新高考数学一轮复习专题二函数及其性质2-1函数的概念和基本性质课件

这是一份新高考数学一轮复习专题二函数及其性质2-1函数的概念和基本性质课件，共26页。

题型一　函数的单调性及应用1.判断函数单调性(单调区间)的常用方法(1)定义法:先求定义域,再通过取值、作差、变形、定号的步骤得结论;(2)图象法:若函数是以图象形式给出的,或者函数的图象可作出,可由图象的升、降判 断它的单调性或写出单调区间;(3)复合函数法:根据“同增异减”判断,即内外层函数的单调性相同时,为增函数,单调 性不同时为减函数;(4)导数法:先求导,再利用导数的正负,确定函数的单调性(区间);(5)性质法:在公共定义域内,增+增=增,减+减=减,增-减=增,减-增=减.
2.函数单调性的应用(1)比较大小:将自变量转化到同一个单调区间内,利用函数的单调性比较大小;(2)解不等式:可以依据函数单调性的定义和性质,将“f ”去掉,列出关于自变量的不 等式(组),然后求解,此时需注意函数的定义域;(3)已知函数的单调性求参数范围:①将参数看成已知数,求函数的单调区间,再与已知的单调区间比较,求出参数的取值 范围;②运用函数单调性的定义建立关于参数的不等式(组),解不等式(组)求出参数的取值 范围.
例1    (2023广东深圳统考,8)已知函数f(x)的定义域为R,若∀x∈R,都有f(3+x)=f(1-x),且f(x)在[2,+∞)上单调递减,则f(1), f(2)与f(4)的大小关系是 (　    )A. f(4)  解析    因为∀x∈R,都有f(3+x)=f(1-x),所以f(x)图象的对称轴为直线x=2,所以f(1)=f(3).又因为f(x)在[2,+∞)上单调递减,且2<3<4,所以f(4)例2    (2024安徽百校大联考,7)定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足:∀x1,x2∈(0,+∞),且x1≠ x2都有  >1❷,则不等式f(2lg2x)-f(x)>lg2x2-x❶的解集为 (　    )A.(1,2)　    B.(2,4)　    C.(4,8)　    D.(8,16)
  知识联想    ❶联想到由函数单调性去掉“f ”;❷联想函数单调性的等价形式.
  解析    当x1>x2时, >1⇒f(x1)-f(x2)>x1-x2⇒f(x1)-x1>f(x2)-x2①,当x11⇒f(x1)-f(x2)lg2x2-x得f(2lg2x)-lg2x2>f(x)-x,即f(2lg2x)-2lg2x>f(x)-x,(构造出h(x) 的形式是解题关键)即h(2lg2x)>h(x),因为h(x)在(0,+∞)上单调递增,所以2lg2x>x,即lg2x> (解含有指数或对数的不等式需数形结合求结果).在同一坐标系中,画出y=lg2x与y= 的图象,如图,
 由图可知当2 ,则不等式的解集为(2,4).故选B.
题型二　奇偶性的判断及应用1.函数奇偶性的常用判断方法(1)定义法 
 (3)性质法在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.2.函数奇偶性的应用(1)利用函数奇偶性求值将待求值利用奇偶性转化到已知区间上求解.(2)利用函数奇偶性求解析式将待求区间上的自变量,转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构
造关于f(x)的方程(组),从而得到f(x)的解析式.(3)利用函数奇偶性求解不等式偶函数的常见示意图. 　　     如图1,由f(x1)|x2|.(4)利用奇偶性求参数已知函数的奇偶性或对称性求参数的三种思路.
①定义域的区间端点含参数,利用奇偶函数的定义域关于原点对称,列出关于参数的 方程求解.②一般化策略:对x取定义域内的任意一个值,利用f(-x)与f(x)的关系恒成立来确定参数 的值.③特殊化策略:取定义域内关于原点对称的两个自变量,列出对应函数值的关系式,然 后求解.这种方法求出的参数值要代入解析式检验,看是否满足条件,不满足的要舍去.
例3    (2023河北邯郸统考,7)已知函数f(x)= -ex-2,若f(a-2)+f(2a2)>0,则实数a的取值范围是 (　    )A.(2,+∞)　    B. 　    C. 　    D.(-2,+∞)
  解析    令g(x)=f(x+2)= -ex,x∈R,则g(-x)= -e-x=- =-g(x),所以g(x)为奇函数,则g(x)的图象关于原点对称,所以f(x)的图象关于点(2,0)对称,则f(x)+f(4-x)=0,因为y= 在定义域R上单调递减,y=ex-2在定义域R上单调递增,所以f(x)= -ex-2在定义域R上单调递减,(减-增=减)则不等式f(a-2)+f(2a2)>0,即f(2a2)>-f(a-2),所以f(2a2)>f(6-a),则2a2<6-a,解得-2题型三　函数的对称性、周期性及应用1.函数图象对称性的常用结论(1)f(a-x)=f(a+x)⇔f(-x)=f(2a+x)⇔f(x)=f(2a-x)⇔f(x)的图象关于直线x=a对称.(2)f(a+x)=f(b-x)⇔f(x)的图象关于直线x= 对称.f(a+x)=-f(b-x)⇔f(x)的图象关于点 对称.(3)f(2a-x)=-f(x)+2b⇔f(x)的图象关于点(a,b)对称.2.函数的对称性与周期性的关系(1)如果函数f(x)(x∈D)的图象有两条对称轴x=a,x=b(a(2)如果函数f(x)(x∈D)的图象有两个对称中心A(a,0),B(b,0)(a例4    (多选)(2024江西上饶六校第一次联考,10)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(2-x),且f(x)在[-1,0]上单调递增,则(　    )A. f(x)的图象关于(1,0)中心对称　    B. f(x)是周期函数C. f(x)在[1,2]上单调递减　    D. f(k)=1
  解析    因为f(x)是R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x).因为f(x)=f(2-x),所以-f(-x)=f(2-x),则-f(x)=f(x+2),即-f(x+2)=f(x+4),则f(x)=f(x+4),故f(x)是以4为周期的函数.因为f(x)=f(2-x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称.(若函数f(x)满足f(x)=f(2a-x),则f(x)的 图象关于直线x=a对称)因为f(x)是R上的奇函数,且在[-1,0]上单调递增,所以f(x)在[0,1]上单调递增(奇函数在关 于原点对称的区间上的单调性相同),
又f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(x)在[1,2]上单调递减, f(x)的图象关于点(2,0)中心对称(可结合图象观察),故f(1)+f(3)=0.易知f(0)=0,则f(4)=0,由f(x)=f(2-x)得f(2)=f(0)=0.故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,则 f(k)=f(0)+f(1)+…+f(2 024)=f(0)+506(f(1)+f(2)+f(3)+f(4))=0.综上,B、C正确,A、D错误.
例5    (2023安徽合肥一六八中学模拟,8)定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)= f(x),且当x∈[0,1)时, f(x)=1-|2x-1|.若当x∈[m,+∞)时, f(x)≤ ,则m的最小值为 (　    )A. 　    B. 　    C. 　    D. 
  解析    由题意知,当x∈[1,2)时, f(x)= f(x-1)= (1-|2x-3|);当x∈[2,3)时, f(x)= f(x-1)= (1-|2x-5|);……可得在区间[n,n+1)(n∈Z)上, f(x)= [1-|2x-(2n+1)|].(提示:根据在前两个区间上的解析式,总结在区间[n,n+1)(n∈Z)上的解析式)作函数y=f(x)的图象,如图所示,
 当x= 时, f =  = > ,当x= 时, f =  = < , 从[4,5)这个区间开始,后边所有区间上的最大值都比 小 ,当x∈ 时,由f(x)= (1-|2x-7|)= ,得x= ,所以当m≥ 时, f(x)≤ 恒成立,所以m的最小值为 .故选B.
知识拓展    类周期函数若y=f(x)满足:f(x+m)=kf(x)或f(x)=kf(x-m),则y=f(x)的横坐标每增加m个单位,函数值为之 前的k倍,称此函数是周期为m的类周期函数.当k>1,m>0时的大致图象如图. 
例    (多选)(2024广东六校联考,9)给定数集A=R,B=(0,+∞),x,y满足方程2x-y=0,下列对 应关系f为函数的是 (　    )A. f:A→B,y=f(x)　    B. f:B→A,y=f(x)　    C. f:A→B,x=f(y)　    D. f:B→A,x=f(y)
  解析    对于y=f(x)=2x,∀x∈A,均有唯一确定的f(x),且f(x)∈(0,+∞)=B与之对应,符合函数定义,故选项A符合题意;对于y=f(x)=2x,∀x∈B,均有唯一确定的f(x),且f(x)∈(1,+∞)⊆A,符合函数定义,故选项B 符合题意;对于x=f(y)=lg2y,取y=1∈A,但x=0∉B,不符合函数定义,故选项C不符合题意;对于x=f(y)=lg2y,∀y∈B,均有唯一确定的f(y),且f(y)∈R=A,符合函数定义,故选项D符 合题意.