新高考数学一轮复习专题六数列6-5数列的综合课件

这是一份新高考数学一轮复习专题六数列6-5数列的综合课件，共12页。

题型一　数列与函数综合　　数列是一种特殊的函数,解决数列问题常以构成数列的函数为载体,结合函数性 质解题.解题时要注意数列与函数的内在联系,灵活运用函数的思想方法求解,在问题 的求解过程中往往会遇到递推数列,因此掌握递推数列的常用解法有助于该类问题的 解决.
例1　已知数列{cn}满足c1=2a-2(a∈R,且a≠±1),2(an+1-1)cn-2(an-1)cn+1=cn+1cn,设bn= .(1)记数列 的前n项和为Tn,求证:Tn<4;(2)若a>0,求证:数列{cn}为递增数列.
  证明    (1)由2(an+1-1)cn-2(an-1)cn+1=cn+1cn两边同除以cn+1cn,可得2· -2· =1,又bn= ,所以2bn+1-2bn=1,即bn+1-bn= ,又b1= = = ,所以{bn}是以 为首项, 为公差的等差数列,所以bn= ,则 = =4 ,
所以Tn=4 +4 +4 +…+4 =4 <4.(2)因为bn= ,所以cn= ,则cn+1-cn= - = ,令f(a)=nan+1-(n+1)an+1(a>0且a≠1),则f '(a)=n(n+1)an-n(n+1)an-1=n(n+1)an-1·(a-1)(利用导数研究数列的单调性),所以当01时, f '(a)>0,
所以f(a)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以f(a)>f(1)=0,所以cn+1-cn>0,即cn+1>cn,所以数列{cn}为递增数列.
方法总结    数列中的单调性与最值问题,可以利用作差法得到数列的单调性或者借助 数列对应的函数的单调性,来确定最值.
题型二　数列与不等式综合　　数列与不等式的综合问题的常见题型及求解策略:1.判断数列问题的一些不等关系,可以利用数列的单调性比较大小或借助数列对应的 函数的单调性比较大小.2.以数列为载体,考查不等式恒成立的问题,此类问题可转化为函数的最值问题.3.考查与数列有关的不等式证明问题,此类问题一般采用放缩法进行证明,有时也可通 过构造函数进行证明.
例2　数列{an}是等差数列,数列{bn}是等比数列,满足:a1+b1=8,a2+b2=18,b1+b3=30,6bn+1= bn+2+9bn.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)数列{an}和{bn}的公共项组成的数列记为{cn},求{cn}的通项公式;(3)记数列 的前n项和为Sn,证明:Sn< .
  解析    (1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.由6bn+1=bn+2+9bn可得6qbn=q2bn+9bn,易知bn≠0,所以q2-6q+9=0,解得q=3.由b1+b3=30可得b1(1+q2)=30,可得b1=3.由a2+b2=18可得a1+d+b1q=18,又a1+b1=8,所以a1=5,d=4.因此可得an=a1+(n-1)d=4n+1,bn=b1qn-1=3n.所以数列{an}和{bn}的通项公式分别为an=4n+1,bn=3n,n∈N*.(2){an}和{bn}的公共项需满足4n1+1= ,n1,n2∈N*,(关键:找出两个数列的公共项满足的
条件)可得n1= ,即 -1是4的整数倍,可知 -1= -1= -1,由二项式定理可知 -1若是4的倍数,则 为正整数,即n2=2n,n∈N*,所以可得cn=32n=9n,即{cn}的通项公式为cn=9n,n∈N*.(3)证明:易知 = ,显然9n-8>9n-1∀n≥2都成立,所以 = < (放缩法)∀n≥2都成立,
即Sn= + +…+ =1+ +…+ <1+ +…+ =1+ =1+  = - < ,即Sn< .