第19讲 椭圆及其标准方程7种常见考法归类-新高二数学暑假衔接试题（人教版）

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1.了解椭圆的实际背景．
2.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义及标准方程.
知识点1 椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
注：在椭圆的定义中必须要注意以下两个问题
(1)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．
(2)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆．
①若，M的轨迹为线段；
②若，M的轨迹无图形
知识点2 椭圆的标准方程
注：（1）椭圆标准方程的推导
以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，如图所示，此时，椭圆的焦点分别为F1(－c,0)和F2(c,0)．
根据椭圆的定义，设M与焦点F1，F2的距离的和等于2a.由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}．因为|MF1|＝eq \r(x＋c2＋y2)，|MF2|＝eq \r(x－c2＋y2)，
所以eq \r(x＋c2＋y2)＋eq \r(x－c2＋y2)＝2a.①
为了化简方程①，我们将其左边一个根式移到右边，得eq \r(x＋c2＋y2)＝2a－eq \r(x－c2＋y2).②
对方程②两边平方，得
(x＋c)2＋y2＝4a2 －4aeq \r(x－c2＋y2)＋(x－c)2＋y2，
整理，得a2－cx＝aeq \r(x－c2＋y2)，③
对方程③两边平方，得
a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，
整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，④
将方程④两边同除以a2(a2－c2)，
得eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,a2－c2)＝1，⑤
由椭圆的定义可知2a>2c>0 ，即a>c>0，
所以a2－c2>0.
令b＝eq \r(a2－c2)，那么方程⑤就是eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)．⑥
我们将方程⑥称为焦点在x轴上的椭圆方程．
如图，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别是(0，－c)，(0，c)，a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？
答：eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．
（2）椭圆的标准方程的特征
①几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上．
②代数特征：方程右边为1，左边是关于eq \f(x,a)与eq \f(y,b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,a)与\f(x,b)))的平方和，并且分母为不相等的正值．
③给出椭圆方程(，,),判断该方程所表示的椭圆的焦点位置的方法是:椭圆的焦点在轴上⇔标准方程中项的分母较大;椭圆的焦点在轴上⇔标准方程中项的分母较大,这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法.可简记作:焦点位置看大小,焦点跟着大的跑.（x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁的轴上．）
知识点3 椭圆的焦点三角形
椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．
以椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则
(1)椭圆的定义：|PF1|＋|PF2|＝2a.
(2)余弦定理：4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cs θ.
(3)面积公式：S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|·sin θ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为bc.
重要结论：S△PF1F2=
推导过程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cs θ得
由三角形的面积公式可得
S△PF1F2=
=
注：S△PF1F2===（是三角形内切圆的半径）
(4)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
(5)在椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)中,F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意的一点，当点P在短轴端点时，最大.
1、确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面
(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；
(2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．
2、椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.
(2)直线过左焦点与椭圆相交于A、B两点，则的周长为4a，即（直线过右焦点亦同）.
（3）涉及焦点三角形面积时，可把|PF1|·|PF2|看作一个整体，运用|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求解．
3、解决与椭圆有关的轨迹问题的三种方法
(1)直接法：直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M|p(M)}直接翻译成x，y的形式，即F(x，y)＝0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)＝0.
(2)定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．
(3)相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．
考点一：椭圆定义及辨析
例1．（2023秋·四川南充·高二四川省南充高级中学校考期末）设定点，，动点P满足条件，则点P的轨迹是（ ）
A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段
变式1．（2023秋·高二课时练习）已知，动点C满足，则点C的轨迹是（ ）
A．椭圆B．直线
C．线段D．点
变式2．（2023秋·高二课时练习）平面内有一个动点M及两定点A，B．设p：为定值，q：点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．那么（ ）
A．p是q的充分不必要条件
B．p是q的必要不充分条件
C．p是q的充要条件
D．p既不是q的充分条件，又不是q的必要条件
变式3．（2023·全国·高二专题练习）已知动点满足（为大于零的常数）﹐则动点的轨迹是（ ）
A．线段B．圆C．椭圆D．直线
考点二：椭圆定义的应用
例2．（2023·高二课时练习）设表示的是椭圆；，则p是成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
变式1．（2023秋·江西吉安·高二吉安一中校考期中）已知条件：，条件：表示一个椭圆，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
变式2．（2023秋·广西钦州·高三校考阶段练习）“”是方程“表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条
变式3．（2023春·四川遂宁·高二遂宁中学校考阶段练习）方程表示椭圆的充要条件是__________．
变式4．（2023·全国·高二专题练习）已知曲线，则“”是“曲线C是椭圆”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
变式5．（2023·高二单元测试）若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（ ）
A．B．椭圆的焦距为
C．若椭圆的焦点在轴上，则D．若椭圆的焦点在轴上，则
变式6．（2023春·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期中）方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为______．
变式7．（2023春·安徽安庆·高二安徽省宿松中学校考期中）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是__________.
考点三：求椭圆的标准方程
例3．（2023秋·高二课时练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程.
(1)，，焦点在y轴上；
(2)，.
(3)经过点，两点；
(4)与椭圆＋＝1有相同的焦点且经过点.
变式1．（2023秋·新疆乌鲁木齐·高二乌市八中校考期中）若椭圆过点，则椭圆方程为（ ）
A．B．
C．D．
变式2．（2023春·江苏南京·高二江苏省江浦高级中学校联考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点为，且过点则椭圆标准方程为___________．
变式3．（2023秋·高二课时练习）过点且与有相同焦点的椭圆方程为（ ）
A．B．
C．D．
变式4．（2023春·陕西宝鸡·高二虢镇中学校考开学考试）已知椭圆C:,四点,,,中恰有三点在椭圆上,则椭圆C的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
变式5．（2023秋·辽宁葫芦岛·高二统考期末）设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为B．若，则该椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
变式6．（2023春·陕西宝鸡·高三宝鸡中学校考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，M为C上一点，若的中点为，且的周长为，则C的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
变式7．（2023秋·高二课时练习）已知分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，（O为坐标原点）是面积为的正三角形，则此椭圆的方程为__________．
变式8．（2023秋·高二课时练习）若椭圆的中心为原点，对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为，则这个椭圆的方程为（ ）
A．B．或
C．D．以上都不对
变式9．（2023春·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，过坐标原点的直线交于两点，且，且，则椭圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
考点四：根据椭圆方程求相关量
例4．【多选】（2023秋·高二课时练习）椭圆=1的焦距为4，则m的值可能是（ ）
A．12B．10
C．6D．4
变式1．（2023春·北京·高二北京二中校考期末）椭圆的焦距为4，则的值为（ ）
A．或B．或C．D．
变式2．（2023秋·天津和平·高二耀华中学校考期中）曲线与的关系是（ ）
A．有相等的焦距，相同的焦点B．有不等的焦距，相同的焦点
C．有不等的焦距，不同的焦点D．有相等的焦距，不同的焦点
考点五：求椭圆上点的坐标
例5．（2023·新疆·统考一模）已知F为椭圆的右焦点，P为C上的一点，若，则点P的坐标为___________.
变式1．（2023·全国·高三对口高考）已知，是椭圆的两个焦点，那么在C上满足的点有________个．
变式2．（2023秋·重庆九龙坡·高二重庆市育才中学校考期中）已知椭圆的焦点为F1，F2，第一象限的点为椭圆上的动点，当为直角三角形时，点的横坐标是_________ .
变式3．（2023秋·安徽阜阳·高二安徽省颍上第一中学校考期末）已知椭圆的焦点为，，且该椭圆过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆上的点满足，求点的坐标．
变式4．（2023秋·北京昌平·高二北京市昌平区第二中学校考期中）设分别是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上任意一点，则使得成立的点的个数为（ ）
A．B．C．D．
变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知分别为椭圆的左､右焦点，P为椭圆上一点，且垂直x轴，以为圆心的圆与直线相切于点T，则T的横坐标为（ ）
A．B．C．D．
考点六：椭圆的焦点三角形问题
求焦点三角形的内角或边长
例6．（2023春·广西南宁·高二校考阶段练习）椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，已知，则（ ）
A．B．C．D．
变式1．（2023春·四川凉山·高二宁南中学校联考期末）已知椭圆的左，右两焦点为和，P为椭圆上一点，且，则（ ）
A．8B．12C．16D．64
变式2．（2023秋·高二课时练习）椭圆的焦点为，点P在此椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么的值为（ ）
A．B．4C．7D．
变式3．（2023秋·辽宁鞍山·高二鞍山一中校考期中）已知椭圆的两焦点为，，为椭圆上一点且，则（ ）
A．B．C．D．
变式4．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（ ）
A．B．C．D．
变式5．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是（ ）
A．B．C．D．
求焦点三角形的周长
例7．（2023秋·贵州·高二校联考阶段练习）已知点为椭圆上一点，椭圆的两个焦点分别为，，则的周长是（ ）
A．20B．36C．64D．100
变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（ ）
A．12B．C．16D．10
变式2．（2023秋·高二课时练习）设分别为椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为（ ）
A．12B．24C．D．
变式3．（2023春·河南开封·高二统考期末）直线与椭圆交于两点，则与椭圆的两个焦点构成的四边形的周长为（ ）
A．10B．16C．20D．不能确定
变式4．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆，点与的焦点不重合，若关于的焦点的对称点分别为，，线段的中点在上，则（ ）
A．10B．15C．20D．25
变式5．（2023秋·广东·高二统考期末）椭圆的一个焦点是F，过原点O作直线(不经过焦点)与椭圆相交于A，B两点，则的周长的最小值是（ ）
A．14B．15C．18D．20
求焦点三角形的面积
例8．（2023秋·广西钦州·高三校考阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，，点是椭圆上一点，且是直角三角形，的面积等于（ ）
A．3B．C．3或D．3或
变式1．（2023秋·广西玉林·高二校联考期中）已知椭圆的方程为，若点在第二象限，且，则的面积（ ）．
A．B．C．D．
变式2．（2023春·四川宜宾·高二四川省宜宾市第四中学校校考期末）已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（ ）
A．6B．12C．D．
变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知是椭圆的左､右焦点，点在椭圆上.当最大时，求（ ）
A．B．C．D．
变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C在第一象限内的一点，，直线与C的另一个交点为Q，O为坐标原点，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知是椭圆上的点，､分别是椭圆的左､右焦点，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知、是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则实数的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知、为椭圆的左、右焦点，M为上的点，则面积的最大值为（ ）
A．B．2C．D．4
焦点三角形的内切圆问题
例9．（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）已知一个离心率为，长轴长为4的椭圆，其两个焦点为，，在椭圆上存在一个点P，使得，设的内切圆半径为r，则r的值为（ ）
A．B．C．D．
变式1．（2023秋·安徽淮南·高二淮南第二中学校考阶段练习）已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则的内切圆的半径（ ）
A．1B．C．D．2
变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知点P为椭圆C：上一点，点，分别为椭圆C的左､右焦点，若，则的内切圆半径为（ ）
A．B．C．D．
变式3．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆的左右焦点分别为，直线l过且与C交于A，B两点，则内切圆半径的最大值为( )
A．B．C．D．1
变式4．（2023·北京·高三强基计划）已知椭圆上一点P与该椭圆的两个焦点所围成的三角形的内切圆圆心为I，半径为1，则（ ）
A．B．2C．D．以上答案都不对
变式5．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知、为椭圆的左、右焦点，若为椭圆上一点，且的内切圆的周长等于，则满足条件的点的个数为（ ）
A．B．C．D．不确定
与焦点三角形有关的最值问题
例10．（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）已知椭圆上的动点到右焦点距离的最大值为，则（ ）
A．1B．C．D．
变式1．（2023秋·高二课时练习）已知点P为椭圆上动点，分别是椭圆C的焦点，则的最大值为（ ）
A．2B．3C．D．4
变式2．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
焦点三角形的综合问题
例11．【多选】（2023秋·湖北·高二校联考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上一点满足为直角三角形，且，则椭圆方程可能为（ ）
A．B．C．D．
变式1．（2023·高二课时练习）若椭圆的左、右焦点分别为、，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中不正确的是（ ）
A．当点P不在x轴上时，的周长是6
B．当点P不在x轴上时，面积的最大值为
C．存在点P，使
D．的取值范围是
变式2．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且在轴上方，若的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则（ ）
A．点在第一象限B．的面积为
C．的斜率为D．直线和圆相切
变式3．【多选】（2023秋·江苏连云港·高二统考期末）已知椭圆上一点，椭圆的左､右焦点分别为，则（ ）
A．若点的横坐标为2，则
B．的最大值为9
C．若为直角，则的面积为9
D．若为钝角，则点的横坐标的取值范围为
变式4．【多选】（2023春·河南商丘·高二商丘市实验中学校联考期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆C上一动点，则下列结论中正确的是（ ）
A．的面积的最大值为
B．以线段为直径的圆与直线相切
C．恒成立
D．若，，为一个直角三角形的三个顶点，则点P的纵坐标为
考点七：与椭圆有关的轨迹问题
（一）直接法
例12．（2023春·山东菏泽·高二统考期末）点M与定点的距离和它到定直线的距离的比为，则点M的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
变式1．（2023·高二单元测试）在平面直角坐标系中，已知定点、，直线与直线的斜率之积为，则动点P的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
（二）定义法
例13．（2023春·上海崇明·高二统考期末）在平面直角坐标系中，点到点、的距离之和为，则点的轨迹方程是______.
变式1．（2023·高二课时练习）已知的周长为20，且顶点，则顶点的轨迹方程是（ ）
B．
C． D．
变式2．（2023秋·青海西宁·高二期末）一个动圆与圆外切，与圆内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为__________．
变式3．（2023秋·福建泉州·高二统考期末）已知P是圆上任一点，，线段PA的垂直平分线l和半径CP交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为___________.
变式4．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，已知是椭圆的左，右焦点，是椭圆上任意一点，过作的外角的角平分线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程.
变式5．（2023·高二课时练习）在中，已知，若，且满足，则顶点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
（三）相关点法
例14．（2023秋·北京通州·高二统考期末）如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
变式1．（2023春·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考阶段练习）已知，A，B分别在y轴和x轴上运动，O为原点，，则动点P的轨迹方程是（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
变式2．（2023秋·陕西西安·高二陕西师大附中校考阶段练习）设为坐标原点，动点在圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足，则点的轨迹方程为
A．B．C．D．
变式3．（2023秋·全国·高三专题练习）已知圆：，从这个圆上任意一点向轴作垂线段（在轴上），在直线上且 ，则动点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
一、单选题
1．（2023秋·高二课时练习）已知椭圆的焦点在轴上，若椭圆的焦距为，则的值为（ ）
A．B．C．3D．4
2．（2023秋·高二课时练习）若已知椭圆，长轴在轴上，若焦距为4，则等于（ ）
A．4B．5C．7D．8
3．（2023秋·高二课时练习）“是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
4．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知点，是椭圆上关于原点对称的两点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则（ ）
A．1B．2C．4D．5
5．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，A是C上一点，，则的最大值为（ ）
A．7B．8C．9D．11
6．（2023秋·山西大同·高二统考期末）如果椭圆上一点到此椭圆一个焦点的距离为2，是的中点，是坐标原点，则的长为（ ）
A．6B．10C．8D．12
7．（2023·湖南·校联考二模）已知分别为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，则的最大值为（ ）
A．64B．16C．8D．4
8．（2023秋·高二课时练习）已知点F1，F2是椭圆的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（ ）
A．0B．1C．2D．2
二、多选题
9．（2023·云南·校联考二模）已知椭圆，为C的左、右焦点，P为C上一点，且，若交C点于点Q，则（ ）
A．周长为8B．
C．面积为D．
10．（2023秋·辽宁沈阳·高二校联考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上的一个动点，点，则下列结论正确的是（ ）
A．的周长为6B．的面积的最大值为
C．存在点P，使得D．的最大值为7
11．（2023·安徽黄山·统考二模）已知椭圆分别为椭圆的左，右焦点，分别是椭圆的左，右顶点，点是椭圆上的一个动点，则下列选项正确的是（ ）
A．存在点，使得
B．若为直角三角形，则这样的点有4个
C．直线与直线的斜率乘积为定值
D．椭圆C内接矩形的周长取值范围是
12．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）为椭圆的两个焦点，过的直线l与椭圆交于A，B两点，则的内切圆半径的r值可以为（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习）已知圆的圆心为，点是圆上的动点，点，线段的垂直平分线交于点.则点的轨迹的方程为_______；
14．（2023春·上海静安·高二校考期中）已知为椭圆上一动点，记原点为，若，则点的轨迹方程为______．
15．（2023秋·高二课时练习）的两个顶点坐标分别是和，边，所在直线的斜率的乘积是，则顶点A的轨迹方程是________．
16．（2023春·陕西西安·高二西安建筑科技大学附属中学校考期中）设集合，，则方程表示焦点位于y轴上的椭圆有________个．
17．（2023春·甘肃白银·高二校考期末）已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆在第一象限内的一点，若，则______．
18．（2023春·上海虹口·高二上外附中校考阶段练习）过点与椭圆有共同焦点的椭圆的标准方程是__________．
19．（2023·安徽马鞍山·统考二模）已知椭圆与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，点F是椭圆的一个焦点，若△ABF是等腰三角形，则的值为________.
20．（2023·广东深圳·统考模拟预测）椭圆的左右两焦点分别为，点在椭圆上，正三角形面积为，则椭圆的方程为______ ．
四、解答题
21．（2023秋·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期末）已知椭圆E：（）的左、右焦点分别为，，且过点．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过椭圆E的左焦点且斜率为1的直线与椭圆E交于A，B两点，求的面积．
22．（2023秋·四川南充·高二四川省南充高级中学校考期末）已知点P是椭圆上的一点，和分别为左右焦点，焦距为6，且过.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若动直线l过与椭圆交于A、B两点，求的周长.
23．（2023·全国·高三对口高考）P是椭圆上一点，，是椭圆的左、右两个焦点，且．
(1)求的最大值和最小值；
(2)求的面积．
24．（2023·全国·高三专题练习）设O为坐标原点，动点M在椭圆C上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.求点P的轨迹方程；
25．（2023秋·高二课时练习）设分别是椭圆的左、右焦点，B为椭圆上的点且坐标为.
(1)若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值;
(2)若C为椭圆上异于B的一点，且＝λ，求λ的值.
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
图 形
焦点坐标
(－c,0)，(c,0)
(0，－c)，(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2