专题20 任意角和弧度制及三角函数的概念-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）

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【知识梳理】2
【真题自测】3
【考点突破】4
【考点1】象限角及终边相同的角4
【考点2】弧度制及其应用6
【考点3】三角函数的定义及应用8
【分层检测】9
【基础篇】9
【能力篇】12
【培优篇】13
考试要求：
1.了解任意角的概念和弧度制的概念.
2.能进行弧度与角度的互化.
3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
知识梳理
1.角的概念的推广
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形.
(2)分类eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角.,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
2.弧度制的定义和公式
(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad.
(2)公式
3.任意角的三角函数
(1)定义
(2)定义的推广
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝eq \f(y,r)；cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0).
1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用.
3.象限角
4.轴线角
真题自测
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·高考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
3．（2023·北京·高考真题）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为 ， ．
4．（2023·全国·高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．

5．（2023·全国·高考真题）若，则 ．
6．（2021·北京·高考真题）若点关于轴对称点为，写出的一个取值为 ．
考点突破
【考点1】象限角及终边相同的角
一、单选题
1．（23-24高一下·河南·阶段练习）如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·全国·模拟预测）已知角第二象限角，且，则角是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
二、多选题
3．（23-24高一上·吉林长春·期末）下列说法正确的是（ ）
A．“为第一象限角”是“为第一象限角或第三象限角”的充分不必要条件
B．“，”是“”的充要条件
C．设，，则“”是“”的充分不必要条件
D．“”是“”的必要不充分条件
4．（22-23高二下·吉林长春·期末）下列说法正确的是（ ）
A．轴截面为等腰直角三角形的圆锥，其侧面展开图的圆心角的弧度数为
B．若，则
C．已知为锐角，，角的终边上有一点，则
D．在范围内，与角终边相同的角是和
三、填空题
5．（2022·河南开封·三模）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于直线对称.若，则 .
6．（2022·全国·模拟预测）已知的顶点为坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边在第二象限，，则的值为 ．
反思提升：
(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角.
(2)确定kα，eq \f(α,k)(k∈N*)的终边位置的方法
先写出kα或eq \f(α,k)的范围，然后根据k的可能取值确定kα或eq \f(α,k)的终边所在的位置.
【考点2】弧度制及其应用
一、单选题
1．（2023·陕西安康·三模）羽毛球运动是一项全民喜爱的体育运动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成圆的直径是，底部所围成圆的直径是，据此可估算得球托之外羽毛所在曲面的展开图的圆心角为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·全国·模拟预测）石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环，如图（2），砖雕厚度为6cm，，，所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为（单位：）（ ）

A．B．C．D．
二、多选题
3．（2024·全国·模拟预测）如图，设单位圆与轴的正半轴相交于点，以轴的非负半轴为始边作锐角，，，它们的终边分别与单位圆相交于点，，．若，则下列说法正确的是（ ）

A．当时，的面积为
B．当时，扇形的面积为
C．当时，四边形的面积为
D．四边形面积的最大值为1
4．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）质点A，B在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆上同时出发做逆时针匀速圆周运动，点A的起点在射线（）与圆O的交点处，点A的角速度为，点B的起点在圆O与x轴正半轴的交点处，点B的角速度为，则下列说法正确的是（ ）
A．在末时，点B的坐标为
B．在末时，劣弧的长为
C．在末时，点A与点B重合
D．当点A与点B重合时，点A的坐标可以为
三、填空题
5．（2023·上海普陀·一模）若圆上的一段圆弧长与该圆的内接正六边形的边长相等，则这段圆弧所对的圆心角的大小为 .
6．（2024·上海黄浦·二模）如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段与分别以为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点是线段上的动点，点O为线段的中点，点在以为直径的半圆弧上，且均为直角.若百米，则此步道的最大长度为 百米.
反思提升：
应用弧度制解决问题时应注意：
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
【考点3】三角函数的定义及应用
一、单选题
1．（2024·湖北·模拟预测）在直角坐标系中，绕原点将轴的正半轴逆时针旋转角交单位圆于点、顺时针旋转角交单位圆于点，若点的纵坐标为，且的面积为，则点的纵坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）已知角终边上点坐标为，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2024·广东广州·模拟预测）下列命题正确的是（ ）
A．“是第二象限角或第三象限角”，“”，则是的充分不必要条件
B．若为第一象限角，则
C．在中，若，则为锐角三角形
D．已知，且，则
4．（2024·河北保定·二模）一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆的交点P的坐标，无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的，所以点P的横坐标x、纵坐标y都是角的函数.下面给出这些函数的定义：
①把点P的纵坐标y叫作的正弦函数，记作，即；
②把点P的横坐标x叫作的余弦函数，记作，即；
③把点P的纵坐标y的倒数叫作的余割，记作，即；
④把点P的横坐标x的倒数叫作的正割，记作，即.
下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．函数的定义域为
D．
三、填空题
5．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，若角的顶点为原点，始边为轴非负半轴，终边经过点，则 .
6．（2023·江西赣州·二模）已知为锐角，满足，则 ．
反思提升：
1.三角函数定义的应用
(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.
(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.
2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.
分层检测
【基础篇】
一、单选题
1．（2023·安徽·模拟预测）已知角终边上有一点，则为（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
2．（23-24高一上·山东菏泽·期末）集合，，，则集合中的元素个数为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·湖南·一模）出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）的璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，黄身外耧空雕饰“”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图2）：，若，则璜身（即曲边四边形）面积近似为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·北京房山·一模）已知角的终边经过点，把角的终边绕原点O逆时针旋转得到角的终边，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
5．（2022·福建·三模）若满足，，则可以是（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24高一上·吉林延边·期末）已知函数且的图象经过定点，且点在角的终边上，则的值可能是（ ）
A．B．C．D．
7．（22-23高一下·浙江杭州·期末）如图，质点和在单位圆上逆时针作匀速圆周运动.若和同时出发，的角速度为，起点位置坐标为，B的角速度为，起点位置坐标为，则（ ）

A．在末，点的坐标为
B．在末，扇形的弧长为
C．在末，点在单位圆上第二次重合
D．面积的最大值为
三、填空题
8．（2021·四川泸州·一模）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称．若，则 ．
9．（2023·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，角以Ox为始边，且．把角α的终边绕端点O逆时针方向旋转弧度，这时终边对应的角是，则 ；
10．（2024·湖北·模拟预测）函数，设为的最小正周期，若，则 .
四、解答题
11．（2021·上海闵行·二模）某植物园中有一块等腰三角形的花圃，腰长为20米，顶角为30°，现在花圃内修一条步行道(步行道的宽度忽略不计)，将其分成面积相等的两部分，分别种植玫瑰和百合.步行道用曲线表示(D､E两点分别在腰､上，以下结果精确到0.01).
（1）如果曲线是以A为圆心的一段圆弧(如图1)，求的长；
（2）如果曲线是直道(如图2)，求的最小值，并求此时直道的长度.
12．（2023·贵州·模拟预测）如图所示，角的终边与单位圆交于点，将绕原点按逆时针方向旋转后与圆交于点.

(1)求；
(2)若的内角，，所对的边分别为，，，，，，求.
【能力篇】
一、单选题
1．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）“且”是“为第三象限角”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
二、多选题
2．（2024·安徽芜湖·二模）在平面直角坐标系xOy中，角θ以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点，，定义，，则（ ）
A．B．
C．若，则D．是周期函数
三、填空题
3．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）用一个圆心角为，面积为的扇形（为圆心）用成一个圆锥（点恰好重合），该圆锥顶点为，底面圆的直径为，则的值为 ．
四、解答题
4．（2022·上海虹口·二模）如图，某公园拟划出形如平行四边形的区域进行绿化，在此绿化区域中，分别以和为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与相切.
(1)若，，（长度单位：米），求种植花卉区域的面积；
(2)若扇形的半径为10米，圆心角为，则多大时，平行四边形绿地占地面积最小？
【培优篇】
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）如图所示，面积为的扇形OMN中，M，N分别在x，y轴上，点P在弧MN上（点P与点M，N不重合），分别在点P，N作扇形OMN所在圆的切线交于点Q，其中与x轴交于点R，则的最小值为（ ）
A．4B．C．D．2
二、多选题
2．（23-24高三上·山东威海·期末）质点和同时出发，在以原点为圆心，半径为的上逆时针作匀速圆周运动.的角速度大小为，起点为与轴正半轴的交点；的角速度大小为，起点为射线与的交点.则当与重合时，的坐标可以为（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
3．（2021·上海·模拟预测）已知，对任意，总存在实数，使得，则的最小值是
角α的弧度数公式
|α|＝eq \f(l,r)(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
1°＝eq \f(π,180) rad；1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|r2
前提
如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)
定义
正弦
y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y
余弦
x叫做α的余弦函数，记作cs α，即cs α＝x
正切
eq \f(y,x)叫做α的正切函数，记作tan α，即tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)
三角函数
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数