2021-2022学年陕西省宝鸡市渭滨区高二（下）期末数学试卷（理科）（Word解析版）

2021-2022学年陕西省宝鸡市渭滨区高二（下）期末数学试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60分）

1. 已知随机变量服从二项分布若，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 年月，受新冠肺炎的影响，医卫市场上出现了“一罩难求”的现象．在政府部门的牵头下，部分工厂转业生产口罩，如表所示为某小型工厂月至月份生产的口罩数单位：万，若与线性相关，且回归直线方程为，则表格中实数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数的虚部为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 一个物体做直线运动，位移单位：与时间单位：之间的函数关系为，且这一物体在这段时间内的平均速度为，则实数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知随机变量的分布列如表所示：

若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知函数有极值，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 若曲线在点处的切线方程为，则(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知，，若为虚数单位，则实数的取值范围是(    )

A. 或 B. 或
C.  D.

9. 已知函数的导函数为，且满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

10. 名学生，名教师站成前后两排照相，要求前排人，后排人，其中教师必须站在前排，那么不同的排法共有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

11. 某同学进行分投篮训练，若该同学投中的概率为，他连续投篮次至少得到分的概率大于，那么的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知是定义在上的函数，其导函数为，且不等式恒成立，则下列不等式成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 函数的单调增区间为______．
14. 函数的极值点是______．
15. 观察下列各式：
    ，
    ，
    ，
    ，
    
    照此规律，当时， ______ ．
16. 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．

三、解答题（本大题共5小题，共70分）

17. 已知的展开式中的二项式系数之和比各项系数之和大．
    计算；
    求展开式中有理项的系数．
18. 已知函数．
    求函数的最小值；
    若恒成立，求实数的取值范围．
19. 已知：，，都是正实数，且求证：．
20. 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取名工人，将他们随机分成两组，每组人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间单位：绘制了如下茎叶图：

根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

求名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：

根据中的列联表，能否有的把握认为两种生产方式的效率有差异？

附：，

21. 在某校开展的知识竞赛活动中，共有，，三道题，答对，，分别得分、分、分，答错不得分．已知甲同学答对问题，，的概率分别为，乙同学答对问题，，的概率均为，甲、乙两位同学都需回答这三道题，且各题回答正确与否相互独立．
    求乙同学恰好答对两道题的概率；
    运用你学过的知识判断，谁的得分能力更强．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了服从二项分布的随机变量的期望及方差的求法，属于基础题．
由随机变量服从二项分布，结合期望及方差的公式运算即可得解．
【解答】
解：由随机变量服从二项分布．
又，，
所以，
解得：，
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：由表格中的数据，可得，，
即数据的样本中心为，
将样本中心代入回归直线的方程，可得，解得．
故选：．
根据表格中的数据求得数据的样本中心，将样本中心代入回归方程，即可求解．
本题主要考查线性回归方程及其性质，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，
的共轭复数的虚部为．
故选：．
根据已知条件，先对化简，再结合共轭复数和虚部的定义，即可求解．
本题主要考查共轭复数和虚部的定义，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故选：．
先根据平均变化率的定义得出，再计算即可．
本题主要考查了变化的快慢与变化率，涉及平均变化率的定义，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：当时，
由得，
所以．
故选：．
利用，求出的值，观察表格计算即可．
本题考查概率的求法，考查离散型概率分布列的性质的应用，解题时要认真审题，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意知，定义域为，
，要使函数有极值，则必有两个不等的实根，
则，解得．
故选：．
先求导，由题设得必有两个不等的实根，再利用判别式求解即可．
本题考查了利用导数与函数的极值之间的关系，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由，得，
，可得，即，
则，
，解得．
故选：．
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，求得值，再由函数在处的函数值相等列式求解．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了复数的理解和应用，解题的关键是掌握虚数不能比较大小这个知识点，属于基础题．
利用虚数不能比较大小，得到为实数，列式求解即可．

【解答】

解：因为，
根据虚数不能比较大小，可得为实数，
所以且，即，解得或．
故选：．

9.【答案】 

【解析】解：，
，
，，
，
，
故选：．
根据导数的公式即可得到结论．
本题主要考查导数的基本运算，比较基础．
 

10.【答案】 

【解析】解：教师在前排，有种排法，名学生，前排位，后排位，共有种，
故不同的排法总数为种，
故选：．
先排教师的位置，再排名学生，从而可得不同的排法．
本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意可得，，求得，则，
则，
，，
，
故选：．
由题意利用次独立试验中恰好发生的概率计算公式，求得结果．
本题主要考查次独立试验中恰好发生的概率计算公式的应用，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：令，
，
因为，即，
所以，
所以在上单调递增，
对于：，即，即，故A错误；
对于：，即，即，故B正确；
对于：，即，即，故C错误；
对于：，即，即，故D错误，
故选：．
令，求导，分析的单调性，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：函数
，
，
．
故答案为：．
先求导数，因为是求增区间，则让导数大于零求解即可．
本题主要考查用导数法求函数的单调区间，比较基础．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为，所以定义域为，
令，解得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
故是极小值点．
故答案为：．
极值点是导函数的“变号零点”，先求导函数的零点，在检查导函数零点附近的符号．
本题考查了利用导数求函数的值极点，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：观察已知等式．可知当时，，
故答案为：．
观察已知等式，归纳推理出结果即可．
本题主要考查了归纳推理，同时考查了学生的逻辑推理能力，是基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：当时，恒成立，即，在区间上恒成立，
令，，则，
当时，，故函数在区间上单调递减，
则，故．
故实数的取值范围为．
故答案为：．
根据题意可将不等式转化为在区间上恒成立，构造函数，利用导数求解函数的单调性，进而得到函数在区间上的最大值，即可求解．
本题考查函数的恒成立问题，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：令得展开式的各项系数和为，
展开式中的二项式系数之和比各项系数之和大．
，
当是偶数时，，得，此时不是整数，
当是奇数时，，得，得，
则．
展开式的通项公式，
，
则当时，，此时为有理项，
则有理项的系数为． 

【解析】根据条件建立方程求出，然后利用积分公式进行计算即可．
求出展开式的通项公式，利用有理项的定义进行求解即可．
本题主要考查二项式定理的应用，根据条件求出的值，以及求出展开式的通项公式进行求解是解决本题的关键，是中档题．
 

18.【答案】解：，令，解得，
则当时，，时，，
所以当时，取最小值；
若恒成立，即，
因为，所以，
令，则，令，解得，
则当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
则当时，取最大值，
则，即的取值范围是． 

【解析】利用导数求得函数的单调区间，进而得到其最值；
问题转化为，令，求导得到其单调区间，进而得到其最大值，即可得到的取值范围．
本题考查导数的综合应用，不等式恒成立问题，属于中档题．
 

19.【答案】证明：要证原不等式成立，只需证，即证，
又所以，只需证：，即，
因为所以，只需证：，
只需证：，
即，而显然成立，
故原不等式成立． 

【解析】由题意可得，只需证，只需证，只需证，只需证
．
本题考查用分析法证明不等式，寻找使不等式成立的充分条件，是解题的关键．
 

20.【答案】解：根据茎叶图中的数据知，
第一种生产方式的工作时间主要集中在之间，
第二种生产方式的工作时间主要集中在之间，
所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；
这名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后，
排在中间的两个数据是和，计算它们的中位数为；
由此填写列联表如下：

根据中的列联表，计算

，
能有的把握认为两种生产方式的效率有差异． 

【解析】本题考查了茎叶图、中位数、列联表与独立性检验的应用问题，是中档题．
根据茎叶图中的数据判断第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；
根据茎叶图中的数据计算它们的中位数，再填写列联表；
列联表中的数据计算观测值，对照临界值得出结论．
 

21.【答案】解：设“乙同学恰好答对两道题”为事件为，
所以．
设甲同学本次竞赛中得分为，则的可能取值为，，，，分，
则，
，
，
，
，
所以的概率分布列为：

所以；
设乙同学本次竞赛中得分为，由的可能取值为，，，，分，
，
，，
，，
所以的概率分布列为：

所以，
所以，所以乙的得分能力更强． 

【解析】利用二项分布可求乙同学恰好答对两道题的概率；
利用独立事件和二项分布可求甲同学在本次竞赛中得分和乙同学在本次竞赛中得分的数学期望，从而可求判断谁的得分能力更强．
本题主要考查离散型随机变量的期望，是中档题．