沈阳市第一二0中学2022-2023学年高一下学期第三次质量监测数学试卷(含答案)

这是一份沈阳市第一二0中学2022-2023学年高一下学期第三次质量监测数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知角的顶点为原点,始边为x轴的非负半轴,若其终边经过点,则( )
A.B.C.D.
2．已知复数z满足，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为( )
A.B.C.D.
3．一个用斜二测画法画出来三角形是一个边长为a的正三角形，则原三角形面积是( )
A.B.C.D.
4．以下命题正确的是( )
A.直角三角形绕其一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥
B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱
C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D.棱锥截去一个小棱锥后剩余部分是棱台
5．已知为第二象限角，，则( )
A.B.C.D.
6．“不以规矩，不成方圆”.出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，用来测量、画圆和方形图案的工具.有一圆形木板，以“矩”量之，较长边为，较短边为，如图所示，将这个圆形木板截出一块三角形木板，三角形定点A，B，C都在圆周上，角A，B，C分别对应a，b，c，满足.若，且，则( )
A.B.周长为
C.周长为D.圆形木板的半径为
7．已知函数（其中,）在区间上单调，且，当时，取得最大值，则不等式的解集为( )
A.B.
C.D.
8．如图所示，已知正四棱柱的上下底面的边长为3，高为4，点M，N分别在线段和上，且满足，下底面的中心为点O，点P，Q分别为线段和上的动点，则的最小值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.向量与共线是A，B，C，D四点共线的必要不充分条件
B.若，则存在唯一实数使得
C.已知，，则与的夹角为锐角的充要条件是
D.在中，D为的中点，若，则是在上的投影向量
10．已知直线a，b，c两两异面，且，，下列说法正确的是( )
A.存在平面，，使，，且，
B.存在平面，，使，，且，
C.存在平面，使，，且
D.存在唯一的平面，使，且a，b与所成角相等
11．如图，在正方体中，E，F，G分别为AB，BC，的中点，点P在线段上，则下列结论正确的是( )
A.直线平面EFG
B.直线CP和平面ABCD所成的角为定值
C.异面直线CP和FG所成的角不为定值
D.若直线平面EFG，则点P为线段的中点
12．已知三棱锥的所有棱长均为2,平面ABC,O为垂足,D是PO的中点,AD的延长线交平面PBC于点,的延长线交平面PAB于点,则下列结论正确的是( )
A.
B.若Q是棱PB上的动点,则的最小值为
C.三棱锥外接球的表面积为
D.
三、填空题
13．已知函数（，），若，为的两个零点，则当取得最小值时，__________.
14．已知圆锥侧面展开图为半圆，则该圆锥的侧面积与其内切球的表面积之比为__________.
15．在平面四边形中（如图所示），，，，，若点E为边上的动点，则的最小值为__________ .
16．如图，在正方体中，E是的中点，平面将正方体分成体积分别为，的两部分，则__________.
四、解答题
17．已知复数（i为虚数单位，）为纯虚数，和实数b是关于x的方程的两个根.
（1）求a，b的值；
（2）若复数z满足，说明在复平面内z对应的点Z的集合是什么图形？并求该图形的面积.
18．在中，.
（1）求B的值；
（2）给出以下三个条件：①；②，；③，若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：
（i）求的值；
（ii）求的角平分线的长.
19．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，E，F分别是，的中点.
（1）证明：平面.
（2）若四棱锥的体积为32，的面积为4，求B到平面的距离.
20．桌状山是一种山顶水平如书桌，四面绝壁临空的地质奇观.位于我国四川的瓦屋山是世界第二大的桌状山，其与峨眉山并称蜀中二绝.苏轼曾有诗云：“瓦屋寒堆春后雪，峨眉翠扫雨余天”.某地有一座类似瓦屋山的桌状山可以简化看作如图1所示的圆台，图中为圆台上底面的一条东西方向上的直径，某人从M点出发沿一条东西方向上的笔直公路自东向西以的速度前进，6分钟后到达N点.在M点时测得A点位于北偏西方向上，B点位于北偏西方向上；在N点时测得A点位于北偏东方向上，B点位于北偏东方向上，且在N点时观测A的仰角的正切值为.设A点在地表水平面上的正投影为，B点在地表水平面上的正投影为，，，M，N在地表水平面上的分布如图2所示.
（1）该山的高度为多少千米？
（2）已知该山的下底面圆的半径为，当该山被冰雪完全覆盖时，冰雪的覆盖面积为多少平方千米？
21．已知函数，的最小正周期为π.
（1）方程在上有且只有一个解，求实数n的取值范围；
（2）是否存在实数m满足对任意，都存在，使得成立？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，说明理由.
22．如图，在长方体中，，，E，F分别为，的中点，Q是上一个动点，且.
（1）当时，求证：平面平面；
（2）是否存在，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．答案：B
解析：由题意知,则原式.
故选B.
2．答案：D
解析：，在等式两边同时除以得，，因此，复数的虚部为，故选D.
3．答案：C
解析：，.
4．答案：C
解析：对于A：直角三角形的斜边为轴旋转一周所得的旋转体不是圆锥，故A错误；B不正确，因为当两平行的截面与圆柱的底面不平行时，截得的几何体的两个平行的底面有可能是椭圆，另外当截面平行于圆柱的高线时，截得的几何体也不是圆柱.对于C：圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台，正确；对于选项D：当截面不平行于底面时，棱锥截去一个小棱锥后剩余部分不是棱台，故D错。
所以C选项是正确的。
5．答案：B
解析：为第二象限角，，，
原式.
.
故选B.
6．答案：B
解析：
7．答案：A
解析：因为函数在区间上单调，且，
所以和均不是的极值点，其极值应该在处取得，
又，所以也不是的极值点，
又时，取得最大值，所以为另一个相邻的极值点，
故函数的最小正周期，所以，
又时，取得最大值，所以，，即，，
因为，所以，，可得，
由，得，
所以，，解得，
所以不等式的解集为.
故选：A.
8．答案：A
解析：过点O作，交MN于点Q，交于点P，过点N作，交BC于点E，连接OE，取BC中点F，连接OF，根据题意，因为，所以当O，P，Q三点共线，且时，，且有最小值，在中，，，，在中，，，在中，，，所以的最小值为.故选A.
9．答案：AD
解析：
10．答案：ABC
解析：
11．答案：AD
解析：对于A选项，平面EFG截正方体的截面图形为正六边形EFGHIJ，其中H，I，J分别为，，的中点， ，平面，平面EFGHIJ，平面，故A正确；对于B选项，过P作
交AD于点M，则直线CP和平面ABCD所成的角为，，
设，正方体的棱长为1，
则，，
，直线CP和平面ABCD所成的角不为定值，故B错误；
对于C选项，平面，，平面，
又平面，，故C错误；
对于D选项，设，，则平面平面，平面，平面，，又在平面内，
易知，，点P为线段的中点，故D正确，
故选AD.
12．答案：ACD
解析：A选项,由题知,该三棱锥是正四面体,取中点E,连接,,显然会经过O,于是,过O作,交于H.
由于O是P在的投影,由正棱锥性质,O为等边的重心,于是,由可知,和相似,于是,
由D是PO的中点,易得和全等,则,于是,同理可说明,于是和相似,
于是,又为中边对应的中位线,故,于是,A选项正确；
B选项,将三棱锥保留边展开,成如图所示的平面图形,该图形由两个等边三角形拼成的菱形,显然的最小值在A,C,Q共线取得,
即的最小值为,B选项错误；
C选项,先算一些数据,借助A选项的图,的外接圆半径,故,,于是.
根据对称性,三棱锥外接球的球心在射线上,不妨设球心为G,外接球半径为R,则,,
又,则,解得（由于,实际上球心在三棱锥外）,故外接球表面积为：,C选项正确；
D选项,三棱锥和等高,由,于是,根据A选项,,,即,
于是,注意到三棱锥和等高,故,
于是,D选项正确.
故选：ACD.
13．答案：-1
解析：，为的两个零点，，，解得：，，此时，，，解得：，，.故答案为：-1.
14．答案：
解析：
15．答案：
解析：
16．答案：
解析：
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为为纯虚数，
所以，即，
解得，
此时，由韦达定理得，.
（2）复数z满足，即，
所以所求点Z的集合是以原点为圆心，以为半径的圆，
.
18．答案：（1）
（2）正确条件为①③，（i），（ii）
解析：（1）由题设，而，
所以，故.
（2）若①②正确，则，得或，
所以①②有一个错误条件，则③是正确条件，
若②③正确，则，可得，即②为错误条件，
综上，正确条件为①③.
（i）由，则，即，
又，可得，所以，可得，
则，故；
（ii）因为且，得，
由平分得，
在中，，
在中，由，得.
19．答案：（1）证明见解析
（2）3
解析：（1）证明：取的中点G，连接，.
因为G，F分别是，的中点，所以，且.
又底面是平行四边形，且分别是的中点，所以，且，
所以且，所以四边形是平行四边形，所以.
因为平面，平面，所以平面.
（2）因为E是的中点，所以的面积是平行四边形面积的.
因为F是的中点，所以三棱锥的高是四棱锥的高为.
因为四棱锥的体积为32，所以三棱锥的体积为.
设B到平面的距离为d，
因为的面积为4，所以，得，即B到平面的距离为3.
20．答案：（1）该山的高度为0.4千米
（2）该山被冰雪覆盖的面积为平方千米
解析：（1）由题意可知，，
，在中，由正弦定理，
，，
又N点观测A时仰角的正切值为，，
所以，该山的高度为0.4千米.
（2）设的外接圆为圆O，
，根据圆的性质，，，M，N四点共圆
在中，由正弦定理，圆O直径为，
在中，由正弦定理，
延长与圆台交于C点，
由题意下底面圆半径为，圆台的母线长可在直角中由勾股定理得为0.5.
圆台的侧面积，
圆台的上底面面积，
所以，侧面积与上底面面积相加知：该山被冰雪覆盖的面积为平方千米.
21．答案：（1）或
（2）见解析
解析：（1）
，
的最小正周期为π，，，.
那么的解析式，
方程在上有且有一个解，
转化为函数与函数在上只有一个交点.
，.
因为函数在上增，在上减，
且，，，
或，所以或.
（2）由（1）可知，.
实数m满足对任意，都存在，使得成立.
即成立，令，
设，那么，
，，可得在上恒成立.
令，其对称轴，上，
①当时，即，，所以；
②当，即时，，所以；
③当，即时，，所以；
综上可得，存在m，可知m的取值范围是.
22．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）当时，Q为中点，
因为E是的中点，所以，，
则四边形是平行四边形，所以.
又平面，平面，所以平面.
因为E，F分别是，中点，所以.
因为平面，平面，所以平面，
因为，平面，平面，所以平面平面.
（2）如图，连接，与，
因为平面，平面，所以.
若，又，平面，且，所以平面.
因为平面，所以.
在矩形中，由，得，所以.
又，，所以，，则，即.