2022-2023学年陕西省宝鸡市渭滨区高二（下）期末数学试卷（理科）（含解析）

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2022-2023学年陕西省宝鸡市渭滨区高二（下）期末数学试卷（理科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 用反证法证明命题：“若a，b∈Z，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为(    )
A. a，b都不能被3整除 B. a，b都能被3整除
C. a，b不都能被3整除 D. a，b中有一个能被3整除
2. 若y=cosπ3，则y′=(    )
A. − 32 B. 0 C. 12 D. 32
3. 函数f(x)=x3−3x+a，x∈[−2,0]的最小值为1，则实数a的值为(    )
A. 1 B. −4 C. 3 D. −1
4. 已知离散型随机变量ξ的分布列如表：
ξ
1
2
3
P
0.3
m
0.4
则其数学期望E(ξ)=(    )
A. 1 B. 1.3 C. 2.1 D. 3.2
5. 设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是(    )
A. 若|z1−z2|=0，则z1=z2 B. 若|z1|=|z2|，则z12=z22
C. 若z1⋅z1−=z2⋅z2−，则|z1|=|z2| D. 若z1=z2−，则z1−=z2
6. 曲线f(x)=lnx−2x在x=1处切线的倾斜角为α，则cosαsinα−4cosα=(    )
A. 15 B. −15 C. 1 D. −1
7. 观察数组：(1,1,1)，(2,2,4)，(3,4,12)，(4,8,32)，……，(an,bn,cn)，则c7的值是(    )
A. 1024 B. 704 C. 448 D. 192
8. 函数f(x)=x−lnx2的单调递增区间是(    )
A. (−∞,0)和(0,2) B. (2,+∞)
C. (0,2) D. (−∞,0)和(2,+∞)
9. 某班有男生30人，从中选10人均分2组(即每组5人)，那么不同的选派法有(    )
A. C3010⋅C105 B. C3010⋅C1052 C. C3010⋅C105⋅A22 D. C305⋅C255⋅A22
10. 已知函数f(x)=lnx+f′(1)x2+f(1)x+2，则f(e)=(    )
A. 1e−2e+1 B. 2e2+5e+1 C. 1e−4e+1 D. −2e2+e+3
11. 已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，若当x>0时，xf′(x)+f(x)>0，且f(2)=0，则不等式f(x)>0的解集是(    )
A. (−2,0)∪(2,+∞) B. (−2,0)∪(0,2)
C. (−∞,−2)∪(2,+∞) D. (2,+∞)
12. 若过点(a,b)可作曲线y=x2−2x的两条切线，则点(a,b)可以是(    )
A. (0,0) B. (1,1) C. (3,0) D. (3,4)
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 若z=2+mi1+i为纯虚数，则复数z的虚部为______ ．
14. 已知x，y的对应值如表所示：
x
1
3
4
5
7
y
1
m
2m+1
2m+3
10
若y与x线性相关，且回归直线方程为y=1.3x+0.8，则m= ______ ．
15. 曲线f(x)=x3−3x2+6在点(1,f(1))处的切线方程为______ ．
16. (x−13x)4展开式中的常数项为______ ．
三、解答题（本大题共5小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题14.0分)
设函数y=f(x)对任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy−1．
(1)求f(0)的值；
(2)若f(1)=4，求f(2)、f(3)、f(4)的值；
(3)在(2)的条件下，猜想f(n)(n为正整数)的表达式，并证明．
18. (本小题14.0分)
已知二次函数f(x)=x2−2x+1．
(1)求y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积；
(2)求y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形绕x轴旋转一周形成的旋转体的体积．

19. (本小题14.0分)
某校“足球社团”调查学生喜欢足球是否与性别有关，现从全校学生中随机抽取了80k(k∈N*)人，若被抽查的男生与女生人数之比为5：3，男生中喜欢足球的人数占男生的35，女生中喜欢足球的人数占女生的13.经计算，有95%的把握认为喜欢足球与性别有关，但没有99%的把握认为喜欢足球与性别有关．
(1)请完成下面的列联表，并求出k的值；

喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生



女生



合计



(2)将频率视为概率，用样本估计总体，从全校男学生中随机抽取4人，记其中喜欢足球的人数为X，求X的分布列及数学期望．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
P(χ2≥k0)
0.10
0.05
0.01
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828

20. (本小题14.0分)
某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机的选择一家餐厅用餐.如果第一天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.4，如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8．
(1)计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率；
(2)王同学某次在A餐厅就餐，该餐厅提供4种西式点心，6种中式点心，王同学从这些点心中选择三种点心，记选择西式点心的种数为X，求P(X≥1)．
21. (本小题14.0分)
已知函数f(x)=x2−x+1ex．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若exf(x)≥a+lnx恒成立，求实数a的取值范围．
答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：用反证法证明命题：“若a，b∈Z，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，
要证的结论“a，b中至少有一个能被3整除”的对立面为“a，b都不能被3整除”．
故假设应为：a，b都不能被3整除．
故选：A．
由题意找出要证结论的对立面得答案．
本题考查反证法证题的步骤，是基础题．

2.【答案】B 
【解析】解：∵y=cosπ3，
∴y′=0．
故选：B．
根据常数函数的导数求导即可．
本题考查了常数函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．

3.【答案】C 
【解析】解：f′(x)=3x2−3=3(x+1)(x−1)，
令f′(x)>0，解得−2 令f′(x)<0，解得−1 所以函数f(x)在(−2,−1)上单调递增，在(−1,0)上单调递减，
又f(−2)=−2+a，f(0)=a，−2+a 则f(−2)为最小值，即−2+a=1，
解得a=3．
故选：C．
对函数f(x)求导，得出其单调性，再结合f(−2)，f(0)的值，可得f(−2)=1，进而得解．
本题考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于基础题．

4.【答案】C 
【解析】解：0.3+m+0.4=1，得m=0.3，
所以E(ξ)=1×0.3+2×0.3+3×0.4=2.1．
故选：C．
先由分布列的性质求出m的值，再套用期望公式求解．
本题考查离散性随机变量分布列的性质和期望的计算公式，属于基础题．

5.【答案】B 
【解析】解：对于A，设z1=a+bi，z2=c+di，(a,b,c,d∈R)，
∵|z1−z2|=0，
∴a−c=0，b−d=0，即a=c，b=d，故z1=z2，故A为真命题；
对于B，设z1=1，z2=i，满足|z1|=|z2|，
但z12=1，z22=−1，故B为假命题，
对于C，若z1⋅z1−=z2⋅z2−，
则|z1|2=|z2|2，即|z1|=|z2|，故C为假命题；
对于D，z1=z2−，则z1−=z2，故D为真命题．
故选：B．
根据已知套件，结合复数的四则运算，共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．

6.【答案】D 
【解析】解：因为f(x)=lnx−2x，
所以f′(x)=1x+2x2，k=tanα=f′(1)=1+2=3，
所以cosαsinα−4cosα=1tanα−4=13−4=−1．
故选：D．
求函数f(x)的导数得出直线的斜率，再利用弦化切求出cosαsinα−4cosα的值．
本题考查了利用导数求直线的斜率问题，也考查了三角函数求值问题，是基础题．

7.【答案】C 
【解析】解：根据题意，分析可得数组(an,bn,cn)中，
an=n，bn=2n−1，cn=anbn，
故a7=7，b7=26，c7=a7b7=7×64=448．
故选：C．
根据题意，分析可得an=n，bn=2n−1，cn=anbn，由此计算可得答案．
本题考查归纳推理的应用，涉及等差、等比数列的性质，属于基础题．

8.【答案】D 
【解析】解：函数f(x)=x−lnx2的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，
f′(x)=1−2x=x−2x，
令f′(x)>0，解得x<0或>2，
所以函数f(x)的单调递增区间是(−∞,0)和(2,+∞)．
故选：D．
对f(x)求导，令f′(x)>0，即可求得函数的单调递增区间．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．

9.【答案】B 
【解析】解：从男生30人，从中选10人有C5010种，
再分两组有C1052，
根据分步乘法计数原理得不同的选派法有C5010⋅C1052种．
故选：B．
根据组合相关知识可解．
本题考查排列组合知识，考查平均分组问题，属于中档题．

10.【答案】D 
【解析】解：由题意可得f′(x)=1x+2f′(x)x+f(1)，
令x=1，则f′(1)=1+2f′(1)+f(1)，又f(1)=f′(1)+f(1)+2，
解得f′(1)=−2，f(1)=1，
所以f(x)=lnx−2x2+x+2，则f(e)=lne−2e2+e+2=−2e2+e+3．
故选：D．
利用导数的运算性质求出函数的导数，然后令x=1求出f′(1)，f(1)，进而可以求出f(x)的解析式，再令x=e，由此即可求解．
本题考查了导数的运算性质，属于基础题．

11.【答案】A 
【解析】解：由题意设g(x)=xf(x)，则g′(x)=xf′(x)+f(x)，
∵当x>0时，xf′(x)+f(x)>0，
∴g(x)在(0,+∞)上单调递增，
∵f(x)是定义在R上奇函数，
∴g(x)是定义在R上偶函数，
∴g(x)在(−∞,0)上单调递减，
又f(2)=0，则g(2)=2f(2)=0，∴g(−2)=g(2)=0，
当x>0时，不等式f(x)>0等价于g(x)=xf(x)>0，由g(x)>g(2)，得x>2；
当x<0时，不等式f(x)>0等价于g(x)=xf(x)<0，由g(x) 故不等式f(x)>0的解集为(−2,0)∪(2,+∞)．
故选：A．
由题意设g(x)=xf(x)并求出g′(x)，由条件和导数与函数单调性的关系，判断出g(x)在(0,+∞)上的单调性，由f(x)是奇函数判断出g(x)是偶函数，根据条件、偶函数的性质、g(x)的单调性等价转化不等式f(x)>0，即可求出不等式的解集．
本题考查函数奇偶性的性质以及判断，偶函数的单调性，以及导数与函数单调性的关系，考查构造法，转化思想，化简、变形能力．

12.【答案】C 
【解析】解：由y=x2−2x，得y′=2x−2，
设切点坐标为(t,t2−2t)，则过切点的切线方程为y=(2t−2)(x−t)+t2−2t，
把点(a,b)代入，可得b=(2t−2)(a−t)+t2−2t，
整理得：t2−2at+2a+b=0，
∵过点(a,b)可作曲线y=x2−2x的两条切线，则方程t2−2at+2a+b=0有两不等实数根，
∴Δ=4a2−4(2a+b)>0，即a2−2a−b>0．
分别把(0,0)，(1,1)，(3,0)，(3,4)代入验证，可得只有(3,0)满足．
故点(a,b)可以是(3,0)．
故选：C．
设切点坐标为(t,t2−2t)，利用导数求出过切点的切线方程，把点(a,b)代入，整理为关于t的一元二次方程，再由判别式大于0可得关于a，b的关系，然后逐一验证得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是中档题．

13.【答案】−2 
【解析】解：z=2+mi1+i=(2+mi)(1−i)(1+i)(1−i)=2+m2+m−22i为纯虚数，
则2+m2=0m−22≠0，解得m=−2，
故z=−2i，其虚部为−2．
故答案为：−2．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及纯虚数、虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及纯虚数、虚部的定义，属于基础题．

14.【答案】3 
【解析】解：x−=1+3+4+5+75=4，y−=1+m+2m+1+2m+3+105=m+3，
则样本点的中心的坐标为(4,m+3)，
代入y=1.3x+0.8，得m+3=1.3×4+0.8，解得m=3．
故答案为：3．
由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程即可求得m值．
本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．

15.【答案】3x+y−7=0 
【解析】解：函数定义域为(−∞,+∞)，
f(x)的导数为f′(x)=3x2−6x，f′(1)=−3，
曲线在点(1,f(1))处的切线斜率为1，又f(1)=4，
可得所求切线方程为y−4=−3(x−1)，即3x+y−7=0．
故答案为：3x+y−7=0．
求得函数f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；
本题考查导数的运用：求切线的方程，考查化简整理的运算能力，属于基础题．

16.【答案】−4 
【解析】解：(x−13x)4展开式中通项公式Tr+1=∁4rx4−r(−13x)r=(−1)r∁4rx4−4r3，
令4−4r3=0，解得r=3．
∴(x−13x)4展开式中的常数项为T4=−∁43=−4．
故答案为：−4．
(x−13x)4展开式中通项公式Tr+1=(−1)r∁4rx4−4r3，令4−4r3=0，解得r即可得出．
本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

17.【答案】解：(1)令x=y=0，
可得f(0)=f(0)+f(0)+0−1，
解得f(0)=1；
(2)由于f(1)=4，
则f(2)=f(1)+f(1)+2−1，
解得f(2)=9；
则f(3)=f(1)+f(2)+4−1，
解得f(3)=16；
则f(4)=f(2)+f(2)+8−1，
解得f(4)=25；
(3)猜想f(n)=(n+1)2，n∈N⋅，用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，f(1)=(1+1)2=4，猜想成立；
②假设当n=k时，猜想也成立，即f(k)=(k+1)2，k∈N⋅，
则当n=k+1时，f(k+1)=f(k)+f(1)+2k−1=(k+1)2+4+2k−1=(k+2)2=(k+1+1)2，
猜想也成立，
由①②可知，对任意n∈N⋅，f(n)=(n+1)2． 
【解析】(1)令x=y=0，即可求得f(0)的值；
(2)令x=y=1，可得f(2)的值；令x=1，y=2，可得f(3)的值；令x=y=2，可得f(4)的值；
(3)猜想f(n)=(n+1)2，n∈N⋅，然后用数学归纳法证明即可．
本题考查抽象函数的综合运用，考查数学归纳法的运用以及运算求解能力，属于中档题．

18.【答案】解：(1)由题意，所求面积为01(x2−2x+1)dx=13(x−1)3|01=13；
(2)由题意，所求体积为01π(x2−2x+1)2dx=π5(x−1)5|01=π5． 
【解析】(1)将函数从0到1积分即可；
(2)将π倍的函数的平方从0到1进行积分即可．
本题主要考查利用积分求图形的面积和体积，属中档题．

19.【答案】解：(1)由已知，完成列联表如下：

喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生
30k
20k
50k
女生
10k
20k
30k
合计
40k
40k
80k
∴X2=80k(30k×20k−20k×10k)240k×40k×50k×30k=16k3，
根据条件，可得3.841≤16k3<6.635，解得0.720≤k<1.244，
又k∈N*，∴k=1；
(2)由(1)知，样本的男生中喜欢足球的频率为35，
用样本估计总体，从全校男生中随机抽取一人，喜欢足球的概率为35，
则X～B(4,35)，
∴P(X=0)=C40(35)0(25)4=16625，P(X=1)=C41(35)(25)3=96625，P(X=2)=C42(35)2(25)2=216625，P(X=3)=C43(35)3(25)=216625，
P(X=4)=C44(35)4(25)0=81625，
∴X的分布列为：
 X
 0
 1
 2
 3
 4
 P
 16625
 96625
 216625
 216625
 81625
∴E(X)=4×35=125． 
【解析】(1)依题意，先填好列联表，再根据卡方计算临界值求出k；
(2)按照二项分布的概念，即可求解．
本题考查独立性检验原理的应用，二项分布的概念及应用，化归转化思想，属于中档题．

20.【答案】解：(1)王同学第2天去A餐厅用餐包含下面两种情况：
①第1天去A餐厅，则第2天去A餐厅用餐的概率为0.5×0.4=0.2，
②第1天去B餐厅，则第2天去A餐厅用餐的概率为0.5×0.8=0.4，
∴王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.2+0.4=0.6；
(2)由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，
∴P(X=0)=C63C103=16，
∴P(X≥1)=1−P(X=0)=1−16=56． 
【解析】(1)利用全概率公式求解即可；
(2)利用古典概型的概率公式，结合独立事件的概率关系求解．
本题主要考查了全概率公式，考查了古典概型的概率公式，属于基础题．

21.【答案】解：(1)已知f(x)=x2−x+1ex，函数定义域为R，
可得f′(x)=(2x−1)ex−(x2−x+1)ex(ex)2=−x2+3x−2ex=−(x−1)(x−2)ex，
当x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当10，f(x)单调递增；
当x>2时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
则函数f(x)的单调递增区间为(1,2)；
(2)若exf(x)≥a+lnx恒成立，
此时x2−x+1≥a+lnx恒成立，
即a≤x2−x+1−lnx恒成立，
不妨设g(x)=x2−x+1−lnx，函数定义域为(0,+∞)，
可得g′(x)=2x−1−1x=2x2−x−1x=(x−1)(2x+1)x，
当0 当x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
所以当x=1时，g(x)取得极小值即最小值，
此时g(x)min=g(1)=1，
则a≤1，
故实数a的取值范围是(−∞,1]． 
【解析】(1)由题意，对函数f(x)进行求导，利用导数的几何意义即可得到函数f(x)的单调递增区间；
(2)将问题转化成a≤x2−x+1−lnx恒成立，构造函数g(x)=x2−x+1−lnx，对g(x)进行求导，利用导数得到函数g(x)的单调性和最值，进而即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．