第08讲 空间向量基本定理7种常见考法归类-新高二数学暑假衔接试题（人教版）

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2.结合平面向量与空间向量的基本定理，解决平面与立体几何的相关问题.
知识点1 空间向量基本定理
1．定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．如果p=xa+yb+zc，则称xa+yb+zc为p在基底{a，b，c}下的分解式.
注：（1）对于基底{a，b，c}应明确以下三点：
①空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同．
②基底中的三个向量a，b，c都不是0.这是因为0与任意向量共线，与任意两个向量共面．由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量．
③空间中的一个基底是由不共面的三个向量构成的，是一个向量组，基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．
（2）空间向量基本定理的推论
设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间内任意一点P都存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得eq \(OP,\s\up7(―→))＝xeq \(OA,\s\up7(―→))＋yeq \(OB,\s\up7(―→))＋zeq \(OC,\s\up7(―→)).
推论表明：可以根据空间向量基本定理确定空间任一点的位置．
2．空间向量的正交分解
(1)单位正交基底：空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，常用{i，j，k}表示．
(2)正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量正交分解．
易错辨析：
（1）构成基底的三个向量中，可以有零向量吗？不可以．
（2）在四棱锥O­ABCD中，eq \(OA,\s\up7(―→))可表示为eq \(OA,\s\up7(―→))＝xeq \(OB,\s\up7(―→))＋yeq \(OC,\s\up7(―→))＋zeq \(OD,\s\up7(―→))且唯一，这种说法对吗？对．
知识点2 证明平行、共面问题
1. 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
2. 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
3．直线平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题．
1、判断基底的方法
(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．
(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．
2、用基底表示向量的策略
(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律进行．
(2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求．
3、证明平行、共面问题的思路
(1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行．要证两直线平行，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量满足a＝λb即可．
(2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行．
考点一：空间向量基本定理基底的判断
例1．【多选】（2023春·江苏连云港·高二统考期中）设构成空间的一个基底，下列说法正确的是（ ）
A．，，两两不共线，但两两共面
B．对空间任一向量，总存在有序实数组，使得
C．，，能构成空间另一个基底
D．若，则实数，，全为零
【答案】ABD
【分析】根据空间向量基本定理一一判断即可.
【详解】因为构成空间的一个基底，所以，，两两不共线，但两两共面，故A正确；
对空间任一向量，总存在有序实数组，使得，故B正确；
因为， 所以，，共面，故不能构成空间的一个基底，故C错误；
根据空间向量基本定理可知，若，则实数，，全为零，故D正确；
故选：ABD
变式1．（2023·全国·高三对口高考）已知为空间的一个基底，则下列各选项能构成基底的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用基底的性质进行求解.
【详解】因为，所以是共面向量，不能构成基底，A不正确；
因为不是共面向量，所以可以构成基底，B正确；
因为与平行，所以不能构成基底，C不正确；
因为，所以共面，不能构成基底，D不正确.
故选：B.
变式2．【多选】（2022·高二课时练习）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】ABD
【分析】利用共面向量定理逐项分析判断作答.
【详解】构成空间的一个基底，
对于A，，因此，，共面，A正确；
对于B，，因此，，共面，B正确；
对于C，假定，，共面，则存在使得
，而不共面，则，解得，
于是，共面，与不共面矛盾，因此，，不能共面，C错误；
对于D，，因此，，共面，D正确．
故选：ABD
变式3．【多选】（2023秋·山西晋中·高二统考期末）是空间的一个基底，与、构成基底的一个向量可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】根据空间向量基本定理判断即可.
【详解】由于，故与、共面，无法构成空间的一个基底，故B错误；
因为是空间的一个基底，由于不存在实数对、，使得，
若成立则，显然方程组无解，故、与可以作为空间的一个基底，故A正确，同理可得C、D正确；
故选：ACD
变式4．（2023秋·云南大理·高二统考期末）若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可知，向量、、共面，则存在实数、使得，根据空间向量的基本定理可得出关于、、的方程组，即可解得的值.
【详解】因为向量，，不能构成空间的一个基底，
所以、、共面，故存在实数、使得，
即，
因为是空间的一个基底，则，解得.
故选：D.
变式5．（2023秋·河北邯郸·高二统考期末）已知平面ABC，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据正交基地的定义可知，三个向量两两互相垂直，且模长为1.
【详解】因为平面ABC，AB、AC都在面ABC内，
所以，.
因为，，，所以，又SA=1，
所以空间的一个单位正交基底可以为.
故选：A
考点二：用基底表示空间向量
例2．（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）在平行六面体中，AC，BD相交于，为的中点，设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由空间向量的线性运算结合图形计算即可.
【详解】
如图所示，，
故选：C
变式1．（2023春·高二单元测试）在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用空间向量基本定理结合空间向量运算求解作答.
【详解】在平行六面体中，M为与的交点，
.
故选：B
变式2．（2023春·江苏徐州·高二统考期中）在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解.
【详解】由题知，在正四面体中，
因为平面，
所以是的中心，
连接，则，
所以
.

故选：B
变式3．（2023春·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）在四面体中，，Q是BC的中点，且M为PQ的中点，若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用基底表示，再利用向量线性运算求解即可.
【详解】因为，所以，

因为Q是的中点，所以，
因为M为PQ的中点，所以，
故选：A.
变式4．（2023秋·高二课时练习）如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，E是MN的三等分点，且，用向量表示为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据空间向量的线性运算，结合图形可得.
【详解】因为，所以，
所以，即，
又，
所以.
故选：D

变式5．（2023春·江苏徐州·高二统考期中）如图，在平行六面体中，P是的中点，点Q在上，且，设，，．则（ ）

A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用空间向量的线性运算即可求解.
【详解】因为P是的中点，
所以，
又因为点Q在上，且，
所以
，
所以，
故选：C.
变式6．（2023春·江苏连云港·高二统考期中）在正四面体中，为的重心，记，，．若，，则______．（用，，表示）
【答案】
【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案.
【详解】依题意，为的重心，则，
所以
.
故答案为：

变式7．（2023秋·高二课时练习）如图，空间四边形OABC中，G、H分别是、的重心，D为BC的中点，设，，，试用试用基底表示向量和.

【答案】
【分析】由已知得，，可得；
由可得可得答案.
【详解】由已知得，，
因为G是的重心，D为BC的中点，
所以，，
所以；
又因为H是的重心，
所以，
.
考点三：利用空间向量基本定理求参数
例3．（2022秋·广东阳江·高二阳江市阳东区第一中学校考期中）已知三棱锥，点P为平面ABC上的一点，且（m，n∈R）则m，n的值可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用点位于平面内的充要条件，建立关系即可判断作答.
【详解】因为点P为平面ABC上的一点，，则，
于是，即，显然选项BCD都不满足，A选项满足.
故选：A
变式1．（2023·全国·高三对口高考）已知正方体中，侧面的中心是P，若，则_________，_________．
【答案】 / /
【分析】用表示出，从而得出，的值．
【详解】由于，
所以，，
故答案为：；．

变式2．（2023秋·高二课时练习）已知为三条不共面的线段，若，那么（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】直接利用共面向量的基本定理求出结果.
【详解】根据向量加法法则可得：，
即，
因为，
所以，，，
所以，，，所以.
故选：B.
变式3．（2023春·江苏常州·高二常州市北郊高级中学校考期中）已知矩形，为平面外一点，平面，点满足，．若，则（ ）
A．B．C．D．－1
【答案】A
【分析】利用空间向量基本定理表示出，即可求解.
【详解】矩形中，,所以.

因为，所以.
因为,，所以.
所以.
所以，所以.
故选：A
变式4．（2023秋·山东聊城·高二统考期末）已知四棱锥的底面是平行四边形，若，则______．
【答案】
【分析】根据空间向量的运算及空间向量基本定理得答案.
【详解】因为四棱锥的底面是平行四边形，所以，
又，由空间向量基本定理可得，，故.
故答案为：.
变式5．（2022秋·吉林延边·高二校考期末）已知正方体，点是上底面的中心，若，则等于（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【分析】利用空间向量基本定理，结合正方体的结构特征求解作答.
【详解】正方体，点是上底面的中心，如图，
则，
不共面，又，于是得，
所以.
故选：C
例4．（2023春·安徽池州·高二池州市第一中学校联考阶段练习）已知是空间的一组基底，其中，，.若A，B，C，D四点共面，则λ=（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，设存在唯一的实数对，使得，结合向量的数乘运算和相等向量的概念计算，即可求解.
【详解】由题意，设存在唯一的实数对，使得，
即，
则，
则x=2，，，解得.
故选：D.
变式1．（2023秋·河北唐山·高二统考期末）正四面体ABCD中，若M是棱CD的中点，，，则______.
【答案】
【分析】根据空间向量线性运算得到，证明出共线定理的推论，由三点共线，得到，求出.
【详解】因为，所以，
即，，
下面证明：已知，若三点共线，则，
因为三点共线，所以存在非零实数，使得，
即，整理得，
故，，所以，
因为三点共线，
故，解得：.
故答案为：
考点四：用向量法证明平行、共面问题
例5．（2023秋·广西河池·高二统考期末）已知三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中能确定点共面的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】，分析出当共面时，，从而分析四个选项，得到正确答案.
【详解】当共面时，不妨设，
变形得到，
则，
设，若点与点共面，
则，
只有选项中符合题意.
故选：.
变式1．（2022·高二单元测试）对于任意空间四边形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点．
(1)试证：与，共面；
(2)，，，试用基底{，，}表示向量．
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）连接AC，取AC的中点P，连接PE，PF，根据直线与平面平行的判定定理可得AD∥平面PEF，BC∥平面PEF，从而可得向量与，共面；
（2）直接利用向量的加减法运算得答案．
【详解】（1）
证明：如图，连接AC，取AC的中点P，连接PE，PF．
∵P，F分别为AC，CD的中点，∴AD∥PF．
又∵PF⊂平面PEF，AD⊄平面PEF．
∴AD∥平面PEF．
同理可证，BC∥平面PEF．
∴向量与，共面.
（2）解：
.
变式2．（2023春·高二课时练习）如图，正方体中，O为上一点，且，BD与AC交于点M.求证：三点共线．
【答案】证明见解析.
【分析】取空间的基底，利用空间向量基本定理探求的关系，即可推理作答.
【详解】在正方体中，令，
，BD与AC交于点M，即点M是的中点，
于是
，
，
因此，即，而直线与直线有公共点，
所以三点共线.
变式3．（2023春·广东·高二统考阶段练习）如图，在四面体OABC中，，，，用向量表示，则________．若，且 平面ABC，则实数________．
【答案】 /0.75
【分析】运用空间向量的线性运算法则，将 用基底 表示出来，延长OP与AM交于D，当 时， 平面ABC.
【详解】
由条件可知：

；
延长 与AM交于D，连接BD，则当 时， 平面ABC，
平面ABC， 平面ABC；
令 ，则有 ，
，
根据向量基底表示法的唯一性，有： ，解得 ，
，
.
故答案为：，
变式4．（2023·四川达州·统考二模）如图，、、分别是正方体的棱、、的中点，是上的点，平面.若，则___________.
【答案】
【分析】设，其中，将、、用基底表示，分析可知、、共面，则存在、，使得，根据空间向量的基本定理可得出关于、、的方程组，解出的值，即可得出的长度.
【详解】设，其中，，
，
，
因为平面，则、、共面，显然、不共线，
所以，存在、，使得，
即
，
因为为空间中的一组基底，所以，，解得，
因此，.
故答案为：.
变式5．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，为棱的中点，，，与平面交于点，则________.
【答案】
【分析】设，其中，用、、表示向量、、，利用共面向量的基本定理可知存在、使得，由空间向量基本定理可得出关于、、的方程组，即可解得实数的方程组，即可解得实数的值.
【详解】设，其中，
，
，，
因为、、、四点共线，则向量、、共面，
由共面向量定理可知，存在、使得，
即
，
所以，，解得.
故答案为：.
考点五：用基底法求空间向量的数量积
例6．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）如图，在平行六面体中，E，F分别为棱，CD的中点，记，，，满足，，，.
(1)用，，表示；
(2)计算.
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）根据空间向量对应线段的位置关系，用表示出；
（2）应用向量数量积的运算律得，结合已知即可求数量积.
【详解】（1）；
（2）
.
变式1．（2023春·福建漳州·高二漳州三中校考阶段练习）已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为____________．
【答案】/-0.5
【分析】，，两两成角，模都为1，以这三个向量为基底，进行向量数量积运算.
【详解】
根据题意ABCD为正四面体，
，，两两成角，,
由，
，
所以
．
故答案为：
变式2．（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设.
(1)试用向量表示向量；
(2)若，求的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由点为的中点，可得，而，代入前面的式子化简可得结果；
（2）由（1）可知，由于，再利用数量积的运算律结合已知条件可求得结果.
【详解】（1）因为点为的中点，所以，
因为，所以，
所以，
所以；
（2）由（1）得，
因为，，
所以
.
考点六：用向量法解决立体几何的垂直、夹角问题
例7．（2023春·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考阶段练习）在平行六面体中，，且，则的余弦值是________.
【答案】/
【分析】利用空间向量基本定理，得到，求出，，再由向量夹角公式求的余弦值.
【详解】由题设，可得如下示意图，

∴，
设，则，又，
所以，，，
所以以
.
，
所以
故答案为：.
变式1．（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）如图，在平行六面体中，，，，，，则与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据空间向量的基本定理和向量的数量积的定义即可求解.
【详解】设，，，
因为向量不共面，故可构成空间的一组基底，
结合，，，，，
所以=0，，，
则，，
可得
，
，
，
所以，
又因为异面直线所成角的范围是，
所以与所成角的余弦值为.
故选：B.
变式2．【多选】（2023春·河南洛阳·高二洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）在三棱锥A-BCD中， ， ， 两两夹角均为，且若G，M分别为线段AD，BC的中点，则（ ）
A．B．
C．异面直线AC与DB所成角的正弦值为D．异面直线AC与DB所成角的正弦值为
【答案】BC
【分析】根据空间向量对应线段的位置及数量关系，用表示出，应用数量积的运算律求向量的模长，根据向量夹角公式、数量积运算律求异面直线夹角.
【详解】
不妨设，则，且，
，
所以，
因为，且，
所以 ，则，
所以异面直线AC与DB所成角的正弦值为
故选：BC
变式3．（2023·河北·统考模拟预测）点、分别是正四面体ABCD棱、的中点，则______．
【答案】
【分析】以为基底，，即可求解.
【详解】解：以为基底，它们两两之间均为，设正四面体ABCD棱长为2，则
,
所以
，
所以,
故答案为：
变式4．（2023秋·浙江湖州·高二统考期末）在四棱柱中，底面为平行四边形，且，.
(1)用表示，并求的长；
(2)若为中点，求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据向量的线性运算法则求解；
（2）用表示，计算，由向量法求异面直线所成的角．
【详解】（1），
，
，
，
即，解得；
（2）由（1）知
设异面直线与所成角为，则.
变式5．（2023春·广西南宁·高二统考开学考试）已知在平行六面体中，，，且.
(1)求的长；
(2)求向量与夹角的余弦值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）用空间的一个基底表示向量，再利用空间向量数量积的运算律求解作答.
（2）利用（1）中信息，结合空间向量的夹角公式计算作答.
【详解】（1）在平行六面体中，为空间的一个基底，
因为，，且，
则，
，
所以
.
（2）由（1）知，，则，
又，所以向量与夹角的余弦值.
例8．（2022·全国·高二假期作业）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中以顶点A为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是.
(1)求证：；
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据平面向量转化基底，以及加减运算和数量积的运算性质，得到，即可证得；
（2）根据平面向量转化基底，求出、、，再利用夹角公式即可求解.
【详解】（1）证明：∵以顶点A为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是，
∴，
∴
，
∴.
（2）∵，，
∴
，
，
，
∴，
∴异面直线与所成角的余弦值为.
变式1．【多选】（2023春·山东菏泽·高二统考期末）如图，在平行六面体中，与交于点，且，，.则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】由向量的分解和向量数量积公式、向量的求模公式即可判断.
【详解】如图，
由题意得，，
，
，
，
对于选项A，
所以，即.
故选项A正确.
对于选项B，
故选项B正确.
对于选项C，
所以即
故选项C错误.
对于选项D，
故选项D错误.
故选：AB
变式2．【多选】（2023春·江苏连云港·高二校考期中）如图所示，平行六面体，其中，，，，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．直线AC与直线是相交直线
D．与AC所成角的余弦值为
【答案】AB
【分析】A选项，利用空间向量运算法则得到，平方后，由向量数量积公式求出，求出，A正确；
B选项，求出，，得到B正确；
C选项，作出辅助线，得到四边形为平行四边形，点平面，而点平面，从而得到C错误；
D选项，先得到，，从而求出，，利用空间向量余弦夹角公式求出答案.
【详解】由空间向量运算法则得到：，
所以
，
故，A正确；
因为，
所以
，
故，，B正确；
连接，
因为，且，所以四边形为平行四边形，
点平面，而点平面，
故直线AC与直线是异面直线，C错误；
，，
，
又
，
，
故，
设与AC所成角为，
所以
故与AC所成角的余弦值为，D错误.
故选：AB
考点七：用向量法解决立体几何的距离问题
例9．（2023春·宁夏银川·高二银川一中校考期中）如图所示，在四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，则的长为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】记，，，由，利用向量法即可求出的长.
【详解】解：记，，，
由题意可知，，
所以，
，
所以，即的长为，
故选：D.
变式1．（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）在平行六面体中，，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据图形，利用向量的加法法则得到，再利用空间向量的数量积及运算律求模长.
【详解】以为基底向量，可得，
则
，
∴．
故选：C.
变式2．（2022秋·新疆克拉玛依·高二克拉玛依市高级中学校考期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且.若是的中点，设.
(1)将空间向量与用表示出来；
(2)求线段BM的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量的线性运算用基底表示向量即可；
（2）利用（1）的结论以及模长公式计算可求出结果.
【详解】（1）
（2）由题可知因为，
又因为，
所以.
易得，
所以，
所以，即的长为.
变式3．（2022秋·福建泉州·高二校考阶段练习）如图，四面体中，分别为上的点，且设
（1）以为基底表示，则＝________；
（2）若且则________.
【答案】
【分析】利用空间向量的加减法运算和基底的定义表示，再根据向量的数量积的运算律求解.
【详解】(1) .
(2)
，所以，
故答案为: ，.
变式4．（2023春·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）如图，两个正方形，的边长都是3，且二面角为，为对角线靠近点的三等分点，为对角线的中点，则线段______.
【答案】
【分析】由已知可得.进而表示出，即可根据数量积的运算性质求出，进而即可求出答案.
【详解】由已知可得，，，所以即为二面角的平面角，即.
因为，为对角线的中点，所以.
因为为对角线靠近点的三等分点，所以，
所以.
所以，
所以.
所以，
所以线段.
故答案为：.
一、单选题
1．（2023春·宁夏银川·高二银川一中校考期中）已知矩形，为平面外一点平面，且，，分别为，上的点，且，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】根据空间向量基本定理求解即可.
【详解】因为，，
所以，
又，
所以，
所以，
故.
故选：B.
2．（2021秋·辽宁·高二校联考期中）已知三棱柱，点在线段上，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用空间向量基本定理进行求解.
【详解】由题意得：，，，
故
故选：D
3．（2023春·江苏连云港·高二江苏省新海高级中学校考阶段练习）若是空间的一个基底，则下列各组向量中一定能构成空间的一个基底的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】判断所给三个向量是否共面，即可得解.
【详解】对A选项，，故三向量共面，A错误；
对B选项，若共面，则，解得，故三向量共面，B错误，
对C选项，，故三向量共面，C错误，
对D选项，若向量共面，则无解,
故向量不共面，故D正确,
故选：D
4．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）已知是空间的一个基底，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则
B．两两共面，但不共面
C．一定存在x，y，使得
D．一定能构成空间的一个基底
【答案】C
【分析】利用向量的线性关系、向量的基底的定义和空间向量基本定理，即可求解．
【详解】对于A，若不全为0，则 共面，与题意矛盾，故A正确；
对于B，是空间的一个基底,则 两两共面，但 不共面，故B正确；
对于C， 不共面，则不存在实数，使得 ，故C错误；
对于D，若 共面， ， 无解，
故 不共面，一定能构成空间的一个基底，故D正确
故选∶C．
5．（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）如图，在平行六面体中，，，，，，则与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据空间向量的基本定理和向量的数量积的定义即可求解.
【详解】设，，，
因为向量不共面，故可构成空间的一组基底，
结合，，，，，
所以=0，，，
则，，
可得
，
，
，
所以，
又因为异面直线所成角的范围是，
所以与所成角的余弦值为.
故选：B.
6．（2023·高二校考课时练习）已知直线AB，BC， 不共面，若四边形的对角线互相平分，且，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意为空间的一组基底，然后利用空间向量基本定理求解.
【详解】由题意，知，，不共面，四边形为平行四边形，，
为空间的一组基底.
，又，
，，，，
.
故选：D.
7．（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）在平行六面体中，，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据图形，利用向量的加法法则得到，再利用空间向量的数量积及运算律求模长.
【详解】以为基底向量，可得，
则
，
∴．
故选：C.
8．（2022秋·山西太原·高二校考阶段练习）已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据空间向量共面定理可知ACD中的向量共面，不能作为空间的一组基底；假设B中向量共面，可得，由此可构造方程组，由方程组无解可知B中向量不共面，可作为空间一组基底.
【详解】对于A，，共面，不能作为空间的一组基底，A错误；
对于B，假设共面，则存在，使得，
，方程组无解，假设错误，即不共面，可以作为空间的一组基底，B正确；
对于C，，共面，不能作为空间的一组基底，C错误；
对于D，，共面，不能作为空间的一组基底，D错误.
故选：B.
9．（2023春·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）在四面体中，，Q是BC的中点，且M为PQ的中点，若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用基底表示，再利用向量线性运算求解即可.
【详解】因为，所以，

因为Q是的中点，所以，
因为M为PQ的中点，所以，
故选：A.
二、多选题
10．（2023春·江苏常州·高二校考开学考试）给出下列命题，其中正确的有（ ）
A．已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一组基底
B．是空间四点，若不能构成空间的一组基底，则共面
C．若，则点四点共面
D．已知是空间向量的一组基底，若，则也是空间一组基底
【答案】ABD
【分析】根据空间基底向量的定义结合四点共面的定理与结论逐项分析判断.
【详解】对A：若，则与任何向量均共面，故与任何向量都不能构成空间的一组基底，A正确；
对B：若不能构成空间的一组基底，则共面，则共面，B正确；
对C：若，则，
∵，
故点四点不共面，C错误；
对D：∵是空间向量的一组基底，则不共面，
若，则不共面，故也是空间一组基底，D正确.
故选：ABD.
11．（2023秋·江西吉安·高二统考期末）如图，空间四边形OABC中，M，N分别是边OA，CB上的点，且，，点G是线段MN的中点，则以下向量表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】利用空间向量的基底表示向量，再结合空间向量线性运算，逐项计算判断作答.
【详解】空间四边形OABC中，，，点G是线段MN的中点，
，
，D正确；
对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C错误.
故选：BD
三、填空题
12．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆市第七中学校校考期末）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设.向量表示向量__________.
【答案】
【分析】根据给定条件，利用空间向量的基底及线性运算求解作答.
【详解】依题意，由得：，
则，而点为的中点，
所以.
故答案为：
13．（2023秋·高二课时练习）已知空间向量，，不共面，且，，若，则__________．
【答案】
【分析】由题设有且，根据空间向量的基本定理列方程组求参数值，即可得结果.
【详解】由题设，且，又，，
所以，可得，则.
故答案为：
四、解答题
14．（2022秋·广东中山·高二校考阶段练习）在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且，，，
(1)求（用向量表示）；
(2)求证：点E，F，G，H四点共面．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据向量的线性运算结合空间向量基本定理运算求解；（2）根据中位线和平行线的性质，结合平行线的传递性证明，即可证结论.
（1）
∵
∴
（2）
连接
∵分别是的中点，∴.
又∵，∴，
∴，则四点共面.
15．（2022秋·北京顺义·高二牛栏山一中校考阶段练习）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且．
(1)用向量表示向量；
(2)求证：共面；
(3)当为何值时，．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)1
【分析】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得；
（2）根据空间向量线性运算法则得到，即可证明共面；
（3）设，因为底面为菱形，则当时，，由，即可得出答案.
【详解】（1）．
（2）证明：，，
，共面．
（3）当，，
证明：设，
底面为菱形，则当时，，
，，
，
，
．
16．（2022·全国·高一假期作业）如图所示，已知是平行六面体．
(1)化简；
(2)设是底面的中心，是侧面对角线上的分点，设，试求，，的值．
【答案】(1)；
(2)，，.
【分析】（1）利用平行六面体的性质及向量的线性运算即得；
（2）利用向量线性运算的几何表示可得，进而即得.
(1)
∵是平行六面体，
∴
(2)
∵
，
又，
∴，，