象正好对应抛物线，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】采用逆向思考：即将抛物线将其绕顶点顺时针方向旋转，得到抛物线，进而即可求得的值.
【详解】抛物线即的开口向上，将其绕顶点顺时针方向旋转，得到的抛物线，开口向右，其方程为，则，
故选：B.
变式5．（2023秋·高二课时练习）抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，其上有一点，其到准线的距离为6，则 ．
【答案】
【分析】由题意设抛物线的方程为，由条件得，进而可得抛物线的方程，把点坐标代入，可求得.
【详解】由题意焦点在x轴正半轴上，设抛物线的方程为，
∵准线方程为，点到准线的距离为6，
∴，∴，∴抛物线的方程为，
∵点在抛物线上，∴，∴.
故答案为：.
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的的准线与轴交于点，，是的焦点，是上一点，，则 .
【答案】
【分析】设，利用向量的关系式，求得点的坐标，代入抛物线方程即可．
【详解】抛物线的准线为，
由题意，，
设，则，，
因为，所以，
所以，，
代入得，解得（负值舍），
所以.
故答案为：
考点三：抛物线定义的应用
利用抛物线的定义解决轨迹问题
例3．（2019春·安徽芜湖·高二校联考期中）若动点到点的距离等于它到直线的距离，则点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据抛物线的定义求得正确答案.
【详解】依题意，动点到点的距离等于它到直线的距离，
所以的轨迹为抛物线，，
所以点的轨迹方程为.
故选：D
变式1．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知，点到直线的距离比到点的距离大2，记的轨迹为，求的方程；
【答案】
【分析】
根据题意转化为到直线的距离等于到的距离，结合抛物线的定义，即可求解.
【详解】
解：由点到直线的距离比到点的距离大2
可转化为到直线的距离等于到的距离
所以的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，
可得，所以，所以曲线的方程为.
变式2．（2023春·广东韶关·高二校考阶段练习）动点满足方程，则点M的轨迹是（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
【答案】D
【分析】根据轨迹方程所代表的意义和抛物线的定义可得答案.
【详解】由得，
等式左边表示点和点的距离，等式的右边表示点到直线的距离，整个等式表示的意义是点到点的距离和到直线的距离相等，且点不在直线上，所以其轨迹为抛物线.
故选：D.
变式3．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）设圆与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意分别求得，的坐标与切线，再根据抛物线的定义即可求得动点的轨迹方程．
【详解】因为圆与轴交于，两点（在的上方），
所以，，
又因为过作圆的切线，
所以切线的方程为，
因为动点到的距离等于到的距离，
所以动点的轨迹为抛物线，且其焦点为，准线为，
所以的轨迹方程为．
故选：A.
利用抛物线的定义求距离或点的坐标
例4．（2023秋·江苏连云港·高二统考期末）若抛物线上一点到拋物线焦点的距离为，则点到原点的距离为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】D
【分析】设，由抛物线定义列式求得，即可依次求，即点到原点的距离.
【详解】由题得焦点坐标为，则准线方程为
设，根据抛物线定义有有，∴，
∴点到原点的距离为.
故选：D.
变式1．（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考阶段练习）已知点到点的距离与到直线相等，且点的纵坐标为12，则的值为（ ）
A．6B．9C．12D．15
【答案】D
【分析】直接根据抛物线定义得的轨迹为抛物线，再设其抛物线方程，根据焦点坐标求出其方程，再根据抛物线性质即可求出的长.
【详解】由题意得点的轨迹为焦点为，准线方程为的抛物线，
设抛物线的方程为，，则，解得，
故抛物线方程为，当时，，则，
故选：D.
变式2．（2023秋·广东江门·高二统考期末）已知M是抛物线上的一点且在x轴上方，F是抛物线的焦点，以为始边，FM为终边的角，则等于（ ）
A．16B．20C．4D．8
【答案】A
【分析】作出抛出线与焦半径及辅助线，利用直角三角形角所对的边等于斜边的一半及抛物线的定义，得到关于的方程，从而求得的值.
【详解】如图所示，抛物线的准线与轴相交于点，作于，过作于，
因为，所以，设，
在中，，
显然，又由抛物线的定义得，
所以，解得：，即.
故选：A.
变式3．（2022秋·黑龙江绥化·高二海伦市第一中学校考期中）已知抛物线：，，为上一点，则取最小值时点的坐标为 ．
【答案】
【分析】设点P的坐标，代入求距离，消去y，求距离取最小值时点的坐标.
【详解】设点，则，
当时，，此时点.
故答案为：.
与抛物线定义有关的最大(小)值问题
例5．（2023春·广东江门·高二校考阶段练习）已知点P到直线与到点的距离相等，点Q在圆上，则的最小值为 .
【答案】3
【分析】设，根据抛物线定义得到其轨迹方程为，计算得，则得到的最小值.
【详解】设，因为点P到直线与到点的距离相等，
所以P点轨迹是以为焦点的抛物线，即；
设圆的圆心为M，则，
，
当且仅当时等号成立，所以，
即，
故答案为：3.
变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知F为抛物线的焦点，P为该抛物线上的动点，点，则的最大值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】设点，由点与点距离公式计算以及的长，代入所求结合二次函数的性质可求出最大值.
【详解】设，则，又，所以，则.令，则，，即时，取得最大值，此时.
故选：D
变式2．（2023春·广东汕头·高二校考期中）已知M为抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为 ．
【答案】2
【分析】根据抛物线的定义，利用三点共线即可求解.
【详解】设点在准线上的射影为，根据抛物线的定义可知,
所以,要使最小，只需要最小即可，
由于在抛物线内，故当三点共线时，此时最小，故最小值为，
故答案为：2
变式3．（2023春·四川内江·高二威远中学校校考期中）已知抛物线的焦点为F，定点，点P是抛物线上一个动点，则的最小值为 .
【答案】5
【分析】根据抛物线的定义求得正确答案.
【详解】抛物线的准线方程为，
根据抛物线的定义可知，的最小值是到准线的距离，
即的最小值为.
故答案为：
变式4．（2022秋·江西萍乡·高三统考期末）点为抛物线上任意一点，点为圆 上任意一点，为直线的定点，则的最小值为（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】A
【分析】画图，找出抛物线焦点，化简圆的普通方程为标准方程，结合抛物线定义以及共线性质分析得出最值.
【详解】如图所示：
由知，抛物线焦点，
由，化为，
即为以为圆心，1为半径的圆，
又，得，恒过定点，
过点作垂直于抛物线的准线：交于点，连接，
则，
当三点共线时，最小,此时为3，
所以的最小值为：，
故选：A.
变式5．（2023·上海奉贤·上海市奉贤中学校考三模）为抛物线上一点，其中，F为抛物线焦点，直线l方程为，，H为垂足，则 ．
【答案】5
【分析】利用抛物线定义将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离即可.
【详解】因为抛物线，所以其焦点，准线方程为，
根据抛物线定义可知，又因为直线l方程为，
所以
故答案为：5.

变式6．（2023·浙江·校联考二模）已知直线和直线，拋物线上一动点到直线直线的距离之和的最小值是（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】B
【分析】根据抛物线的定义可得，结合图象分析求解.
【详解】由题意可得：拋物线的焦点，准线，
设动点直线的距离分别为，
点到直线的距离分别为，
则，可得，
当且仅当点在点到直线的垂线上且在与之间时，等号成立，
动点到直线直线的距离之和的最小值是3.
故选：B.
变式7．（2023·江苏无锡·校联考三模）已如，是抛物线上的动点（异于顶点），过作圆的切线，切点为，则的最小值为 .
【答案】3
【分析】设出点的坐标，结合圆的切线的性质求出，再借助式子几何意义作答.
【详解】依题意，设，有，圆的圆心，半径，
于是，

因此，表示抛物线上的点到y轴距离与到定点的距离的和，
而点在抛物线内，当且仅当是过点垂直于y轴的直线与抛物线的交点时，取得最小值3，
所以的最小值为3.
故答案为：3.
变式8．（2022·全国·高三专题练习）已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，那么点到点的距离与点到轴距离之和的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，即可求出到轴距离就是到焦点的距离减去，接着利用两点之间直线最短而得到答案.
【详解】由于为抛物线上一个动点，焦点坐标为，准线为，为圆上一个动点，，圆心为，半径，那么点到点的距离与点到轴距离之和最小值可结合抛物线的定义，到轴距离为到焦点距离减去，则最小值为抛物线的焦点到圆心的距离减去半径和，故最小值为=.
故选：B.
变式9．（2023春·四川成都·高二期末）已知为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，点，则周长的最小值为 .
【答案】7
【分析】设抛物线的准线为，过作于，过作于，由抛物线的性质可将的周长转化为，由图可知当三点共线时，取得最小值，从而可求得答案.
【详解】当时，，所以点在抛物线内，
由，得焦点为，准线为，
过作于，过作于，则，
所以的周长为，
由图可知当三点共线时，取得最小值，
此时的最小值为，
因为，
所以的最小值为7，即的周长的最小值为7，
故答案为：7

变式10．（2022·高二课时练习）已知抛物线，点为抛物线上任意一点，过点向圆作切线，切点分别为，则四边形的面积的最小值为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
【分析】由，当最小时求解.
【详解】解：如图所示：
设，，
连接，圆为：，
则，
则，
当点时，的最小值为，
所以，
故选：C
考点四：抛物线的轨迹问题
例6．【多选】（2023秋·湖南长沙·高二统考期末）已知，，直线AP，BP相交于P，直线AP，BP的斜率分别为，则（ ）
A．当时，点的轨迹为除去A，B两点的椭圆
B．当时，点的轨迹为除去A，B两点的双曲线
C．当时，点的轨迹为抛物线
D．当时，点的轨迹为一条直线
【答案】AB
【分析】设出，直接法求出轨迹方程，注意去掉不合题意的点，从而判断轨迹为哪种曲线，判断ABC选项，D选项，结合，得到轨迹为去掉一个点的直线，故D错误.
【详解】设，
A选项，，故，变形为，且，
故点的轨迹为除去A，B两点的椭圆，A正确；
B选项，，故，变形为，且，
故点的轨迹为除去A，B两点的双曲线，B正确；
C选项，，故，变形为，且，
故点的轨迹为除去A，B两点的抛物线，C错误；
D选项，，即，变形为，且，
故点的轨迹为除去点的直线，D错误；
故选：AB
变式1．（2023·高二课时练习）已知点P是曲线上任意一点，，连接PA并延长至Q，使得，求动点Q的轨迹方程．
【答案】
【分析】设动点Q的坐标，点P坐标，利用，求出、代入曲线方程可得答案.
【详解】设动点Q的坐标，点P坐标，，
因为，所以，，
可得，，
代入得，整理得，
所以动点Q的轨迹方程为．
变式2．（2022秋·北京海淀·高二北京市十一学校校考期中）设O为坐标原点，，点A是直线上一个动点，连接AF并作AF的垂直平分线l，过点A作y轴的垂线交l于点P，则点P的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】由题意作等价转换，结合抛物线第一定义可直接写出方程.
【详解】如图，由垂直平分线的性质可得，符合抛物线第一定义，抛物线开口向右，焦点坐标为，故，点P的轨迹方程为.
故答案为：
变式3．（2022秋·福建宁德·高三校考期末）已知圆：与定直线：，动圆与圆外切且与直线相切，记动圆的圆心的轨迹为曲线，则曲线的方程为 .
【答案】
【分析】设，由点线距离及两点距离公式列式化简即可.
【详解】设，动圆与圆外切且与直线相切，则有，化简得.
故曲线的方程为.
故答案为：
变式4．（2022秋·河南南阳·高二统考期中）已知点到点的距离比点到直线的距离小1.
(1)求点的轨迹方程；
(2)求线段中点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解法1：根据已知条件，设点，列出方程，化简；
解法2：定义法求抛物线的方程.
（2）轨迹法求点的轨迹方程.
【详解】（1）解法1：设M(x,y)，由题意知
当时，可化为，
整理得，（舍去）
当x< 3时，可化为
整理得，
故点M的轨迹方程为
解法2：由题可知，点M到点F（－2，0）的距离与到直线的距离相等，
所以动点M的轨迹是以F（－2，0）为焦点，为准线的抛物线，
点M的轨迹方程为；
（2）设Q（x，y），
则， ∴
又，故
即为所求.
变式5．（2023秋·江苏苏州·高二统考期末）在平面直角坐标系中，已知，直线相交于点，且与的斜率之差为2，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】设，依题意表示出，，即可得到动点的轨迹方程，再根据距离公式及二次函数的性质计算可得.
【详解】解：设，则，，
所以，即，
即动点的轨迹方程为，，
所以，
所以当时.
故答案为：
考点五：抛物线的实际应用
例7．（2023·全国·高二专题练习）清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为，碗盖口直径为，碗体口直径为，碗体深，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计）（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如图建立平面直角坐标系，设碗体的抛物线方程为（），将点代入求出，即可得到抛物线方程，设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为，则两抛物线在第一象限的交点为，代入方程计算可得.
【详解】以碗体的最低点为原点，向上方向为轴，建立直角坐标系，如图所示．

设碗体的抛物线方程为（），将点代入，得，
解得，则，
设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为，
则两抛物线在第一象限的交点为，代入到，解得，解得．
故选：C
变式1．（2023春·甘肃白银·高二校考期末）图中是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶距离水面2米，水面宽度为8米，则当水面宽度为10米时，拱顶与水面之间的距离为（ ）
A．米B．米C．米D．米
【答案】D
【分析】以拱顶为坐标原点，建立直角坐标系，设拱桥所在抛物线的方程为，根据抛物线过点，求出的值，即可得到抛物线方程，再令，求出的值，即可得解.
【详解】以拱顶为坐标原点，建立直角坐标系，
可设拱桥所在抛物线的方程为，
又抛物线过点，则，解得，
则抛物线的方程为，当时，，
故当水面宽度为米时，拱顶与水面之间的距离为米.
故选：D
变式2．（2023·全国·高三专题练习）南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，设出抛物线的标准方程，代入点的坐标求出即可得解.
【详解】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
依题意可得的坐标为．
设抛物线的标准方程为，则，解得．
故该抛物线的焦点到准线的距离为．
故选：C
变式3．（2023·全国·高三专题练习）探照灯､汽车前灯的反光曲面､手电筒的反光镜面､太阳灶的镜面等都是抛物镜面.灯泡放在抛物线的焦点位置，通过镜面反射就变成了平行光束，如图所示，这就是探照灯､汽车前灯､手电筒的设计原理.已知某型号探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，灯口直径是，灯深，则光源到反射镜顶点的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据已知条件及设出抛物线的标准方程，结合点在抛物线上即可求解.
【详解】在纵断面内，以反射镜的顶点（即抛物线的顶点）为坐标原点，过顶点垂直于灯口直径的直线为轴，建立直角坐标系，如图所示，
由题意可得.
设抛物线的标准方程为，于是，解得.
所以抛物线的焦点到顶点的距离为，即光源到反射镜顶点的距离为.
故选：B.
1．（2023·北京·统考高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ）
A．7B．6C．5D．4
【答案】D
【分析】利用抛物线的定义求解即可.
【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上，
所以到准线的距离为，
又到直线的距离为，
所以，故.
故选：D.
2．（2022·全国·统考高考真题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】B
【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.
【详解】由题意得，，则，
即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，
不妨设点在轴上方，代入得，，
所以.
故选：B
3．（2023·全国·统考高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 .
【答案】
【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为，最后利用点的坐标和准线方程计算点到的准线的距离即可.
【详解】由题意可得：，则，抛物线的方程为，
准线方程为，点到的准线的距离为.
故答案为：.
4．（2022·天津·统考高考真题）已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由已知可得出的值，求出点的坐标，分析可得，由此可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】抛物线的准线方程为，则，则、，
不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点，
因为且，则为等腰直角三角形，
且，即，可得，
所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为.
故选：C.
一、单选题
1．（2023春·湖南·高二统考期末）已知抛物线上一点到轴的距离是6，则点到该抛物线焦点的距离是（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【分析】根据抛物线定义求解.
【详解】由题可得，，
点到该抛物线的准线的距离为，
根据抛物线的定义可知，点到该抛物线焦点的距离是8，
故选:C.
2．（2023春·广东广州·高二统考期末）已知抛物线上的点到其焦点的距离为，则点的横坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用抛物线的定义可求得点的横坐标.
【详解】设点的横坐标为，抛物线的标准方程为，该抛物线的准线方程为，
因为抛物线上的点到其焦点的距离为，则，解得.
故选：C.
3．（2023春·河南南阳·高二社旗县第一高级中学校联考期末）已知O为坐标原点，为一个动点．条件p：O，A，三点共线；条件q：动点A在抛物线上，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由列式整理可知p是q的充分条件，取原点验证可知p是q的不必要条件，然后可得答案.
【详解】当动点A满足p时，直线OB的斜率存在，且不为0，有，即，化简得，p是q的充分条件；
反之，抛物线的顶点并不满足p，p是q的不必要条件．
故选：A．
4．（2023秋·云南丽江·高二统考期末）已知椭圆的中心在原点，离心率为且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先求出抛物线的焦点坐标，从而可求出椭圆中的，再由离心率求出，然后由可求出，从而可求出椭圆的方程.
【详解】由题意可知椭圆的焦点在上，所以设椭圆方程为，
由可得其焦点坐标为，
因为椭圆与抛物线的焦点重合，
所以，
因为椭圆的离心率，所以，得，
所以，
所以椭圆方程为，
故选：C
5．（2023春·四川凉山·高二宁南中学校联考期末）已知抛物线上一点P到y轴的距离为2，焦点为F，则（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】B
【分析】求出抛物线的准线方程，再利用抛物线的定义得解.
【详解】由题得抛物线的准线方程为，
所以点P到准线的距离为，
由抛物线的定义得3.
故选：B

6．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知抛物线，F为抛物线的焦点，P为抛物线上一点，过点P作PQ垂直于抛物线的准线，垂足为Q，若，则△PFQ的面积为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】C
【分析】设点P的坐标为，由题意△PFQ为等边三角形，求得点P的坐标及，从而可得．
【详解】抛物线的准线方程为y＝－1，焦点为，
设点P的坐标为，则点Q的坐标为，，
由抛物线的定义知，因为，
所以△PFQ为等边三角形，所以，又，
所以，n＝3，所以点P的坐标为，
所以，所以．
故选：C．

7．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知抛物线的焦点为F，点P是C上异于原点O的任意一点，线段PF的中点为M，则以F为圆心且与直线OM相切的圆的面积最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意作图，设出动点的坐标，利用中点坐标公式，表示中点，进而写出直线方程，结合圆与直线相切的性质，利用点到直线距离公式，根据基本不等式，可得答案.
【详解】由题意，作图如下：

设（不妨令），由已知可得，则，所以直线OM的方程为，
设，则（当且仅当时取“=”），所以点F到直线OM的距离为，
即圆F的半径最大值为，面积最大值为．
故选：B.
8．（2023春·河南开封·高三统考期末）已知抛物线，圆，为上一点，为上一点，则的最小值为（ ）
A．5B．C．2D．3
【答案】B
【分析】先利用配方法求得到圆心的最小距离，从而求得到的最小距离.
【详解】由题意知，，设，则，
所以，

故当时，，
所以.
故选：B.
二、多选题
9．（2023春·湖南益阳·高二统考期末）已知抛物线：焦点为，动直线与曲线交于两点，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程为
B．若点为，则周长的最小值为11
C．若点为，则的最小值为
D．设为坐标原点，作于点，则点到的准线的距离的最大值为2
【答案】BC
【分析】对于选项A，将抛物线方程转化成标准方程即可判断出结果的正误；对于选项B，利用抛物线的定义，将周长转化成，从而判断出结果的正误；对于选项C，直接求出，进而可求出的最小值，从而判断出结果正确；对于选项D，直接求出的坐标，从而求出点到的准线的距离，从而判断出结果的正误.
【详解】选项A，因为抛物线，即，
所以准线方程为，故选项A错误；
选项B，如图，过作准线的垂线，交准线于点，
则周长，
易知，当在处时取到等号，又，，
所以周长的最小值为11，故选项B正确；
选项C，设，则，
当时取等号，故选项C正确；
选项D，易知，设过且与动直线垂直的直线方程为，
由，解得 ，
所以点到的准线的距离，故选项D错误.

故选：BC.
10．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）设为抛物线：（）的焦点，为坐标原点，为上一点，且，则（ ）
A．
B．
C．直线的斜率为
D．的面积为
【答案】ABD
【分析】根据抛物线的标准方程确定的值，得抛物线方程与焦点坐标，再由抛物线定义求得的坐标，确定直线的斜率与的面积，逐项判断即可得答案.
【详解】由题意得，又，故解得，所以抛物线的方程为，焦点，故A，B正确；

由抛物线定义及，所以代入抛物线方程可得得，
所以，故C不正确；
则的面积，故D正确.
故选：ABD.
11．（2023秋·广西河池·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若为坐标原点，则（ ）
A．点的坐标为B．
C．D．
【答案】BD
【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再利用抛物线的定义结合已知可求出点的坐标，从而可得答案.
【详解】由题可知，
因为点在抛物线上，且，
所以，
解得，
所以，
故选：BD.
12．（2023春·全国·高二卫辉一中校联考阶段练习）已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，则下列条件能得到抛物线C的方程为的是（ ）
A．焦点为B．准线为
C．与直线相交所得弦长为1D．
【答案】BCD
【分析】根据抛物线的标准方程、焦点、准线、弦长、抛物线的定义、根与系数的关系等知识对选项进行判断，从而确定正确答案.
【详解】抛物线C的方程可化为，所以抛物线焦点应在y轴上，故A错误；
由准线为，知，解得，所以抛物线C的方程为，故B正确；
将直线代入，解得，
所以直线与抛物线C相交所得弦长为，解得，
所以抛物线C的方程为，故C正确；
设，，直线AB的方程为，
代入，可得，，
所以，故，
所以
，所以，
故抛物线C的方程为，故D正确.
故选：BCD
三、填空题
13．（2023秋·高二单元测试）已知抛物线的焦点为F，点M（3，6），点Q在抛物线上，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据抛物线的定义可求出结果.
【详解】抛物线的准线方程为，
过作准线的垂线，垂足为，则，
所以.当且仅当与准线垂直时，取等号.
所以的最小值为.

故答案为：.
14．（2023春·上海浦东新·高二统考期末）若双曲线的一条渐近线为，且右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的标准方程为 ．
【答案】
【分析】由已知可得双曲线的右焦点为，根据条件可得，进而即得.
【详解】抛物线的焦点为，
双曲线的右焦点为，可设双曲线方程为，
又双曲线的一条渐近线方程为，
，
所以，
双曲线的方程是.
故答案为：.
15．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）若抛物线上一点到轴的距离为，则点到抛物线的焦点的距离为 ．
【答案】4
【分析】根据抛物线的定义计算焦半径即可.
【详解】由题意可得，，P纵坐标为，由其解析式可得P横坐标为，
由抛物线定义知.
故答案为：4
16．（2023春·广西·高二校联考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，是抛物线C上一点，若，则 ．
【答案】9
【分析】根据抛物线的焦半径公式即可求解.
【详解】由题可知，，解得．
故答案为：9
17．（2023·上海虹口·华东师范大学第一附属中学校考三模）已知是抛物线的焦点，P是抛物线C上一动点，Q是曲线上一动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据题意，过点作，垂足为，过点，垂足为，根据抛物线的定义，转化为，结合图象，得到，当且仅当在一条直线上时，的最小值，即可求解.
【详解】由抛物线，可得焦点坐标为，准线方程为，
又由曲线，可化为，
可得圆心坐标为，半径，
过点作，垂足为，过点作，垂足为，交抛物线于，如图所示，
根据抛物线的定义，可得，
要使得取得最小值，只需使得点与重合，此时与重合，
即，当且仅当在一条直线上时，
所以的最小值为.
故答案为：.
四、解答题
18．（2023秋·高二课时练习）根据下列条件写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是；
（2）准线方程是；
（3）焦点到准线的距离是．
【答案】（1）；（2）；（3）或.
【分析】（1）根据抛物线的焦点坐标可写出抛物线的标准方程；
（2）根据抛物线的准线方程可写出抛物线的标准方程；
（3）根据抛物线的焦点到准线的距离可写出抛物线的标准方程.
【详解】（1）由题意可知抛物线的焦点在轴的正半轴上，设抛物线的标准方程为，
则，可得，所以，抛物线的标准方程为；
（2）由题意可知抛物线的焦点在轴的正半轴上，设抛物线的标准方程为，
则，可得，因此，抛物线的标准方程为；
（3）抛物线的焦点到准线的距离为，
所以，抛物线的标准方程为或.
19．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线上一点到焦点的距离．求抛物线的方程；
【答案】
【分析】由题知，进而解方程即可得答案；
【详解】因为抛物线上一点到焦点的距离，
所以抛物线的定义得，
所以 ，解得．
所以抛物线的方程为；
20．（2023·全国·高三专题练习）已知点，过点且与y轴垂直的直线为，轴，交于点N，直线l垂直平分FN，交于点M. 求点M的轨迹方程；
【答案】
【分析】由抛物线的定义求解即可.
【详解】
由题意得，即动点M到点的距离和到直线的距离相等，
所以点M的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，
根据抛物线定义可知点M的轨迹方程为；
21．（2023秋·广东梅州·高二统考期末）已知动点与点的距离与其到直线的距离相等.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)求点与点的距离的最小值，并指出此时的坐标.
【答案】(1)；
(2)，或
【分析】（1）利用抛物线的定义得解；
（2）设，求出即得解.
【详解】（1）解：由题意知动点到的距离与它到直线的距离相等，
所以动点的轨迹为以为焦点、以直线为准线的抛物线，
因此动点的轨迹方程为.
（2）解：设，
由两点间的距离公式得：，
当，即时，，
即当或时，点与点的距离最小，最小值为.
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
x＝－eq \f(p,2)
y2＝－2px(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
x＝eq \f(p,2)
x2＝2py(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
y＝－eq \f(p,2)
x2＝－2py(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
y＝eq \f(p,2)
定义法
根据定义求p，最后写标准方程
待定系数法
设标准方程，列有关的方程组求系数
直接法
建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程