沈阳市第一二0中学2024届高三上学期第二次质量检测数学试卷(含答案)

这是一份沈阳市第一二0中学2024届高三上学期第二次质量检测数学试卷(含答案)，共60页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、复数z满足,则z在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2、已知集合,,且,则( )
A.B.C.D.
3、已知a,,则“,”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4、已知向量,,则与的夹角为( )
A.B.C.D.
5、直线l与两条曲线和均相切,则l的斜率为( )
A.B.1C.2D.e
6、已知函数在上有且仅有2个零点,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
7、已知,则( )
A.B.C.D.
8、对于函数,若存在非零实数,使得,则称点与点是函数的一对“隐对称点”．若时,函数的图象上恰有2对“隐对称点”,则实数m的取值范围为( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
9、某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点测距问题的探究活动中,抽象并构建了如图所示的几何模型,该模型中MA,NB均与水平面ABC垂直．在已测得可直接到达的两点间距离AC,BC的情况下,四名同学用测角仪各自测得下列四组角中的一组角的度数,其中一定能唯一确定M,N之间的距离的有( )

A.,,B.,,
C.,,D.,,
10、下列说法错误的是( )
A.若函数的最小正周期为,则的值为2
B.函数是偶函数
C.点是函数图象的一个对称中心
D.函数在上的单调递增区间是
11、若正实数x,y满足,则下列结论正确的是( )
A.的最小值为4B.xy的最大值为4
C.的最小值为D.的最大值为8
12、已知定义在R上的可导函数,记为的导函数,若且,又,则下列说法正确的是( )
A.的图象关于对称B.为偶函数
C.D.
三、填空题
13、已知i为虚数单位,复数z满足,则的虚部为__________.
14、已知,,,则__________.
15、已知正方形ABCD的边长为2,对角线相交于点O,P是线段BC上一点,则的最小值为__________．
16、已知,函数在上存在两个极值点,则a的取值范围为__________．
四、解答题
17、在中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,已知,,且.
（1）若的面积为,求的值;
（2）求取值范围.
18、已知函数.从下面的两个条件中任选其中一个：①将函数图象上的点横坐标不变,纵坐标变为原来的一半,再向左平移个单位,可以得到函数的图象;②若,且的最小值为,.求解下列问题：
（1）求的表达式并求的单调递增区间;
（2）已知,,,求的值.
19、已知奇函数和偶函数的定义域均为R,且.
（1）求函数和的解析式;
（2）函数的导函数为,记,求不等式的解集.
20、某公司为了提升销售利润,准备制定一个激励销售人员的奖励方案．公司规定奖励方案中的总奖金额y（单位：万元）是销售利润x（单位：万元）的函数,并且满足如下条件：①图象接近图示;②销售利润x为0万元时,总奖金y为0万元;③销售利润x为30万元时,总奖金y为3万元．现有以下三个函数模型供公司选择：
A.;B.;C.．
（1）请你帮助该公司从中选择一个最合适的函数模型,并说明理由;
（2）根据你在（1）中选择的函数模型,解决如下问题：
①如果总奖金不少于9万元,则至少应完成销售利润多少万元？
②总奖金能否超过销售利润的五分之一？
21、如图,设中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,AD为BC边上的中线,已知且,.
（1）求的面积;
（2）设点E,F分别为边AB,AC上的动点,线段EF交AD于G,且的面积为面积的,求的取值范围.
22、已知函数.
（1）讨论函数的单调性;
（2）若,函数在上恒成立,求整数a的最大值.
参考答案
1、答案：B
解析：因为,故,在复平面内对应的点为,
位于第二象限.
故选:B.
2、答案：D
解析：因为,所以或或三种情况,
当时,;当时,;当时,.
故选：D.
3、答案：A
解析：由a,,,,得,于是,
由a,,取,满足,显然“,”不成立,
所以“,”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4、答案：D
解析：因为,则,且,则,
即,所以,设与的夹角为,则,
即,所以,因为,则.
故选：D.
5、答案：B
解析：由,可得;由,可得,
设两个切点分别为和,直线l的斜率,
故,由,所以,即直线l的斜率为1.
故选：B.
6、答案：B
解析：
因为在上仅有2个零点,
当时,,
所以,解得．
故选：B.
7、答案：B
解析：由对数函数的性质,可得,又由,所以,
令,其中,可得,
当时,,单调递增;
当时,,单调递减,
则,即,所以,
又由函数在R为单调递增函数,则,所以,即,
综上可得：.
故选：B.
8、答案：D
解析：由题意可得,函数关于原点对称的图象与函数的图象有两个交点,
即方程有两个根,即,
令,则,
当时,,当时,,
所以在上递增,在上递减,
的图象恒过点,的图象也过点,
因为,所以在处的切线方程为,
由图可知当或时,与的图象有2个交点,
即有两个根,
所以实数m的取值范围为,
故选：D.

9、答案：CD
解析：记,,,,,,,,,,,,．
先从C选项入手：
已知a,b,,,在中,由,可确定n;
同理,在中,可确定m;
在中,由m,n,及余弦定理,可确定MN,故C正确;
再考察D选项：
已知a,b,,,在中,由a,b,及余弦定理,可确定c;
在中,由,可确定h;同理,在中,可确定d,
由,①
可确定MN,故D正确;
A选项：
已知a,b,,,,同B选项,可确定h,d,
在中,已知a,b,,解三角形知c可能有两解,
例如若,,
则,解得或2,
代入①使MN也有两个值,故A错误;
B选项：
已知a,b,,,同C,D选项,可确定n,h,c,
中,由勾股定理,得,
在中,由余弦定理,得,②
联立①②,得解此关于x,d的二元方程组,
可得MN,但此二元二次方程组可能有两解,
例如若,,,得
解得或故B错误．
故选：CD．
10、答案：AD
解析：对A,由题意,,故,故A错误;
对B,为偶函数,故B正确;
对C,当时,,故点是函数图象的一个对称中心,故C正确;
对D,函数的单调递增区间为,故,故在上的单调递增区间是和,故D错误.
综上有AD错误.
故选：AD
11、答案：ABC
解析：由题意,正实数x,y满足,
对于A中,由,当且仅当时,等号成立,
可得,解得,所以A正确;
对于B中,由,可得,当且仅当时,等号成立,
所以xy的最大值为4,所以 B正确;
对于C中,由,可得,
则,
当且仅当时,等号成立,所以C正确;
对于D中,由,
因为,所以的最小值为8,当且仅当时取得最小值,
所以D错误.
故选：ABC.
12、答案：ABC
解析：因为,令,则,解得,
所以,则函数的图象关于直线对称,故A正确;
因为,则,
所以为奇函数,函数图象关于原点对称,
则,即,所以为偶函数,故B正确;
因为,即,所以的图象关于对称,且,
又因为为偶函数,所以,所以,
则,所以是以为周期的周期函数,
所以,故C正确;
因为,所以,所以是以8为周期的周期函数,
所以,故D错误;
故选：ABC.
13、答案：-1
解析：设,则,即,解得.
故,则的虚部为-1.
故答案为：-1.
14、答案：
解析：由,
可得,
两式平方相加,可得：,
即,
又由,可得,所以,所以
因为,且,所以.
故答案为：.
15、答案：
解析：记,设,
因为,
所以,
因为,
所以,
所以,当时,取得最小值.
故答案为：.
16、答案：
解析：函数在上存在两个极值点,
等价于在上有2个不同的实根（变号）,
即的图象与直线在上有2个不同的交点（变号）,
求出,
当时,,
当时,
所以在上单调递增,
在上单调递减．
可画出的草图如图：
要保证直线在上有2个不同的交点（变号）,
只需,
可得,
故答案为：．
17、答案：（1）2
（2）
解析：（1）由可得,故,显然,故.
又,故.
由三角形面积公式可得,故.
由余弦定理可得,即,故.
（2）由（1）,故,故,.
故
.
因为,故,故,.
故的取值范围为.
18、答案：（1）,,
（2）
解析：（1）若选条件①,,
又函数图象上的点横坐标不变,纵坐标变为原来的一半,再向左平移个单位可得,
因为,故,.
又,故,,则.
若选条件②,,即是的最大值点,是的零点,
且的最小值为,设的周期为T,由此可得,即,.
故,又,则,又,故,
则.
故选①②均有,由,
得,即,
所以的单调递增区间为,.
（2）由,可得,
因为,故,从而得到,即.
因为,所以,由,可得,
故.
19、答案：（1）,
（2）
解析：（1）由奇函数和偶函数,可得,
因为,
可得,
两式相加,可得,则.
（2）由,可得,
即,
因为,所以为R上的偶函数,
又因为,
令,可得,
所以函数在上为单调递增函数,
又因为,所以当时,,即,单调递增;
当时,,即,单调递减,
因为,即,整理得,
解得或,即不等式的解集为.
20、答案：（1）模型C,理由见解析
（2）①210万元; ②不会.
解析：（1）模型A．,因为,所以匀速增长,
模型B．,因为,先慢后快增长,
模型C．,因为,先快后慢增长,
所以模型C最符合题意.
（2）因为销售利润x为0万元时,总奖金y为0万元,
所以,即,
又因为销售利润x为30万元时,总奖金y为3万元,
所以,即,
由解得,所以,
①如果总奖金不少于9万元,即,
即,即,解得,
所以至少应完成销售利润210万元.
②设,即,
因为与有交点,
且增长速度比慢,
所以当时,恒在的下方,
所以无解,
所以总奖金不会超过销售利润五分之一.
21、答案：（1）;
（2）.
解析：（1）因为,
所以,
化简得,又,所以.
所以.
（2）设,
因为D为中点,所以, 因为的面积为面积的,
所以,即,
设,则,
又E,F,G共线,
设,则,
所以,解得, 所以,
又,
所以,
又,
化简得,
又,所以,
所以,当时等号成立.,当时等号成立.
综上.
22、答案：（1）答案见解析
（2）4
解析：（1）根据题意可得,
若,在上恒成立,此时函数在R上单调递增;
若,此时,
当时,满足,此时函数在,上单调递增;
当时,满足,此时函数在单调递减;
若,此时,
当时,满足,此时函数在,上单调递增,
当时,满足,此时函数在单调递减;
综上可知,时,在R上单调递增;
时,在和上单调递增,在单调递减;
时,在和上单调递增,在单调递减;
（2）由可得,解得;
所以,则,
易知时,,
若函数在上恒成立,等价成在上恒成立;
令,则;
令,则在上恒成立,
即函数在上单调递增,
易知,由于,所以,
而,且,所以;
因此在有且仅有一个零点,满足,且;
所以当时,,当时,;
因此函数在上单调递减,在上单调递增;
所以的最小值为,显然,
因此,又a是整数,
所以a的最大值为4.