新高考数学一轮复习专题六数列6-4数列求和课件

这是一份新高考数学一轮复习专题六数列6-4数列求和课件，共20页。

题型一　错位相减法求和　　如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前n项和时,常采用错位 相减法.利用错位相减法求和的基本流程: 
其中d为等差数列{an}的公差,q为等比数列{bn}的公比,且q≠1.
例1    (2024辽宁部分学校开学摸底考试)已知数列{an}的前n项和为Sn,且3Sn+an=1.(1)求{an}的通项公式;(2)若bn=n·an,设数列{bn}的前n项和为Tn,证明:Tn+ ≥ .
  解析    (1)3Sn+an=1,当n=1时,3S1+a1=1,解得a1= ;当n≥2时,3Sn-1+an-1=1,两式相减得3an+an-an-1=0,即 = ,所以{an}是以 为首项, 为公比的等比数列,故an= .(2)证明:由(1)得bn= .则Tn= + + +…+ ,①
 Tn= + + +…+ .②(提醒:乘公比)①-②得 Tn= + + +…+ - = - = - (易错警示:相减后一定要正确分析新数列的项数).所以Tn= - .则Tn+ = - =  .因为函数y=1- 在[1,+∞)上单调递增(结合函数的单调性进行分析),所以Tn+ =  ≥ × = .
名师点拨    利用错位相减法求和时应注意以下两点(1)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应将两式“错项对齐”,以便于下一步准确地写 出“Sn-qSn”的表达式.(2)应用等比数列求和公式时必须注意公比q是否等于1,如果q=1,应用公式Sn=na1.
题型二　裂项相消法求和1.裂项相消法是指把数列和式中的各项分别裂开后,某些项可以相互抵消从而求和的 方法,分式型数列的求和多用此法.
例2    (2024广东执信、深外、育才等学校联考,17)已知正项数列{an}的前n项和为Sn, 且a1=1,nSn+1=(n+2)Sn.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn= ,若数列{cn}满足cn= ,求{cn}的前n项和.
  解析    (1)因为nSn+1=(n+2)Sn,且n∈N*,所以 = ,可知数列 为常数列,且 = = ,则 = ,即Sn= ,当n≥2时,an=Sn-Sn-1= - =n,且a1=1也符合上式,所以an=n,n∈N*.(2)由(1)可得bn=2n,则cn= = = - (利用指数式的运算特征进行拆项),
设{cn}的前n项和为Tn,则Tn=c1+c2+…+cn= - + - +…+ - =1- ,所以{cn}的前n项和为1- .
方法总结    裂项相消法求和的基本步骤 
题型三　分组、并项求和1.分组转化法求和应从通项入手,若无通项,则先求通项,然后通过对通项变形,转化为 等差数列或等比数列或可求前n项和的数列求和.分组转化法求和的常见类型: 
2.并项求和:一个数列的前n项和中,可以两两结合求解,则称之为并项法求和,形如an=(-1)nf(n)的数列{an}的前n项和可采用并项法求解.
例3    (2020课标Ⅰ文,16,5分)数列{an}满足an+2+(-1)nan=3n-1,前16项和为540,则a1=　    　    .
  解析    令n=2k(k∈N*),则有a2k+2+a2k=6k-1(k∈N*),∴a2+a4=5,a6+a8=17,a10+a12=29,a14+a16=41,∴前16项的所有偶数项和S偶=5+17+29+41=92,∴前16项的所有奇数项和S奇=540-92=448,令n=2k-1(k∈N*),则有a2k+1-a2k-1=6k-4(k∈N*).∴a2k+1-a1=(a3-a1)+(a5-a3)+(a7-a5)+…+(a2k+1-a2k-1)=2+8+14+…+6k-4= =k(3k-1)(k∈N*),∴a2k+1=k(3k-1)+a1(k∈N*),∴a3=2+a1,a5=10+a1,a7=24+a1,a9=44+a1,a11=70+a1,a13=102+a1,a15=140+a1,∴前16项的所有奇数项和S奇=a1+a3+…+a15=8a1+2+10+24+44+70+102+140=8a1+392=448.∴a1=7.
例4    (2024广东六校摸底考试,18)已知正项数列{an}满足a100= ,且 +2 an= -2an+1 .(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=(-1)n ,求数列{bn}的前2n项和T2n.
  解析    (1)由 +2 an= -2an+1 ,得 - +2 an+2an+1 =(an+1+an)(an+1-an+2an+1an)=0.因为an>0,所以an+1+an>0,故an+1-an+2an+1an=0,则 - =2,故 是公差为2的等差数列,则 = +2(n-1),由a100= ,得a1= ,故 =2n+1,于是an= .(2)依题意,得bn=(-1)n(2n+1+2n)=