专题19 利用导数研究函数的零点-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）

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【真题自测】2
【考点突破】3
【考点1】判断、证明或讨论零点的个数3
【考点2】根据零点情况求参数范围4
【考点3】与函数零点相关的综合问题5
【分层检测】7
【基础篇】7
【能力篇】8
【培优篇】9
真题自测
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、解答题
2．（2023·全国·高考真题）（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．
3．（2022·全国·高考真题）已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．
4．（2022·全国·高考真题）已知函数．
(1)若，求a的取值范围；
(2)证明：若有两个零点，则．
5．（2022·全国·高考真题）已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．
6．（2021·全国·高考真题）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点
①；
②．
考点突破
【考点1】判断、证明或讨论零点的个数
一、单选题
1．（2022·浙江宁波·模拟预测）已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（ ）
A．3B．4C．2或3或4或5D．2或3或4或5或6
二、多选题
2．（2023·湖南·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．在区间上单调递增
C．将函数图象上各点横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，可得函数的图象
D．函数的零点个数为7
三、填空题
3．（2021·浙江·模拟预测）已知实数且，为定义在上的函数，则至多有 个零点；若仅有个零点，则实数的取值范围为 ．
四、解答题
4．（2024·四川成都·二模）已知函数.
(1)判断的零点个数并说明理由；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.
5．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知函数.
(1)时，求的零点个数；
(2)若时，恒成立，求a的取值范围.
6．（2022·全国·模拟预测）已知函数，.
(1)当时，求证：；
(2)求函数的零点个数.
反思提升：
利用导数求函数的零点常用方法
(1)构造函数g(x)，利用导数研究g(x)的性质，结合g(x)的图象，判断函数零点的个数.
(2)利用零点存在定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数有多少个零点.
【考点2】根据零点情况求参数范围
一、单选题
1．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设函数若恰有5个不同零点，则正实数的范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
2．（2021·山东聊城·二模）用符号表示不超过的最大整数，例如：，.设有3个不同的零点，，，则（ ）
A．是的一个零点
B．
C．的取值范围是
D．若，则的范围是.
三、填空题
3．（2021·安徽安庆·三模）已知函数有三个零点，，，且，其中，为自然对数的底数，则的范围为 ．
四、解答题
4．（2023·陕西宝鸡·模拟预测）设函数
(1)若时函数有三个互不相同的零点，求m的范围；
(2)若函数在内没有极值点，求a的范围；
5．（23-24高三上·辽宁沈阳·开学考试）已知函数.
(1)若，求函数在处的切线方程；
(2)若函数在区间上有且只有一个零点，求实数的范围.
6．（2023·天津滨海新·模拟预测）已知函数，.
(1)若，求的单调区间.
(2)若，且在区间上恒成立，求a的范围；
(3)若，判断函数的零点的个数.
反思提升：
1.函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，根据图象的几何直观求解.
2.与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况.
【考点3】与函数零点相关的综合问题
一、单选题
1．（2024·湖北·二模）已知函数（e为自然对数的底数）．则下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为R
B．若函数在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，则
C．当时，可能有三个零点
D．当时，函数的极小值大于极大值
二、多选题
2．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．当时，则在上单调递增
B．当时，函数有唯一极值点
C．若函数只有两个不等于1的零点，则必有
D．若函数有三个零点，则
三、填空题
3．（2024·安徽·模拟预测）对于函数，当该函数恰有两个零点时，设两个零点中最大值为，当该函数恰有四个零点时，设这四个零点中最大值为，求 .
四、解答题
4．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知函数．
(1)当时，证明：有且仅有一个零点．
(2)当时，恒成立，求a的取值范围．
(3)证明：．
5．（2024·江西景德镇·三模）已知函数，.
(1)当时，求函数的极值；
(2)已知实数.
①求证：函数有且仅有一个零点；
②设该零点为，若图象上有且只有一对点，关于点成中心对称，求实数的取值范围.
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数的两个极值点分别为，证明：；
(3)设，求证：当时，有且仅有2个不同的零点．
（参考数据：）
反思提升：
在求解函数问题时，很多时候都需要求函数f(x)在区间I上的零点，但所述情形都难以求出其准确值，导致解题过程无法继续进行时，可这样尝试求解：先证明函数f(x)在区间I上存在唯一的零点(例如，函数f(x)在区间I上是单调函数且在区间I的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点)，这时可设出其零点是x0.因为x0不易求出(当然，有时是可以求出但无需求出)，所以把零点x0叫做隐零点；若x0容易求出，就叫做显零点，而后解答就可继续进行，实际上，此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法.
分层检测
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·云南昆明·一模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．为增函数B．有两个零点
C．的最大值为2eD．的图象关于对称
2．（2024·四川凉山·二模）若，，则函数的零点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
3．（22-23高三下·江西·阶段练习）若函数有零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·内蒙古包头·一模）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．有两个零点B．点是曲线的对称中心
C．有两个极值点D．直线是曲线的切线
二、多选题
5．（2023·全国·模拟预测）已知函数，，下列正确的是（ ）
A．若函数有且只有1个零点，则
B．若函数有两个零点，则
C．若函数有且只有1个零点，则，
D．若有两个零点，则
6．（21-22高三上·湖北·期中）已知函数，下列结论成立的是（ ）
A．函数在定义域内无极值
B．函数在点处的切线方程为
C．函数在定义域内有且仅有一个零点
D．函数在定义域内有两个零点，，且
7．（2024·全国·模拟预测）已知函数，，则（ ）
A．若有极值点，则
B．当时，有一个零点
C．
D．当时，曲线上斜率为2的切线是直线
三、填空题
8．（2023·四川内江·模拟预测）若函数有两个零点，则的取值范围为 ．
9．（2021·海南·二模）函数的零点个数为 .
10．（20-21高三上·吉林长春·期中）若函数有且只有一个零点，则实数的值为 .
四、解答题
11．（20-21高二下·重庆·期末）已知函数的图象在处的切线与直线垂直.
（1）求的值；
（2）若函数在上无零点，求的取值范围.
12．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数．
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)若有两个不同的零点，证明．
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
2．（2024·辽宁·三模）已知函数为实数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，则与有相同的极值点和极值
B．存在，使与的零点同时为2个
C．当时，对恒成立
D．若函数在上单调递减，则的取值范围为
三、填空题
3．（23-24高三下·四川雅安·开学考试）已知，分别是函数和的零点，且，，则 ．
四、解答题
4．（22-23高二上·山东滨州·期末）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求的取值范围.
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·甘肃武威·模拟预测）已知函数有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
2．（23-24高三上·湖北武汉·期末）已知函数，，，则（ ）
A．当时，函数有两个零点
B．存在某个，使得函数与零点个数不相同
C．存在，使得与有相同的零点
D．若函数有两个零点，有两个零点，，一定有
三、填空题
3．（2024·广东佛山·二模）若函数（）有2个不同的零点，则实数的取值范围是 ．